随机过程概念整理
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
12随机过程的一般概念
1 s 1 t
2 2
1 st
所以二维概率密度为
1
f ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
2 2 (1 t12 )(1 t 2 ) 1 2 2 1 x2 x1 x2 x2 1 2 2 exp 2 2 2(1 2 ) 1 t1 (1 t12 )(1 t 2 ) 1 t 2
cos s cos t E(Y 2 ) sin s sin t E( Z 2 ) 2 cos (t s)
例7: 考虑随机过程 X(t)=acos(ωt+Θ),t(-∞,+∞)
其中a和ω是常数，Θ是在（0，2π）上服从均匀分布的
随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机 相位正弦波的均值函数，方差函数和自相关函数. 1 解: Θ的概率密度为 f ( ) 2 (0,2 ) 于是 0 (0,2 ) 2 1 X (t ) E[ X (t )] E[a cos( t )] a cos( t ) d 0 0 2 RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )] E [a 2 cos( s ) cos( t )]
x2 2 (1 t 2 )
e
又由正态分布的性质知，对于任意 s,t∈T，
(X(s),X(t))服从二维正态分布而
E[X(s)]= E[X(t)]=0；D[X(s)]=1+s2 ,D[X(t)]=1+t2
C X ( s, t ) RX ( s, t ) E[Y ZsY Zt ] 1 s t
其中=x(t1, t2).
四、二维随机过程
随机过程例题和知识点总结
随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。
下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。
一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。
例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。
二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。
例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。
例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。
求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。
解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。
10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。
P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。
2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。
解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是一种随时间和其他随机变量而变化的数学对象，是概率论和统计学中的重要概念。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学和社会科学等领域。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，帮助读者更好地理解随机过程的本质和应用。
1. 随机过程的基本概念随机过程是由一组随机变量组成的序列或函数，它表示在一定随机环境下某个系统或现象的发展过程。
在随机过程中，时间通常是一个自变量，而随机变量则是随时间变化的函数或序列。
根据定义域的不同，随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的随机过程是在离散时间点上的序列，例如投骰子的过程。
连续时间的随机过程是在连续时间上的函数，例如天气的变化。
在通常情况下，连续时间的随机过程被认为是一个时间的连续函数，而离散时间的随机过程则表示为时间的离散序列。
随机过程可以用概率分布函数来表达。
对于连续时间的随机过程，它的概率分布函数是一个满足概率公理的函数。
对于离散时间的随机过程，概率分布可以用概率质量函数来描述。
概率分布函数可以通过研究随机过程的瞬时状态来推导。
随机过程的瞬时状态指位置和方向的一切资料，包括当前位置、速度和加速度等。
2. 随机过程的分类随机过程可以按照多种方式进行分类。
以下是一些常见的分类方式。
2.1 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它的状态转移只与它的当前状态有关，而与过去状态和未来状态无关。
马尔可夫过程被广泛应用于物理、经济、金融和信号处理等领域。
根据定义域的不同，马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间的马尔可夫过程可以用转移矩阵来描述，而连续时间的马尔可夫过程则可以用转移概率密度函数来描述。
