离散数学重要公式定理汇总分解
离散数学公式
离散数学公式————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ基本等值式1．双重否定律A⇔┐┐A２．幂等律 A ⇔ A∨A,ﻩA ⇔A∧A3．交换律ﻩＡ∨Ｂ⇔B∨A，ﻩA∧B ⇔B∧A4.结合律ﻩﻩ（Ａ∨Ｂ)∨Ｃ⇔ A∨（B∨Ｃ) ﻩ(A∧B)∧C ⇔ A∧(Ｂ∧Ｃ)５.分配律Ａ∨(B∧C）⇔（Ａ∨B)∧(Ａ∨C）(∨对∧的分配律）ﻩﻫA∧(B∨Ｃ）⇔(A∧B）∨（A∧Ｃ) (∧对∨的分配律)6.德·摩根律ﻩ┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐（A∧Ｂ）⇔┐A∨┐B7.吸收律ﻩＡ∨(Ａ∧Ｂ) ⇔A,A∧(A∨B) ⇔Ａ8．零律ﻩA∨１⇔1,A∧0 ⇔０９.同一律ﻩA∨0 ⇔A，A∧1⇔Ａ10．排中律A∨┐A ⇔１11．矛盾律ﻩA∧┐Ａ⇔ 012.蕴涵等值式Ａ→B⇔┐A∨B１3．等价等值式ﻩﻩＡ↔Ｂ⇔(A→B）∧(Ｂ→Ａ)１4.假言易位A→Ｂ⇔┐Ｂ→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐Ａ↔┐Ｂ16.归谬论(A→Ｂ)∧（A→┐B)⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2）否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(３）利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式,∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律-－重言蕴含式(１）A ⇒(A∨B) 附加律(2) （A∧B）⇒ A ﻩ化简律（3） (Ａ→B)∧Ａ⇒ B ﻩﻩ假言推理(４) (Ａ→B)∧┐Ｂ⇒┐A 拒取式（5）(A∨B）∧┐B⇒ A ﻩ析取三段论(6) (A→B) ∧（Ｂ→C)⇒（A→C) ﻩ假言三段论(7) (Ａ↔B) ∧（B↔C) ⇒ (Ａ↔ C)ﻩ等价三段论（8) (A→B)∧（Ｃ→Ｄ）∧(A∨Ｃ) ⇒(B∨Ｄ) 构造性二难(A→B)∧(┐Ａ→B)∧(Ａ∨┐A) ⇒Ｂ构造性二难（特殊形式)（9)(A→B)∧(Ｃ→Ｄ)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐Ａ∨┐C) 破坏性二难设个体域为有限集D＝{a１,ａ２,…,an}，则有(1）∀xA(x) ⇔ A(a1)∧Ａ(a２)∧…∧A（aｎ)（２)∃ｘＡ(x）⇔A(a1)∨Ａ(a2）∨…∨A(ａｎ)设A（x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（１)┐∀ｘＡ(x)⇔∃x┐A(x)（2)┐∃xＡ(x) ⇔∀x┐A(ｘ)设A(x）是任意的含自由出现个体变项x的公式,B中不含x的出现，则(１) ∀ｘ(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨Bﻩﻩ∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧Bﻩ∀x（A(x）→B)⇔∃xA(x）→B∀x(Ｂ→A(x)) ⇔ B→∀xA（x)(2)∃x(A(x)∨Ｂ）⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(ｘ)∧B∃x(A(x）→B) ⇔∀xＡ(ｘ)→Ｂ∃x(B→Ａ(x))⇔ B→∃xA（x)设A(x)，Ｂ(x)是任意的含自由出现个体变项ｘ的公式，则(１)∀x(A（x）∧B(x）)⇔∀xＡ（x)∧∀xB(x)(２)∃x(Ａ(x）∨B（x）) ⇔∃xＡ(x)∨∃xB(ｘ)全称量词“∀”对“∨”无分配律。
离散数学重要公式定理汇总
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
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conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
考试必备离散数学定理总结
2.8、C1∧C2≈Res(C1,C2)2.10、（消解的完全性）一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.3.1、由命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式.（推理正确不能保证结论一定正确）4.1、闭式在任何解释下都是命题5.1、（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式6.1、空集是任何集合的子集。
（推论：空集是唯一的）6.2、（包含排斥原理）设集合S上定义了n条性质，其中具有第i 条性质的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为：6.3、德摩根律：A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)~(B⋃C)=~B~⋂C~(B⋂C)=~B~⋃C7.9、设R为A上的关系, 则(1) R 在A上自反当且仅当IA ⊆R(2) R 在A上对称当且仅当R=R^(-1)(3) R 在A上传递当且仅当R︒R ⊆R7.10、设R为A上的关系, 则有(1) r(R)=R∪R^0(2) s(R)=R∪R^(-1)(3) t(R)=R∪R^2∪R^3∪…9.1、设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.9.2、设◦为S上的二元运算，θl和θr分别为S中关于运算的左和右单位元，则θl = θr = θ为S上关于◦运算的惟一的零元.9.3、设◦为S上的二元运算，e和θ分别为◦运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e≠θ.9.4、设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元yl 和右逆元yr, 则有yl = yr= y, 且y是x 的惟一的逆元.10.2、G为群，∀a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. （G中适合消去律）10.3、G为群，a∈G且|a| = r. 设k是整数，则(1) a^k = e当且仅当r | k(r整除k)(2 )|a^-1| = |a|10.4、（子群判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a^-1∈H.10.5、（子群判定定理二）设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab^-1∈H.10.6、（子群判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H.10.7、设H是群G的子群，则He=H，∀a∈G有a∈Ha10.8、设H是群G的子群，则∀a,b∈G有：a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb10.9、设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.