解耦控制问题

x c Ac xc Bc e yc xc
其中

Ac qm*qm blockdiag {, , , },
q
Bc blockdiag { , , , },
q
0 0 0 u [ K
0 0 , 0 0 1 1 m 1 1 x K c ] xc 1
r (t ) 0时 N w ( s) D c ( s) ( s ) Yw ( s) D c ( s) D( s) ( s ) N c ( s) N ( s ) Dw ( s ) yw (t ) 0, t w(t ) 0时 D c ( s) D( s) N r ( s) ( s) R( s ) Yr ( s) D c ( s) D( s) ( s ) N c ( s) N ( s ) Dr ( s ) e(t ) 0, t
定义： ij gij ( s)分母多项式的次数 分子多项式的次数
d i min{ i1 , i 2 ,, ip } 1 Ei lim s di 1 g i ( s)
s
i 1,2,, p
例：
1 s2 s2 s 1 s2 s 2 G(s) 1 3 2 2 s 2s 1 s s 4 则 11 1, 12 2, d1 min( 1,2) 1 0
-
Dc ( s )
N (s)
+
D ( s)
1
Y(s)
渐近跟踪: 扰动抑制: 无静差跟踪:
w(t ) 0, lim e(t ) 0
t
r (t ) 0, w(t ) 0, y () 0
r (t ) 0 & w(t ) 0 lim e(t ) 0
t
二.频域中SISO系统的无静差跟踪
以上假设等价于
x r Ar xr , xr (0)未知 r (t ) cr xr

x w Aw xw , xw (0)未知 w(t ) cw xw

只研究 Dr (s) 0, Dw (s) 0 的根含有零点或正实部 的情况. 设ø (s)是给定信号和扰动信号不稳定极点的最小公倍式 则ø (s)的所有根具有０或正实部 可以证明，若ø (s)的根都不是G(s)的零点,则必存在具有真 传递函数的补偿器,使单位反馈系统渐近稳定,并实现渐 近跟踪和扰动抑制. 系统结构
E E p
二.静态解耦
{A, B, C} {A BK, BL, C}
{K , L}
如果闭环系统 (1)渐近稳定 G KL ( s ) (2) G KL ( s) 虽为非对角矩阵,但 lim s 0 为非奇异对角常阵 则称{A,B,C}是静态解耦的. 注:静态解耦只适于参考输入的各个分量是 阶跃信号的情况.
L [C( A BK) B] D, 则GKL (0) D
5.6 跟踪问题:无静差性和鲁棒控制
一.问题的提出 SISO系统:对象 设计补偿器
N c ( s) Dc ( s)
G( s)
N ( s) D( s )
,使输入y(t)跟踪参考输入r(t).
W(s)
R( s )
+ e
N c (s)
(2) rank
A B n p, 且L非奇异. C 0
综合步骤: (1)首先判断是否满足可静态解耦的条件; (2)按极点配置算法,设计状态反馈增益矩阵K,使(A-BK)特 征值均具有负实部; ~ ~ ~ (3)确定稳态增益 D diag(d 11,, d pp ) (4) ~ 1 1 ~
y () lim sGKL ( s )v( s )
s
1 1 lim sGKL ( s ) s s p 1 {lim GKL ( s )} s p
可静态解耦的条件: 存在{K,L},使{A,B,C}可静态解耦的充分必要条件是 (1){A,B,C}是用状态反馈能镇定的;
d1 1
以上定义各个量可从传递函数直接计算出 它们和状态空间描述{A，B，C}的关系？ 结论: d 是使c Ak B 0的正整数k的最小值
i i
当ci A B 0, k n时, 定义d i n 1
k
Ei lim s di 1 g i ( s) ci Ad i B 0 当系统采用状态反馈后 A A BK B BL di di Ei Ei L
21 2, 22 2, d 2 min(2,2) 1 1
1 s2 E1 lim s g1 ( s ) lim s 2 [1 0] 2 s s s s 1 s s 2 1 3 d 2 1 2 E2 lim s g 2 ( s ) lim s 2 [1 3] 2 s s s 2s 1 s s 4
显然，耦合，即每个控制量控制多个输出量 每个输出量受多个输入量控制 如果引入一适当的补偿器，使每个输入仅控制一个输出 每个输出仅由一个输入控制 则称此系统解耦了。 定义： 如果多变量系统的传递函数矩阵是非奇异对角矩 阵，则称其为解耦的。 采用状态反馈
u (t ) Kx Lv
K p*n 实值常值矩阵 L p* p 非奇异常值矩阵
三.时域中的MIMO系统
频域中SISO系统的无静差控制为在时域中研究 MIMO系统提供思路. 1 补偿器两部分:内模 1 (s) I
( s)
q
使系统稳定的补偿器--------状态反馈
w
Bw
xc
r
x c Ac xc Bc e