2.2 平稳过程平稳过程是指在不同时间段内，随机过程的统计分布不随时间而改变的随机过程。
这意味着它的瞬时状态空间必须一致，并且在不同的时间点上具有相同的概率分布。
平稳过程的例子包括白噪声、布朗运动和马尔可夫过程等。
考研随机过程知识点浓缩
考研随机过程知识点浓缩随机过程是概率论中的重要分支，研究随机事件在时间上的演变规律。
在考研数学中，随机过程是一个重要的知识点，涉及到概率论和数理统计等多个领域。
本文将对考研随机过程的知识点进行浓缩总结，帮助考生更好地掌握重点内容。
1. 随机过程的定义随机过程是一个定义在时间轴上的随机变量族，即一系列随机变量组成的集合。
随机过程可分为连续时间随机过程和离散时间随机过程，根据时间参数的取值范围来进行区分。
2. 随机过程的分类根据随机过程的状态空间，可以将随机过程分为离散状态随机过程和连续状态随机过程。
离散状态随机过程中，状态空间为有限集合或者可列无限集合，如泊松过程；连续状态随机过程中，状态空间为连续集合，如布朗运动。
3. 马尔可夫性质马尔可夫性质是随机过程的重要性质之一，指的是在给定当前状态的条件下，未来的发展只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
具有马尔可夫性质的随机过程可以简化计算和分析。
4. 随机过程的平稳性平稳性是随机过程的另一个重要性质，分为弱平稳和严平稳。
弱平稳指的是均值和自协方差不依赖于时间的特性；严平稳则要求联合分布在时间上的平移具有不变性。
平稳性的性质可以简化对随机过程的研究。
5. 随机过程的独立增量性质随机过程的独立增量性质指的是在不相交的时间间隔内，随机变量之间是相互独立的。
具有独立增量性质的随机过程可以通过对各个时间间隔内的随机变量进行独立分析。
6. 随机过程的马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的离散时间随机过程，具有马尔可夫性质。
马尔可夫链的状态空间是离散的，状态转移概率只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链通常用状态转移矩阵来描述状态之间的转移规律。
7. 泊松过程泊松过程是一类具有无记忆性的离散状态随机过程，是一种常用的数学模型。
泊松过程描述了在一段时间内随机事件发生的次数，具有独立增量和稳定增量的性质。
8. 布朗运动布朗运动是连续时间的连续状态随机过程，具有平稳增量、独立增量和高斯增量的特性。
第2章 随机过程概述
(功率有限),且
2
则称
R(t1 , t2 ) E[ X (t ) X (t )] R( )
(t ), t T X为广义平稳随机过程。
t1 t2
用高阶矩来判断广义平稳随机过程是否是狭义平稳随机过程
二者没有关系,但如果狭义平稳随机过程且功率有限,则必为广义平稳的
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
xyf ( x, t1; y, t2 )dxdy
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义 随机过程 样本函数
X (t ) X (t , e)
X i (t ) X (t , ei ) X (ti ) X (ti , e)
X i (t j ) X (t j , ei )
随机变量
标量
一、随机过程的概念
1、随机过程的定义
随机过程一般表示为{ X (t), t T }。
自相关函数各态历经
T
lim P{| X (t ) X (t ) RX ( ) | } 1
各态历经性-----同时满足以上两条!
平稳随机过程均值各态历经的充要条件
C (0) R(0) m2 2
自相关函数连续的充要条件
R( )在 0点处连续
二、平稳随机过程
4、平稳随机过程自相关函数的性质 非负定性
i , j 1
R(
n
随机过程基本概念
T {1, 2, 3, }
实时记录证券交易所的股指，用X(t)表示 一天中t时刻上证综合指数，则{X(t),t≥0} 表示一随机过程。
S (0, )
T (0 , )
{N(t),t [0,)} 是一个随机过程
由定义得 (1)对任意给定的 t1 T , X (t1) X (e,t1) ห้องสมุดไป่ตู้一个随机变量, 称为随机过程在t = t1时的状态变量, 简称状态.
(2)对于 Ω 中的每一 e0 , X (e0 ,t) x(t)是仅依赖于 t 的函数, 称为随机过程的样本函数,它是随机过 程的一次物理实现, 或对应于 e0 的轨道.
随机过程定义： 给定参数集 T (,) 如果对于每个 t T 都对应有随机变量 X (t) X (e,t) 则称随机变量族 {X (t),t T} 为随机过程.
例1 以N(t)表示某电话交换台在时段 [0,t) 内接到的呼叫次数, 那么,对于固定的 t , N(t) 是一个随 机变量.
对于一切 t [0,)
S {0, 1, 2, ,} T {1, 2, }
例3 设X(e)与Y(e)是相互独立 的标准正态变量.
Z (e,t) X 2 (e) Y 2 (e) t t 0
则二元函数 Z(e,t) 就是一个随机过程. 简记为 Z(t) (X 2 Y 2 )t
S (0 , ) T (0 , )
例4 设X(t)表示一年内第t天的降雨量.
则X(t) ，t=1、2、……365即为 一随机过程。
S (0 , )
T {1, 2, , 365}
随机过程分类： 通常有两种分类法. 一种是按随机过程的参数集和状态空间来分类
(1)参数T离散,状态Ω离散; (2)参数T离散,状态Ω连续; (3)参数T连续,状态Ω离散; (4)参数T连续,状态Ω连续.
