高考数学专题圆锥曲线(解答题)
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程.(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足:①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围.2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0.(Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;(Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若=. 求证:.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa.(1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;(2)若2<tanα<3,求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+(a>b>0)的离心率36=e,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为23(1)求椭圆的方程(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C D两点问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中,ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ,)0,1(B ,平面内两点M G ,同时满足下列条件: ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB(1)求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程;(2)过点)0,3(P 的直线l 与(1)中轨迹交于F E ,两点,求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,,j i,为直角坐标平面内x 轴.y 轴正方向上的单位向量,若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=,且8||||=+b a(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设曲线C 上两点A .B ,满足(1)直线AB 过点(0,3),(2)若OB OA OP +=,则OAPB 为矩形,试求AB 方程.8. 已知抛物线C :)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点,C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上,l 与C 交于不同的两点A 、B ,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N (p ,0).(Ⅰ)求抛物线C 的方程; (Ⅱ)求实数p 的取值范围;(Ⅲ)若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线,试求Q 的短轴的端点的轨迹方程.9. 如图,椭圆的中心在原点,长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点,且|CD|=21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ,设λ=EC AE ,当4332≤≤λ时,求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点(点A 在y 轴正半轴上).若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; 若角A 为090,AD 垂直BC 于D ,试求点D 的轨迹方程.11. 如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点,点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ,证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=,过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线,求圆C 的方程.12. 已知动点P (p ,-1),Q (p ,212p +),过Q 作斜率为2p 的直线l ,P Q 中点M 的轨迹为曲线C.(1)证明:l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点; (2)若(1)中的其中一个公共点为A ,证明:AP 是曲线C 的切线; (3)设直线AP 的倾斜角为α,AP 与l 的夹角为β,证明:βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ,12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2,动点P 满足22|PF ||PF |21=,动点P 的轨迹为曲线C ,曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ,直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,△ABO 的面积为7,(1)求曲线C 的方程;(2)求m 的值。
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)1.(2023春·福建泉州·高三阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,已知点,直线:,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,分别以PQ ,PF 为直径作圆和圆,且圆和圆交于P ,R 两点,且.(1)求动点的轨迹E 的方程;(2)若直线:交轨迹E 于A ,B 两点,直线:与轨迹E 交于M ,D 两点,其中点M 在第一象限,点A ,B 在直线两侧,直线与交于点且,求面积的最大值.【解析】(1)设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.(2)直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设, 所以, 得,所以, 所以直线方程为:,联立,得 由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一:令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以, 所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二:最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:, 当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2.(2023·北京·高三专题练习)已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,,一个焦点为. (1)求椭圆的标准方程;(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点,直线分别与直线相交于两点,若为锐角,求直线斜率的取值范围. 【解析】(1)由题意知:椭圆的离心率因为一个焦点为,所以,则由可得:,所以椭圆的标准方程为. (2)设直线的方程为,, 联立方程组,整理可得:,则有, 由条件可知:直线所在直线方程为:, 因为直线与直线相交于 所以,同理可得:, 则, 若为锐角,则有, 所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++,则,解得:或, 所以或或, 故直线斜率的取值范围为. 3.(2023·青海海东·统考一模)已知函数.(1)求曲线在处的切线方程;(2)若在点处的切线为,函数的图象在点处的切线为,,求直线的方程.【解析】(1),,则,所以曲线在处的切线方程为,即.(2)设,令,则. 当时,; 当时,.所以在上单调递增,在上单调递减,所以在时取得最大值2,即.,当且仅当时,等号成立,取得最小值2. 因为,所以,得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即,所以直线的方程为,即. 4.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知椭圆的左右焦点分别为,右顶点为A ,上顶点为B ,O 为坐标原点,.(1)若的面积为的标准方程;(2)如图,过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ,N ,点M 关于x 轴对称的点为S ,直线交x 轴于点T ,点P 在椭圆的内部,在椭圆上存在点Q ,使,记四边形的面积为,求的最大值.【解析】(1),∴,,解得的标准方程为:. (2),∴,椭圆,令,直线l 的方程为:, 联立方程组: ,消去y 得,由韦达定理得,,()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有 ,因为:,所以, , 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得: , 而此时: . 令,所以直线 , 令得 , 由韦达定理化简得,,而, O 点到直线l 的距离, 所以:,,因为点P 在椭圆内部,所以 ,得,即令 ,求导得 ,当,单调递增; 当 ,即,单调递减.所以:,即5.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :的右顶点为,过左焦点F 的直线交椭圆于M ,N 两点,交轴于P 点,,,记,,(为C 的右焦点)的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明:为定值;(2)若,,求的取值范围.【解析】(1)由题意得F ,,所以椭圆C 的标准方程为:.设,显然,令,,则,则,,由得,解得,同理. 联立,得. ,从而(定值) (2)结合图象,不妨设,,,, λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−()21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得 代入,有,则, 解得 ,,设,则,设,则,令,解得,解得,故在上单调递减,在上单调递增,则且,则,则. 6.(2023·四川成都·统考二模)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的直线与该椭圆交于两点,且的方程. 【解析】(1)由已知得,解得,,所求椭圆的方程为;(2)由(1)得.①若直线的斜率不存在,则直线的方程为,由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −、l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设, ,这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在,设直线直线的斜率为,则直线的方程为,设,联立, 消元得,,,又,, 化简得,解得或(舍去)所求直线的方程为或.7.(2023·全国·高三专题练习)设分别是椭圆的左、右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆于两点,到直线的距离为3,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程;(2)已知点,设是椭圆上的一点,过两点的直线交轴于点,若,1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭、()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y 、()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围;(3)作直线与椭圆交于不同的两点,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.【解析】(1)设的坐标分别为,其中; 由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3,解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4,所以,即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.(2)由(1)知椭圆的方程为,设,因为,所以所以,代入椭圆的方程, 所以,解得或.(3)由,设根据题意可知直线的斜率存在,可设直线斜率为,则直线的方程为,把它代入椭圆的方程,消去整理得: 由韦达定理得则,; 所以线段的中点坐标为. (i )当时,则,线段垂直平分线为轴,λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是,由解得(ii )当时,则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点,令,得;于是由, 解得综上可得实数的值为8.(2023·全国·高三专题练习)如图所示,为椭圆的左、右顶点,焦距长为在椭圆上,直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)已知为坐标原点,点,直线交椭圆于点不重合),直线交于点.求证:直线的斜率之积为定值,并求出该定值. 【解析】(1)由题意,,设,,由题意可得,即,可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以,椭圆的方程为;(2)由题意知,直线的斜率存在,设直线,且联立,得 由,得,所以, 设,由三点共线可得所以,直线的斜率之积为定值.9.(2023·全国·高三专题练习)已知,分别是椭圆的上、下焦点,直线过点且垂直于椭圆长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点,点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程;(2)若动点在直线上运动,且过点作轨迹的两条切线、,切点为A 、B ,试猜想与的大小关系,并证明你的结论的正确性.【解析】(1),,椭圆半焦距长为,,,,动点到定直线与定点的距离相等,动点的轨迹是以定直线为准线,定点为焦点的抛物线,轨迹的方程是;(2)猜想证明如下:由(1)可设,,,则,切线的方程为:同理,切线的方程为: 联立方程组可解得的坐标为, 在抛物线外,,,2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10.(2023春·江西·高三校联考阶段练习)已知椭圆+=1(a >b >0),右焦点F (1,0),,过F作两条互相垂直的弦AB ,CD .(1)求椭圆的标准方程;(2)求以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】(1)由题意知,,又,所以,所以,所以椭圆的标准方程为;(2)①当直线与中有一条直线的斜率为0时,另一条直线的斜率不存在,不妨设直线的斜率为0,的斜率不存在,则直线方程为,直线的方程为,联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积. ②当两条直线的斜率均存在且不为0时,设直线的方程为,1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为. 将直线的方程代入椭圆方程,整理得,方程的判别式,设, 所以, ∴, 同理可得, ∴四边形ADBC 的面积 , ∵,当且仅当时取等号,∴四边形ADBC 的面积,综上①②可知,四边形ADBC 的面积的取值范围为.11.(2023·全国·高三专题练习)如图,椭圆,经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ,Q (均异于点,证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2.CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点,则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得,由已知,由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的左右焦点分别为,,,,是椭圆上的三个动点,且,,若,求的值.【解析】由题可知,设,,,由,得, 满足,可得,()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足,可得,由,可得, 所以,∴,, 又,∴, 同理可得, ∴, 所以,又,所以.13.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的离心率为,且直线被椭圆. (1)求椭圆的方程;(2)以椭圆的长轴为直径作圆,过直线上的动点作圆的两条切线,设切点为,若直线与椭圆交于不同的两点,,求的取值范围.【解析】(1)直线,经过点,,被椭圆,可得.又,,解得:,,, ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为.(2)由(1)可得:圆的方程为:.设,则以为直径的圆的方程为:,与相减可得:直线的方程为:,设,,,,联立,化为:,,则,,故又圆心到直线的距离,令,则,可得,可得:14.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的两个焦点,,动点在椭圆上,且使得的点恰有两个,动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程;(2)如图,以椭圆的长轴为直径作圆,过直线作圆的两条切线,设切点分别为,,若直线与椭圆交于不同的两点,,求弦长的取值范围. 【解析】(1)设半焦距为,由使得的点恰有两个可得, 动点到焦点的距离的最大值为,可得所以椭圆的方程是. (2)圆的方程为,设直线的坐标为.设,连接OA ,因为直线为切线,故,否则直线垂直于轴,则与直线若,则,故, 故直线的方程为:, 整理得到:;当时,若,直线的方程为:;若,则直线的方程为:, 满足.故直线的方程为,同理直线的方程为, 又在直线和上,即,故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立,消去得,设,. 则, 从而, 又,从而,所以. 15.(2023·全国·高三专题练习)已知、分别为椭圆的左、右焦点,且右焦点的坐标为,点在椭圆上,为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点,且的方程; (3)过椭圆上异于其顶点的任一点,作圆的两条切线,切点分别为,(,224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上),若直线在轴、轴上的截距分别为、,那么是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由. 【解析】(1)椭圆的右焦点的坐标为,椭圆的左焦点的坐标为,由椭圆的定义得, 所以,由题意可得,即,即椭圆的方程为;(2)直线与椭圆的两个交点坐标为,, ①当直线垂直轴时,方程为:,代入椭圆可得,舍去;②当直线不垂直轴时,设直线联立,消得,,则,,恒成立., 又, N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得,,即,解得或(舍去),所以,直线方程的方程为或. (3)是定值,定值为2.设点,,,连接,,,,则有,. ,不在坐标轴上,则,, 则,, 直线的方程为,即,① 同理直线的方程为,②,将点代入①②,得,显然,满足方程,直线的方程为,分别令,,得到,,,,又满足,,即.16.(2023·全国·高三专题练习)某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质:椭圆在任意一点,处的切线方程为.现给定椭圆,过的右焦点的直线交椭圆于,两点,过,分别作的两条切线,两切线相交于点. (1)求点的轨迹方程;(2)若过点且与直线垂直的直线(斜率存在且不为零)交椭圆于,两点,证明:为定值. 【解析】(1)由题意F 为,设直线为,,,,, 易得在点处切线为,在点处切线为, 由得,又,,可得,故点的轨迹方程.(2)证明:联立的方程与的方程消去,得.由韦达定理,得,,所以,因为,直线MN 可设为,同理得, 所以.2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2,求△PAQ的面积.【答案】解:(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1,化简得a4−4a2+4=0得:a2=2,故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则联立直线与双曲线得:(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0,△>0,故x1+x2=−4km2k2−1,x1x2=2m2+22k2−1,k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0,化简得:2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0,故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0,即(k+1)(m+2k−1)=0,而直线l不过A点,故k=−1.(2)设直线AP的倾斜角为α,由tan∠PAQ=2√2,得tan∠PAQ2=√22,由2α+∠PAQ=π,得k AP=tanα=√2,即y1−1x1−2=√2,联立y 1−1x1−2=√2,及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23,y 1=4√2−53, 同理,x 2=10+4√23,y 2=−4√2−53, 故x 1+x 2=203,x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|,|AQ|=√3|x 2−2|, 由tan∠PAQ =2√2,得sin∠PAQ =2√23, 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29. 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ,B 两点,点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)在C 上,且x 1>x 2>0,y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ,从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件,证明另一个条件成立: ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|.【答案】解:(1)由题意可得ba =√3,√a 2+b 2=2,故a =1,b =√3. 因此C 的方程为x 2−y 23=1.(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0),将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0, 则x 1+x 2=2km3−k 2,x 1x 2=−m 2+33−k 2,x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2.不段点M 的坐标为(x M ,y M ),则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2).两式相减,得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2),而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2),故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2),解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2.两式相加,得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2),而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ,故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ,解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此,点M 的轨迹为直线y =3k x ,其中k 为直线PQ 的斜率. 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2),并设A 的坐标为(x A ,y A ),B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A,解得x A =k−√3,y A =√3kk−√3.同理可得x B =k+√3,y B =√3kk+√3.此时x A +x B =4k 2k 2−3,y A +y B =12kk 2−3.而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M , 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2,y M =6kk 2−3=y A +y B2,故M 为AB 的中点,即|MA|=|MB|. 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时,点M 即为点F(2,0),此时M 不在直线y =3k x 上,矛盾.故直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0), 并设A 的坐标为(x A ,y A ),B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A,解得x A =p−√3,y A =√3pp−√3.同理可得x B =p+√3,y B =−√3pp+√3.此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3,y M =y A +y B2=6pp 2−3.由于点M 同时在直线y =3k x 上,故6p =3k ·2p 2,解得k =p.因此PQ//AB . 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2),并设A 的坐标为(x A ,y A ),B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3,y A =√3kk−√3.同理可得x B =k+√3,y B =√3kk+√3,设AB 的中点为C(x C ,y C ),则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3,y C =y A +y B2=6kk 2−3.由于|MA|=|MB|,故M 在AB 的垂直平分线上,即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上.将该直线与y =3k x 联立,解得x M =2k 2k 2−3=x C ,y M =6kk 2−3=y C ,即点M 恰为AB 中点,故点而在直线AB 上. 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查开放探究能力,属于压轴题.主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题,属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一,难度较大,对学生的综合要求较高。
高考数学专题综合训练圆锥曲线(分专题,含答案)
