第73讲 不等式证明选讲

第十三讲 不等式证明选讲

本节主要内容为证明不等式的基本方法——比较法；综合法于分析法；放缩法；放缩法；反证法；数学归纳法；数形结合以及运用函数的性质． A 类例题

例1 设1,121≥≥r r ，证明

2

12112

1111r r r r +≥

+++ 分析：可以把不等式两边相减，通过恒等变形（例如配方，因式分解等），转化为一个能够明确确定正负的代数式．

证明：

=+++++-+++=+-+++)

1).(1)(1()1)(1(2)1)(1(12

111121212121212121r r r r r r r r r r r r r r =+++---=

++++---+)

1).(1)(1()()()

1).(1)(1(2221212

212212121212

12121212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

0)

1).(1)(1()1.()(212121221≥+++--r r r r r r r r ，∴

2

12112

1111r r r r +≥

+++当且仅当121==r r 时等号成立． 说明：要证b a >，最基本的方法就是证明0>-b a ，即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小，此法用的频率极高．

链接：本题可推广为n r r r ,...,21都不小于1，证明：

n n

n r r r n

r r r ...111...11112121+≥

++++++（注：要用数学归纳法） 例2 设10<a a ，比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小． （1982年全国高考题）

分析：显然，要比较的两个数都是正数，把它们相除考察商式与1的大小关系，同样可

得出两数的大小关系，即b a ,为正数b a b

a

>⇔>1

解：由于10<-x a ，同理

0|)1(l o g |>+x a ，

=--=-=+-=+-++)1(log |)1(log ||)

1(log )

1(log ||)1(log ||)1(log |11x x x x x x x x a a a a

1)1(log 11

log 11=+>-++x x

x x

，因此>-|)1(log |x a |)1(log |x a + 例3 1）9

2

,31,31=>>ab b a ，证明1<+b a

2）n 为任意正整数，证明

1)

1(1--<+n n n n

1）分析：观察欲证不等式的特点，已知中有ab ，结论中有b a +，这种结构特点启发我们采用如下方法．

证明：因为3

1

>

a ，所以031>-a ，同理031>-

b ，因此0)31)(31(>--b a ，

91)(31091)(31+<+⇒>++-ab b a b a ab ，又9

2

=ab ，故1<+b a

说明：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法． 2）分析：从不等式的结构不易发现需要用哪些不等式的性质或事实解决这个问题，因此用分析法．

证明：要证

1)

1(1--<+n n n n ，只需证

1

1)

1(1-+<

+n n n n ，也就是要证

1)1(-+>+n n n n ，两边平方)1(212-+-+>+n n n n n n ，只需证

01)1(2)1(>+---n n n n ，只需证0)1)1((2>--n n ，该式对一切正整数n 都成立，

所以

1)

1(1--<+n n n n 成立．

说明：证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要的命题成立，这种证明的方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法，在寻求证明思路时尤为有效． 当问题比较复杂时，时常把分析法和综合法结合起来使用．以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程． 在实际的证题思考过程中，执果索因和由因导果总是不断交替地出现在思维过程中．

链接：用此已经获证的不等式很容易证出一个新的不等式：

n k k n

k <+∑

=1

)

1(1

例4 1）设c b a ,,是一个三角形的三条边长，2=++c b a ，证明

23

4

222<++≤c b a 2）设2+=

n a n ，)12(3+-+=n n n b n ，比较n a 与n b 的大小

（1992年上海高考题改编） 1） 证明：用分析法证不等式的前半部分． 要证

2223

4

c b a ++≤，只需证4)(3222≥++c b a ，即证2222)()(3c b a c b a ++≥++，只需证ca bc ab c b a ++≥++2

2

2

，因为该不等式是我们熟知的已经成立的不等式，所以

22234

c b a ++≤成立．又1022<<⇒>-⇒⎩

⎨⎧>+=++c c c c b a c b a ，同理1,0<