第一讲随机过程的概念
随机过程的基本知识
引例：热噪声电压
一、随机过程的定义
定义1 设E是一随机实验,样本空间S={e}，T为参数集
若对每个eS ,X(e,t)都是实值函数, 则称{X(e,t),t T}
为随机过程，简记为X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
称族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。
样本函数： xi (t ) a cos( t i ) , i (0 , 2 )
状态空间:I=（-a，a）
例3: 掷骰子试验
伯努利过程 （伯努利随机序列）
以上都是随机过程，状态空间都是:I={1，2，3，4，5，6}
二、随机过程的分类
离散型随机过程
1. 依状态离散还是连续分为：
s, t 0, C X ( s, t ) DX [min{s, t }].
④ C X ( s, t ) Cov( X ( s), X (t ))
E[ X ( s) X ( s)][X (t ) X (t )]
为{X(t),tT}的协方差函数.
⑤ Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),tT}的自相关函数, 简称相关函数
诸数字特征的关系：
X (t ) f ( x, t )
称 f ( x, t ) 为随机过程的一维密度函数 称{ f ( x, t ), t T } 为一维密度函数族.
X t 0 ，其中 X Y ( t ) te 例4 设随机过程
e( ) ，求
{Y (t ),t 0}的一维密度函数
y P( X ln ) , t 解： F ( y; t ) P[Y (t ) y ] P(te y ) 0 ,
随机过程个人总结
随机过程个人总结随机过程是一个数学模型，用来描述随机现象的演化规律。
它在许多领域中都有广泛应用，在概率论、统计学、物理学、工程学等领域中都有重要的地位。
1. 定义和特征：随机过程是一族随机变量的集合，表示随机现象在不同时间发生的情况。
每个随机变量表示某个时刻或某个时间段内的随机事件的结果。
它具有两个维度：时间和状态。
2. 分类：根据状态空间的特征，可以将随机过程分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程的状态空间是离散的，而连续随机过程的状态空间是连续的。
根据时间的连续性，可以将连续随机过程分为时齐随机过程和时变随机过程。
时齐随机过程的统计特性不随时间变化，而时变随机过程的统计特性与时间有关。
3. 状态转移概率：随机过程的核心是状态转移概率，描述了随机过程在不同状态之间进行转移的概率。
状态转移概率可以用转移矩阵或转移函数表示，它描述了随机过程的演化规律。
4. 随机过程的性质：随机过程有许多重要的性质，包括平稳性、独立性、马尔可夫性、鞅性等。
这些性质可以帮助我们分析和理解随机过程的行为。
5. 应用：随机过程在概率论、统计学和工程学中有广泛的应用。
在概率论中，随机过程用于描述随机事件的演化过程。
在统计学中，随机过程用于建立模型和进行统计推断。
在工程学中，随机过程用于分析和设计系统，例如通信系统、控制系统和金融系统等。
总之，随机过程是一个重要的数学工具，可以帮助我们建立数学模型，描述和分析随机现象的演化过程。
它在各个领域中都有广泛应用，并且具有丰富的理论基础和实际应用价值。
随机过程的基本概念和分类
随机过程的基本概念和分类随机过程是概率论中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括金融、电信、工程等。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和应用随机过程。
一、基本概念随机过程是指一簇随机变量的集合，其中每个随机变量代表某个时间点的取值。
随机过程可以用数学形式表示为{X(t), t∈T}，其中X(t)表示时间t时刻的取值，T表示时间的取值范围。
在随机过程中，时间是一个重要的概念。
时间可以是离散的，也可以是连续的。
当时间是离散的时候，随机过程称为离散随机过程；当时间是连续的时候，随机过程称为连续随机过程。
离散随机过程常用于描述离散事件，如投掷硬币的结果；而连续随机过程常用于描述连续变化的现象，如股票价格的变动。
二、分类随机过程可以根据其状态空间和时间的特性进行分类。
下面将介绍常见的几种分类方式。
1. 马尔可夫过程(Markov Process)马尔可夫过程是一种具有"无记忆性"的随机过程，即在给定当前状态下，未来的发展仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以是离散的或连续的，常用于建模和分析具有动态特性的系统，如排队论、信道传输等。
2. 马尔可夫链(Markov Chain)马尔可夫链是马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间和离散的时间。
马尔可夫链是一种时间齐次的马尔可夫过程，即系统的转移概率在不同的时间点保持不变。
马尔可夫链常用于描述离散状态的随机系统，如天气的转变、赌博游戏的输赢等。