20XX 年高考圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程:1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :2213649x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73,求双曲线1C 的方程.(2)以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程.(1)解:1C的焦点坐标为(0,2e =由1273e e =得1e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩.代入2008y x =得:2412y x =-.此即为点P 的轨迹方程.2、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点,P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点,N 为椭圆C 上异于M 的另一点,且MN ⊥MQ ,QN 与PT 的交点为E ,当M 沿椭圆C 运动时,求动点E 的轨迹方程.解:设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由(1)-(2)可得1.3M N Q Nk k∙=-…6分又MN ⊥MQ ,111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-,又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入(1)可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题:3、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点1(0,F -,对应的准线方程为y =.(1)求椭圆的方程;(2)直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ,且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分,求直线l 的方程.解:(1)由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=(2)易知直线l 的斜率一定存在,设l :313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2),由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根,则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k++=-+ ∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭∴223 1.9k k k +-=-+∴2239k k k +=+,解得k=3.代入①中,229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l :y=3x+3符合要求.4、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ,对应的准线为429-=y ,离心率e 满足34,,32e 成等比数列. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线l ,使l 与椭圆交于不同的两点B A ,,且线段AB 恰好被直线21-=x 平分?若存在,求出直线l 的倾斜角α的取值范围;若不存在,说明理由.解 : (Ⅰ)由题意知,9834322=⋅=e ,所以322=e .设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ,则由椭圆的第二定义得, 322429)22(22=+++y y x ,化简得1922=+y x ,故所求椭圆方程为1922=+y x . (Ⅱ)设),(),,(2211y x B y x A ,AB 中点),(00y x M ,依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ,可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x .若直线l 存在,则点M 必在椭圆内,故19)21(202<+-y ,解得0233233000<<-<<y y 或.将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x )1()2(-得,09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x , 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=,所以ABk y 290=,则有029233233290<<-<<ABAB k k 或, 解得33-<>AB AB k k 或,故存在直线l 满足条件,其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈. 三、定义与最值:5、已知动点P 与双曲线22x -32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6.(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若1PF •2PF =3,求⊿PF 1F 2的面积; (Ⅲ)若已知D(0,3),M 、N 在轨迹C 上且DMDN ,求实数的取值范围.解:①92x +42y =1;②2;③[51,5]四、弦长及面积:6、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ,即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5221mx x -=+,51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =. 7、已知ABC △的顶点A B ,在椭圆2234x y +=上,C 在直线2l y x =+:上,且AB l ∥. (Ⅰ)当AB 边通过坐标原点O 时,求AB 的长及ABC △的面积; (Ⅱ)当90ABC ∠=,且斜边AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程.解:(Ⅰ)因为AB l ∥,且AB 边通过点(00),,所以AB 所在直线的方程为y x =.设A B ,两点坐标分别为1122()()x y x y ,,,. 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩,得1x =±.所以12AB x =-=. 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离.所以h =122ABC S AB h ==△. (Ⅱ)设AB 所在直线的方程为y x m =+,由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩,得2246340x mx m ++-=.因为A B ,在椭圆上,所以212640m ∆=-+>.设A B ,两点坐标分别为1122()()x y x y ,,,,则1232mx x +=-,212344m x x -=,所以122AB x =-=.又因为BC 的长等于点(0)m ,到直线l 的距离,即BC =22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++.所以当1m =-时,AC 边最长,(这时12640∆=-+>) 此时AB 所在直线的方程为1y x =-. 五、范围问题:8、已知椭圆13422=+y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点. ∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
(一)数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠. 解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为x=1.由已知可得,点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. (2)当l 与x 轴重合时,0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,1221(,),(,)A y x y x B ,则12x x <<MA ,MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以,21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以OMA OMB ∠=∠.综上,OMA OMB∠=∠.已知椭圆C:2222=1x ya b+(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,P4(1,C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.解:(1)由于3P,4P两点关于y轴对称,故由题设知C经过3P,4P两点.又由222211134a b a b+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知0t≠,且||2t<,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,).则121k k+-=-,得2t=,不符合题设.从而可设l:y kx m=+(1m≠).将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2841kmk-+,x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时,0∆>,欲使l :12m y x m +=-+,即11(2)2m y x ++=--,所以l 过定点(2,1-) 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C1,直线l 交C1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】(I )13422=+y x (0≠y );(II ))38,12[ 【解析】试题分析:(I )利用椭圆定义求方程;(II )把面积表示为关于斜率k 的函数,再求最值。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时,求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值.7.已知抛物线1C :28x y =的焦点点,1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程;(2)过F 的直线l 与1C 交于A ,(i )若AC BD =,求直线l 的斜率;(ii )设1C 在点A 处的切线与系.8.已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)点()0,1Q -,点P (与Q 不重合)在直线切线,切点分别为,A B .求证:9.已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点.a b (1)求椭圆的方程;(2)P 是椭圆C 上的动点,过点P 作椭圆为坐标原点)的面积为5217,求点12.过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案:)(),0a-,(),0F c,所以AF时,在双曲线方程中令x c=,即2bBFa=,又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形,即易知2BFA BAF ∠=∠;当BF 与AF 不垂直时,如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+,002tan 2y x aBAF +∠=4.(1)21±2(2)证明见解析.【分析】(1)求出椭圆左焦点F1 1x5.(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式可解;【点睛】方法技巧:圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域问题,综合性比较强,解法灵活多样,但主要有两种方法:(1)几何转化代数法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决;(2)函数取值法:若题目的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域),常用方法:三角换元法;(5)平面向量;(7.(1)2213x y -=(2)(i )36±;(ii )点F 在以【分析】(1)根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标,结合同焦点建立方程组求解可得;(2)(i )设()11,A x y ,(2,B x 物线方程和双曲线方程,利用韦达定理,结合以及点M 坐标,利用FA FM ⋅【详解】(1)1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46,且所以公共点的横坐标为26±,代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩,得28160x kx --=,Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--,342931x x k =-,9.(1)2212x y +=,2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】(1)用b 表示12,e e ,由12e e ⋅=10.(1)2222114222x y x y +=-=,;(2)1;(3)是,=1x -【分析】(1)根据椭圆和双曲线的关系,结合椭圆和双曲线的性质,求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦,又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ,所以可设直线l 的方程为由22x y =,得212y x =,得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩,得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1,2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.2.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |.3.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ带解析)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点,(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由.6.2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3) 已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明;(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.7.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA . (Ⅰ)当t=4,AM AN =时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围.设圆的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.9.2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10.2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,. (1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明:FA ,FP ,FB 成等差数列,并求该数列的公差.已知椭圆C :2222=1x y a b +(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1P 4(1中恰有三点在椭圆C 上. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点.12.2018年全国普通高等学校招生统一考试理数(全国卷II )设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.13.2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I 卷)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠.14.2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I 卷)设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN ∠=∠.15.2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点.线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >.(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=.证明:2FP FA FB =+.16.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标1卷)设A 、B 为曲线C :24x y =上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM BM ⊥,求直线AB 的方程.17.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标2卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C 22:12x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18.2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3卷)在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1).当m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由;(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19.(2016新课标全国卷Ⅰ文科)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . (Ⅰ)求OH ON;(Ⅱ)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.20.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅱ)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,点在C 上(1)求C 的方程(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点,A B ,线段AB 的中点为M .证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21.2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)已知曲线2:,2x C y D =,为直线12y上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为,A B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求该圆的方程.22.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国Ⅱ卷带解析)设1F , 2F 分别是椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点, M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a , b .23.2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ) 已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.(1)求的轨迹方程;(2)当时,求的方程及的面积24.2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM ON ⋅=12,其中O 为坐标原点,求|MN |.一、解答题1,2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)已知曲线C :y =22x ,D 为直线y =12-上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B .(1)证明:直线AB 过定点: (2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解;(2) 3或【分析】(1)可设11(,)A x y ,22(,)B x y ,1(,)2D t -然后求出A ,B 两点处的切线方程,比如AD :1111()2y x x t +=-,又因为BD 也有类似的形式,从而求出带参数直线AB 方程,最后求出它所过的定点.(2)由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立,再通过M 为线段AB 的中点,EM AB ⊥得出t 的值,从而求出M 坐标和EM 的值,12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离,则12d d ==,结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明:设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =. 又因为212y x =,所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x , 故1111()2y x x t +=-,整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ,同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ,而两个不同的点确定一条直线,所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=,当20,210x y =-+=时等式恒成立.所以直线AB 恒过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=, 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离,则12d d ==.因此,四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点,则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭, 由于EM AB ⊥,而()2,2EM t t =-,AB 与向量(1,)t 平行,所以()220t t t +-=,解得0t =或1t =±.当0t =时,3S =;当1t =±时S =因此,四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型,属于常规题型,按部就班的求解就可以.思路较为清晰,但计算量不小. 2.2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ) 已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |. 【答案】(1)12870x y --=;(2【分析】(1)设直线l :32y x m =+,()11,A x y ,()22,B x y ;根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m 的方程,解方程求得结果;(2)设直线l :23x y t =+;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用3AP PB =可得123y y =-,结合韦达定理可求得12y y ;根据弦长公式可求得结果. 【详解】(1)设直线l 方程为:32y x m =+,()11,A x y ,()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=,解得:78m =-∴直线l 的方程为:3728y x =-,即:12870x y --= (2)设(),0P t ,则可设直线l 方程为:23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=,123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-,13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系. 3.2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点.(1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.【答案】(1)2214x y += (2)2y x =-【解析】试题分析:设出F ,由直线AFc ,结合离心率求得a ,再由隐含条件求得b ,即可求椭圆方程;(2)点l x ⊥轴时,不合题意;当直线l 斜率存在时,设直线:2l y kx =-,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得k 的范围,再由弦长公式求得PQ ,由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出k 值,则直线方程可求. 试题解析:(1)设(),0F c ,因为直线AF,()0,2A -所以23c =,c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==,所以椭圆E 的方程为2214x y +=.(2)解:设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为:2y kx =-,联立221{42,x y y kx +==-,消去y 得()221416120k x kx +-+=,当()216430k ∆=->,所以234k >,即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>,则2243k t =+,244144OPQ t S t t t∆==≤=++, 当且仅当2t =2=,解得k =时取等号, 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为:2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.4.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅱ)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,47-或47+. 【解析】试题分析:(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线OM 的斜率,再表示;(2)第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x ,直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标,第二步再整理点的坐标,如果能构成平行四边形,只需,如果有值,并且满足0k >,3k ≠的条件就说明存在,否则不存在.试题解析:解:(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y .∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=, ∴12229M x x kbx k +==-+,299M M b y kx b k =+=+. ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-,即9OM k k ⋅=-. 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. ∵直线l 过点(,)3mm ,∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x . ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得,即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M mk k x k -=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+.解得147k =247k =.∵0,3i i k k >≠,1i =,2,∴当l 的斜率为47-或47+时,四边形OAPB 为平行四边形. 考点:直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦,当直线与圆锥曲线相交时,点是弦的中点,(1)知道中点坐标,求直线的斜率,或知道直线斜率求中点坐标的关系,或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时,也可以选择点差法,设,,代入椭圆方程,两式相减,化简为,两边同时除以得,而,,即得到结果,(2)对于用坐标法来解决几何性质问题,那么就要求首先看出几何关系满足什么条件,其次用坐标表示这些几何关系,本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分,即2P M x x =,分别用方程联立求两个坐标,最后求斜率.5.2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ带解析)在直角坐标系xoy 中,曲线C :y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点,(Ⅰ)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由. 【答案】(Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=(Ⅱ)存在 【详解】试题分析:(Ⅰ)先求出M,N 的坐标,再利用导数求出M,N.(Ⅱ)先作出判定,再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程,设出M,N 的坐标和P 点坐标,利用设而不求思想,将直线PM ,PN 的斜率之和用a 表示出来,利用直线PM ,PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系,从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析:(Ⅰ)由题设可得(2,)M a a ,(2,)N a -,或(22,)M a -,,)N a a .∵12y x '=,故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-,即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ,C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+,即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为复合题意得点,11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线PM ,PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时,有12k k +=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN ,所以(0,)P a -符合题意.考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力 6.2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3) 已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点.(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明;(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:设的方程为.(1)由在线段上,又;(2)设与轴的交点为(舍去),.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时.当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为.试题解析:由题设,设,则,且.记过两点的直线为,则的方程为.............3分(1)由于在线段上,故,记的斜率为的斜率为,则,所以..................5分(2)设与轴的交点为,则,由题设可得,所以(舍去),.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时,由可得.而,所以.当与轴垂直时,与重合,所以,所求轨迹方程为.........12分考点:1.抛物线定义与几何性质;2.直线与抛物线位置关系;3.轨迹求法.7.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA ⊥NA . (Ⅰ)当t=4,AM AN =时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)14449;(Ⅱ))2.【解析】试题分析:(Ⅰ)先求直线AM 的方程,再求点M 的纵坐标,最后求AMN 的面积;(Ⅱ)设()11,M x y ,写出A 点坐标,并求直线AM 的方程,将其与椭圆方程组成方程组,消去y ,用,t k 表示1x ,从而表示AM ,同理用,t k 表示AN ,再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析:(Ⅰ)设()11,M x y ,则由题意知10y >,当4t =时,E 的方程为22143x y +=,()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =,所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.(Ⅱ)由题意3t >,0k >,()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+,故1AM x =+=.由题设,直线AN 的方程为(1y x k =-+,故同理可得AN ==,由2AM AN =得22233k tk k t=++,即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立,因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--, 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<,或320{20k k -<->,解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题,常把所求参数作为函数值,另一个元作为自变量求解.8.2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标1卷) 设圆的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆定义求方程;(Ⅱ)把面积表示为关于斜率k 的函数,再求最值。