推论：设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G，Ha = Hb或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G10.10、（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则：|G| = |H|·[G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.推论1：设G是n阶群，则∀a∈G，|a|是n的因子.推论2：对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.10.11、（循环群的生成元）设G=<a>是循环群. ：(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.10.12、（循环群的子群）设G=<a>是循环群.(1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.14.1、（握手定理）在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍.14.2、（握手定理）在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数.推论：任何图(无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数.14.5、在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1 的通路.推论：在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）.14.7、对任意无向图G中，有：κ(G)λ≤(G)δ≤(G)14.8、D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路14.9、D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路14.10、无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈15.1、无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.15.2、无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.15.5、G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且是若干个边不重的圈的并.15.6、设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1⊂V且V1∅≠，均有p(G-V1) ≤ |V1|设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1⊂V且V1∅≠均有p(G-V1) ≤ |V1|+1 15.7、设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n-1则G 中存在哈密顿通路.推论：设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.16.1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1) G 是树(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且m=n-1.(4) G 是连通的且m=n-1.(5) G 是连通的且G 中任何边均为桥.(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.16.2、设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶.16.3、无向图G具有生成树当且仅当G连通.推论1 ：G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1.推论2 ：余树的边数为m-n+1.推论3 ：余树为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与余树一定有公共边17.3、平面图各面次数之和等于边数的两倍.17.4、极大平面图是连通的，并且n（n≥3）阶极大平面图中不可能有割点和桥.17.5、设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.17.6、（欧拉公式）设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r=217.7、（欧拉公式的推广）设G是具有k（k≥2）个连通分支的平面图，则n-m+r=k+117.8、设G为连通的平面图，且deg(Ri)≥l, l≥3，则m≤ l(n-2)/( l-2)推论：K5，K3,3不是平面图17.10、设G为n（n≥3）阶m条边的简单平面图，则m≤3n-6.17.11、设G为n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m=3n-6.17.12、设G 为简单平面图，则δ(G)≤5.17.13、G是平面图⇔G中不含与K5或K3,3同胚的子图.17.14、G是平面图⇔G中无可收缩为K5或K3,3的子图18.3、设n阶图G中无孤立顶点.(1) 设M为G中一个最大匹配，对于G中每个M非饱和点均取一条与其关联的边，组成边集N，则W=M⋃N为G中最小边覆盖.(2) 设W1为G中一个最小边覆盖；若W1中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配.(3) G中边覆盖数α1与匹配数β1满足α1+β1=n.推论：设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配，W是G中的边覆盖，则|M| ≤ |W|，等号成立时，M为G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.18.4、M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可增广交错路径.18.5、（Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|≤|V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”.18.6、设二部图G=<V1,V2,E>中，V1中每个顶点至少关联t (t≥1)条边，而V2中每个顶点至多关联t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.18.7、对于任意无向图G，均有χ(G) ≤∆(G)+1几个相关性质:χ(G)=1当且仅当G为零图χ(Kn)=n若G为奇圈或奇阶轮图，则χ(G)=3，若G为偶阶轮图，则χ(G)=4.若G的边集非空，则χ(G)=2当且仅当G为二部图18.8、（Brooks定理）若连通无向图G不是Kn,（n≥3），也不是奇数阶的圈，则χ(G) ≤∆(G) 18.10、（四色定理）任何平面图都是4-可着色的。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
