随机过程概念整理

什么是随机现象？

在发生之前只能知道该现象各种可能的发生结果但无法准确预知哪一个结果将发生

随机现象产生的原因是什么？

客观物质间相互作用的多样性和复杂性；认识主体认识能力的有限性

数学模型：描述客观事物量的之间关系的数学关系式

系统：我们将导致一个现象发生的所有因素及其相互作用机制定义为一个系统

系统的输出：某种试验或观察的结果。

试验：让上述系统产生一次输出的过程

样本空间：试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间

样本点：样本空间中一个元素

确知系统：当观察者能清晰地认知系统的所有要素和作用机制，并且可以根据所知准确预测某次试验的输出，则这个系统被称为确知系统。

随机系统：否则当观察者对组成系统的所有要素和作用机制不能完全认知，在试验之前只知道该系统的样本空间，而无法根据所知预测该次试验将输出样本空间中的哪一个样本，这个系统就被称为随机系统。

比较：确知系统可以“从因推果”，随机系统则不可以

随机试验（观察）：使得随机系统产生一次输出的活动。

随机试验的特点:

1 可在相同条件下重复地进行。

2 试验的可能的结果不止一个, 并且能事先明确所有可能的结果.

3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

建立随机现象数学模型的基本思路：

不考虑输出某个结果的原因

用数或者函数表示输出结果

对输出结果的可能性进行先验量化

所谓样本的频率就是在若干次试验中，某个样本出现的次数占试验总次数的比例。

频率稳定性是指当试验的次数增加时，样本的频率总是在一个常数左右微小波动。

事件：样本空间的子集，也即由若干个样本点组成的集合

事件：样本空间中满足一定条件的全体元素构成子集，“一定条件”有事件的意义，因此称样本空间的子集为事件。

不可能事件

必然事件

基本事件：可数和不可数

实际上概率集函数的含义就是某个事件的概率

概率集函数的确定：先定义所有基本事件的概率，然后再利用下面两个性质定义其他事件的概率

任何事件都可以表示为若干个互斥基本事件的并

概率的可数可加性公理

概率空间由三个要素组成：样本空间、Borel事件集A、概率集函数, 记为(S, A, P)

从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响. P(A1A2)=P(A2)P(A2)

互斥事件不一定独立，独立事件不一定互斥。

独立表示没有关系，而互斥是一种对立关系，即A 发生则B 不能发生，A 对B是有影响的，反之亦然。所以互斥事件一定不独立。独立事件一定不互斥。

全概率公式

贝叶斯公式

简单地说,随机变量、随机向量、随机过程就是个数上有不同：一个、n个、无穷个。考察一次试验，

若试验结果只需要一个数（变量）就可以表示，则随机对象是随机变量；

若试验结果需要n个数表示，则随机对象是随机向量；

若试验结果需要无穷个数表示，则随机对象是随机过程。

随机变量的两要素：变量特征；概率特征（统计特征）

是否每一个随机过程都存在一阶矩函数和二阶矩函数呢？

回答是否定的。

譬如，如果某随机过程的一阶概率密度函数是Cauchy分布，由于Cauchy分布不存在均值和方差，所以该随机过程也不存在均值函数和自协方差函数

如二维随机过程(X(t),Y(t))对任意的t1,t2属于T有CXY(t1,t2)=0则称随机过程X(t)和Y(t)是不相关的.

两个随机过程如果是相互独立的, 且它们的二阶矩存在, 则它们必然不相关. 反之, 从不相关一般并不能推断出它们是相互独立的.

对于正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平稳过程也一定是宽平稳过程。

有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.

正态向量的线性变换仍然是正态向量

正态过程的任意维分布族完全由一维，二维分布族决定。

X(t)是正态过程<—>对任意k，任意t1,t2,...t k,的任意线性组合Y=a1X(t1)+a2X(t2)+....+a k X(t k)是一维正态变量。

等效事件等概率原则。

Markov链只是一类特殊的随机过程而已

由于独立同分布序列的和过程、Poisson过程和Wiener过程都是独立增量过程，所以它们都是Markov过程。

泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程

维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。

Markov 过程完全由其一阶密度和转移密度决定。

只要知道状态转移率图，（即出生率，死亡率，P(0)），也就知道连续时间Markov链的完全信息。

从状态i出发的出生率、死亡率下标都是i。λ为出生率μ为死亡率

排队系统要素：

顾客的到达规律

排队规则

服务时间

服务系统结构