第七章基本的计数公式 北京大学计算机系离散数学讲义
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2020/6/16
多重集的排列
多重集 S={n1a1, n2a2, …, nkak}，0 <ni +∞ （1）全排列 r=n, n1 + n2 + … + nk = n
n! N
n1!n2! ... nk !
证明：分步选取，先放 a1, 有 C(n,n1) 种方法； 再放 a2, 有 C(n-n1,n2)种方法，..., 放 ak，有 C(n-n1-n2-…-nk-1,nk) 种方法
例 2 求 1400 的不同的正因子个数 1400=23 52 7
正因子为：2i 5j 7k，其中 0i3, 0j2, 0k1 N=(3+1)(2+1)(1+1)=24
2020/6/16
第二节 排列组合
• 选取问题 • 集合的排列与组合 • 基本计数公式的应用 • 多重集排列与组合
2020/6/16
C={3, 6, …, 300}
分类：
分别取自 A, B, C: 各 C(100,3)
A, B, C 各取 1 个：
C(100,1)3
N= C(100,3) + 1003 = 1485100
2020/6/16
基本计数公式的应用（续）
例 2 求 1000！的末尾有多少个 0？ 1000!=1000 999 998 … 21
（2） P(10,10) P(10,5)/10
例 6 把 2n 个人分成 n 组，每组 2 人，有多少分法？ 解：相当于 2n 不同的球放到 n 个相同的盒子，每个盒子 2 个，
放法为
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N
(2n)! (2!)n n!
(2n)! 2n n!
实例（续）
例 7 9 本不同的书，其中 4 本红皮，5 本白皮，
第七章 基本的计数公式
加法法则与乘法法则 排列组合 二项式定理与组合恒等式
2020/6/16
乘法法则
乘法法则：事件 A 有 m 种产生方式，事件 B 有 n 种产生 方式，则“事件 A 与 B”有 mn 种产生方式.
使用条件：事件 A 与 B 的产生方式相互独立 适用问题：分步选取 推广：事件 A1 有 n1 种产生方式，事件 A2 有 n2 种产生方
选取问题 --组合计数模型1
设 n 元集合 S，从 S 中选取 r 个元素. 根据是否有序，是否允许重复可以将该问题分为四个子类型
有序 无序
不重复 集合排列 P(n,r) 集合组合 C(n,r)
重复 多重集排列 多重集组合
2020/6/16
集合的排列与组合
1．从 n 元集 S 中有序、不重复选取的 r 个元素称为 S
证明 一个 r 组合为 {x1a1, x2a2, …, xkak}，
其中 x1 + x2 + … + xk = r , xi 为非负整数 这个不定方程的非负整数解对应于下述排列
2020/6/16
1…1 0 1…1 0 1…1 0 …… 0 1…1
x1 个 x2 个 x3 个
xk 个
r 个 1，k-1 个 0 的全排列数为 N = (r k 1)! C(k r 1, r)
法数.
解： 固定 a 和 b 中间选 7 个字母，有 2 P(24,7)种方法， 将它看作大字母与其余 17 个全排列有 18！种，共
2020/6/16
N = 2 P(24,7) 18!
实例（续）
例 5 （1）10 个男孩，5 个女孩站成一排，若没有女孩相邻，有 多少种方法？
（2） 如果站成一个圆圈，有多少种方法？ 解：（1） P(10,10) P(11,5)
N C(n, n1 )C(n n1, n2 )...C(n n1 n2 ... nk1, nk )
n!
n1!n2! ... nk !
（2）若
2020/6/16
rni
时，每个位置都有
k
种选法，得
kr.
多重集的组合
多重集 S={n1a1, n2a2, …, nkak}的组合数为 N = C(k+r-1,r), 当 r ni
（1） 9 本书的排列方式数有多少？
（2） 若白皮书必须放在一起，那么有多少方法？
（3） 若白皮书必须放在一起，红皮书也必须放在一起，
那么有多少方法？
将上面的每个因子分解，若分解式中共有 i 个 5, j 个 2， 那么 min{i,j}就是 0 的个数. 1, …,1000 中有
500 个是 2 的倍数，j > 500; 200 个是 5 的倍数， 40 个是 25 的倍数（多加 40 个 5）， 8 个是 125 的倍数（再多加 8 个 5）， 1 个是 625 的倍数（再多加 1 个 5） i = 200+40+8+1 = 249. min{i,j}=249.