2024年高考数学题源追溯专题15 圆锥曲线综合(解析版)
专题15 圆锥曲线综合目录一览2023真题展现考向一直线与双曲线综合考向二直线与抛物线综合真题考查解读近年真题对比考向一直线与双曲线综合考向二直线与圆锥曲线综合命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与双曲线综合1.(2023•新高考Ⅱ•第21题)已知双曲线C中心为坐标原点,左焦点为(﹣25,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(﹣4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明P在定直线上.解:(1)双曲线C中心为原点,左焦点为(﹣25,0),离心率为5,则c2=a2+b2c=25e=ca=5,解得a=2b=4,故双曲线C的方程为x24−y216=1;(2)证明:过点(﹣4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,则可设直线MN的方程为x=my﹣4,M(x1,y1),N(x2,y2),记C的左,右顶点分别为A1,A2,则A1(﹣2,0),A2(2,0),联立x=my−44x2−y2=16,化简整理可得,(4m2﹣1)y2﹣32my+48=0,故Δ=(﹣32m )2﹣4×48×(4m 2﹣1)=264m 2+192>0且4m 2﹣1≠0,y 1+y 2=32m4m 2−1,y 1y 2=484m 2−1,直线MA 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2),直线NA 2方程y =y 2x 2−2(x−2),故x +2x−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=y 2(my 1−2)y1(my 2−6)=my 1y 2−2(y 1+y 2)+2y 1my 1y 2−6y 1 =m ⋅484m 2−1−2⋅32m4m 2−1+2y 1m ⋅484m 2−1−6y 1=−16m4m 2−1+2y 148m4m 2−1−6y 1=−13,故x +2x−2=−13,解得x =﹣1,所以x P =﹣1,故点P 在定直线x =﹣1上运动.考向二 直线与抛物线综合2.(2023•新高考Ⅰ•第22题)在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,)的距离,记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程;(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于3.解:(1)设点P 点坐标为(x ,y ),由题意得|y |=,两边平方可得:y 2=x 2+y 2﹣y +,化简得:y =x 2+,符合题意.故W 的方程为y =x 2+.(2)解法一:不妨设A ,B ,C 三点在W 上,且AB ⊥BC .设A (a ,a 2),B (b ,),C (c ,),则,.由题意,=0,即(b ﹣a )(c ﹣b )+(b 2﹣a 2)(c 2﹣b 2)=0,显然(b ﹣a )(c ﹣b )≠0,于是1+(b +a )(c +b )=0.此时,|b +a |.|c +b |=1.于是min {|b +a |,|c +b |}≤1.不妨设|c +b |≤1,则a =﹣b ﹣,则|AB|+|BC|=|b﹣a|+|c﹣b|=|b﹣a|+|c﹣b|≥|b﹣a|+|c﹣b|≥|c﹣a|=|b+c+|.设x=|b+c|,则f(x)=(x+),即f(x)=,又f′(x)==.显然,x=为最小值点.故f(x)≥f()=,故矩形ABCD的周长为2(|AB|+|BC|)≥2f(x)≥3.注意这里有两个取等条件,一个是|b+c|=1,另一个是|b+c|=,这显然是无法同时取到的,所以等号不成立,命题得证.解法二:不妨设A,B,D在抛物线W上,C不在抛物线W上,欲证命题为|AB|+|AD|>.由图象的平移可知,将抛物线W y=x2不影响问题的证明.设A(a,a2)(a≥0),平移坐标系使A为坐标原点,则新抛物线方程为y′=x′2+2ax′,写为极坐标方程,即ρsinθ=ρ2cos2θ+2aρcosθ,即ρ=.欲证明的结论为||+||>,也即|﹣|+|+|>.不妨设||≥||,将不等式左边看成关于a的函数,根据绝对值函数的性质,其最小值当即a=时取得,因此欲证不等式为||>,即||>,根据均值不等式,有|cos θsin 2θ|=.≤.=,由题意,等号不成立,故原命题得证.【命题意图】考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,直线与圆锥曲线相交等.【考查要点】圆锥曲线综合是高考必考的解答题,难度较大.考查圆锥曲线标准方程的求解,考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题.考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想.【得分要点】1.圆锥曲线的定义(1)椭圆定义:12||||2PF PF a +=.(2)双曲线定义:12|||-|||2PF PF a =.(3)抛物线定义:|PF|=d .2.圆锥曲线的标准方程及几何性质(1)椭圆的标准方程与几何性质标准方程x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形范围−a ≤x ≤a ,−b ≤y ≤b −b ≤x ≤b ,−a ≤y ≤a对称性对称轴: x 轴、y 轴 .对称中心:原点 .焦点F 1(−c,0) ,F 2(c,0) .F 1(0,−c) ,F 2(0,c) .顶点A 1(−a,0) ,A 2(a,0) ,B 1(0,−b) ,B 2(0,b) .A 1(0,−a) ,A 2(0,a) ,B 1(−b,0) ,B 2(b,0) .轴线段A 1A 2,B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴,长轴长为2a ,短轴长为2b .几何性质焦距|F 1F 2|=2c .离心率e =ca =1−b 2a 2∈(0,1).a ,b ,c 的关系c 2=a 2−b 2.(2)双曲线的标准方程与几何性质F (﹣c ,0),F(c,0)F (0,﹣c ),F (0,c )(3标准方程y 2=2px(p >0)y 2=−2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=−2py (p >0)图形对称轴x 轴y 轴顶点O(0,0)焦点F(p 2,0)F(−p 2,0)F(0,p 2)F(0,−p 2)准线方程x =−p 2x =p 2y =−p 2y =p 2范围x ≥0 ,y ∈Rx ≤0 ,y ∈Ry ≥0 ,x ∈R y ≤0 ,x ∈R 离心率e =1几何性质焦半径(P(x 0,y 0)为抛物线上一点)p2+x 0p 2−x 0p2+y 0p 2−y 03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时,若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0),则直线必过定点(x0 ,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).(3)从特殊情况入手,先探究定点,再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程,一般先求出点的坐标,看横、纵坐标是否为定值,或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明,证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.考向一直线与双曲线综合3.(2022•新高考Ⅱ)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【解答】解:(1)由题意可得=,=2,解得a=1,b=,因此C的方程为x2﹣=1,(2)解法一:设直线PQ的方程为y=kx+m,(k≠0),将直线PQ的方程代入x2﹣=1可得(3﹣k2)x2﹣2kmx﹣m2﹣3=0,Δ=12(m2+3﹣k2)>0,∵x1>x2>0∴x1+x2=>0,x1x2=﹣>0,∴3﹣k2<0,∴x1﹣x2==,设点M的坐标为(x M,y M),则,两式相减可得y1﹣y2=2x M﹣(x1+x2),∵y1﹣y2=k(x1﹣x2),∴2x M=(x1+x2)+k(x1﹣x2),解得X M=,两式相加可得2y M﹣(y1+y2)=(x1﹣x2),∵y1+y2=k(x1+x2)+2m,∴2y M=(x1﹣x2)+k(x1+x2)+2m,解得y M=,∴y M=x M,其中k为直线PQ的斜率;若选择①②:设直线AB的方程为y=k(x﹣2),并设A的坐标为(x3,y3),B的坐标为(x4,y4),则,解得x3=,y3=,同理可得x4=,y4=﹣,∴x3+x4=,y3+y4=,此时点M的坐标满足,解得X M==(x3+x4),y M==(y3+y4),∴M为AB的中点,即|MA|=|MB|;若选择①③:当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时不在直线y=x上,矛盾,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=m(x﹣2)(m≠0),并设A的坐标为(x3,y3),B 的坐标为(x4,y4),则,解得x3=,y3=,同理可得x4=,y4=﹣,此时x M=(x3+x4)=,∴y M=(y3+y4)=,由于点M同时在直线y=x上,故6m=•2m2,解得k=m,因此PQ∥AB.若选择②③,设直线AB的方程为y=k(x﹣2),并设A的坐标为(x3,y3),B的坐标为(x4,y4),则,解得x3=,y3=,同理可得x4=,y4=﹣,设AB的中点C(x C,y C),则x C=(x3+x4)=,y C=(y3+y4)=,由于|MA|=|MB|,故M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y﹣y C=﹣(x﹣x C)上,将该直线y=x联立,解得x M==x C,y M==y C,即点M恰为AB中点,故点M在直线AB上.(2)解法二:由已知得直线PQ的斜率存在且不为零,直线AB的斜率不为零,若选由①②⇒③,或选由②③⇒①:由②成立可知直线AB的斜率存在且不为0.若选①③⇒②,则M为线段AB的中点,假设AB的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在x轴上,即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称,从而x1=x2,已知不符.综上,直线AB的斜率存在且不为0,直线AB的斜率为k,直线AB的方程为y=k(x﹣2).则条件①M在直线AB上,等价于y0=k(x0﹣2)⇔ky0=k2(x0﹣2),两渐近线的方程合并为3x2﹣y2=0,联立方程组,消去y并化简得:(k2﹣3)x2﹣4k2x+4k2=0,设A(x3,y3),B(x4,y4),线段中点为N(x N,y N),则x N==.y N=k(x N﹣2)=,设M(x0,y0),则条件③|AM|=|BM|等价于(x0﹣x3)2+(y0﹣y3)2=(x0﹣x4)2+(y0﹣y4)2,移项并利用平方差公式整理得:(x3﹣x4)[2x0﹣(x3+x4)]+(y3﹣y4)[(2y0﹣(y3+y4)]=0,[2x0﹣(x3+x4)]+[2y0﹣(y3+y4)]=0,∴x0﹣x N+k(y0﹣y N)=0,[2x0﹣(x3+x4)]+[2y0﹣(y3+y4)]=0,∴x0﹣x N+k(y0﹣y N)=0,∴,由题意知直线PM的斜率为﹣,直线QM的斜率为,∴由(x1﹣x0),y2﹣y0=(x2﹣x0),∴y1﹣y2=﹣(x1+x2﹣2x0),∴直线PQ的斜率m==﹣,直线PM:y=﹣(x﹣x 0)+y0,即y=,代入双曲线的方程为3x2﹣y2﹣3=0,即()()=3中,得()[2﹣()]=3,解得P的横坐标为(+)]=3,同理,x2=﹣(),x1+x2﹣2x0=﹣﹣x0,∴m=,∴条件②PQ∥AB等价于m=k⇔ky0=3x0,综上所述:条件①M在AB上等价于m=k⇔ky0=k2(x0﹣2),条件②PQ∥AB等价于ky0=3x0,条件③|AM|=|BM|等价于.选①②⇒③:由①②解得∴,∴③成立;选①③⇒②:由①③解得:,ky0=,∴ky0=3x0,∴②成立;选②③⇒①:由②③解得:,ky0=,∴,∴①成立.4.(2022•新高考Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C:﹣=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2,求△PAQ的面积.【解答】解:(1)将点A代入双曲线方程得,化简得a4﹣4a2+4=0,∴a2=2,故双曲线方程为,由题显然直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,设P(x1,y1)Q(x2,y2),则联立双曲线得:(2k2﹣1)x2+4kmx+2m2+2=0,故,,,化简得:2kx1x2+(m﹣1﹣2k)(x1+x2)﹣4(m﹣1)=0,故,即(k+1)(m+2k﹣1)=0,而直线l不过A点,故k=﹣1;(2)设直线AP的倾斜角为α,由,∴,得由2α+∠PAQ=π,∴,得,即,联立,及得,同理,故,而,由,得,故S△PAQ=|AP||AQ|sin∠PAQ=|x1x2﹣2(x1+x2)+4|=.5.(2021•新高考Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(﹣,0),F2(,0),点M满足|MF1|﹣|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|•|TB|=|TP|•|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.【解答】解:(1)由双曲线的定义可知,M的轨迹C是双曲线的右支,设C的方程为,根据题意,解得,∴C的方程为;(2)(法一)设,直线AB的参数方程为,将其代入C的方程并整理可得,(16cos2θ﹣sin2θ)t2+(16cosθ﹣2m sinθ)t﹣(m2+12)=0,由参数的几何意义可知,|TA|=t1,|TB|=t2,则,设直线PQ的参数方程为,|TP|=λ1,|TQ|=λ2,同理可得,,依题意,,则cos2θ=cos2β,又θ≠β,故cosθ=﹣cosβ,则cosθ+cosβ=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.(法二)设,直线AB的方程为,A(x1,y1),B(x2,y2),设,将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得,,由韦达定理有,,又由可得,同理可得,∴=,设直线PQ的方程为,设,同理可得,又|AT||BT|=|PT||QT|,则,化简可得,又k1≠k2,则k1=﹣k2,即k1+k2=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.考向二直线与圆锥曲线综合6.(2021•新高考Ⅱ)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.【解答】(Ⅰ)解:由题意可得,椭圆的离心率=,又,所以a=,则b2=a2﹣c2=1,故椭圆的标准方程为;(Ⅱ)证明:先证明充分性,当|MN|=时,设直线MN的方程为x=ty+s,此时圆心O(0,0)到直线MN的距离,则s2﹣t2=1,联立方程组,可得(t2+3)y2+2tsy+s2﹣3=0,则Δ=4t2s2﹣4(t2+3)(s2﹣3)=12(t2﹣s2+3)=24,因为,所以t2=1,s2=2,因为直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,所以s>0,则,则直线MN的方程为恒过焦点F(),故M,N,F三点共线,所以充分性得证.若M,N,F三点共线时,设直线MN的方程为x=my+,则圆心O(0,0)到直线MN的距离为,解得m2=1,联立方程组,可得,即,所以;所以必要性成立;综上所述,M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.根据近几年真题推测主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题,常与函数、不等式等知识综合考查。
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C :x 2+y 2=16(y >0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ,P 为垂足,则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y ),由题意,根据中点的坐标表示可得P (x ,2y ),代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y ),则P (x ,y 0),P (x ,0),因为M 为PP 的中点,所以y 0=2y ,即P (x ,2y ),又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上,所以x 2+4y 2=16(y >0),即x 216+y 24=1(y >0),即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选:A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ,点P -6,4 在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ,结合双曲线定义计算可得2a ,即可得离心率.【详解】由题意,F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ,则F 1F 2 =2c =8,PF 1 =62+4+4 2=10,PF 2 =62+4-4 2=6,则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4,则e =2c 2a =84=2.故选:C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点,且直线PF 2的斜率为2.△PF 1F 2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理,转化出三边比例,设PF 2 =m ,由面积公式求出m ,由勾股定理得出c ,结合第一定义再求出a .【详解】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,∠F 1PF 2=90°,设PF 2 =m ,∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2,由k PF 2=tan θ1=2,求得sin θ1=25,因为∠F 1PF 2=90°,所以k PF 1⋅k PF 2=-1,求得k PF 1=-12,即tan θ2=12,sin θ2=15,由正弦定理可得:PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5,则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ,由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22,则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10,由双曲线第一定义可得:PF 1 -PF 2 =2a =22,a =2,b =c 2-a 2=8,所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选:C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2,到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4,则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时,y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a,故可判断A的正误,结合曲线方程可判断B的正误,利用特例法可判断C的正误,将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A:设曲线上的动点P x,y,则x>-2且x-22+y2×x-a=4,因为曲线过坐标原点,故0-22+02×0-a=4,解得a=-2,故A正确.对于B:又曲线方程为x-22+y2×x+2=4,而x>-2,故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时,22-22×22+2=8-4=4,故22,0在曲线上,故B正确.对于C:由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22,取x=32,则y2=6449-14,而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0,故此时y2>1,故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D:当点x0,y0在曲线上时,由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22,故-4x0+2≤y0≤4x0+2,故D正确.故选:ABD.【点睛】思路点睛:根据曲线方程讨论曲线的性质,一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上的动点,过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则()A.l与⊙A相切B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15C.当|PB|=2时,PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项,抛物线准线为x=-1,根据圆心到准线的距离来判断;B选项,P,A,B三点共线时,先求出P 的坐标,进而得出切线长;C选项,根据PB=2先算出P的坐标,然后验证k PA k AB=-1是否成立;D选项,根据抛物线的定义,PB=PF,于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题,此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可,亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项,抛物线y2=4x的准线为x=-1,⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和⊙A相切,A选项正确;B选项,P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标y P=4,由y2P=4x P,得到x P=4,故P(4,4),此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15,B选项正确;C选项,当PB=2时,xP=1,此时y2P=4x P=4,故P(1,2)或P(1,-2),当P(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-20-1=-2,k AB=4-20-(-1)=2,不满足k PA k AB=-1;当P(1,-2)时,A(0,4),B(-1,2),k PA=4-(-2)0-1=-6,k AB=4-(-2)0-(-1)=6,不满足k PA k AB=-1;于是PA⊥AB不成立,C选项错误;D选项,方法一:利用抛物线定义转化根据抛物线的定义,PB=PF,这里F(1,0),于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题,A(0,4),F(1,0),AF中点12,2,AF中垂线的斜率为-1kAF =14,于是AF的中垂线方程为:y=2x+158,与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0,Δ=162-4×30=136>0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P点,使得PA=PF,D选项正确.方法二:(设点直接求解)设Pt24,t,由PB⊥l可得B-1,t,又A(0,4),又PA=PB,根据两点间的距离公式,t416+(t-4)2=t24+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解,即存在两个这样的P点,D选项正确.故选:ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为.【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象,求出AF2,结合双曲线第一定义求出AF1,即可得到a,b,c的值,从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ,即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ,故AB =2b 2a =10,AF 2 =b 2a=5,又AF 1 -AF 2 =2a ,得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13,解得a =4,代入b 2a=5得b 2=20,故c 2=a 2+b 2=36,,即c =6,所以e =c a =64=32.故答案为:327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ,则焦点坐标为.【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0,由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ,所以其焦点坐标为4,0 .故答案为:4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1,则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为.【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在,然后设出方程,联立双曲线方程,根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1,解得y =±52,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k ,则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ,联立x 24-y 2=1y =k x -3 ,化简并整理得:1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0,由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0,解得k =±12或无解,即k =±12,经检验,符合题意.故答案为:±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为.【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标,从而可求焦准距,再联立圆和抛物线方程,求A 及AF 的方程,从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ,故p2=1即p =2,由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0,故x =4或x =-6(舍),故A 4,±4 ,故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0,故原点到直线AF 的距离为d =45=45,故答案为:4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9,那么点P 到x 轴的距离为.【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8,将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1,设点P x 0,y 0 ,由题意得x 0+1=9,解得x 0=8,代入抛物线方程y 2=4x ,得y 20=32,解得y 0=±42,则点P 到x 轴的距离为42.故答案为:42.11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且△ABP 的面积为9,求l 的方程.【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程,解出即可;(2)方法一:以AP 为底,求出三角形的高,即点B 到直线AP 的距离,再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方程得到B 点坐标,则得到直线l 的方程;方法二:同法一得到点B 到直线AP 的距离,再设B x 0,y 0 ,根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组,解出即可;法三:同法一得到点B 到直线AP 的距离,利用椭圆的参数方程即可求解;法四:首先验证直线AB 斜率不存在的情况,再设直线y =kx +3,联立椭圆方程,得到点B 坐标,再利用点到直线距离公式即可;法五:首先考虑直线PB 斜率不存在的情况,再设PB :y -32=k (x -3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案;法六:设线法与法五一致,利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1,解得b2=9a2=12,所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一:k AP=3-320-3=-12,则直线AP的方程为y=-12x+3,即x+2y-6=0,AP=0-32+3-3 22=352,由(1)知C:x212+y29=1,设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9352=1255,则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设该平行线的方程为:x+2y+C=0,则C+65=1255,解得C=6或C=-18,当C=6时,联立x212+y29=1x+2y+6=0,解得x=0y=-3或x=-3y=-32,即B0,-3或-3,-3 2,当B0,-3时,此时k l=32,直线l的方程为y=32x-3,即3x-2y-6=0,当B-3,-3 2时,此时k l=12,直线l的方程为y=12x,即x-2y=0,当C=-18时,联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0,Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B x0,y0,则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1,解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3,即B0,-3或-3,-3 2,以下同法一.