(完整word版)离散数学知识汇总
离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。
(2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式。
(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。
1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。
（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。
定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。
离散数学基本公式
一、基本等值式⑴双重否定律A A⑵幂等律A∧A A A∨A A⑶交换律A∧B B∧A A∨B B∨A⑷结合律A∨(B∨C)(A∨B)∨CA∧(B∧C)(A∧B)∧C⑸分配律A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)(6)德摩根律(A∨B)A ∧B(A∧B)A ∨B(7)吸收律A∨(A∧B) AA∧(A∨B)A(8)零律A∨1 1 A∧00(9)同一律A∧1 AA∨0A(10)排中律A ∨A1(11)矛盾律A ∧A0(12)蕴含等值式A B A∨B(13)等价等值式A B (A B)∧(B A)A B (A∨B)∧(A ∨B)A B(A∧B)∨(A ∧ B )(14)假言易位A B B A(15)等价否定等值式A B A B(16)归谬论(A B)∧(A B) A二、推理定律——重言蕴涵式1.A (A B)附加律2.(A B)A化简律3.(A B)A B假言推理4.(A B)B A拒取式5.(A B)B A析取三段论6.(A B)(B C)(A C)假言三段论7.(A B)(B C)(A C)等价三段论8.(A B)(C D)(A C)(B D)构造性二难(A B)(A B)B构造性二难(特殊形式)9.(A B)(C D)(B D)(A C)破坏性二难三、量词辖域收缩与扩张x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B)xA(x)→B x(B1/ 2→A(x))B→xA(x)x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B )xA(x)→B x(B→A(x))B→xA(x)四、量词分配x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x) )xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数, B(x)：x是奇数;左1,右0x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数B(x)：x是奇数;左0,右 12/ 2。
离散数学公式资料讲解
离散数学公式资料讲解基本等值式1.双重否定律 A ?┐┐A2.幂等律 A ? A∨A, A ? A∧A3.交换律A∨B ? B∨A，A∧B ? B∧A4.结合律(A∨B)∨C ? A∨(B∨C) (A∧B)∧C ? A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ? (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ? (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ?┐A∧┐B ┐(A∧B) ?┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ? A，A∧(A∨B) ? A8.零律A∨1 ? 1,A∧0 ? 09.同⼀律A∨0 ? A，A∧1 ? A10.排中律A∨┐A ? 111.⽭盾律A∧┐A ? 012.蕴涵等值式A→B ?┐A∨B13.等价等值式A?B ? (A→B)∧(B→A)14.假⾔易位A→B ?┐B→┐A15.等价否定等值式 A?B ?┐A?┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ?┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、?(若存在)。
(2)否定号的消去(利⽤双重否定律)或内移(利⽤德摩根律)。
(3)利⽤分配律：利⽤∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重⾔蕴含式(1) A ? (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ? A 化简律(3) (A→B)∧A ? B 假⾔推理(4) (A→B)∧┐B ?┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ? A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ? (A→C) 假⾔三段论(7) (A?B) ∧(B?C) ? (A ? C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ?(B∨D) 构造性⼆难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ? B 构造性⼆难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ?(┐A∨┐C)破坏性⼆难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）?xA(x) ? A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）?xA(x) ? A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含⾃由出现个体变项x的公式，则（1）┐?xA(x) ??x┐A(x)（2）┐?xA(x) ??x┐A(x)设A(x)是任意的含⾃由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）?x(A(x)∨B) ??xA(x)∨B x(A(x)∧B) ??xA(x)∧Bx(A(x)→B) ??xA(x)→Bx(B→A(x)) ? B→?xA(x)（2）?x(A(x)∨B) ??xA(x)∨Bx(A(x)∧B) ??xA(x)∧Bx(A(x)→B) ??xA(x)→Bx(B→A(x)) ? B→?xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含⾃由出现个体变项x的公式，则（1）?x(A(x)∧B(x)) ??xA(x)∧?xB(x)（2）?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x)全称量词“?”对“∨”⽆分配律。