式，…, 事件 Ak 有 nk 种产生的方式，则“事件 A1 与 A2 与…Ak” 有 n1n2…nk 种产生的方式.
2020/6/16
应用实例
例 1 设 A,B,C 是 3 个城市，从 A 到 B 有 3 条道路，从 B 到 C 有 2 条道路，从 A 直接到 C 有 4 条道路，问从 A 到 C 有 多少种不同的方式？ N=32+4 = 10
C
( n,
r
)
P(n, r!
r
)
nr
0 n r
4．C(n,r) = C(n,nr)
证明方法：
公式代入
组合证明（一一对应）
2020/6/16
基本计数公式的应用
例 1 从 1—300 中任取 3 个数使得其和能被 3 整除有多少 种方法？
A={1, 4, …,298}
B={2, 5, …,299}
r!(k 1)!
实例
例 5 r 个相同的球放到 n 个不同的盒子里，每个盒子球数不 限，求放球方法数.
解： 设盒子的球数依次记为 x1, x2, …, xn, 则满足 31 + x2 + … + xn = r， x1,x2,…,xn 为非负整数 N = C(n+r-1, r)
例 4 排列 26 个字母，使得 a 与 b 之间恰有 7 个字母，求方
的一个 r 排列，S 的所有 r 排列的数目记作 P(n,r)
P(n,
r)
(n
n! r
)!
nr
0 n r
2．环排列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S 的环排列数 = P(n,r)
r
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集合的排列与组合（续）
3．从 n 元集 S 中无序、不重复选取的 r 个元素称为 S 的
一个 r 组合，S 的所有 r 组合的数目记作 C(n,r)
多重集的排列
多重集 S={n1a1, n2a2, …, nkak}，0 <ni +∞ （1）全排列 r=n, n1 + n2 + … + nk = n
n! N
n1!n2! ... nk !
证明：分步选取，先放 a1, 有 C(n,n1) 种方法； 再放 a2, 有 C(n-n1,n2)种方法，..., 放 ak，有 C(n-n1-n2-…-nk-1,nk) 种方法
例 2 求 1400 的不同的正因子个数 1400=23 52 7
正因子为：2i 5j 7k，其中 0i3, 0j2, 0k1 N=(3+1)(2+1)(1+1)=24
2020/6/16
第二节 排列组合
• 选取问题 • 集合的排列与组合 • 基本计数公式的应用 • 多重集排列与组合
2020/6/16
C={3, 6, …, 300}
分类：
分别取自 A, B, C: 各 C(100,3)
A, B, C 各取 1 个：
C(100,1)3
N= C(100,3) + 1003 = 1485100
2020/6/16
基本计数公式的应用（续）
例 2 求 1000！的末尾有多少个 0？ 1000!=1000 999 998 … 21
（2） P(10,10) P(10,5)/10
例 6 把 2n 个人分成 n 组，每组 2 人，有多少分法？ 解：相当于 2n 不同的球放到 n 个相同的盒子，每个盒子 2 个，
放法为
2020/6/16
N
(2n)! (2!)n n!
(2n)! 2n n!
实例（续）
例 7 9 本不同的书，其中 4 本红皮，5 本白皮，
第七章 基本的计数公式
加法法则与乘法法则 排列组合 二项式定理与组合恒等式
2020/6/16
乘法法则
乘法法则：事件 A 有 m 种产生方式，事件 B 有 n 种产生 方式，则“事件 A 与 B”有 mn 种产生方式.