3. 马尔可夫跳过程(Markov Jump Process)马尔可夫跳过程是一种具有离散和连续混合特性的随机过程。
它在连续时间间隔内可能发生状态的跳跃，并且在一个状态下停留的时间是指数分布的。
马尔可夫跳过程广泛应用于电信系统、金融市场等领域。
4. 广义随机过程(Generalized Stochastic Process)广义随机过程是一种对传统随机过程进行扩展的概念。
数学中的随机过程
数学中的随机过程一、引言在数学领域中，随机过程是研究随机事件随时间的演变规律的数学模型。
它既具有随机性，又具有确定性，广泛应用于概率论、统计学和其他相关领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类及其在现实生活中的应用。
二、随机过程的定义随机过程是一类随机变量的集合，表示随机事件随时间变化的模型。
随机过程通常用X(t)表示，其中t是时间参数，X(t)是在某一时刻t的取值。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
三、离散时间随机过程离散时间随机过程是指在一系列离散时间点上定义的随机变量序列。
常见的离散时间随机过程有伯努利过程、泊松过程等。
1. 伯努利过程伯努利过程是最简单的离散时间随机过程，它是一种只有两个取值的随机过程。
以掷硬币为例，假设正面出现的概率为p，反面出现的概率为1-p，掷硬币的结果序列就是伯努利过程。
2. 泊松过程泊松过程描述了随机事件在时间上的独立出现，并且满足平稳性和无记忆性。
在实际应用中，泊松过程可以用来模拟各种随机事件的发生，如电话呼叫到达、交通事故发生等。
四、连续时间随机过程连续时间随机过程是指在连续时间区间上定义的随机变量。
其中最常见的连续时间随机过程是布朗运动和随机行走。
1. 布朗运动布朗运动是一种连续的、无界变差的随机过程，其特点是随机变量在任意时间间隔上的累积值符合正态分布。
布朗运动经常用来模拟金融市场的波动、温度变化等。
2. 随机行走随机行走是一种描述随机变量在空间上随机移动的随机过程。
它的最简单形式是一维随机行走，即随机变量只能在一维空间上左右移动。
随机行走在金融市场中的应用较广，可以用来模拟股票价格的变化。
五、随机过程的应用随机过程在现实生活中有着广泛的应用，以下两个领域是典型的例子。
1. 通信网络随机过程在通信网络中扮演着重要的角色。
例如，通过对网络中的数据流量建模，可以使用随机过程来优化网络的传输效率和资源分配。
2. 金融领域在金融领域中，随机过程被广泛应用于期权定价、风险管理和投资组合优化等方面。
随机过程的基本概念与应用
随机过程的基本概念与应用随机过程是概率论中研究一系列随机事件在时间上的演化规律的重要分支。
它在各个领域都有着广泛的应用，在通信、控制、金融、生物、物理等方面都发挥着重要作用。
一、随机过程的基本概念1.1 随机过程的定义随机过程是指一组随机变量${X_t}$，其中$t$表示时间，$X_t$表示在时间$t$时刻随机变量的取值。
随机过程是随机变量的函数族，常用记号为${X_t:t\in T}$。
其中$t$取遍$T$所表示的时间集合，$T$可以是实数集、整数集或其他有限或无限集合。
1.2 随机过程的分类随机过程根据其时间变化的连续性与离散性可以分为连续时间随机过程和离散时间随机过程两种。
连续时间随机过程是指随机变量在时间上是连续的，如布朗运动、泊松过程等。
离散时间随机过程是指随机变量在时间上是离散的，如马尔可夫过程、随机游走等。
1.3 随机过程的性质随机过程具有多种性质，包括平稳性、独立性、齐次性等。
其中比较重要的平稳性是指在时间平移下，随机过程的统计性质保持不变，即一个随机过程是平稳的，当且仅当对于任意$t_1,t_2$，其一阶矩和二阶矩不随时间变化而改变。
例如，设随机过程${X_t:t\geq 0}$的均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$，则其平稳性条件为：$$\mathbb{E}[X_t]=\mu, \ \forall t\geq 0$$$$\mathbb{E}[(X_s-\mu)(X_t-\mu)]=\sigma^2, \ \forall s,t\geq 0$$二、随机过程的应用随机过程在许多领域中都有着广泛的应用。
以下列举其中几个典型应用。
2.1 通信领域随机过程在通信领域中是必不可少的工具。
通信信号可以看作是一种随时间变化的随机过程，而信道则可看作是一种将输入信号映射成输出信号的随机过程。
因此，随机过程在信号调制、信噪比估计、编码等方面都有着广泛的应用。
2.2 控制领域在控制领域中，随机过程被广泛用于表示、建模和分析控制系统的动态特性。
随机过程课件
随机过程课件随机过程课件随机过程是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机变量随时间的演化规律。
在现代科学和工程领域，随机过程被广泛应用于信号处理、通信系统、金融市场等众多领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类以及一些常见的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一族随机变量的集合，它描述了随机变量随时间的变化。