离散数学公式
离散数学公式基本等值式1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ⇔┐B→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐A↔┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A ⇒ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ⇒ A 化简律(3) (A→B)∧A ⇒ B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ⇒┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ⇒ A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论(7) (A↔B) ∧(B↔C) ⇒ (A ↔ C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C)破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐∀xA(x) ⇔∃x┐A(x)（2）┐∃xA(x) ⇔∀x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）∀x(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ⇔∀xA(x)∧B∀x(A(x)→B) ⇔∃xA(x)→B∀x(B→A(x)) ⇔ B→∀xA(x)（2）∃x(A(x)∨B) ⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(x)∧B∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B∃x(B→A(x)) ⇔ B→∃xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)（2）∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)全称量词“∀”对“∨”无分配律。
离散数学第二章知识点
命题逻辑等值演算等值式定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式：双重否定律：A⇔﹁﹁A幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形）举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。
(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述）3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）关于等值演算法的补充：等值演算法可以用以证明公式的类型。
1.当最后结果为1时为重言式（永真式）2.当最后结果为0时为矛盾式（永假式）3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式：p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等（这里可以发现的是里面都只含有析取联结词，简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式）简单合取式：p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等（这里可以发现的是里面都只含有合取联结词，简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式）课本中的定理：命题变项及其否定统称为文字。
离散数学公式
离散数学公式
离散数学是一门利用数学原理研究离散复杂系统的科学，是一门多维而全面的学科，其研究范围涵盖了计算机科学、逻辑学、概率论和组合数学等领域。
关系公式：若集合X和Y之间存在一对一的函数关系，则X到Y的映射关系可以用公式f：X→Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•f（x）∈Y表示f（x）是Y集合中的一个元素，•f：X→Y表示Y集合的每个元素都可以通过函数f映射回X集合中的一个元素。
函数关系公式：若集合X和Y之间存在可定义的函数关系，则可以用f：X→Y表示，其中•f：X→Y表示函数f把X集合中的元素映射到Y集合中，•f（x）表示x在X集合中的元素映射到Y集合中的元素。
算数逻辑公式：若集合X和Y之间存在逻辑关系，则可以用公式
x∈X⊃y∈Y表示，其中•x∈X表示x是X集合中的一个元素，•y∈Y表示y是Y集合中的一个元素，•x∈X⊃y∈Y表示若x属于X集合，则y属于Y集合。
离散数学等价公式表16个
离散数学等价公式表16个一、双重否定律。
1. “非非A等于A”。
就好像说“不是不喜欢那就是喜欢啦”，A和两个否定后的A是一回事儿，这就是双重否定律。
二、幂等律。
2. “A和A做合取（并且）还是A”，就像你说“苹果是水果并且苹果是水果”，这其实就等于说“苹果是水果”，这就是A合取A等价于A。
3. “A或A做析取（或者）还是A”。
好比“今天要么是晴天要么是晴天”，这和说“今天是晴天”是一样的，A析取A等价于A。
三、交换律。
4. “A和B做合取，等于B和A做合取”。
这就像说“小明是男生并且小红是女生”和“小红是女生并且小明是男生”是一样的，合取里A和B的顺序换一换不影响结果。
5. “A或B做析取，等于B或A做析取”。
比如说“要么吃苹果要么吃香蕉”和“要么吃香蕉要么吃苹果”是一样的道理，析取时A和B交换顺序结果不变。
四、结合律。
6. “A和（B和C）做合取，等于（A和B）和C做合取”。
这就好比三个人站一起，不管是先把后面两个人看成一组再和前面的组合，还是先把前面两个人看成一组再和后面的组合，最后都是这三个人站一起的关系，合取的这种组合方式结果一样。
7. “A或（B或C）做析取，等于（A或B）或C做析取”。
例如去旅游，不管是先想“去北京或者（去上海或者去广州）”，还是“（去北京或者去上海）或者去广州”，其实都是在考虑这三个地方去其中一个的选择，析取的这种组合结果相同。
五、分配律。
8. “A和（B析取C）等于（A和B）析取（A和C）”。
可以想象成你有一堆苹果（A），要分给两组人，一组是喜欢香蕉或者橙子（B析取C）的人，这就相当于把苹果分给喜欢香蕉的人（A和B）或者分给喜欢橙子的人（A和C）。
9. “A或（B合取C）等于（A或B）合取（A或C）”。
比如参加比赛，你可以是数学好（A）或者（语文好并且英语好（B合取C）），这就相当于（数学好或者语文好（A或B））并且（数学好或者英语好（A或C））。
六、德摩根律。