法三:同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0,点B到直线AP的距离d=125 5,设B 23cos θ,3sin θ ,其中θ∈0,2π ,则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255,联立cos 2θ+sin 2θ=1,解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1,即B 0,-3 或-3,-32,以下同法一;法四:当直线AB 的斜率不存在时,此时B 0,-3 ,S △PAB =12×6×3=9,符合题意,此时k l =32,直线l 的方程为y =32x -3,即3x -2y -6=0,当线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +3,联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1,则4k 2+3 x 2+24kx =0,其中k ≠k AP ,即k ≠-12,解得x =0或x =-24k 4k 2+3,k ≠0,k ≠-12,令x =-24k 4k 2+3,则y =-12k 2+94k 2+3,则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0,点B 到直线AP 的距离d =1255,则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255,解得k =32,此时B -3,-32 ,则得到此时k l =12,直线l 的方程为y =12x ,即x -2y =0,综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时,设PB :y -32=k (x -3),令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ,消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0,Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0,且k ≠k AP ,即k ≠-12,x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ,A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9,∴k =12或32,均满足题意,∴l :y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六:当l 的斜率不存在时,l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3,此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时,设l :y =k (x -3)+32,设l 与y 轴的交点为Q ,令x =0,则Q 0,-3k +32,联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36,则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0,其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0,且k ≠-12,则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2,则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9,解的k =12或k =32,经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3,即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ,点P 15,4 在C 上,k 为常数,0<k <1.按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ,过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1,令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点,记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12,求x 2,y 2;(2)证明:数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列;(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积,证明:对任意的正整数n ,S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3,y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可;(2)根据等比数列的定义即可验证结论;(3)思路一:使用平面向量数量积和等比数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二:使用等差数列工具,证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9,故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时,过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32,与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5,所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ,该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ,从而x 2=3,y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ,与x 2-y 2=9联立,得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0,由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点,故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理,另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2,相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2,而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ,故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1-y 1≠0,所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点U ,V ,W ,若UV =a ,b ,UW =c ,d ,则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上,约定S △UVW =0)证明:S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕,回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ,P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ,故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值,所以S n =S n +1.方法二:由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2,故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9,就知道x 1+y 1≠0,所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1,以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减,即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ,P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行,这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3,即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合,需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,点M 1,32 在C 上,且MF ⊥x 轴.(1)求C 的方程;(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ ⊥y 轴.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ,根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量,故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立直线方程和椭圆方程,用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ,结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0,故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ,由题设有c =1且b 2a =32,故a 2-1a =32,故a =2,故b =3,故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在,设AB :y =k (x -4),A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0,故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0,故-12<k <12,又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,而N 52,0 ,故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ,故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5,所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0,故y 1=y Q ,即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,注意Δ的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式;(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ,B ,C 0,1 ,连接AC 交椭圆于D .(1)求椭圆方程和离心率;(2)若直线BD 的斜率为0,求t .【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2,进一步得a ,由此即可得解;(2)说明直线AB 斜率存在,设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立椭圆方程,由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,令x =0,即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2,从而a =b 2+c 2=2,所以椭圆方程为x 24+y 22=1,离心率为e =22;(2)显然直线AB 斜率存在,否则B ,D 重合,直线BD 斜率不存在与题意不符,同样直线AB 斜率不为0,否则直线AB 与椭圆无交点,矛盾,从而设AB :y =kx +t ,t >2 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立x 24+y 22=1y =kx +t ,化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0,由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0,即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0,所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1,若直线BD 斜率为0,由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ,所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1,在直线AD 方程中令x =0,得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1,所以t =2,此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ,即k 应满足k <-22或k >22,综上所述,t =2满足题意,此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12.左顶点为A ,下顶点为B ,C 是线段OB 的中点,其中S △ABC =332.(1)求椭圆方程.(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ,Q .在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12,故a =2c ,b =3c ,其中c 为半焦距,所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ,故S △ABC=12×2c ×32c =332,故c =3,所以a =23,b =3,故椭圆方程为:x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:y =kx -32,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ,由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0,故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ,故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2,因为TP ⋅TQ ≤0恒成立,故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0,解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在,则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ,此时需-3≤t ≤3,两者结合可得-3≤t ≤32.综上,存在T 0,t-3≤t ≤32 ,使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的范围问题,往往需要用合适的参数表示目标代数式,表示过程中需要借助韦达定理,此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2,过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时,求b 的值.(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时,且点P 在第一象限,求点P 的坐标.(3)连接OQ 并延长,交双曲线Γ于点R ,若A 1R ⋅A 2P=1,求b 的取值范围.【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2,则c =2,b =22-1=3.(2)当b =263时,双曲线Γ:x 2-y 283=1,其中M -2,0 ,A 21,0 ,因为△MA 2P 为等腰三角形,则①当以MA 2为底时,显然点P 在直线x =-12上,这与点P 在第一象限矛盾,故舍去;②当以A 2P 为底时,MP =MA 2 =3,设P x ,y ,则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ,因为点P 在第一象限,显然以上均不合题意,舍去;(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ,矛盾,舍去);③当以MP 为底时,A 2P =MA 2 =3,设P x 0,y 0 ,其中x 0>0,y 0>0,则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1,解得x 0=2y 0=22,即P 2,22 .综上所述:P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 , 当直线l 的斜率为0时,此时A 1R ⋅A 2P=0,不合题意,则k l ≠0,则设直线l :x =my -2,设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ,根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 , 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0,显然二次项系数b 2m 2-1≠0,其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0,y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①,y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②,A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ,则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1,因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上,则x 1=my 1-2,x 2=my 2-2,即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1,即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0,将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0,即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0,所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0,解得b 2≤103,又因为b >0,则0<b 2≤103,综上知,b 2∈0,3 ∪3,103 ,∴b ∈0,3 ∪3,303.【点睛】关键点点睛:本题第三问的关键是采用设线法,为了方便运算可设l :x =my -2,将其与双曲线方程联立得到韦达定理式,再写出相关向量,代入计算,要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22,则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况,求椭圆的离心率,求解参数a ,再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴,则离心率e =a 2-3a =22,得a 2=6,此时焦距2c =26-3=23,若椭圆的焦点在y 轴,则离心率e =3-a 23=22,得a 2=32,此时焦距2c =23-32=6,所以该椭圆的焦距为23或6.故选:D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线,则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4,O 2:x 2+(y -1)2=1,所以两圆方程相减可得y =2x ,由题意知C 的一条渐近线为y =2x ,即ba =2,双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5.故选:C .3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ,则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1,2D.102,10【答案】A【详解】依题意,双曲线E :3mx 2-my 2=3化为:y 2-3m -x 2-1m=1,则-3m +-1m =22,解得m =-1,双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选:A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ,N ,则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y ),根据线段MN 的中点为P ,则CP ⊥MN ,即CP ⊥AP ,所以CP ⋅AP =0,又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4),所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心,半径为5的圆在圆C 内的一部分,故选:D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ,点B -1,0 ,动点M 满足直线AM ,BM 的斜率之积为4,则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ,B -1,0 ,根据直线AM 与BM 的斜率之积为4.整理得y x +1⋅y x -1=4,化简得:x 2-y 24=1(x ≠±1).故选:D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中,把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2,点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点,则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ,使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4,可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4,整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ,由x 用-x 代换,方程没变,可知曲线C 关于y 轴对称,由y 用-y 代换,方程没变,可知曲线C 关于x 轴对称,由x 用-x 代换,y 用-y 同时代换,方程没变,可知曲线C 关于原点对称,图象如图所示:所以①不正确,②正确;③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x,可得x 4=0,即x =0,所以y =0,所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0),所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程,即原点O 在曲线C 上,则OF 1 =OF 2 ,即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时,满足PF 1 =PF 2 ,所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),左、右顶点分别为A ,B ,O 为坐标原点,如图,已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ,Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ,S 两点,则下列命题正确的是()A.存在直线l ,使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时,|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ,使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ,则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解:对于A 项:与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A 项错误;对于B 项:设直线l :y =kx +t ,与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1,得:b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0,其中b 2-a 2k 2≠0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由根与系数关系得:x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2,所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,将直线l :y =kx +t ,与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak,将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ,所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t,所以线段PQ 与线段RS 的中点重合.所以,对任意的直线l ,都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |,故B 项不正确;对于C 项:因为|OB |为定值,当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时,S △ORB 趋向于无穷,所以S △ORB 会趋向于无穷,不可能有最大值,故C 项错误;对于D 项:联立直线l 与渐近线y =bax ,解得Sa 22b +a ,ab2b +a,联立直线l 与渐近线y =-b a x ,解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知,BR =3BS ,3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ,解得b =2a ,所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3,故D 项正确.故选:D .【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法:①定义法:通过已知条件列出方程组,求得a ,c 得值,根据离心率的定义求解离心率e ;②齐次式法:由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程,然后转化为关于e 的一元二次方程求解;③特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,焦距为82,点P 在双曲线C 上,OP =OF 2 ,且△POF 2的面积为8,则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8,所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ,所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2,所以△PF 1F 2为直角三角形,且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ,PF 2 =n ,所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2,所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16,又b >0,所以b =4.焦距为2c =82,所以c =42,则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16,所以a =4,则离心率e =424=2.故选:C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,点A 在第一象限,点O 为坐标原点,且S △AOF =2S △BOF ,则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图:设直线倾斜角为α,抛物线的准线l :x =-1作AM ⊥l 于M ,根据抛物线的定义,AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α,所以|AF |=21-cos α,类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |,得cos α=13,故k =tan α=22.