在数学上，随机过程可以用函数的形式表示，即X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时刻的随机变量。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程是指随机变量在离散时间点上的演化，例如抛硬币的结果、骰子的点数等。
连续时间随机过程是指随机变量在连续时间上的演化，例如股票价格的变动、电信号的传输等。
二、随机过程的分类根据随机过程的性质和演化规律，可以将其分为多种类型。
常见的分类包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是指在给定当前状态下，未来的演化只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程具有“无记忆”的特性，常用于描述具有时序性质的问题，如排队系统、信道传输等。
2. 泊松过程泊松过程是一种用于描述随机事件的发生次数的随机过程。
它具有独立增量和无记忆性的特点，常用于描述到达率恒定的随机事件，如电话呼叫、交通流量等。
3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程，其演化规律由随机变量驱动。
布朗运动具有连续性、无界性和马尔可夫性等特点，广泛应用于金融市场、物理学等领域。
三、随机过程的应用随机过程在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域。
1. 信号处理随机过程在信号处理中起到了重要的作用。
通过对信号进行建模，可以利用随机过程的理论和方法对信号进行分析和处理，如图像压缩、语音识别等。
2. 通信系统随机过程在通信系统中也有着重要的应用。
通过对信道的建模，可以利用随机过程的理论来分析和优化通信系统的性能，如误码率分析、信道编码等。
第二章随机过程基本概念
2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量.对随机过程的统计分析称为随机过程论,它是随机数学中的一个重要分支，产生于本世纪的初期.其研究对象是随机现象，而它特别研究的是随“时间”变化的“动态”的随机现象.一随机过程的定义1 定义设E为随机试验，S为其样本空间，如果（1）对于每个参数t∈T, X(e,t)为建立在S上的随机变量，（2）对每一个e∈S, X(e,t)为t的函数，那么称随机变量族{X(e,t), t∈T, e∈S}为一个随机过程，简记为{X(e,t), t∈T}或X(t)。
()()()()(){}{}[]()为随机序列。
时，通常称，取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式：参数一般表示时间或空间，或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数，或称随机的一般函数，通常称为为对于：上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意：t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321,,,,3,2,1,0,1,2,3,,3,2,1,0T ,.4,.3,,2,:,.1=---==ÎÎ×δ®´L L L为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币，例),()(cos )(},{1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =Îîíì====p 2 随机过程举例îíì=====为随机变量的函数均为和解释：T e t He t t e X t t t T X t t H X 000cos ),(),(cos ),((p p 2121cos ),(000p t t t e X p 并且：例2：用X(t)表示电话交换台在(0，t)时间内接到的呼唤的次数,则(1)对于固定的时刻t, X(t)为随机变量,其样本空间为{0，1，2，…..},且对于不同的t,是不同的随机变量.(2)对于固定的样本点n, X(t)=n是一个t的函数.(即：在多长时间内来n个人?)所以{X(t),t>0}为一个随机过程.相位正弦波。
随机过程的基本概念与分类
随机过程的基本概念与分类随机过程是概率论的一个重要分支，在不同领域如金融、通信、生物学等都有广泛的应用。
它描述的是一组随机变量的演化规律，具有许多重要的特性和分类方式。
本文将介绍随机过程的基本概念和分类方法。
一、基本概念随机过程由一个或多个随机变量组成，这些随机变量的取值取决于一个或多个参数，如时间。
随机过程可以定义为函数的族，其中函数的输入参数是随机变量，输出是实数或向量。
常用的随机过程有离散时间和连续时间两种。
在离散时间随机过程中，随机变量类似于离散的时间点，通常用n表示。
每个时间点上都有一个随机变量X(n)与之相关。
