最短路径问题与勾股定理
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最短路径问题与勾股定理
1.平面最短问题
2.空间最短问题
牧马人饮马问题-轴对称变换
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B
地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B A P l
PA+PB的最小值就是AB ′
B′
造桥选址问题-平移变换
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
A1 M N
A→M→N→B最短路径的长度为 河宽+A1B
B
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B
A 1 C 1 A′ P 4 4 5 2 D 1 E
B B
9
A
A
12
变3：如图 , 透明的圆柱形容器 ( 容器厚度忽略不
计 ) 的高为 12cm ，底面周长为 10cm ，在容器 内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时 一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的 点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多 少?
如图，有一个长方体的长、宽、高分别 是3、2、1，在底面A处有一只蚂蚁，它 想吃正方体B处的食物，需要爬行的最短 路程是多少?
B
1
A
2 3
分析：有3种情况,六条路线。
(1)经过前面和上底面;
(或经过后面和下底面)
B
2 1
(2)经过前面和右面;
(或经过左面和后面)
(3)经过左面和上底面.
(或经过下底面和右面)
B
A
A
3
C B 1 C
B
3
2
1
A
2
3
2
A 1
3
C
解：
第一种情况： 前面+上面：长为3，宽为3的长方形 所走最短路程为 32 32 3 2 第二种情况： 前面+右面：长为5，宽为1的长方形 所走最短路程为 2 2
3.解决问题：利用勾股定理计算。
变1：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一 只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬 行的最短路线长为多少？ 变2：有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好 到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐 周长是12米,高AB是5米）
变3：如图，圆柱底面半径为2cm,高为 9π ，A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A 、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱 侧面绕3圈到B，求棉线最短为 cm.
平面内最短路径长度计算问题：
1.轴对称（平移）变换→两点之间，线段最短； 2.建模：找点→连线→构图；
3.解决问题：利用勾股定理计算。
C
B
如图所示,圆 柱体 的底面直径为6cm, 高AC为12cm,一只蚂 蚁从A点出发,沿着 圆柱的侧面爬行到 点B,试求出爬行的 最短路程.(π取3）
我怎么走 会最近呢 ?
5 1 26
第三种情况： 前面+右面：长为4，宽为2的长方形 所走最短路程为 42 22 2 5 比较这三种情况，第一种情况所走路程最短。 答：最短路程为 3 2
变 1 如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 20 cm，点B离点C 5 cm, 一只蚂蚁如果要沿着长方 体的表面从点 A 爬到点 B ， 需要爬行的最短距离是多 少？
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3
2
B
3
AB=25
2 Ｂ
小 结： 1.平面最短问题：轴对称或平移变换→ 勾股定理 2.空间最短问题：展开→平面问题→勾 股定理。
A
5
C
B
20
15
10
E
C5
B
20
E
20
15
A
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
变2：如图棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A 点爬行到B点需要的最短路程又是多少呢？ 变3：如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm 的金鱼缸，如果鱼缸中的A点有一条金鱼,它想尽快吃 到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？
A
D
C
B
C
B
A
A
2 2
解:如上图，在Rt△ABC中,BC＝πr＝ 9cm， ∴ AB＝ AC BC ＝ 92 122 ＝15 （cm）（勾股定理）． 答： 最短路程约为15cm．
展开→→建模→解决问题
空间内最短路径长度计算问题：
1.空间图形→展开→平面图形
2.建模：找“点”→连“线”→构图；
B
B
C
A
A
D
变4：如图，长方体的底面边长分别为 2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点， 则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
Q
5cm
P
பைடு நூலகம்
2cm
4cm
2cm
4cm
变5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高 分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对 的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物 ，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
找到“关键点”→建模→解决问题
变1 正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM ＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 多少 。
如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线 l1、 l2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥. (1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短 ?在图(2)中作出此时桥PQ的位置,简要叙述作法并保留作 图痕迹.(注:桥的宽度忽略不计,桥必须与街道垂直). (2)根据图(1)中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最 短路线的长.(单位:米)
1.平面最短问题
2.空间最短问题
牧马人饮马问题-轴对称变换
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B
地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B A P l
PA+PB的最小值就是AB ′
B′
造桥选址问题-平移变换
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
A1 M N
A→M→N→B最短路径的长度为 河宽+A1B
B
如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 B
A 1 C 1 A′ P 4 4 5 2 D 1 E
B B
9
A
A
12
变3：如图 , 透明的圆柱形容器 ( 容器厚度忽略不
计 ) 的高为 12cm ，底面周长为 10cm ，在容器 内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时 一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的 点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多 少?
