概率论练习题及参考答案

概率论练习题

一、填空题

1、已知P(A)=P(B)=P(C)=

14，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1

6

，则A 、B 、C 全不发生的概率为_______。

2、设随机变量X

则 c =________。

3、设随机变量X ～N(μ,0.04)，已知1

(5)2

P x ≤=，则μ= 。 4、设随机变量(X,Y)

则E(X)= 二、选择题

1、设A 、B 是两个互不相容的事件，P(A)>0，P(B)>0，则 [ ] 一定成立。 (A) P(A)=1－P(B) （B ）P(A 〡B)=0 （C ）P(A 〡B )=1 (D) P(AB )=0

2、对于任意2个随机变量X 与Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则 [ ]。 (A) Var(XY)= Var(X) V ar(Y) (B) Var(X+Y)= Var(X)+ Var(Y) (C) X 与Y 相互独立 (D) X 与Y 不相互独立

3、设X,Y 是相互独立的随机变量，分布函数分别为()X F x 、()Y F y ，则Z=max(X,Y)的分布函数为 [ ]。

(A)()max{(),()}Z X Y F z F z F z = (B)()()()Z X Y F z F z F z = (C)()()()Z X Y F z F z F z =+ (D)()()Z X F z F x =

三、计算题

1． 在1~2000中随机地取一整数，问取到的整数不能被6或8整除的概率是多少？

2、有3个盒子，在甲盒中装有2个红球，4个白球；在乙盒中装有4个红球，2个白球；在 丙盒中装有3个红球，3个白球，设从3个盒子中取球的机会相等，今从其中任取一球，它 是红球的概率是多少？又若已知取出的球是红球，则它来自甲盒的概率是多少？

3． 设连续型随即变量X 的分布函数为 2

00()0111

x F x Ax

x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩

试求：(1)系数A ； (2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；（3）X 的密度函数。 4、假设某地区大学男学生的身高（单位：cm ）服从正态分布N(175, 2

5.2)，今在该地区任 选5名大学男学生，问其中至少有两名男学生身高超过180cm 的概率是多少？ （(0.96)0.8315Φ=）

5、设随即变量X 的概率密度为 2

20(1)

()00

x x f x x π⎧

>⎪+=⎨⎪≤⎩

求ln Y X =的概率密度。

6、设 (X,Y) 服从22:{(,):1}G x y x y +≤上的均匀分布 （1） 写出 (X,Y) 的概率密度；（2） 求Y 的边际概率密度；

概率论练习题参考解答

二、填空题

1、7/12

2、1/3

3、5

4、1.5

二、选择题

1、B

2、B

3、B

三、计算题

1．解：设A: “取到被6整除的整数”, B: “取到被8整除的整数”,

则所求概率为831917

()()1()12002000

p A B P AB P AB ==-=-

= 2、解: 1B 表示抽的是甲盒, 2B 表示抽的是乙盒, 3B 表示抽的是丙盒, C 表示抽出的是红球。 则1()()P C P B P =(C │1B )+2()(P B P C │2B )+3()(P B P C │3B )

=1214131

3636362

⨯

+⨯+⨯= 1(P B │C )=111()()(|)()()P B C P B P C B P C P C ==122

36192

⨯

= .

3．解：(1) 由F(x)的连续性，有2

10

10

1(1)lim ()lim x x F F x Ax A →-→-====，

由此解得A =1。

(2) 2

2

(0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.4P x F F <<=-=-=

(3) X 的密度函数'201()()0

x x P x F x <<⎧==⎨

⎩其他

4、解：设X 表示男生身高 Y 表示身高超过180cm 的人数

180175

(180)1(180)1()1(0.96)0.16855.2

p P X P X -=>=-≤=-Φ=-Φ=

(5,0.1685),(2)1(0)(1)

Y B P Y P Y P Y ≥=-=-=

= 5、解：由于2

20(1)

()00

x x f x x π⎧

>⎪+=⎨⎪≤⎩

,y=lnx 在x>0上为严格增函数，其反函数为

y x=h(y)=e ，且'()y h y e =,所以y=lnx 的密度函数为

'

22()(())()(1)

y

Y X y

e f y f h y h y e π==+ y -∞<<+∞

6、解：

(1)22,11(,)0

X Y x y f x y π

⎧+≤⎪

=⎨⎪⎩其他

(2) 因为当11y -<<

时，有x <<

所以当11y -<<

时，有()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

===

⎰

所以Y 的边际密度函数为：

11()0

Y y f y -<<=⎪⎩其他