连续时间随机过程则对应于时间变量连续变化的情况，通常用t表示。
每个时间点上都有一个随机变量X(t)与之相关。
随机过程的演化可以通过转移概率描述。
转移概率表示从一个时间点到另一个时间点的跳转概率，常用P(i,j)表示从状态i到状态j的概率。
二、分类方法1. 马尔可夫链马尔可夫链是一个简单的、具有重要应用的随机过程。
它具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与历史状态无关。
马尔可夫链有着平稳分布，并且可以通过转移概率矩阵进行描述。
2. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种时间连续的随机过程。
它的转移概率与时间无关，但与前一状态有关。
常见的马尔可夫过程有泊松过程、连续时间马尔可夫链等。
3. 马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程是一种在马尔可夫过程基础上引入决策的模型。
它包括状态空间、决策空间、转移概率、奖励函数等要素。
马尔可夫决策过程在决策分析、控制理论等领域有广泛应用。
4. 平稳随机过程平稳随机过程是指在统计特性上不随时间改变的过程。
平稳随机过程具有恒定的概率分布和自相关函数。
常见的平稳随机过程有白噪声、自回归过程等。
5. 随机游走随机游走是一种具有随机性的移动方式。
它可以用来模拟股市价格、随机漫步等现象。
随机游走中的步长和方向通常是随机变量，可以是离散的或连续的。
6. 马尔可夫随机场马尔可夫随机场是一种描述多变量间关系的图模型。
随机过程基础
随机过程基础随机过程是概率论中一个重要的分支，用于描述随机现象的演化规律和统计特性。
本文将介绍随机过程的基础概念、性质和常见的模型类型。
一、随机过程的概念随机过程是指由一组随机变量组成的函数族 {X(t), t ∈ T}，其中 T是一组时间指标。
随机过程可以看作是随机变量随时间的变化过程。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程：当时间指标集 T 为离散集合时，称为离散时间随机过程。
常见的离散时间随机过程有马尔可夫链和泊松过程。
连续时间随机过程：当时间指标集 T 为连续集合时，称为连续时间随机过程。
连续时间随机过程可以用随机微分方程进行描述，常见的连续时间随机过程有布朗运动和扩散过程。
二、随机过程的性质1. 状态空间：随机过程的状态空间是指随机变量 X(t) 可能取值的集合。
2. 轨道：对于固定的时间参数 t，随机过程的轨道是随机过程的一个实现，称为一个样本函数。
3. 随机过程的均值函数和自相关函数：对于随机过程 {X(t), t ∈ T}，定义均值函数和自相关函数如下：均值函数：μ(t) = E[X(t)]自相关函数：R(t1, t2) = E[(X(t1) - μ(t1))(X(t2) - μ(t2))]均值函数描述了随机过程在不同时间点的平均值，自相关函数描述了不同时刻的随机变量之间的相关性。
4. 平稳性：如果对于任意的时刻 t1 和 t2，二者的联合分布仅仅依赖于时间差 t2 - t1，而不依赖于具体的时刻 t1 和 t2，那么称该随机过程是平稳的。
三、常见的随机过程模型1. 马尔可夫过程：马尔可夫过程是一类具有马尔可夫性质的随机过程。
在马尔可夫过程中，未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
2. 泊松过程：泊松过程是一类具有独立增量和平稳增量的随机过程。
泊松过程常用于描述具有随机到达时间和随机离去时间的事件。
3. 布朗运动：布朗运动是一类连续时间的随机过程，具有无记忆性和独立增量性质。
随机过程的基本概念 精华版
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二、随机过程的数字特征
•均值 均值 •方差 方差
2 σ X (t ) = E{[ X (t ) − mX (t )]2}
2 = E{X 2 (t )} − mX (t )
mX (t ) = E{X (t )} = ∫ xf X ( x, t )dx
−∞
+∞
•均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义： 均值与方差的物理意义
每次观测所得结果都不同，都是时间t 每次观测所得结果都不同，都是时间t的 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 没有确定的变化规律。 没有确定的变化规律。
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2.1 随机过程的基本概念及定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱密度
RX (t1 , t 2 ) = 0 ，则称 X (t1 ) 和 X(t2 ) 是相互正交的。如果 是相互正交 正交的
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = f X ( x1 , t1 ) f X ( x 2 , t 2 ) ，则称随机过程在