如图，有一个长方体的长、宽、高分别 是3、2、1，在底面A处有一只蚂蚁，它 想吃正方体B处的食物，需要爬行的最短 路程是多少?
B
1
A
2 3
分析：有3种情况,六条路线。
(1)经过前面和上底面;
(或经过后面和下底面)
B
2 1
(2)经过前面和右面;
(或经过左面和后面)
(3)经过左面和上底面.
(或经过下底面和右面)
B
A
A
3
C B 1 C
B
3
2
1
A
2
3
2
A 1
3
C
解：
第一种情况： 前面+上面：长为3，宽为3的长方形 所走最短路程为 32 32 3 2 第二种情况： 前面+右面：长为5，宽为1的长方形 所走最短路程为 2 2
3.解决问题：利用勾股定理计算。
变1：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一 只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬 行的最短路线长为多少？ 变2：有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好 到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐 周长是12米,高AB是5米）
变3：如图，圆柱底面半径为2cm,高为 9π ，A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A 、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱 侧面绕3圈到B，求棉线最短为 cm.
平面内最短路径长度计算问题：
1.轴对称（平移）变换→两点之间，线段最短； 2.建模：找点→连线→构图；
3.解决问题：利用勾股定理计算。
C
B
如图所示,圆 柱体 的底面直径为6cm, 高AC为12cm,一只蚂 蚁从A点出发,沿着 圆柱的侧面爬行到 点B,试求出爬行的 最短路程.(π取3）
我怎么走 会最近呢 ?
5 1 26
第三种情况： 前面+右面：长为4，宽为2的长方形 所走最短路程为 42 22 2 5 比较这三种情况，第一种情况所走路程最短。 答：最短路程为 3 2
变 1 如图，长方体的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 20 cm，点B离点C 5 cm, 一只蚂蚁如果要沿着长方 体的表面从点 A 爬到点 B ， 需要爬行的最短距离是多 少？
Ａ
A
２０
20
2 3
Ｃ 3 ２ 3
2
B
3
AB=25
2 Ｂ
小 结： 1.平面最短问题：轴对称或平移变换→ 勾股定理 2.空间最短问题：展开→平面问题→勾 股定理。
A
5
C
B
20
15
10
E
C5
B
20
E
20
15
A
5 C
B
A 10 20
5
B C
10 F
A 10 F
15 A 20 E 10
B 5 C
变2：如图棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A 点爬行到B点需要的最短路程又是多少呢？ 变3：如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm 的金鱼缸，如果鱼缸中的A点有一条金鱼,它想尽快吃 到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？
A
D
C
B
C
B
A
A
2 2
解:如上图，在Rt△ABC中,BC＝πr＝ 9cm， ∴ AB＝ AC BC ＝ 92 122 ＝15 （cm）（勾股定理）． 答： 最短路程约为15cm．
展开→→建模→解决问题
空间内最短路径长度计算问题：
1.空间图形→展开→平面图形
2.建模：找“点”→连“线”→构图；
B
B
C
A
A
D
变4：如图，长方体的底面边长分别为 2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点， 则蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
Q
5cm
P
பைடு நூலகம்
2cm
4cm
2cm
4cm
变5、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高 分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对 的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物 ，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
找到“关键点”→建模→解决问题
变1 正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM ＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为 多少 。
如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线 l1、 l2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥. (1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短 ?在图(2)中作出此时桥PQ的位置,简要叙述作法并保留作 图痕迹.(注:桥的宽度忽略不计,桥必须与街道垂直). (2)根据图(1)中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最 短路线的长.(单位:米)