10. “非（A和B）等于非A或非B”。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学公式范文
离散数学公式范文离散数学是研究离散对象及其性质、结构和相互关系的一门数学学科。
它是数学中的一个重要分支，广泛应用于计算机科学、信息科学、金融、工程和其他领域。
离散数学的内容丰富多样，其中包括了许多重要的公式。
本文将介绍一些与离散数学相关的公式，帮助读者更好地理解和应用离散数学。
1.排列组合公式：排列公式表示从n个不同元素中取r个元素所能组成的不同排列的个数，记作P(n,r)。
组合公式表示从n个不同元素中取r个元素所能组成的不同组合的个数，记作C(n,r)。
它们的计算公式如下：P(n,r)=n!/(n-r)!C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)2.容斥原理公式：容斥原理是一种计数方法，用于计算多个集合的交集和并集中的元素个数。
假设A1,A2,...,An是n个集合，容斥原理公式如下：A1∪A2∪...∪An，=Σ(，Ai，)-Σ(，Ai∩Aj，)+Σ(，Ai∩Aj∩Ak，)-...+(-1)^(n-1)*，A1∩A2∩...∩An3.递推关系公式：递推关系是一种数列的定义方式，通过前几项的关系来递推出后面的项。
其中最著名的递推关系是斐波那契数列的定义，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=14.二项式定理公式：二项式定理是代数中一种重要的展开公式，用于计算(x+y)^n的展开式。
它的公式如下：(x+y)^n=Σ(C(n,r)*x^(n-r)*y^r)，其中r取值范围为0到n。
5.欧拉欧系数公式：欧拉欧系数是用于描述图的性质的一种算子。
对于一个图G的顶点集V和边集E，欧拉欧数E(G)定义为：E(G)=，E，-，V，+16.布尔代数公式：布尔代数是一种逻辑代数，用于描述和操作命题的真值。
其中的一些重要公式包括德摩根定律、分配律、吸收定律等。
7.图论中的公式：图论是离散数学中的一个重要分支，用于研究图的性质和结构。
其中一些重要的公式包括图的度数和、握手定理、树的性质等。
离散数学排列组合计数原理和公式
离散数学排列组合计数原理和公式离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的对象和结构。
在离散数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到计数原理和公式的运用。
本文将介绍离散数学中的排列组合计数原理和公式，并探讨其应用。
一、排列与组合的定义在离散数学中，排列与组合是两种常见的计数方法。
排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合。
1. 排列：从n个元素中选取r个元素进行排列的方法数称为排列数，用P(n, r)表示。
排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。
2. 组合：从n个元素中选取r个元素进行组合的方法数称为组合数，用C(n, r)表示。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)注意，组合数中的元素顺序不影响结果。
二、排列组合计数原理排列组合计数原理是基于乘法原理和加法原理而来。
乘法原理指的是将多个步骤的选择乘起来作为总的选择方式，加法原理指的是将多种不同的选择方式累加起来。
1. 乘法原理：若第一步有m种选择，第二步有n种选择，那么整个过程有m * n种选择方式。
2. 加法原理：若第一种选择方式有m种，第二种选择方式有n种，那么整个过程有m + n种选择方式。
根据乘法原理和加法原理，我们可以得出排列组合计数的基本原理：若某件事有若干步骤完成，第一步有n1种选择，第二步有n2种选择，第r步有nr种选择，那么总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nr。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用，下面讨论一些常见的应用场景。
1. 生日问题生日问题是一个经典的排列组合问题，在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？假设一年有365天且每个人的生日在一年中是等概率的。
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关系的性质
一. 自反性
定义 :设 R是集合 A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中 , “ ”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yR方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
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Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A ∩ A A ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
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normal form
主合取范式定义 合取范式 A1∧A2∧... ∧An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是大项，称之为主合取范式。 主合取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“F”对应的真值指派再对应 的大项。 ⑶用“∧”联结上述大项，即可。
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Formula
3.重要的重言蕴含式(如教材第43页所示) I1.P∧QP , I2. P∧QQ I3. PP∨Q I4. QP∨Q I5. PPQ I6. QPQ I7. (PQ)P I8. (PQ)Q I9. P,Q P∧Q I10. P∧(P∨Q)Q I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P I13. (PQ)∧(QR)PR I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R I15. AB (A∨C)(B∨C) I16. AB (A∧C)(B∧C)
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Brief Summary
第一章 小结
知识网络：
原子命题 命题公式 永真式 永真蕴涵式 等价公式 范式 命题 复合命题 联结词
析取 合取 主析取 主合取
命题逻辑推理
直接推理
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条件论证
反证法
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间接推理