故选:A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点,若点P (1,2)在C 上,则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意,2=a ×12,解得a =2,所以C :x 2=y 2的准线为y =-18,所以|PF |=2+18=178,故选:D .11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ,过抛物线上点P 作准线的垂线,设垂足为Q ,若∠PQF =30°,则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示:设 M 为准线与x 轴的交点,因为∠PQF =30°,且PF =PQ ,所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°,因为FM ⎳PQ ,所以∠QFM =30°,而在Rt△QMF中,QF=FMcos30°=232=433,所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选:A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0,B2,0,C1,0,动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4,动点M的轨迹记为Γ,过点C的直线交Γ于P,Q两点,且P,Q的中点为R,则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点,则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D,则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A,设M x,y,因为A-2,0,B2,0,所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34,化简得x24+y23=1x≠±2,故A错误;对于选项B,因为x24+y23=1x≠±2,则a=2,b=3,则c=a2-b2=1,所以C1,0为椭圆的右焦点,则MCmin=a-c=2-1=1,故B正确;对于选项C,设PQ的方程 x=my+1,代入椭圆方程,得3m2+4y2+6my-9=0,设P x1,y1,Q x2,y2,则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,Δ=36m2+363m2+4>0,所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4,令m2+1=t≥1,则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t,令g t =3t+1tt≥1,则S△OPQ=6g t,t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0,g t 在1,+∞为增函数,g t ≥g1 =4,g t min=4,所以S△OPQmax=64=32,当且仅当t=1时即m=0等号成立,故C正确;对于选项D,因为Rx1+x22,y1+y22,x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4,y1+y22=-3m3m2+4,所以R43m2+4,-3m3m2+4,则x R=43m2+4,设D x D ,0 ,则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1,则x D =13m 2+4,所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4,则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍,故D 正确.故选:BCD .【点睛】关键点点睛:本题求解的关键有两个:一是利用面积公式得出面积表达式,结合导数得出最值;二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质:从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图,双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后,分别经过点C 和D ,其中AF 2 ,BF 2共线,则()A.若直线AB 的斜率k 存在,则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时,△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时,cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示,过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2,则l 1,l 2的斜率分别为62和-62,对于A 中,由图可知,当点A ,B 均在E 的右支时,k <-62或k >62,所以A 正确;对于B 中,光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6,所以B 正确;对于C 中,由AB ⋅AD =AB 2,得AB ⋅AD -AB =0,即AB ⋅BD=0,所以AB ⊥BD ,设BF 1 =n ,则BF 2 =n -2a =n -4,因为∠ABD =π2,所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40,整理得n 2-4n -12=0,解得n =6或n =-2(舍去),所以BF 1 =6,BF 2 =2,所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6,所以C 错误;对于D 项,在直角△F 1BF 2中,cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010,所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010,所以D 正确.故选:ABD .14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点,且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1),则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1,由条件,点P 应在双曲线C 的右支上,设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M 、N 、A ,则由题A 3,0 ,且PM =PN ,F 1M =F 1A ,F 2N =F 2A ,又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3,A 选项正确;由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ,连接IF 1、IF 2、IA ,则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18,所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663,B 选项错误;同理,tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43,∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125,∴⇒tan∠F 1PF 22=32,所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323,又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2,故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643,∴△PF 1F 2的周长为643,C 选项正确;由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213,由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512,D 选项正确.故选:ACD .【点睛】关键点睛:求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ,P 为其上一动点,当P 运动到(t ,1)时,|PF |=2,直线l 与抛物线相交于A 、B 两点,下列结论正确的是()A.抛物线的方程为:x 2=8yB.抛物线的准线方程为:y =-1。
2022年高考数学《圆锥曲线》解答题通关50题
APQ FOxy2022年高考数学《圆锥曲线》解答题通关50 题1.如图,已知直线L :)0(1:12222>>=++=b a by a x C my x 过椭圆的右焦点F ,且交椭圆C 于A 、B 两点,点A 、B 在直线2:G x a =上的射影依次为点D 、E 。
(1)若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点,求椭圆C 的方程;(2)(理)连接AE 、BD ,试探索当m 变化时,直线AE 、BD 是否相交于一定点N ?若交于定点N ,请求出N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由。
(文)若)0,21(2+a N 为x 轴上一点,求证:AN NEλ= 2.如图所示,已知圆,8)1(:22=++y x C 定点A (1,0),M 为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足0,2=⋅=AM NP AP AM ,点N 的轨迹为曲线E 。
(1)求曲线E 的方程;(2)若过定点F (0,2)的直线交曲线E 于不同的两点G 、H (点G 在点F 、H 之间),且满足λλ求,FH FG =的取值范围。
3.设椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C 于另外一点P ,交x 轴正半轴于点Q ,且PQAP 58=⑴求椭圆C 的离心率;⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l :053=-+y x 相切,求椭圆C 的方程.4.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e=22(1)椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2、A 是椭圆上的一点,且点A 到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.(2)求b 为何值时,过圆x 2+y 2=t 2上一点M (2,2)处的切线交椭圆于Q 1、Q 2两点,而且OQ 1⊥OQ 2.5.已知曲线c 上任意一点P 到两个定点F 1(-3,0)和F 2(3,0)的距离之和为4.(1)求曲线c 的方程;(2)设过(0,-2)的直线l 与曲线c 交于C 、D 两点,且O OD OC (0=⋅为坐标原点),求直线l 的方程.6.已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ,左、右顶点分别为A 、C ,上顶点为B .过F 、B 、C 作⊙P ,其中圆心P 的坐标为(m ,n ).(Ⅰ)当m +n >0时,求椭圆离心率的范围;(Ⅱ)直线AB 与⊙P 能否相切?证明你的结论.7.有如下结论:“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”,类比也有结论:“椭圆),()0(1002222y x P b a b y a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”,过椭圆C :1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线,切点为A 、B.(1)求证:直线AB 恒过一定点;(2)当点M 在的纵坐标为1时,求△ABM 的面积8.已知点P (4,4),圆C :22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A (3,1),F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF 1与圆C 相切.(Ⅰ)求m 的值与椭圆E 的方程;(Ⅱ)设Q 为椭圆E 上的一个动点,求AP AQ ⋅的取值范围.9.椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为)2,0(A ,右焦点F 与点,B 的距离为2。
高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)
高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)1.(2022·浙江·统考高考真题)如图,已知椭圆22112x y +=.设A ,B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点,且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上,直线,PA PB 分别交直线132y x =−+于C ,D 两点.(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值; (2)求||CD 的最小值.【解析】(1)设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+−=−−=−+≤⎭+ ⎪⎝,当且仅当1sin 11θ=−时取等号,故PH(2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++−= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ,所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=−⎪+⎪⎪⎨⎪=−⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 因为直线111:1y PA y x x −=+与直线132y x =−+交于C , 则111114422(21)1C x x x x y k x ==+−+−,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+−+−.则224||(21)1C D x CD x k x −=+−====≥=当且仅当316k=时取等号,故CD2.(2022·全国·统考高考真题)已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b−=>>的右焦点为(2,0)F,渐近线方程为y=.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点()()1122,,,P x y Q x y在C上,且1210,0x x y>>>.过P且斜率为Q M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:①M在AB上;②PQ AB∥;③||||MA MB=.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【解析】(1)右焦点为(2,0)F,∴2c=,∵渐近线方程为y=,∴ba=∴b=,∴222244c a b a=+==,∴1a=,∴b=∴C的方程为:2213yx−=;(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零,直线AB的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零;若选①③推②,则M为线段AB的中点,假若直线AB的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在x轴上,即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称,与从而12x x=,已知不符;总之,直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为()2y k x=−,则条件①M在AB上,等价于()()2000022y k x ky k x=−⇔=−;两渐近线的方程合并为2230x y−=,联立消去y 并化简整理得:()22223440k x k x k −−+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===−=−−, 设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y −+−=−+−, 移项并利用平方差公式整理得:()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤−−++−−+=⎣⎦⎣⎦,()()3403403434220y y x x x y y y x x −⎡⎤⎡⎤−++−+=⎣⎦⎣⎦−,即()000N N x x k y y −+−=,即200283k x ky k +=−;由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x −=−−=−,∴)121202y y x x x −=+−, 所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +−−==−−,直线)00:PM y x x y =−+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y −−=,即)3yy +−=中,得:()()00003y y ⎡⎤−=⎣⎦, 解得P的横坐标:100x y ⎛⎫+⎪⎪⎭,同理:200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭,∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫−=++−=−−⎪−−⎭∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=, 综上所述:条件①M 在AB 上,等价于()2002ky k x =−;条件②//PQ AB 等价于003ky x =;条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=−;选①②推③:由①②解得:2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==−−,∴③成立; 选①③推②:由①③解得:20223k x k =−,20263k ky k =−,∴003ky x =,∴②成立; 选②③推①:由②③解得:20223k x k =−,20263k ky k =−,∴02623x k −=−,∴()2002ky k x =−,∴①成立.3.(2022·全国·统考高考真题)设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点(),0D p ,过F 的直线交C 于M ,N 两点.当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =. (1)求C 的方程;(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ.当αβ−取得最大值时,求直线AB 的方程.【解析】(1)抛物线的准线为2px =−,当MD 与x 轴垂直时,点M 的横坐标为p , 此时=32pMF p +=,所以2p =, 所以抛物线C 的方程为24y x =;(2)[方法一]:【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my −−=,120,4y y ∆>=−,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y −==+−,34223434444AB y y k y y y y −==+−, 直线112:2x MD x y y −=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y −−⋅−=, 130,8y y ∆>=−,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MN AB k k y y y y ===++ 又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===, 若要使αβ−最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++, 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时,AB k =:AB x n +,代入抛物线方程可得240y n −−=, 34120,4416y y n y y ∆>=−==−,所以4n =,所以直线:4AB x +. [方法二]:直线方程点斜式 由题可知,直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =− 由 2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩得:()2222240k x k x k −++=,121x x =,同理,124y y =−.直线MD :11(2)2y y x x =−−,代入抛物线方程可得:134x x =,同理,244x x =. 代入抛物线方程可得:138y y =−,所以322y y =,同理可得412y y =,由斜率公式可得:()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x −−−====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭(下同方法一)若要使αβ−最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时,AB k =:AB x n +,代入抛物线方程可得240y n −−=,34120,4416y y n y y ∆>=−==−,所以4n =,所以直线:4AB x =+. [方法三]:三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,设(),0P t ,若 P 、M 、N 三点共线,由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得124y y t =-, 反之,若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t 因此,由M 、N 、F 三点共线,得124y y =−,由M 、D 、A 三点共线,得138y y =−, 由N 、D 、B 三点共线,得248y y =−,则3412416y y y y ==−,AB 过定点(4,0)(下同方法一)若要使αβ−最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即2k =时,等号成立,所以当αβ−最大时,AB k =:4AB x =+. 【整体点评】(2)法一:利用直线方程横截式,简化了联立方程的运算,通过寻找直线,MN AB的斜率关系,由基本不等式即可求出直线AB 的斜率,再根据韦达定理求出直线方程,是该题的最优解,也是通性通法;法二:常规设直线方程点斜式,解题过程同解法一;法三:通过设点由三点共线寻找纵坐标关系,快速找到直线AB 过定点,省去联立过程,也不失为一种简化运算的好方法.4.(2022·全国·统考高考真题)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭两点.(1)求E 的方程;(2)设过点()1,2P −的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH =.证明:直线HN 过定点.【解析】(1)设椭圆E 的方程为221mx ny +=,过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭,则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得13m =,14n =,所以椭圆E 的方程为:22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B −−,所以2:23+=AB y x ,①若过点(1,2)P −的直线斜率不存在,直线1x =.代入22134x y +=,可得(1,M,N ,代入AB 方程223y x =−,可得(3,T ,由MT TH =得到(5,H −.求得HN 方程:(22y x =−,过点(0,2)−. ②若过点(1,2)P −的直线斜率存在,设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y −−+=. 联立22(2)0,134kx y k x y −−+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +−+++=, 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩,()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧−++=⎪+⎪⎨+−⎪=⎪+⎩,且1221224(*)34kx y x y k −+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=−⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++− 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x −−=−+−−, 将(0,2)−,代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +−+++−−=, 将(*)代入,得222241296482448482436480,k k k k k k k +++−−−+−−= 显然成立,综上,可得直线HN 过定点(0,2).−5.(2022·全国·统考高考真题)已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上,直线l 交C于P ,Q 两点,直线,AP AQ 的斜率之和为0. (1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积.【解析】(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上,所以224111a a −=−,解得22a =,即双曲线22:12x C y −=.易知直线l 的斜率存在,设:l y kx m =+,()()1122,,,P x y Q x y , 联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩可得,()222124220k x mkx m −−−−=, 所以,2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−,()()222222Δ16422210120m k m k m k =−+−>⇒−+>且≠k .所以由0AP AQk k +=可得,212111022y y x x −−+=−−, 即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−=, 即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=,所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+−−−−−= ⎪−−⎝⎭, 化简得,()2844410k k m k +−++=,即()()1210k k m +−+=,所以1k =−或12m k =−,当12m k =−时,直线():21l y kx m k x =+=−+过点()2,1A ,与题意不符,舍去, 故1k =−.(2)[方法一]:【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,因为0AP AQ k k +=,所以παβ+=,由(1)知,212220x x m =+>,当,A B 均在双曲线左支时,2PAQ α∠=,所以tan 2α=2tan 0αα+,解得tan α=(负值舍去) 此时P A 与双曲线的渐近线平行,与双曲线左支无交点,舍去; 当,A B 均在双曲线右支时,因为tan PAQ ∠=()tan βα−=tan 2α=−2tan 0αα−,解得tan α,于是,直线):21PA y x =−+,直线):21QA y x =−+,联立)222112y x x y ⎧=−+⎪⎨−=⎪⎩可得,)23241002x x ++−,因为方程有一个根为2,所以P x =,P y=,同理可得,103Q x +=,Q y=53−. 所以5:03PQ x y +−=,163PQ =,点A 到直线PQ的距离d = 故PAQ △的面积为11623⨯=. [方法二]:设直线AP 的倾斜角为α,π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭,由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠由2PAQ απ+∠=,得tan AP k α=1112y x −−,联立1112y x −=−221112x y −=得1x1y ,同理,2x 2y =12203x x +=,12689x x =而1||2|AP x −,2||2|AQ x −,由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠故12121||||sin 2()4|2PAQSAP AQ PAQ x x x x =∠=−++= 【整体点评】(2)法一:由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率,从而联立求出点,P Q 坐标,进而求出三角形面积,思路清晰直接,是该题的通性通法,也是最优解;法二:前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别,最终目的一样,主要区别在于三角形面积公式的选择不一样.。
2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略(解析版)