使用条件：事件 A 与 B 的产生方式相互独立 适用问题：分步选取 推广：事件 A1 有 n1 种产生方式，事件 A2 有 n2 种产生方
选取问题 --组合计数模型1
设 n 元集合 S，从 S 中选取 r 个元素. 根据是否有序，是否允许重复可以将该问题分为四个子类型
有序 无序
不重复 集合排列 P(n,r) 集合组合 C(n,r)
重复 多重集排列 多重集组合
2020/6/16
集合的排列与组合
1．从 n 元集 S 中有序、不重复选取的 r 个元素称为 S
证明 一个 r 组合为 {x1a1, x2a2, …, xkak}，
其中 x1 + x2 + … + xk = r , xi 为非负整数 这个不定方程的非负整数解对应于下述排列
2020/6/16
1…1 0 1…1 0 1…1 0 …… 0 1…1
x1 个 x2 个 x3 个
xk 个
r 个 1，k-1 个 0 的全排列数为 N = (r k 1)! C(k r 1, r)
法数.
解： 固定 a 和 b 中间选 7 个字母，有 2 P(24,7)种方法， 将它看作大字母与其余 17 个全排列有 18！种，共
2020/6/16
N = 2 P(24,7) 18!
实例（续）
例 5 （1）10 个男孩，5 个女孩站成一排，若没有女孩相邻，有 多少种方法？
（2） 如果站成一个圆圈，有多少种方法？ 解：（1） P(10,10) P(11,5)
N C(n, n1 )C(n n1, n2 )...C(n n1 n2 ... nk1, nk )
n!
n1!n2! ... nk !
（2）若
2020/6/16
rni
时，每个位置都有
k
种选法，得
kr.
多重集的组合
多重集 S={n1a1, n2a2, …, nkak}的组合数为 N = C(k+r-1,r), 当 r ni
（1） 9 本书的排列方式数有多少？
（2） 若白皮书必须放在一起，那么有多少方法？
（3） 若白皮书必须放在一起，红皮书也必须放在一起，
那么有多少方法？
将上面的每个因子分解，若分解式中共有 i 个 5, j 个 2， 那么 min{i,j}就是 0 的个数. 1, …,1000 中有
500 个是 2 的倍数，j > 500; 200 个是 5 的倍数， 40 个是 25 的倍数（多加 40 个 5）， 8 个是 125 的倍数（再多加 8 个 5）， 1 个是 625 的倍数（再多加 1 个 5） i = 200+40+8+1 = 249. min{i,j}=249.
式，…, 事件 Ak 有 nk 种产生的方式，则“事件 A1 与 A2 与…Ak” 有 n1n2…nk 种产生的方式.
2020/6/16
应用实例
例 1 设 A,B,C 是 3 个城市，从 A 到 B 有 3 条道路，从 B 到 C 有 2 条道路，从 A 直接到 C 有 4 条道路，问从 A 到 C 有 多少种不同的方式？ N=32+4 = 10
C
( n,
r
)
P(n, r!
r
)
nr
0 n r
4．C(n,r) = C(n,nr)
证明方法：
公式代入
组合证明（一一对应）
2020/6/16
基本计数公式的应用
例 1 从 1—300 中任取 3 个数使得其和能被 3 整除有多少 种方法？
A={1, 4, …,298}
B={2, 5, …,299}
r!(k 1)!
实例
例 5 r 个相同的球放到 n 个不同的盒子里，每个盒子球数不 限，求放球方法数.
解： 设盒子的球数依次记为 x1, x2, …, xn, 则满足 31 + x2 + … + xn = r， x1,x2,…,xn 为非负整数 N = C(n+r-1, r)
例 4 排列 26 个字母，使得 a 与 b 之间恰有 7 个字母，求方
的一个 r 排列，S 的所有 r 排列的数目记作 P(n,r)
P(n,
r)
(n
n! r
)!
nr
0 n r
2．环排列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S 的环排列数 = P(n,r)
r
2020/6/16
集合的排列与组合（续）
3．从 n 元集 S 中无序、不重复选取的 r 个元素称为 S 的
一个 r 组合，S 的所有 r 组合的数目记作 C(n,r)