t1
和 t 2 时刻的状态是相互独立的。 时刻的状态是相互独立的 独立
二、平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
2 σX
2 mX
RX (τ )
τ
0
相关函数示意图
RX (−τ ) = RX (τ )
RX (0) ≥ RX (τ )
2 2 RX (0) = σ X + mX
随机过程概念整理
什么是随机现象？在发生之前只能知道该现象各种可能的发生结果但无法准确预知哪一个结果将发生随机现象产生的原因是什么？客观物质间相互作用的多样性和复杂性；认识主体认识能力的有限性数学模型：描述客观事物量的之间关系的数学关系式系统：我们将导致一个现象发生的所有因素及其相互作用机制定义为一个系统系统的输出：某种试验或观察的结果。
试验：让上述系统产生一次输出的过程样本空间：试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间样本点：样本空间中一个元素确知系统：当观察者能清晰地认知系统的所有要素和作用机制，并且可以根据所知准确预测某次试验的输出，则这个系统被称为确知系统。
随机系统：否则当观察者对组成系统的所有要素和作用机制不能完全认知，在试验之前只知道该系统的样本空间，而无法根据所知预测该次试验将输出样本空间中的哪一个样本，这个系统就被称为随机系统。
比较：确知系统可以“从因推果”，随机系统则不可以随机试验（观察）：使得随机系统产生一次输出的活动。
随机试验的特点:1 可在相同条件下重复地进行。
2 试验的可能的结果不止一个, 并且能事先明确所有可能的结果.3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.建立随机现象数学模型的基本思路：不考虑输出某个结果的原因用数或者函数表示输出结果对输出结果的可能性进行先验量化所谓样本的频率就是在若干次试验中，某个样本出现的次数占试验总次数的比例。
频率稳定性是指当试验的次数增加时，样本的频率总是在一个常数左右微小波动。
事件：样本空间的子集，也即由若干个样本点组成的集合事件：样本空间中满足一定条件的全体元素构成子集，“一定条件”有事件的意义，因此称样本空间的子集为事件。
不可能事件必然事件基本事件：可数和不可数实际上概率集函数的含义就是某个事件的概率概率集函数的确定：先定义所有基本事件的概率，然后再利用下面两个性质定义其他事件的概率任何事件都可以表示为若干个互斥基本事件的并概率的可数可加性公理概率空间由三个要素组成：样本空间、Borel事件集A、概率集函数, 记为(S, A, P)从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响. P(A1A2)=P(A2)P(A2)互斥事件不一定独立，独立事件不一定互斥。
随机过程基本概念
X(t)
X(t) A cos(t )
样本曲线x1(t)
状态X(t0)
t0
状态X(t0)
t 样本曲线x2(t)
随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R,
若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应,则称 X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(Stachastic Processes,简记为:S.P.)
对任意t∈T, X (t)为一随机变量.称其分布 函数 F (t ; x)=P(X(t) ≤x), x ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的一维分布函数.
2.二维分布函数
对任意固定的t1,t2∈T, X (t1) ,X (t2)为两个随 机变量.称其联合分布函数 F (t1,t2; x1, x2)=P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 ), x1, x2∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的二维分布函数.
4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
参数,连续状态的随机过程
● 连续参数,离散状态的随机过程
● 连续参数,连续状态的随机过程
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
二
随机过程的有限维分布函数族
设{X(t),t∈T}是S.P.
1.一维分布函数
3. n维分布函数
对任意固定的t1,t2, …,tn∈T, X (t1) ,X (t2),…, X (tn)为n个随机变量.称其联合分布函数
F (t1,t2 ,…,tn ; x1, x2,…, xn) = P(X(t1) ≤x1, X(t2) ≤x2 … X(tn) ≤xn ) x1 x2,…, xn ∈R 为随机过程{X(t),t∈T}的n维分布函数.