压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略命题预测解析几何是高考数学的重要考查内容,常作为试卷的拔高与区分度大的试题,其思维要求高,计算量大.令同学们畏惧.通过对近几年高考试题与模拟试题的研究,分析归纳出以下考点:(1)解析几何通性通法研究;(2)圆锥曲线中最值、定点、定值问题;(3)解析几何中的常见模型;解析几何的核心内容概括为八个字,就是“定义、方程、位置关系”.所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开. 高频考法(1)直线交点的轨迹问题(2)向量搭桥进行翻译(3)弦长、面积范围与最值问题(4)斜率之和差商积问题(5)定点定值问题01 直线交点的轨迹问题交轨法解决.【典例1-1】(2024·陕西安康·模拟预测)已知双曲线22:13y C x −=的左、右顶点分别是12,A A ,直线l 与C 交于,M N 两点(不与2A 重合),设直线22,,A M A N l 的斜率分别为12,,k k k ,且()126k k k +=−.(1)判断直线l 是否过x 轴上的定点.若过,求出该定点;若不过,请说明理由.(2)若,M N 分别在第一和第四象限内,证明:直线1MA 与2NA 的交点P 在定直线上.【解析】(1)由题意可知12(1,0),(1,0),0A A k −≠,设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+.2024届高考数学专项练习由2213y x y kx m ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,可得222(3)230k x kmx m −−−−=, 则23k ≠,2212(3)0m k ∆=+−>,即223k m <+,212122223,33km m x x x x k k ++==−−−. 因为()121212*********()()211()1kx m kx m kx x m k x x m k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++−+−+=+= ⎪⎢⎥−−−++⎝⎭⎣⎦222222322()2336632133m kmk m k m k k k km kmm k k k ⎡⎤⎛⎫+−+−−⎢⎥ ⎪−−⎝⎭⎢⎥===−⎢⎥++−−+⎢⎥−−⎣⎦, 所以2m k =−,故直线l 的方程为(2)y k x =−,恒过点(2,0). (2)由题可知,直线1MA 的方程为11(1)1y y x x =++,直线2NA 的方程为22(1)1yy x x =−−,因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y x x x x x x x x x y x x x x x x x +−+−+−+===−−−−−−+ 1212112121()322()2x x x x x x x x x x ++−−=−+++21221269333233k x k k x k −−−−==−++− 所以12x =,故点P 在定直线12x =上.【典例1-2】(2024·江苏苏州·模拟预测)已知点(1,0)A ,(0,1)B ,(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅,PA PC⋅的等差中项.(1)求P 点的轨迹方程;(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ,曲线2C 上不同的两点M ,N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ,如果MON ∠(O 为坐标原点)为锐角,求实数b 的取值范围;(3)在(2)的条件下,如果2b =时,曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ,求证:R 在一条定直线上. 【解析】(1)由题意可得(1,)PA x y =−−,(,1)PB x y =−−,(1,1)PC x y =−−, 则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−,22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+, 又2y 是PA PB ⋅,PA PC ⋅的等差中项,()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=,整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+.(2)由(1)知2131:22C y x x =−+,又31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭,∴平移公式为34116x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−'⎩'⎪,代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为:213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫−=+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭',即2yx .曲线2C 的方程为2yx .如图由题意可设M ,N 所在的直线方程为y kx b =+,由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b −−=,令()11,M x y ,()()2212,N x y x x ≠,则1212x x kx x b+=⎧⎨=−⎩, ()()21111,,OM x y x x ∴==,()()22222,,ON x y x x ==,又MON ∠为锐角,cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅,即2212120||||x x x x OM ON +>⋅, 2212120x x x x ∴+>,又12x x b =−,2()0b b ∴−+−>,得0b <或1b >.(3)当2b =时,由(2)可得12122x x k x x b +=⎧⎨=−=−⎩,对2yx 求导可得2y x '=,∴抛物线2C 在点,()211,M x x ∴=,()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =,22N k x =,∴在点M ,N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−,()2222:2N l y x x x x −=−, 由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧−=−⎪≠⎨−=−⎪⎩,解得交点R 的坐标(,)x y . 满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩,R ∴点在定直线=2y −上. 【变式1-1】(2024·高三·全国·专题练习)已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)过点2,3P,且离2. (1)求椭圆C 的方程;(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ,过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点,证明:直线BM 与AN 的交点G 在定直线上,并求出该定直线的方程.【解析】(1)由椭圆过点2,3P,且离心率为22,所以2222223122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2284a b ⎧=⎨=⎩,故所求的椭圆方程为22184x y +=.(2)由题意得()0,2A ,()0,2B −,直线MN 的方程4y kx =+,设()()1122,,,M x y N x y ,联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()221216240k x kx +++=,由()22Δ25696120k k =−+>,即232k >,所以1221612kx x k −+=+,1222412x x k =+. 由求根公式可知,不妨设218246k k x −−−,228246k k x −+−= 直线AN 的方程为2222y y x x −−=,直线BM 的方程为1122y y x x ++=, 联立22112222y y x x y y xx −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩,得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++, 代入12,x x ,得222222241644628446112122324481246241246k k k y k k k k y k k k k k −−−−−−++===−+−+−−+−+, 解得1y =,即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上.【变式1-2】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线C 的中心为坐标原点O ,C 的一个焦点坐标为()10,3F ,离3 (1)求C 的方程;(2)设C 的上、下顶点分别为1A ,2A ,若直线l 交C 于()11,M x y ,()22,N x y ,且点N 在第一象限,120y y >,直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上,证明:直线MN 过定点. 【解析】(1)由题意得3c =,3ca3a =2226b c a =−=, 故C 的方程为22136y x −=;(2)证明:由已知条件得直线MN 的斜率存在,设直线MN :y kx t =+,联立2226y kx t y x =+⎧⎨−=⎩,消去y 整理得,()222214260k x ktx t −++−=, 由题设条件得2210k −≠,()()2222Δ16421260k t k t =−−−>,则122412kt x x k +=−,21222621t x x k −=−.由(1)得(13A ,(20,3A −, 则直线1A M :1133y y −,直线2A N :2233y y x +=, 11223333y y y y −−=++ 因为直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上,所以112233353335y y −=++因为2222136y x−=2222222233312y y y x −+−==,即()2222323y y x +=−所以(11211212122233323333523335y y y y y x x y −−−===+.又((()(221212123333y y k x x k t x x t =+++,(((2222222326433212121t t ktk k t t k k k −−=⨯−+=−−−,所以33353335t t −=+,解得5t =,所以直线MN 过定点()0,5.02 向量搭桥进行翻译将向量转化为韦达定理形式求解.【典例2-1】(2024·上海普陀·二模)设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>,Γ2倍,直线l 交Γ于A 、B 两点,C 是Γ上异于A 、B 的一点,O 是坐标原点. (1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线l 过Γ的右焦点F ,且CO OB =,0CF AB ⋅=,求CBFS的值;(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈,且OA OB CO +=,求||AB 的取值范围. 【解析】(1)由Γ24倍,得212a −22(1)a a −=, 又1a >,则2a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.(2)设Γ的左焦点为1F ,连接1CF , 因为CO OB =,所以点B 、C 关于点O 对称, 又0CF AB ⋅=,则CF AB ⊥, 由椭圆Γ的对称性可得,1CF CF ⊥,且三角形1OCF 与三角形OBF 全等,则1112CBFCF FSSCF CF ==⋅,又122211224CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩,化简整理得, 12CF CF ⋅=,则1CBFS=.(3)设11(,)A x y ,11(,)B x y ,00(,)C x y ,又 OA OB CO +=,则012()x x x =−+,012()y y y =−+, 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得,222(12)4220k x mkx m +++−=, 222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=−+−=−+,由韦达定理得,122412mk x x k −+=+,21222212m x x k −=+,又121222()212my y k x x m k +=++=+,则02412mkx k =+,02212m y k −=+, 因为点C 在椭圆Γ上,所以222242()2()21212mk m k k −+=++, 化简整理得,22412m k =+,此时,22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=−+=+−=+>,则2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =−+−=+−222224221()4()1212mk m k k k−−+−++ 226(21)1k k ++226612k k ++ 令212t k =+,即1t ≥,则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+, 则AB 的取值范围是3,6.【典例2-2】(2024·贵州安顺·一模)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为3y x =,右焦点F 3 (1)求双曲线C 的标准方程;(2)过点F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点,()1,0A −.求AM AN ⋅的值.【解析】(1)由双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为3y =,可得3b a =又由焦点(c,0)F 32233(3)1c d ==+2c =,又因为222c a b =+,可得1,3a b =2213y x −=.(2)由(1)知2c =,可得(2,0)F ,当直线l 的斜率不存在时,即:2l x =,将2x =代入2213y x −=,可得13y =或23y =−,不妨设(2,3),(2,3)M N −,又由(1,0)A −,可得(3,3),(3,3)AM AN ==−, 所以333(3)0AM AN ⋅=⨯+⨯−=; 当直线l 的斜率存在时,即:(2)l y k x =−,联立方程组22(2)13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩,整理得2222(3)4430k x k x k −+−−=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则2222(4)4(3)(43)0k k k ∆=+−+>,且22121222443,33k k x x x x k k ++==−−, 则222212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x k x x k =−−=−++,且1122(1,),(1,)AM x y AN x y =+=+,则1212121212(1)(1)()1AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++ 22212121212()12()4x x x x k x x k x x k =++++−++2221212(12)(1)()41k x x k x x k =−+++++=2222222434(12)(1)4133k k k k k k k +=−⋅++⋅++−−242244222484343412303k k k k k k k k k −+++++−+−==−,综上可得:0AM AN ⋅=.【变式2-1】(2024·全国·模拟预测)如图,已知抛物线()2:20E y px p =>,其焦点为F ,其准线与x 轴交于点C ,以FC 为直径的圆交抛物线于点B ,连接BF 并延长交抛物线于点A ,且4AF BF −=.(1)求E 的方程.(2)过点F 作x 轴的垂线与抛物线E 在第一象限交于点P ,若抛物线E 上存在点M ,N ,使得0MP NP ⋅=.求证:直线MN 过定点.【解析】(1)根据抛物线的性质可知CF p =.设直线AB 的倾斜角为θ,则在Rt CBF △中,cos BF p θ=. 由抛物线的定义知cos AF AF p θ=+,cos BF p BF θ=−, 所以1cos p AF θ=−,cos 1cos pBF p θθ==+,所以2sin cos θθ=. 所以222sin cos p p AB AF BF θθ=+==. 由24AF BF AB BF −=−=,得221cos 2cos 224cos cos p p p p θθθθ−−=⋅==,解得2p =. 所以E 的方程为24y x =.(2)由(1)知()1,2P .设直线MN 的方程为x my n =+,()11,M x y ,()22,N x y .联立抛物线方程,得2,4.x my n y x =+⎧⎨=⎩代入并整理,得2440y my n −−=.则124y y m +=,124y y n =−,且216160m n ∆=+>. 由0MP NP ⋅=,得()()11221,21,20x y x y −−⋅−−=,则()()()()()()()()12121212112211220x x y y my n my n y y ⎡⎤⎡⎤−−+−−=−+−++−−=⎣⎦⎣⎦,得()()()22121212250m y y mn m y y n n ++−−++−+=,所以()()()221424250m n mn m m n n +⨯−+−−⨯+−+=.整理得()()22341n m −=+.当()321n m −=−+,即21n m =−+时,直线MN 的方程为()21x m y =−+,则直线MN 恒过定点()1,2P ,不符合题意.当()321n m −=+,即25n m =+时,直线MN 的方程为()25x m y =++,则直线MN 恒过定点()5,2−.【变式2-2】(2024·山东聊城·二模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为26. (1)求C 的方程;(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点,与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B ,且,AM BM AN BN λμ==. (ⅰ)当12μλ==时,求k 的值;(ⅱ)当3λμ+=时,求点(0,3到l 的距离的最大值.【解析】(1)由题意得222226b c a b a a =⎧⎪⎨−==⎪⎩13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2213x y +=.(2)(ⅰ)由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭,由12AM BM =,得2OM OA OB =−,即,2m M m k ⎛⎫⎪⎝⎭,由2AN BN =,得2ON OB OA =−,即2,m N m k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭, 将,M N 的坐标分别代入C 的方程,得222413m m k +=和222413m m k+=,解得213k =,又0k >,所以3k =(ⅱ)由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()222316330k x kmx m +++−=, 其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =−+−=−+>,设()()1122,,,M x y N x y ,则2121222633,3131km m x x x x k k −−+==++,由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==− ⎪⎝⎭,得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭, 由3λμ+=,得()221212230k x x mk x x m +++=,即222222223312303131m k k m k m k k −−++=++, 所以222222223312930m k k m k m k m −−++=, 因此22k m =,又0,0k m >>,所以k m =. 所以l 的方程为()1y k x =+,即l 过定点()1,0−,所以点(0,3−到l 的最大距离为点(0,3−与点()1,0−的距离21(3)2d =+=, 即点(0,3−到l 的距离的最大值为2.03 弦长、面积范围与最值问题1、建立目标函数,使用函数的最值或取值范围求参数范围.2、建立目标函数,使用基本不等式求最值.【典例3-1】(2024·浙江台州·二模)已知椭圆C :229881x y +=,直线l :=1x −交椭圆于M ,N 两点,T 为椭圆的右顶点,TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标; (2)求圆Q 的方程;(3)设点()1,3P ,过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ,B ,求PAB 的周长.【解析】(1)椭圆的标准方程为2218198x y +=,因为819988−=,所以焦点坐标为320,⎛ ⎝⎭. (2)将=1x −代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ,由对称性不妨设()1,3M −,()1,3N −−, 直线MT 的方程为()3313y x =−−−,即3490x y +−=, 设圆Q 方程为()222x t y r −+=,由于内切圆Q 在TMN △的内部,所以1t >−, 则Q 到直线MN 和直线MT 的距离相等,即223409134t t r +⨯−+==+,解得12t =,32r =,所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭.(3)显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在, 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =−+,其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率.由圆Q 21132321k k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+,化简得:2812270k k +−=,则121232278k k k k ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩,由()122139881y k x x y ⎧=−+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++−+−−=, 可得21121848989A P A k k x x x k −−==+,所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫−−−−+=−+=−+= ⎪++⎝⎭()()()111113271218271833271291232k k k k k −−−+−===−−+−.同理22222848989B k k x k −−=+,32B y =−,所以直线AB 的方程为32y =−, 所以AB 与圆Q 相切,将32y =−代入229881x y +=得7x =所以7AB =P 到直线AB 的距离为92,设PAB 的周长为m ,则PAB 的面积1319272222ABC S m =⨯=⨯△, 解得67m =.所以PAB 的周长为67.【典例3-2】(2024·高三·浙江金华·阶段练习)设抛物线()2:20C y px p =>,直线=1x −是抛物线C 的准线,且与x 轴交于点B ,过点B 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,()1,A n 是不在直线l 上的一点,直线AM ,AN 分别与准线交于P ,Q 两点. (1)求抛物线C 的方程; (2)证明:BP BQ =:(3)记AMN △,APQ △的面积分别为1S ,2S ,若122S S =,求直线l 的方程. 【解析】(1)因为=1x −为抛物线的准线,所以12p=,即24p =, 故抛物线C 的方程为24y x = (2)如图,设l :1x ty =−,()()1122,,,M x y N x y , 联立24y x =,消去x 得2440y ty −+=,则()2Δ1610t =−>,且121244y y t y y +=⎧⎨=⎩,又AM :()1111y ny n x x −−=−−,令=1x −得()1121,1y n P n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭, 同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭,所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−,()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t −−++−=−=−=−++−,故BP BQ =.(3)由(2)可得:()()1222122222221nt y n y n S PQ ty ty t −−−==−=−−−22212211141212221nt S MN d t t t nt t −==++=−−+,由122S S =,得:212t −=,解得3t = 所以直线l 的方程为310x +=.【变式3-1】(2024·上海闵行·二模)如图,已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>,2C 的焦点F 是1C 的上顶点,过F 的直线交2C 于M 、N 两点,连接NO 、MO 并延长之,分别交1C 于A 、B 两点,连接AB ,设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OABS.(1)求p 的值; (2)求OM ON ⋅的值; (3)求OMNOABS S 的取值范围. 【解析】(1)椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1,则抛物线2C 的焦点为()0,1F ,故2p =.(2)若直线MN 与y 轴重合,则该直线与抛物线2C 只有一个公共点,不符合题意, 所以直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为1y kx =+,点()11,M x y 、()22,N x y ,联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx −−=,216160k ∆=+>恒成立,则124x x =−,221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=−+=−.(3)设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ,其中10k >,20k <,联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=,解得2141x k =+ 点A 在第三象限,则2141A x k =+点B 在第四象限,同理可得2241B x k =+,且121212121164y y x x k k x x ===− 121222124141OMN OAB B AOM ONx x x x S S OB OA x x k k ⋅⋅⋅===⋅⋅++()()2221212114141424k k k k ++++2121124224k k ≥⋅+, 当且仅当112k =时,等号成立. OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞. 【变式3-2】(2024·辽宁·二模)已知点P 为双曲线22:14x E y −=上任意一点,过点P 的切线交双曲线E 的渐近线于,A B 两点. (1)证明:P 恰为AB 的中点;(2)过点P 分别作渐近线的平行线,与OA 、OB 分别交于M 、N 两点,判断PMON 的面积是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由;【解析】(1)由切线不可能平行于x 轴,即切线的斜率不可能为0, 设切线方程为:l x ty m =+,联立方程组2214x ty m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩,整理得222(4)240t y tmy m −−+=+, 所以()()222Δ24(4)40tm t m =−−−=,可得2240t m +−=,即224m t =−,所以22220m y tmy t −++=,即2()0my t −=,所以t y m =,则2t x m m=+,所以点2(,)t tP m m m+,又由双曲线22:14x E y −=的渐近线方程为12y x =±,联立方程组12y xx ty m⎧=⎪⎨⎪=+⎩,可得2,22m m x y t t ==−−,即2(,)22m m A t t −−, 联立方程组12y xx ty m⎧=−⎪⎨⎪=+⎩,可得2,22m m x y t t −==++,即2(,)22m m B t t −++,所以222222244422244m mm tm m tmm m t t t t m m+++−−+====−− 222224m mtm tm t t t t m m−+−+===−,所以AB 的中点坐标为4(,)t m m又因为2224t t m m m m m++==,所以4(,)t P m m ,所以点P 与AB 的中点重合.(2)由2(,)22m m A t t−−,2(,)22m mB t t −++, 可得2222225()()22(2)m m m OA t t t =+=−−−,2222225()()22(2)m m m OB t t t −=+=+++, 所以44422222425252525[(2)(2)](4)m m m OA OB t t t m ⋅====−+−,即5OA OB =, 又由22223322224m m m m m OA OB t t t t t−⋅=⨯+⨯==−+−+−,可得3cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠==, 所以24sin 1cos 5AOB AOB ∠=−∠=, 所以114sin 52225AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=, 因为P 为AB 的中点,所以112122PMON AOBS S ==⨯=, 所以四边形PMON 的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题1、已知00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的定点,直线l (不过P 点)与椭圆交于A ,B 两点,且0PA PBk k +=,则直线l 斜率为定值2020b x a y .2、已知00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上的定点,直线l (不过P 点)与双曲线交于A ,B 两点,且0PA PBk k +=,直线l 斜率为定值2020b x a y −.3、已知00(,)P x y 是抛物线22y px =上的定点,直线l (不过P 点)与抛物线交于M ,N 两点,若0PA PB k k +=,则直线l 斜率为定值0p y −. 4、00(,)P x y 为椭圆222:x y a bΓ2+=1)0,0(a b >>上一定点,过点P 作斜率为1k ,2k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点.(1)若12(0)k k λλ+=≠,则直线MN 过定点2000222(,)y b x x y aλλ−−−; (2)若2122()b k k a λλ⋅=≠,则直线MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b λλλλ++−−−.5、设00(,)P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点,过P 作两条直线AB ,CD 交椭圆222:x y a b Γ2+=1)0,0(a b >>于A 、B 、C 、D ,直线AB ,CD 的斜率分别为1k ,2k ,弦AB ,CD 的中点记为M ,N .(1)若12(0)k k λλ+=≠,则直线MN 过定点2002(,)y b x x aλλ−−;(2)若2122()b k k a λλ⋅=≠,则直线MN 过定点22002222(,)a x b y a b a b λλλ−−.6、过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)P x y 引两条弦PA ,PB ,直线PA ,PB 斜率存在,分别记为12,k k ,即12(0)k k λλ+=≠,则直线AB 经过定点00022(,)y px y λλ−−.【典例4-1】(2024·上海徐汇·二模)已知椭圆22:143x y C +=,12A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点,12F F 、分别为左、右焦点,直线l 交椭圆C 于M N 、两点(l 不过点2A ).(1)若Q 为椭圆C 上(除12A A 、外)任意一点,求直线1QA 和2QA 的斜率之积; (2)若112NF F M =,求直线l 的方程;(3)若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12k k 、,且1294k k =−,求证:直线l 过定点.