Dw
Kc
-
-
{ A, B, C, D}
y K
伺服补偿器
r (s),w (s) 分别是 Ar , Aw 的最小多项式 ( s) 是 r (s),w (s) 位于右半闭S平面上的根
因式的最小公倍式.
显然, 设
( s) 含有 Ar , Aw 的所有不稳定特征根
(s) s m m1s m1 1s 0
内模 1 (s) I q 由下式实现
• 定理:系统可实现无静差跟踪的充要条件是
(1) dim(u ) dim( y ) (2)对 ( s ) 0的每一个根i , 成立 i I A B rank n q, i 1,2, , m D C
• 作业:5.7, 5.9(iii), 5.14, 5.15
定理:具有传递函数G(s)的线性定常系统{A,B,C} 可通过状态反馈 u (t ) Kx Lv 解耦的充 分必要条件是E非奇异. E1
如取
c1 Ad1 1 F c p Ad p 1 K E 1 F , L E 1 1 0 s d1 1 GKL ( s ) 1 0 d p 1 s
只研究 t 时, r (t ) 0 & w(t ) 0的情况. 必须对信号(给定和扰动)的性质有一定的了解. N ( s) 设 R( s) L[r (t )] r D r ( s)
N w ( s) W ( s) L[ w(t )] D w ( s) 分母已知,分子未知,只保证主严格真.
W(s)
R( s )
Байду номын сангаас
+ e
N c (s)
-
Dc ( s)
1 ( s)
N (s)
+
D ( s)
1
Y(s)
N c ( s) N ( s) G( s ) Dc (s) D(s) (s) N c (s) N (s)
渐近稳定 D c ( s) D( s) ( s) N c ( s) N ( s) 0 的根均具负实部
则系统结构如下：
v
L
+ u
-
B

A
K
x
C
y
闭环系统为
x ( A BK ) x BLu y Cx G KL ( s ) C ( sI A BK ) 1 BL

研究G(s)什么条件下可解耦
g1 ( s ) g (s) 2 , 其中g ( s ) [ g ( s ), g ( s ),, g ( s )] G( s) i i1 i2 ip g p ( s)
镇定补偿器
• 对象
x Ax Bu Bw w y Cx Du Dw w { A, B, C}能控, 能观

• 干扰信号 x w Aw xw , xw (0)未知

w(t ) Cw xw
x r Ar xr , xr (0)未知 r (t ) Cr xr

• 参考信号 令
以上补偿器由两部分构成: 1 参考信号和扰动信号的模型 ( s) 使闭环系统稳定的部分 N c ( s ) D c (s)
在回路中引入(复制)参考信号和扰动信号的模型 1 ( s) 这种方法常称为内模原理. 1 ( s) 称为内模. N ( s) 对象 G( s)
D( s )
的参数变化称为参数摄动. • 在以上方法中,对象和补偿器的参数变化即使很大,但只 要 D c ( s) D( s) ( s) N c ( s) N ( s) 0 的根保持有负实部,就可实现无静差跟踪.系统对参数 摄动具有鲁棒性. • ø (s)的摄动不允许,否则不能实现精确的零极对消.
5.5 解耦控制问题
一 .动态解耦问题
对象：p个输入，p个输出
x Ax Bu y Cx G( s) C ( sI A) 1 B

若系统的初始状态为0，则
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u2 ( s ) g1 p ( s )u p ( s ) y2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u2 ( s ) g 2 p ( s )u p ( s ) y p ( s ) g p1 ( s )u1 ( s ) g p 2 ( s )u2 ( s ) g pp ( s )u p ( s )