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什么是随机现象？
在发生之前只能知道该现象各种可能的发生结果但无法准确预知哪一个结果将发生
随机现象产生的原因是什么？
客观物质间相互作用的多样性和复杂性；认识主体认识能力的有限性
数学模型：描述客观事物量的之间关系的数学关系式
系统：我们将导致一个现象发生的所有因素及其相互作用机制定义为一个系统
系统的输出：某种试验或观察的结果。
试验：让上述系统产生一次输出的过程
样本空间：试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间
样本点：样本空间中一个元素
确知系统：当观察者能清晰地认知系统的所有要素和作用机制，并且可以根据所知准确预测某次试验的输出，则这个系统被称为确知系统。
随机系统：否则当观察者对组成系统的所有要素和作用机制不能完全认知，在试验之前只知道该系统的样本空间，而无法根据所知预测该次试验将输出样本空间中的哪一个样本，这个系统就被称为随机系统。
比较：确知系统可以“从因推果”，随机系统则不可以
随机试验（观察）：使得随机系统产生一次输出的活动。
随机试验的特点:
1 可在相同条件下重复地进行。
2 试验的可能的结果不止一个, 并且能事先明确所有可能的结果.
3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
建立随机现象数学模型的基本思路：
不考虑输出某个结果的原因
用数或者函数表示输出结果
对输出结果的可能性进行先验量化
所谓样本的频率就是在若干次试验中，某个样本出现的次数占试验总次数的比例。
频率稳定性是指当试验的次数增加时，样本的频率总是在一个常数左右微小波动。
事件：样本空间的子集，也即由若干个样本点组成的集合
事件：样本空间中满足一定条件的全体元素构成子集，“一定条件”有事件的意义，因此称样本空间的子集为事件。
不可能事件
必然事件
基本事件：可数和不可数
实际上概率集函数的含义就是某个事件的概率
概率集函数的确定：先定义所有基本事件的概率，然后再利用下面两个性质定义其他事件的概率
任何事件都可以表示为若干个互斥基本事件的并
概率的可数可加性公理
概率空间由三个要素组成：样本空间、Borel事件集A、概率集函数, 记为(S, A, P)
从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响. P(A1A2)=P(A2)P(A2)
互斥事件不一定独立，独立事件不一定互斥。
独立表示没有关系，而互斥是一种对立关系，即A 发生则B 不能发生，A 对B是有影响的，反之亦然。
所以互斥事件一定不独立。
独立事件一定不互斥。
全概率公式
贝叶斯公式
简单地说,随机变量、随机向量、随机过程就是个数上有不同：一个、n个、无穷个。
考察一次试验，
若试验结果只需要一个数（变量）就可以表示，则随机对象是随机变量；
若试验结果需要n个数表示，则随机对象是随机向量；
若试验结果需要无穷个数表示，则随机对象是随机过程。
随机变量的两要素：变量特征；概率特征（统计特征）
是否每一个随机过程都存在一阶矩函数和二阶矩函数呢？
回答是否定的。
譬如，如果某随机过程的一阶概率密度函数是Cauchy分布，由于Cauchy分布不存在均值和方差，所以该随机过程也不存在均值函数和自协方差函数
如二维随机过程(X(t),Y(t))对任意的t1,t2属于T有CXY(t1,t2)=0则称随机过程X(t)和Y(t)是不相关的.
两个随机过程如果是相互独立的, 且它们的二阶矩存在, 则它们必然不相关. 反之, 从不相关一般并不能推断出它们是相互独立的.
对于正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平稳过程也一定是宽平稳过程。
有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.
正态向量的线性变换仍然是正态向量
正态过程的任意维分布族完全由一维，二维分布族决定。
X(t)是正态过程<—>对任意k，任意t1,t2,...t k,的任意线性组合Y=a1X(t1)+a2X(t2)+....+a k X(t k)是一维正态变量。
等效事件等概率原则。
Markov链只是一类特殊的随机过程而已
由于独立同分布序列的和过程、Poisson过程和Wiener过程都是独立增量过程，所以它们都是Markov过程。
泊松过程是时间连续状态离散的马氏过程
维纳过程是时间状态都连续的马氏过程。
Markov 过程完全由其一阶密度和转移密度决定。
只要知道状态转移率图，（即出生率，死亡率，P(0)），也就知道连续时间Markov链的完全信息。
从状态i出发的出生率、死亡率下标都是i。
λ为出生率μ为死亡率
排队系统要素：
顾客的到达规律
排队规则
服务时间
服务系统结构。