【解析】(1)在椭圆 22:143x y C +=中,左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A −、,设点()000,(2)Q x y x ≠±,则12202000220000314322444QA QA x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−. (2)设()()1122,,,M x y N x y ,由已知可得1(1,0)F −,122111(1,)(+1,)NF x y F M x y =−−−=,,由112NF F M =得2211(1,)2(+1,)−−−=x y x y ,化简得2121=322x x y y −−⎧⎨=−⎩代入2222143x y +=可得22114(32)(32)1−−−+=x y ,联立2211143x y +=解得117=435=x y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩由112NF F M =得直线l 过点1(1,0)F −,73(,5)48−N , 所以,所求直线方程为5=1)y x ±+.(3)设()()3344,,,M x y N x y ,易知直线l 的斜率不为0,设其方程为x my t =+(2t ≠),联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得()2223463120m y mty t +++−=,由2222364(34)(312)0m t m t ∆=−+−>,得2234t m <+.由韦达定理,得234342263123434,−+=−=++mt t y y y y m m .1294k k =−,34349224∴⋅=−−−y y x x . 可化为()()343449220y y my t my t ++−+−=, 整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym t y y t ++−++−=,()222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m −⎛⎫∴+⨯+−−+−= ⎪++⎝⎭,由20t −≠,进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m tt m m ++−+−=++,化简可得16160t −=,解得1t =, 直线MN 的方程为1x my =+,恒过定点(1,0).【典例4-2】(2024·全国·模拟预测)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为()(),,2,2A B C a b D a b −,直线AC 的斜率为12,直线AC 与椭圆E 交于另一点G ,且点G 到x 轴的距离为43. (1)求椭圆E 的方程.(2)若点P 是E 上与点,A B 不重合的任意一点,直线,PC PD 与x 轴分别交于点,M N . ①设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ,求2112k k k k −的取值范围. ②判断22||AM BN +是否为定值.若为定值,求出该定值;若不为定值,说明理由.【解析】(1)由题意知,(),0A a −.由直线AC 的斜率为12()2012b a −=,所以2a b =. 直线AC 的方程为()12y x a =+. 设(),G s t ,则0,0s t >>.由点G 到x 轴的距离为43,得43t =. 由点G 在直线AC 上,得()4132s a =+,所以83s a =−.由点G 在椭圆E 上,得2222843312a a a⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,解得2a =.所以2b =.所以椭圆E 的方程为22142x y+=.(2)①设()00,P x y (020y ≤<或002y < 由(1)知,()()2,2,2,2C D −, 则00120022,22PC PD y y k k k k x x −−====−+, 所以0021121200002211442222x x k k k k k k y y y y −+−−=−=−==−−−−. 由020y −<或002y <≤得02222y −<或02222y <−≤ 所以0442222y −<−或0424222y <≤+− 故2112k k k k −的取值范围是)(422,22,422⎡−⋃+⎣. ②由①知2200142x y +=,即2220004x y y +=−.设()()12,0,,0M x N x . 因为,,P C M 三点共线, 所以00120222y x x −−=−−,得0001002422222x y x x y y −+−=+=−−.因为,,P D N 三点共线,所以00220222y x x −−=++, 得0002002422222x x y x y y −−−−=−=−−.所以()()222222000012002222222222y x x y AM BN x x y y ⎛⎫⎛⎫−−−+=++−=++−= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭()220002008816822x y y y y +++=−−()()()()()2000220000848221616882222y y y yy y y y y −+−++=++=−−−−()0000821681622y y y y −+++=−−.故22||AM BN +为定值16.【变式4-1】(2024·高三·上海闵行·期中)已知双曲线C :()222210,0x y a b a b −=>>2()3,1−在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点. (1)求双曲线C 的方程;(2)若()2,0M −,试问:是否存在直线l ,使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点()4,2P −,直线AP 交直线2x =−于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ,求证:12k k −为定值.【解析】(1)由双曲线2222y :1x C a b −=2,且()3,1M −在双曲线C 上,可得222229112a b c e a c a b ⎧−=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得228,8a b ==,∴双曲线的方程为22188x y −=.(2)双曲线C 的左焦点为()4,0F −,当直线l 的斜率为0时,此时直线为0y =,与双曲线C 左支只有一个交点,舍去; 当直线l 的斜率不为0时,设:4l x my =−,联立方程组2248x my x y =−⎧⎨−=⎩,消x 得()221880m y my −−+=,易得Δ0>, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12122288,011m y y y y m m +==<−−,可得11m −<<, ∵()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+,则()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=−−+()()()22212122281161244411m mm y y m y y m m +=+−++=−+=−−−,即0MA MB ⋅≠,可得MA 与MB 不垂直,∴不存在直线l ,使得点M 在以AB 为直径的圆上. (3)由直线()1:24AP y k x −=+,得(12,22)Q k −+, ∴2121222222222y k y k k x my −−−−==+−,又11111224PAy y k k x my −−===+,∴()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my −−−−−−−−−=−=−− ()2111112224222my y my mk y my my −−+++=−,∵1112y k my −=,∴1112k my y =−,且1212y y my y +=, ∴()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y −−−===−−+−,即12k k −为定值.【变式4-2】(2024·全国·模拟预测)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ,从下面3个条件中选出2个作为已知条件,并回答下面的问题:①点()32,1P −在双曲线C 上;②点Q 在双曲线C 上,1290QF F ∠=︒,且113QF =;③双曲线C 的一条渐近线与直线33y x =−垂直. (1)求双曲线C 的方程;(2)设,A B 分别为双曲线C 的左、右顶点,过点()0,1−的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点,若AMBNk a k =−,求直线l 的斜率.【解析】(1)选①②,因为点()32,1P −在双曲线C 上,所以221811a b −=, 由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−,因为点Q 在双曲线C 上,所以22221Q y ca b−=,所以2Q b y a =±,又113QF =,所以213b a =,联立222181113a b b a ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以3,1a b ==(负值舍去),故双曲线C 的方程为2219x y −=;选①③, 由①,得221811a b −=,由③,得31ba−⨯=−, 联立22181131a b b a⎧−=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩,解得3,1a b ==(负值舍去),故双曲线C 的方程为2219x y −=,选②③,由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−,因为点Q 在双曲线C 上,所以22221Q y ca b−=,所以2Q b y a =±,又113QF =,所以213b a =,又由③,得31ba−⨯=−,联立21331b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩,解得3,1a b ==(负值舍去),故双曲线C 的方程为2219x y −=.(2)依题意可知()()3,0,3,0A B −,易知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为1y kx =−,()()1122,,,M x y N x y ,联立22119y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩,消去y 并整理,得()221918180k x kx −+−=, 由()()()222Δ(18)4191836290k k k =−−⨯−=−>,且2190k −≠,得229k <且219k ≠,所以1212221818,1919k x x x x k k +=−=−−−, 又221119x y −=,即221199x y −=,则1111339y x x y −=+, 所以()()11121122122233339933AMBNy x x x k x y y y k y y x x −−−+===−−()()()()()121212122121212393991191x x x x x x x x kx kx k x x k x x −++−++==−−⎡⎤−++⎣⎦2222222218183996119193911818911919kk k k k k k k k k −+⨯+−+−−===−−⎛⎫−++ ⎪−−⎝⎭, 整理得218310k k −−=,解得16k =−或13k =(舍去),故直线l 的斜率为16−.05 定点定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”,具体操作程序如下:(1)变量----选择适当的量为变量.(2)函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. (3)定值----化简得到的函数解析式,消去变量得到定值. 2、求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明该定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理过程中消去变量,从而得到定值. 3、求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明; (2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明. 一般解题步骤:①斜截式设直线方程:y kx m =+,此时引入了两个参数,需要消掉一个.②找关系:找到k 和m 的关系:m =()f k ,等式带入消参,消掉m . ③参数无关找定点:找到和k 没有关系的点.【典例5-1】(2024·全国·模拟预测)已知离心率为23的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,点P 为椭圆C 上的动点,且12A PA 面积的最大值为35():20l x my m =−≠与椭圆C 交于,A B 两点,点()1,0D −,直线,AD BD 分别交椭圆C 于,G H 两点,过点2A 作直线GH 的垂线,垂足为M . (1)求椭圆C 的方程.(2)记直线GH 的斜率为k ,证明:km 为定值.(3)试问:是否存在定点N ,使MN 为定值?若存在,求出定点N 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意,得22235,2,3,ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2229,5,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=. (2)证明:设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y H x y . 又()1,0D −,所以可设直线AD 的方程为1111x x y y +=−. 联立椭圆方程与直线AD 的方程,得112211,1.95x x y y x y +⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ,得()()222211111519101400x y y x y y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦. 又2211195x y +=,所以22115945x y +=,可得()()2211115140x y x y y y +−+−=.由根与系数的关系,得2113145y y y x −=+,则13145y y x −=+,所以11131111459155x y x x y x x +−−−=⋅−=++,同理,得224422594,55x y x y x x −−−==++. 从而直线GH 的斜率()()()()()()2112214321214312212144454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x −−−+−+−++====−−−−−++−++−++()()()122112454516y x y x x x +−+−.又11222,2x my x my =−=−, 所以()()()()()1221121212434312316164y my y my y y k x x x x m +−+−===−−,即34km =,为定值. (3)由(2)可得直线GH 的方程为11114594355y x m x y x x ⎛⎫+=⋅+− ⎪++⎝⎭. 由椭圆的对称性可知,若直线GH 恒过定点,则此定点必在x 轴上, 所以令0y =,得()()()()()11111111116235916595135535353x x my x x x x x x x +−+++=−===++++.故直线GH 恒过定点T ,且点T 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭.因为2A M GH ⊥,垂足为M ,且()23,0A ,所以点M 在以2A T 为直径的圆上运动.故存在点5,03N ⎛⎫⎪⎝⎭,使21423MN A T ==.【典例5-2】(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为25点3)D 在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线:1l x my =+与C 的右支交于A ,B 两点,点E 与点A 关于x 轴对称,点D 在x 轴上的投影为点G . (ⅰ)求m 的取值范围; (ⅱ)求证:直线BE 过点G .【解析】(1)由已知得222251631a b a b ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩,解得224,1a b ==,所以C 的方程为2214x y −=.(2)(i )设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,E x y −,联立22144x my x y =+⎧⎨−=⎩, 消去x 得()224230m y my −+−=,则240m −≠,()()222Δ41241630m m m =+−=−>,解得||3m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ,B 两点,C 的渐近线方程为12y x =±,则11||2m >,即0||2m <<, 所以|m 的取值范围为(3,2). (ii )由(i )得12224my y m +=−−,12234y y m −=−, 又点3)D 在x 轴上的投影为(4,0)G ,所以()224,GB x y =−,()114,GE x y =−−, 所以()()122144x y x y −+−()()122133my y my y =−+−()121223my y y y =−+,223223044mm m m −−=⋅−⋅=−−, 所以//GB GE ,又GB ,GE 有公共点G ,所以B ,G ,E 三点共线,所以直线BE 过点G .【变式5-1】(2024·陕西西安·一模)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,且1F ,2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形,点23P ⎝⎭在椭圆E ,过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ,CD 分别交椭圆E 于A ,B 和点C ,D ,且点M ,N 分别是弦AB ,CD 的中点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)若()0,1D ,求以CD 为直径的圆的方程;(3)直线MN 是否过x 轴上的一个定点?若是,求出该定点坐标;若不是,说明理由. 【解析】(1)因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23P ⎝⎭, 且1F ,2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形, 可得b c =,则22222a b c b =+=,所以2223122b b+=⨯,解得222,1a b ==, 所以椭圆E 的标准分别为2212x y +=.(2)由(1)得1(1,0),(0,1)F D −,所以直线CD 的方程为1x y +=,联立方程组22112x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得41,33x y ==−或0,1x y ==,所以41(,)33C −, 则CD 的中点为21(,)33N 且423CD =CD 为直径的圆的方程为22218()()339x y −+−=. (3)设直线AB 的方程为1x my =+,且0m ≠,则直线CD 的方程为11x y m=−+, 联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得22(2)210m y my ++−=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则0∆>且12122221,22y y y y m m +=−=−++, 所以12121224(1)(1)()22x x my my m y y m +=+++=++=+, 由中点坐标公式得222(,)22mM m m −++, 将M 的坐标中的用1m −代换,可得CD 的中点为2222(,)2121m mN m m ++,所以232(1)MN mk m =−,所以直线MN 的方程为22232()22(1)2m m y x m m m +=−+−+,即23(1)12m y x m =−−,则直线MN 过定点2(,0)3. 【变式5-2】(2024·浙江·二模)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>左右焦点分别为1F ,2F ,点()3,2P 在双曲线上,且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65,过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ,2l ,已知1l 与C 双曲线左支交于A ,B 两点,2l 与C 左右两支分别交于E ,F 两点. (1)求双曲线C 的方程;(2)若线段AB ,EF 的中点分别为M ,N ,求证:直线MN 恒过定点,并求出该定点坐标. 【解析】(1)设双曲线C 的两渐近线方程分别为b y x a=,by x a =−,点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc −−+⨯==,由题意可得:222222229465941a b c b a c a b ⎧+=⎪⎪−⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩,解得23a =,22b =, 所以双曲线C 的方程为22132x y −=.(2)设直线1l 的方程为(5y k x =, 由1l ,2l 互相垂直得2l 的方程(15y x k=−, 联立方程得(225132y k x x y ⎧=⎪⎨⎪−=⎩,消y 得()222223651560k x k x k −−−−=,0∆>成立,所以212352M x x k x +=,(255M M ky k x == 所以点M 坐标为23525k k ⎝⎭,联立方程得(2215132y x k x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩,所以34352N x x x +==(1255N N k y x k −=−=, 所以点N 坐标为223525,2323k k k ⎛⎫− ⎪ ⎪−−⎝⎭,根据对称性判断知定点在x 轴上, 直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x −−=−−,则当0y =时,222223525352523232323351252525M N N M N M k k kx y x y k k k k x y y kk k −−−−−−===−−−−−−所以直线MN 恒过定点,定点坐标为()35,0−.1.已知椭圆Γ:()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ,离心率3e =()2,1P −的直线l 与椭圆Γ交于B ,C 两点,直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .(1)求椭圆Γ的方程;(2)已知命题“对任意直线l ,线段MN 的中点为定点”为真命题,求AMN 的重心坐标;(3)是否存在直线l ,使得2AMN ABC S S =△△?若存在,求出所有满足条件的直线l 的方程;若不存在,请说明理由.(其中AMNS、ABCS分别表示AMN 、ABC 的面积)【解析】(1)依题意1b =,3c e a ==222c a b =−, 解得2a =,所以椭圆Γ的方程为2214x y +=;(2)因为命题“对任意直线l ,线段MN 的中点为定点”为真命题,。
2024年高考数学专题18 圆锥曲线高频压轴解答题(16大题型)(练习)(原卷版)
专题18 圆锥曲线高频压轴解答题目录01 轨迹方程 (2)02 向量搭桥进行翻译 (3)03 弦长、面积背景的条件翻译 (4)04 斜率之和差商积问题 (5)05 弦长、面积范围与最值问题 (6)06 定值问题 (7)07 定点问题 (9)08 三点共线问题 (10)09 中点弦与对称问题 (11)10 四点共圆问题 (12)11 切线问题 (13)12 定比点差法 (14)13 齐次化 (16)14 极点极线问题 (16)15 同构问题 (18)16 蝴蝶问题 (19)01 轨迹方程1.(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条浙近线方程为y x =,且点P在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程;(2)设双曲线左右顶点分别为,A B ,在直线1x =上取一点()()1,0P t t ¹,直线AP 交双曲线右支于点C ,直线BP 交双曲线左支于点D ,直线AD 和直线BC 的交点为Q ,求证:点Q 在定直线上.2.(2024·重庆·统考模拟预测)已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍,直线12y x =被椭圆截得的弦长为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N ,P ,Q 为椭圆C 上的动点,且四边形MNPQ 为菱形,原点О在直线MN 上的垂足为点H ,求H 的轨迹方程.3.(2024·福建莆田·统考一模)曲线C 上任意一点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线4x =的距离之比等于(4,0)M 且与x 轴不重合的直线l 与C 交于不同的两点,A B .(1)求C 的方程;(2)求证:ABF △内切圆的圆心在定直线上.02 向量搭桥进行翻译4.(2024·陕西咸阳·校考模拟预测)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是双曲线2213x y -=的离心率的倒数,椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F ,上顶点为P ,且122PF PF ×=-uuu r uuu u r.(1)求椭圆C 的方程;(2)当过点()0,2Q 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点,A B 时,设AQ QB l =uuu ruuu r,求l 的取值范围.5.(2024·上海奉贤·统考一模)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为,椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ,直角坐标原点记为O .设点()0,P t ,过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B 、C .(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆上有一动点T ,求()12PT TF TF ×-uuu r uuu r uuu r的取值范围;(3)设线段BC 的中点为M ,当t ³Q ,使得非零向量OM uuuu r与向量PQ uuu r 平行,请说明理由.6.(2024·云南昆明·高三统考期末)已知动点P 到定点()0,4F 的距离和它到直线1y =距离之比为2;(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)直线l 在x 轴上方与x 轴平行,交曲线C 于A ,B 两点,直线l 交y 轴于点D .设OD 的中点为M ,是否存在定直线l ,使得经过M 的直线与C 交于P ,Q ,与线段AB 交于点N ,PM PN l =uuuu r uuu r ,MQ QN l =uuuur uuu r 均成立;若存在,求出l 的方程;若不存在,请说明理由.03 弦长、面积背景的条件翻译7.(2024·陕西榆林·统考一模)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过()830,1,,55A P æö-ç÷èø两点.(1)求C 的方程;(2)斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点,且点A 不在l 上,AM AN ^,过点P 作y 轴的垂线,交直线=1x -于点S ,与椭圆C 的另一个交点为T ,记SMN V 的面积为1S ,TMN △的面积为2S ,求12S S .8.(2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点为1F ,2F ,若E 上任意一点到两焦点的距离之和为4,且点æççè在E 上.(1)求椭圆E 的方程;(2)在(1)的条件下,若点A ,B 在E 上,且14OA OB k k ×=-(O 为坐标原点),分别延长AO ,BO 交E 于C ,D 两点,则四边形ABCD 的面积是否为定值?若为定值,求四边形ABCD的面积,若不为定值,请说明理由.9.(2024·上海·高三上海市大同中学校考期末)已知双曲线H :2214x y -=的左、右焦点为1F ,2F ,左、右顶点为1A ,2A ,椭圆E 以1A ,2A 为焦点,以12F F 为长轴.(1)求椭圆E 的离心率;(2)设椭圆E 交y 轴于1B ,2B ,过1B 的直线l 交双曲线H 的左、右两支于C ,D 两点,求2B CD △面积的最小值;(3)设点(),M m n 满足224m n <.过M 且与双曲线H 的渐近线平行的两直线分别交H 于点P ,Q .过M 且与PQ 平行的直线交H 的渐近线于点S ,T .证明:MSMT为定值,并求出此定值.04 斜率之和差商积问题10.(2024·贵州铜仁·校联考模拟预测)在平面直角坐标系中,已知过动点(),M x y 作x 轴垂线,分别与1y =和4y =-交于P ,Q 点,且()12,0A -,()22,0A ,若实数l 使得212OP OQ MA MA l ×=×uuu r uuu r uuuu r uuuu r成立(其中O 为坐标原点).(1)求M l 为何值时M 点的轨迹为椭圆;(2)当l =()4,0B 的直线l 与轨迹M 交于y 轴右侧C ,D 两点,证明:直线1A C ,2A D 的斜率之比为定值.11.(2024·安徽·高三校联考期末)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点()04,P y 是抛物线C 上一点,点Q 是PF 的中点,且Q 到抛物线C 的准线的距离为72.(1)求抛物线C 的方程;(2)已知圆22:(2)4M x y -+=,圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,求证:OA ,OB 的斜率之差的绝对值为定值.12.(2024·海南海口·统考模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ,焦点到渐近线的距离为2.直线l 过点(),0(02)P t t <<,且垂直于x 轴,过P 的直线l ¢交C 的两支于,G H 两点,直线,AG AH 分别交l 于,M N 两点.(1)求C 的方程;(2)设直线,AN OM 的斜率分别为12,k k ,若1212k k ×=,求点P 的坐标.05 弦长、面积范围与最值问题13.(2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点,直线1l 过点2F 与椭圆交于,A B 两点,且12AF F △的周长为(2a +.