(完整版)概率统计难题选解(一)

概率统计难题选解（一）

1. 在圆周上任取两点，连接起来得一弦，再任取两点，连接起来又得一弦。求这两弦相交的概率。

解 设圆周长为1，设圆周上一点坐标位置为0 ，逆时针绕圆一周后坐标位置为1。 不妨设第一条弦的一个端点位置为0 ，另一个端点位置为X ，第二条弦的两个端点位置为Y 和Z 。

X ，Y 和Z 可以看作是3个相互独立的服从]1,0[上均匀分布的随机变量。

当且仅当10≤≤≤≤Z X Y 或10≤≤≤≤Y X Z 时，两弦相交。 所以，两弦相交的概率为

}10{≤≤≤≤=Z X Y P p }10{≤≤≤≤+Y X Z P

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101

01010d d d d d d x y z x z y x x x x ⎰⎰-+-=10

10

d )1(d )1(x x x x x x 3

1

d )(21

2=

-=⎰x x x 。

2.从一副扑克牌中（有返回地）一张张抽取牌，直至抽出的牌包含了全部四种花色为止。求这时正好抽了n 张牌的概率。 解 设4种花色为A 、B 、C 、D 。

{P 抽n 次只抽到A n

⎪⎭⎫

⎝⎛=41} 。

{P 抽n 次最多只抽到A 、Ｂn

⎪⎭

⎫

⎝⎛=42} 。

{P 抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ}

{P =抽n 次最多只抽到A 、Ｂ{}P -抽n 次只抽到A {}P -抽n 次只抽到Ｂ}

n

n n n n ⎪⎭⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=41242414142 。

{P 抽n 次最多只抽到A 、Ｂ、Ｃn

⎪⎭

⎫

⎝⎛=43} 。

{P 抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｃ}

{P =抽n 次最多只抽到A 、Ｂ、Ｃ{}P -抽n 次抽到且只抽到A 、Ｂ}

{P -抽n 次抽到且只抽到A 、Ｃ}{P -抽n 次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ}

{P -抽n 次只抽到A {}P -抽n 次只抽到Ｂ{}P -抽n 次只抽到Ｃ}

n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-413412423n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43n

n ⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-413423 。

{P 前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｃ，第n 次抽到Ｄ}

4

1

41342343111⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n n n 。

{P 第n 次抽，首次抽到４种花式}

{P =前1-n 次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ、Ｄ，第n 次抽到Ａ}

{P +前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｃ、Ｄ，第n 次抽到Ｂ} {P +前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｄ，第n 次抽到Ｃ} {P +前1-n 次抽到且只抽到A 、Ｂ、Ｃ，第n 次抽到Ｄ}

4

1

413423414111⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n n n

1

1

1

41342343---⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭

⎫

⎝⎛=n n n 1

1143233---+⋅-=n n n 。

３.r 个人相互传球，从甲开始。每次传球时，传球着可能把球传给其余1-r 个人中的任何一个。求：

（１）传了n 次球，球仍没有回到甲手里的概率。 （２）传了n 次（1-

解 （１）第１次从甲传出后，又传了1-n 次，每次都没有传给甲，即传给其余1-r 人中除了甲以外的2-r 人中的任何一人，这样的概率为

1

2

--r r ，1-n 次后的概率为 1

12-⎪⎭

⎫ ⎝⎛--n r r 。

（２）第１次，甲传给其余1-r 人中任何一人，概率为

1

1

--r r ； 第２次，传给其余1-r 人中除了甲以外的2-r 人中任何一人，概率为

1

2

--r r ； 第３次，传给其余1-r 人中除了已经接到球的人以外的3-r 人中任何一人，概率为

1

3

--r r ；

……

第n 次，传给其余1-r 人中除了已经接到球的人以外的n r -人中任何一人，概率为1

--r n

r 。 因此，所求概率为

)!

2()1()!

(1131211---=--⋅⋅--⋅--⋅--r r n r r n r r r r r r r n

。 （３）设

{P 第n 次传球时由甲传出n p =}， {P 第n 次传球时由非甲传出n p -=1} 。

由于

{P 第n 次传球时由甲传出}

{P =第1-n 次传球时由非甲传出{}P 传给甲｜第1-n 次传球时由非甲传出}，

所以有递推公式

1

1

)

1(1--=-r p p n n ， ,3,2=n 。 下面用数学归纳法证明：

r

r p n n 2

)1(11---=

， ,3,2,1=n 。

首先，当1=n 时，r r p 211)1(1

1---

=1)

1(1=--=r

r ，

第１次由甲传出，显然11=p ，公式成立。

设已知当k n =时，公式成立，有r

r p k k 2

)1(1

1---

=

，下面看1+=k n 时：

11)1(1

--=+r p p k k 11)1(1112

-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡---

=-r r

r k 11)1(112

-⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎢⎣⎡

-+-=-r r r r k r

r k 2

)1()1(1

1-+--=

。

公式也成立。所以，对任何 ,3,2,1=n ，公式都成立。