量词辖域的扩充公式
• 如果Ｂ是个不含客体变元x的谓词公式，且不在 x和x的辖域内，可以将Ｂ放入x和x的辖域 内。即得如下公式： 1. xA(x)∨Bx(A(x)∨B) 2. xA(x)∧Bx(A(x)∧B) 3. xA(x)∨Bx(A(x)∨B) 4. xA(x)∧Bx(A(x)∧B) 5. B→xA(x)x(B→A(x)) 6. B→xA(x)x(B→A(x)) 7. xA(x)→Bx(A(x)→B) 8. xA(x)→Bx(A(x)→B)
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其它公式 1. x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) 2. xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x))
证明1： xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
∧ ↑
P T T F F P
T T F F 2018/10/25
Q C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 T F T F
T F T F
T T T T
T T T F
∨
F F F F
F F F T
↓
T T F F
T F T T
PQ
T F T F
F T F F
c
F F T T
T F F T
F T F T
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Formula
⑻ 同一律 P∨FP ⑼ 零律 P ∨ T T ⑽ 互补律 P∨PT P ∧ T P P ∧FF P∧PF
附加：
⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ PQP∨Q PQQP PQ (PQ)∧(QP) PQ (P∨Q)∧(P∨Q) PQ (P∧Q)∨(P∧Q )
有关绝对补集的性质 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E ⑹A-B=A∩~B ⑺~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B ⑼AB ~B~A ⑽ ~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ
有关对称差的性质
⑴幂等律 ⑵交换律 ⑶结合律 对任何集合A，有A∩A=A。 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
交、并的性质 ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∪B=B∪A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∪E =E 。 ⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
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证明2： xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
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量词之间有如下公式： 1. xyA(x,y)yxA(x,y) 2. xyA(x,y)yxA(x,y) 3. yxA(x,y)xyA(x,y) 4. xyA(x,y)xyA(x,y) 5. yxA(x,y)xyA(x,y) 6. xyA(x,y)yxA(x,y) 7. yxA(x,y)xyA(x,y) 8. xyA(x,y)yxA(x,y) 注意：下面式子不成立 xyA(x,y)yxA(x,y)
F T T F
T F F F
T T F T
QP
F T T T
F F T F
c
Q C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16
9
normal form
3.析取范式与合取范式的化法 化成限定性公式。 公式E16 PQP∨Q 公式E21 PQ (P∧Q)∨(P∧Q) 公式E20 PQ (PQ)∧(QP) 公式E16 PQ (P∨Q)∧(P∨Q) 将否定联结词移到命题变量的前面。 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) (P∨Q)P∧Q 、(P∧Q)P∨Q 用分配律、幂等律等公式进行整理，使之成为所 要求的形式。
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量词分配公式
1. x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) 2. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) 3. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) 4. xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) 证明：设论域为{a1,a2,....,an}， x(A(x)∨B(x)) (A(a1)∨B(a1))∨(A(a2)∨B(a2))∨… ∨(A(an)∨B(an)) (A(a1)∨A(a2)∨...∨A(an))∨ (B(a1)∨B(a2)∨...∨B(an)) xA(x)∨xB(x) 2018/10/25
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Formula
⑺德．摩根定律 ~(A∪B)~A∩~B ~(A∩B)~A∪~B ⑻ 同一律 A∪ΦA; A∩EA E表示全集 ⑼ 零律 A ∪E E A∩ΦΦ ⑽ 否定律 A∪~AE A∩~AΦ
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Definition
永真(重言)式（Tautology）公式中的命题变量元论 怎样指派，公式对应的真值恒为T。 永假（矛盾）式（Contradiction)公式中的命题变 量无论怎样代入，公式对应的真值恒为F。 可满足公式（Satisfaction）公式中的命题变量无 论怎样代入，公式对应的真值总有一种情况为T。 一般命题公式（Contingency）既不是永真公式也不 是永假公式。
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P ∧ P P ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
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Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
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