(1)求椭圆M 的离心率;(2)直线2l 过点2F ,且与1l 垂直,2l 交椭圆M 于,C D 两点,若a =ACBD 面积的范围.14.(2024·河南·统考模拟预测)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过F 的直线l 交C 于,A B 两点,过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点,其中,B D 在x 轴上方,,M N 分别为,AB DE 的中点.(1)证明:直线MN 过定点;(2)设G 为直线AE 与直线BD 的交点,求GMN V 面积的最小值.15.(2024·上海嘉定·统考一模)抛物线24y x =上有一动点(,),0P s t t >.过点P 作抛物线的切线l ,再过点P 作直线m ,使得m l ^,直线m 和抛物线的另一个交点为Q .(1)当1s =时,求切线l 的直线方程;(2)当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时,求三角形OPQ 的面积(点O 是坐标原点);(3)求出线段||PQ 关于s 的表达式,并求||PQ 的最小值;06 定值问题16.(2024·全国·模拟预测)如图,已知12,F F 分别为椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点,P 为椭圆C 上一点,若12124PF PF PF PF +=-=uuu r uuu u r uuu r uuu u r,122PF F S =△.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点P 坐标为),设不过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,A 关于原点的对称点为A ¢,记直线l ,PB ,PA ¢的斜率分别为k ,1k ,2k ,若1213k k ×=,求证:直线l 的斜率k 为定值.17.(2024·安徽·高三校联考阶段练习)已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别是C 的左、右焦点.若C 的离心率2e =,且点()4,6在C 上.(1)求C 的方程.(2)若过点2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点(不同于双曲线的顶点),问:2211AF BF -是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.18.(2024·全国·高三阶段练习)如图所示,已知抛物线()21,0,1,,y x M A B =-是抛物线与x 轴的交点,过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于,C D 两点,与x 轴交于点Q ,直线AC 与直线BD 交于点P .(1)求CM DM CD×的取值范围;(2)问在平面内是否存在一定点T ,使得TP TQ ×uur uuu r为定值?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.07 定点问题19.(2024·广东广州·广东实验中学校考一模)设抛物线2:2(0)E y px p =>,过焦点F 的直线与抛物线E 交于点()11,A x y 、()22,B x y .当直线AB 垂直于x 轴时,2AB =.(1)求抛物线E 的标准方程.(2)已知点()1,0P ,直线AP 、BP 分别与抛物线E 交于点C 、D .求证:直线CD 过定点.20.(2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左,右顶点分别为A 、B ,点F 是椭圆的右焦点,3AF FB =uuu r uuu r ,3AF FB ×=uuu r uuu r .(1)求椭圆C 的方程;(2)经过椭圆右焦点F 且斜率不为零的动直线l 与椭圆交于M 、N 两点,试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ,使||||||||MF NT NF MT ×=×恒成立?若存在,求出T 点坐标,若不存在,说明理由.21.(2024·四川甘孜·统考一模)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F E 的准线l 交x 轴于点K ,过K 的直线l 与抛物线E 相切于点A ,且交y 轴正半轴于点P .已知E 上的动点B 到点F 的距离与到直线2x =-的距离之和的最小值为3.(1)求抛物线E 的方程;(2)过点P 的直线交E 于,M N 两点,过M 且平行于y 轴的直线与线段OA 交于点T ,点H 满足MT TH =uuur uuu r.证明:直线HN 过定点.08 三点共线问题22.(2024·广东·高三校联考阶段练习)点F 是抛物线G :22y px =(0p >)的焦点,O 为坐标原点,过点F 作垂直于x 轴的直线l ,与抛物线G 相交于A ,B 两点,AB 4=,抛物线G 的准线与x 轴交于点K .(1)求抛物线G 的方程;(2)设C 、D 是抛物线G 上异于A 、B 两点的两个不同的点,直线AC 、BD 相交于点E ,直线AD 、BC 相交于点G ,证明:E 、G 、K 三点共线.23.(2024·贵州毕节·校考模拟预测)已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点,当AB 平行于y 轴时,2AB =.(1)求抛物线C 的方程;(2)若O 为坐标原点,过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D ,过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为,E AE 的中点为G ,证明:,,G B D 三点共线.24.(2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末)已知A ,B 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点,P 为椭圆上异于A ,B 的一点,直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-,且椭圆C 过点12ö÷ø.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线AP ,BP 分别与直线:4l x =相交于M ,N 两点,且直线BM 与椭圆C 交于另一点Q ,证明:A ,N ,Q 三点共线.09 中点弦与对称问题25.(2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期末)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12,椭圆上的点到焦点的最小距离是3.(1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在过点31,2Q æöç÷èø的直线交曲线C 于AB 两点,使得Q 为AB 中点?若存在,求该直线方程,若不存在,请说明理由.26.(2024·全国·高三专题练习)已知圆22:(3)4M x y ++=,圆22:(3)100N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C (1)求C 的方程;(2)是否存在过点31,2Q æöç÷èø的直线交曲线C 于AB 两点,使得Q 为AB 中点?若存在,求该直线方程,若不存在,请说明理由.27.(2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F -,且点F 到C 的左、右顶点的距离之积为5.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点F 作斜率乘积为1-的两条直线1l ,2l ,1l 与C 交于A ,B 两点,2l 与C 交于D ,E 两点,线段AB ,DE 的中点分别为M ,N .证明:直线MN 与x 轴交于定点,并求出定点坐标.10 四点共圆问题28.(2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知双曲线22:1x C a =的离心率为2,过C 上的动点M 作曲线C 的两渐近线的垂线,垂足分别为A 和,B ABM V .(1)求曲线C 的方程;(2)如图,曲线C 的左顶点为D ,点N 位于原点与右顶点之间,过点N 的直线与曲线C 交于,G R 两点,直线l 过N 且垂直于x 轴,直线DG ,DR 分别与l 交于,P Q 两点,若,,,O D P Q 四点共圆,求点N 的坐标.29.(2024·河南·高三校联考阶段练习)已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点D 在C 上,132DF =,252DF =,212DF F F >,且12DF F △的面积为32.(1)求C 的方程;(2)设C 的左顶点为A ,直线:6l x =-与x 轴交于点P ,过P 作直线交C 于G ,H 两点直线AG ,AH 分别与l 交于M ,N 两点,O 为坐标原点,证明:O ,A ,N ,M 四点共圆.30.(2024·江苏南通·统考模拟预测)已知动圆M 过点(1,0)F 且与直线=1x -相切,记动圆圆心M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)若直线():0l x m m =<与x 轴相交于点P ,点B 为曲线C 上异于顶点O 的动点,直线PB 交曲线C 于另一点D ,直线BO 和DO 分别交直线l 于点S 和T .若,,,O F S T 四点共圆,求m 的值.11 切线问题31.(2024·河南周口·高三校联考阶段练习)已知点()2,1A 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上,点,B C 为椭圆M 上异于点A 的两点.(1)求椭圆M 的方程;(2)若AB AC ^,过点,B C 两点分别作椭圆M 的切线,这两条切线的交点为D ,求AD 的最小值.32.(2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习)如图所示,已知椭圆C :22163x y +=与直线l :163xy +=.点P 在直线l 上,由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ,A 、B 为切点,O 是坐标原点.(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点,求PAB V 的面积S ;(2)若OD AB ^,D 为垂足,求证:存在定点Q ,使得DQ 为定值.(注:椭圆22221x ya b+=在其上一点处()00,M x y 的切线方程为00221x x y ya b+=)33.(2024·辽宁辽阳·高三统考期末)在平面直角坐标系xOy 内,已知定点()2,0F ,定直线3:2l x =,动点P 到点F 和直线l P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程.(2)以曲线E 上一动点M 为切点作E 的切线l ¢,若直线l ¢与直线l 交于点N ,试探究以线段MN 为直径的圆是否过x 轴上的定点.若过定点.求出该定点坐标;若不过,请说明理由.12 定比点差法34.(2024·吉林·统考一模)已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4,椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>经过抛物线1C 的焦点F .(1)求抛物线1C 的方程及a ;(2)已知O 为坐标原点,过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ,B 两点,若=uuuu r uuurAM mMB ,点N 满足=-uuu r uuu r AN mNB ,且||ON 最小值为125,求椭圆2C 的离心率.35.(2024·江苏·高二专题练习)已知椭圆()2222:10x y a b a bG +=>>的离心率为23,半焦距为()0c c >,且1a c -=.经过椭圆的左焦点F ,斜率为()110k k ¹的直线与椭圆交于A 、B 两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆G 的标准方程;(2)当11k =时,求AOB S V 的值;(3)设()1,0R ,延长AR ,BR 分别与椭圆交于C ,D 两点,直线CD 的斜率为2k ,求证:12k k 为定值.36.(2024·安徽合肥·统考一模)在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点,M是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点,过,,M F O 三点的圆的圆心为N ,点N 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程;(2)当过点()4,1P 的动直线l 与抛物线C 相交于不同点,A B 时,在线段AB 上取点Q ,满足AP QB AQ PB ×=×u u u r u u u r u u u r u u r,证明:点Q 总在某定直线上.13 齐次化37.已知椭圆22:13x C y +=,()0,1B ,P ,Q 为上的两个不同的动点,23BP BQ k k =,求证:直线PQ 过定点.38.已知椭圆22:14x C y +=,设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ,B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-,证明:直线l 过定点.39.如图,椭圆22:12x E y +=,经过点(1,1)M ,且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ,Q(均异于点(0,1)A -,证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2.14 极点极线问题40.(2024·江苏南通·高二统考开学考试)已知双曲线C :22221x y a b -=(0a >,0b >)实轴端点分别为()1,0A a -,()2,0A a ,右焦点为F ,离心率为2,过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ,已知1A BF △的面积为92.(1)求双曲线的方程;(2)若过F 的直线l ¢与双曲线C 交于M ,N 两点,试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上?若在,请求出该定直线方程;如不在,请说明理由.41.(2024·安徽六安·校联考一模)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12,短轴长为(1)求椭圆C 的方程;(2)设A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点,若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,直线AM 与BN 相交于点Q .证明:点Q 在定直线上.42.(2024·北京海淀·统考模拟预测)已知椭圆M :22221x y a b +=(a >b >0)过A (-2,0),B (0,1)两点.(1)求椭圆M 的离心率;(2)设椭圆M 的右顶点为C ,点P 在椭圆M 上(P 不与椭圆M 的顶点重合),直线AB 与直线CP 交于点Q ,直线BP 交x 轴于点S ,求证:直线SQ 过定点.15 同构问题43.(2024·广东广州·统考一模)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2,圆M 与y 轴相切,且圆心M 与抛物线C 的焦点重合.(1)求抛物线C 和圆M 的方程;(2)设()()000,2P x y x ¹为圆M 外一点,过点P 作圆M 的两条切线,分别交抛物线C 于两个不同的点()()1122,,,A x y B x y 和点()()3344,,,Q x y R x y .且123416y y y y =,证明:点P 在一条定曲线上.44.(2024·湖北襄阳·襄阳五中校考一模)已知抛物线21:C y x =,圆()222:41C x y -+=.(1)求圆心2C 到抛物线1C 准线的距离;(2)已知点P 是抛物线1C 上一点(异于原点),过点P 作圆2C 的两条切线,交抛物线1C 于A 、B 两点,若直线2PC 的斜率为1k ,直线AB 的斜率为2k ,125·24k k =-,求点P 的坐标.45.(2024·内蒙古呼和浩特·统考一模)拋物线C 的顶点为坐标原点O ,焦点在x 轴上,直线l :2x =交C 于P ,Q 两点,且OP OQ ^.已知点M 的坐标为()4,0,M e 与直线l 相切.(1)求抛物线C 和M e 的标准方程;(2)已知点()8,4N ,点1A ,2A 是C 上的两个点,且直线1NA ,2NA 均与M e 相切.判断直线12A A 与M e 的位置关系,并说明理由.46.(2024·浙江杭州·高二萧山中学校考期末)已知圆C 的方程为:()()22210x y r r ++=>(1)已知过点15,22M æö-ç÷èø的直线l 交圆C 于,A B 两点,若1r =,求直线l 的方程;(2)如图,过点()1,1N -作两条直线分别交抛物线2y x =于点P ,Q ,并且都与动圆C 相切,求证:直线PQ 经过定点,并求出定点坐标.16 蝴蝶问题47.(2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图,B ,A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点,P ,Q 是椭圆C 上都不与A ,B 重合的两点,记直线BQ ,AQ ,AP 的斜率分别是BQ k ,AQ k ,AP k .(1)求证:14BQ AQ k k ×=-;(2)若直线PQ 过定点6,05æöç÷èø,求证:4AP BQ k k =.48.(2024·江苏宿迁·高二统考期末)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1(F ,且过点P .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点,Q 为直线1x =上任意一点,直线12,AQ A Q 分别交椭圆C 于不同的两点,M N .求证:直线MN 恒过定点,并求出定点坐标.49.如图,椭圆的长轴12A A 与x 轴平行,短轴12B B 在y 轴上,中心为(0,)(0)M r b r >>.(1)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率;(2)直线1y k x =交椭圆于两点()()()11222,,,0C x y D x y y >;直线2y k x =交椭圆于两点()33,G x y ,()()444,0H x y y >.求证:1122341234k x x k x x x x x x =++;(3)对于(2)中的中的在C ,D ,G ,H ,设CH 交x 轴于P 点,GD 交x 轴于Q 点,求证:||||OP OQ =(证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x轴的情形)。
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全国名校高考数学专题训练08圆锥曲线(解答题1)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点.(Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求21PF PF ⋅的最大值和最小值;(Ⅱ)是否存在过点A (5,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ,使得|F 2C|=|F 2D|?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P (x ,y ),则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ,0=∴x 当,即点P 为椭圆短轴端点时,21PF ⋅有最小值3;当5±=x ,即点P 为椭圆长轴端点时,21PF ⋅有最大值4(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l 易知点A (5,0)在椭圆的外部,当直线l 的斜率不存在时,直线l 与椭圆无交点,所在直线l 斜率存在,设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩,得依题意220(1680)0k k ∆=-><<,得当5555<<-k 时,设交点C ),(),(2211y x D y x 、,CD 的中点为R ),(00y x , 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2-4,而20k 2=20k 2-4不成立,所以不存在直线l ,使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述,不存在直线l ,使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P (1,0),且与定直线L:x=-1相切,点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程;.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-(i )问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点C 的坐标;若不能,说明理由 (ii )当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.解:(1)依题意,曲线M 是以点P 为焦点,直线l 为准线的抛物线,所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C (-1,y ),使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此,直线l 上不存在点C ,使得△ABC 是正三角形.(ii )解法一:设C (-1,y )使△ABC 成钝角三角形,.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由,9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又, , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角.因此,当△ABC 为钝角三角形时,点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二:以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时,∠ACB 为直角,当C 与G 点不重合,且A , B ,C 三点不共线时,∠ACB 为锐角,即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此,要使△ABC 为钝角三角形,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ,B ,C 三点共线,不构成三角形.因此,当△ABC 为钝角三角形时,点C 的纵坐标y 的取值范围是:).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ,证明:⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上;(2)若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1),另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上,求顶点A 、B 的坐标。
解:(1)略;(2)A(2+3,2-3), B(2-3,2+3)或A(2-3,2+3), B(2+3,2-3)4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v =(1,21)为方向向量的直线l 过点(0, 45),抛物线C :px y 22=(p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上. (Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)设A 、B 是抛物线C 上两个动点,过A 作平行于x 轴的直线m ,直线OB 与直线m 交于点N ,若02=+⋅p (O 为原点,A 、B 异于原点),试求点N 的轨迹方程.解:(Ⅰ)由题意可得直线l :4521+=x y ① 过原点垂直于l 的直线方程为x y 2-=② 解①②得21-=x . ∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上. ∴2212⨯-=-p ,2=p ∴抛物线C 的方程为x y 42=.(Ⅱ)设),(11y x A ,),(22y x B ,),(y x N ,由02=+⋅p ,得042121=++y y x x .又1214x y =,2224x y =. 解得821-=y y ③ 直线ON :x x y y 22=,即x y y 24=④ 由③、④及1y y =得,点N 的轨迹方程为2-=x )0(≠y .5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB 过y 轴上一点),0(m P ,斜率为k ,两端点A ,B 到y 轴距离之差为k 4)0(>k ,(1)求以O 为顶点,y 轴为对称轴,且过A ,B 两点的抛物线方程;(2)设Q 为抛物线准线上任意一点,过Q 作抛物线的两条切线,切点分别为M ,N ,求证:直线MN 过一定点; 解:(1)设抛物线方程为)0(22>=p py x ,AB 的方程为m kx y +=, 联立消y 整理,得0222=--pm pkx x ;∴pk x x 221=+, 又依题有pk k x x 24||21==+,∴2=p ,∴抛物线方程为y x 42=;(2)设M )4,(211x x ,N )4,(222x x ,)1,(0-x Q ,∵21x k MQ =,∴MQ 的方程为⇒-=-)(241121x x x x y 042121=+-y x x x ;∵MQ 过Q ,∴0420121=--x x x ,同理0420222=--x x x ∴21,x x 为方程04202=--x x x 的两个根;∴421-=x x ;又421x x k MN+=,∴MN 的方程为)(4412121x x x x x y -+=-∴1421++=x x x y ,显然直线MN 过点)1,0( 6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点,点Q 在NP 上,点G 在MP 上,且满足0,2=⋅=. (I )求点G 的轨迹C 的方程;(II )过点(2,0)作直线l ,与曲线C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,设,OB OA OS +=是否存在这样的直线l ,使四边形OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由.解:(1)⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆,其长半轴长3=a ,半焦距5=c ,∴短半轴长b=2,∴点G 的轨迹方程是14922=+y x ………5分(2)因为OB OA OS +=,所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得|OS |=||,则四边形OASB 为矩形0=⋅∴OB OA 若l 的斜率不存在,直线l 的方程为x =2,由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴与矛盾,故l 的斜率存在. ………7分设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=0)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ① )]2()][2([2121--=x k x k y y4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ②……………9分把①、②代入2302121±==+k y y x x 得 ∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y =41x 2的焦点,离心率等于552. (1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若MA =λ1AF ,=λ2,求证λ1+λ2为定值.解:(I )设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ,则由题意知b = 1..5.55211.55222222=∴=-=-∴a aa b a 即 ∴椭圆C 的方程为.1522=+y x …………………………………………………5分 (II )方法一:设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A易知F 点的坐标为(2,0).分8.1,12).,2(),(,1011111110111 λλλλλ+=+=∴--=-∴=y y x y x y y x将A 点坐标代入到椭圆方程中,得.1)1()12(51210211=+++λλλy去分母整理得.0551020121=-++y λλ…………………………………………10分,05510,.05510:,2221202222的两个根是方程可得由同理=-++∴=-++=y x x y BF MB λλλλλ.1021-=+∴λλ…………………………………………………………12分方法二:设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为(2,0).显然直线l 存在的斜率,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程是).2(-=x k y将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中,消去y 并整理得.052020)51(2222=-+-+k x k x k ……………………………………7分.51520,512022212221kk x x k k x x +-=+=+∴……………………………………8分 又.2,2,,22211121x x x x -=-===λλλλ将各点坐标代入得 .10)(242)(22221212121221121-==++--+=-+-=+∴ x x x x x x x x x x x x λλ 8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R (-3,0),点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=,0RP PM ⋅=.(Ⅰ)⑴当点P 在y 轴上移动时,求点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点,且111, 0x y >>,N(1,0),求实数λ,使AB AN λ=,且163AB ||=.解:(Ⅰ)设点M(x,y),由230PM MQ +=得P(0,2y -),Q(,03x). 由0,RP PM ⋅=得(3,2y -)·(x ,32y )=0,即x y 42= 又点Q 在x 轴的正半轴上,0>∴x 故点M 的轨迹C 的方程是24(0)y x x =>.……6分(Ⅱ)解法一:由题意可知N 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,且A 、B 为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点。