第六节影子价格和对偶单纯形法
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对偶单纯形、影子价格
cj
min(2,1) 2 y4 换出 换出
5 y3 1 1 5 1/ 6 2/3 1 0 1 0 0 y4 y5 1 0 0 1 0 0 1/ 6 0 1/ 3 1 4 0 y2 换出 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 / 2
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
第三节
对偶单纯形法
对偶单纯形法的基本思路
继续
返回
用对偶原理求解原问题的一种方法， 而不是求解对偶问题解的单纯形法 对偶单纯形法的计算步骤
对 偶 问 题
对偶单纯形法的基本思路
单纯形法的基本思路：
原问题基可行解 C-CBB-1A≤0 最优解判断
~ 1 Xb B b 0
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* i 的意义——代表在资源最优利
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对 偶 问 题
影子价格的经济意义
1．资源的市场价格是已知数，相对比
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较稳定，而它的影子价格则有赖于资源 的利用情况，是未知数。由于企业生产 任务、产品结构等情况发生变化，资源 的影子价格也随之改变。
企业 市场价格 影子价格
市场
对 偶 问 题
最优解
对 偶 问 题
对偶单纯形法的优点：
不需要人工变量； 当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少 迭代次数； 在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法 处理简化。
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对偶单纯形法缺点：
对初始单纯形表形式要求较严格（在对偶问 题可行的前提下），普遍适用性较差。 因此，对偶单纯形法一般不单独使用。
对 偶 问 题
影子价格的经济意义
3．资源的影子价格实际上又是一种机会成本. 在纯市场经济条件下,当第2种资源的 市场价格低于1/4时，可以买进这种资源； 相反当市场价格高于影子价格时，就会卖 出这种资源。随着资源的买进卖出，它的 影子价格也将随之发生变化，一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时，才处于 平衡状态。
2022年市场-运筹学讲义——影子价格精选全文
x1
x2
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价值系数CN发生改变
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灵敏度分析
例2－7 线性规划
影
子
价
格
影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而作出的估价，这种估价不是资源的市场价格。 它反映了在最优经济结构中，在资源得到最优配置前提下，资源的边际使用价值。单纯形表中松弛变量所对应的检验数的相反数是在该经济结构中的影子价格，也可以说对偶问题的最优解向量是结构中的影子价格。
影
子
价
格
的
基
CB
XB
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2
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3
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xj b
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价值系数CN发生改变
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－Ｚ
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0
-0.5
0
-3/2
-1/2
灵敏度分析
例2－7 线性规划
影
子
价
格
影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而作出的估价，这种估价不是资源的市场价格。 它反映了在最优经济结构中，在资源得到最优配置前提下，资源的边际使用价值。单纯形表中松弛变量所对应的检验数的相反数是在该经济结构中的影子价格，也可以说对偶问题的最优解向量是结构中的影子价格。
影
子
价
格
的
基
CB
XB
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xj b
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x4
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1
1
1
0
0
x5
9
1
4
7
运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格
影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
2011-3-10
5
运筹学
Operations Research
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
运筹学
Operations Research
§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
2011-3-10
1
运筹学
影 子 价 格
运筹学
影子价格 对偶问题的最优解y1*，y2*，…，ym*，称为原问 题中各种资源的影子价格。
Y*= CBB－1
m
z*=w*= Y*b= bi yi* i 1
z * bi
yi*
影子价格反映资源对目标函数的边际贡献。
n
aij
x
* j
bi ，第i种资源有剩余，其影子价格yi*=0。
j 1
m
aij
y
* i
c
，把生产一个单位第j种产品的资源转让
j
i 1
出去，所得收入高于该产品的价格，故产量xj*=0。
一、对偶变量的经济意义 影子价格： 指当资源改变一个单位时引起的最优收益值 的改变量。
（一）由单纯形法看影子价格的含义 书21页求得： 原问题(a) X*=(2, 3 ,0 ,4 ,0)T z*=19 对偶问题（b） Y*= (2, 0, 1/4) w*=19
2．由影子价格可以了解到，花费多大的代价增 加资源才是有利的。
显然增加该种资源所需的代价或成本不应超过 增加该种资源所带来的收益。
3．利用影子价格分析现有产品价格变动对资源 紧缺情况的影响。
运筹学
由原问题的最优解可知，原材料A和原材料C已经用 完，而原材料B剩余4个单位，所以，即使再增加这一材 料的供应量也不会使得目标函数（总利润）增加，也即 它的影子价格y2=0.因此材料B不是紧缺资源。
二、影子价格的作用
1．由影子价格可了解到，若要增加资源以增加 收益的话，应首先增加哪种资源最为有利，哪 种资源最稀缺。如上例中，三种资源影子价格 为(2, 0, 1/4)说明应首先增加第一种资源。因相 比之下，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ加它所增加的收益最大，而不应增 加第二种资源。
影子价格 对偶问题的最优解y1*，y2*，…，ym*，称为原问 题中各种资源的影子价格。
Y*= CBB－1
m
z*=w*= Y*b= bi yi* i 1
z * bi
yi*
影子价格反映资源对目标函数的边际贡献。
n
aij
x
* j
bi ，第i种资源有剩余，其影子价格yi*=0。
j 1
m
aij
y
* i
c
，把生产一个单位第j种产品的资源转让
j
i 1
出去，所得收入高于该产品的价格，故产量xj*=0。
一、对偶变量的经济意义 影子价格： 指当资源改变一个单位时引起的最优收益值 的改变量。
（一）由单纯形法看影子价格的含义 书21页求得： 原问题(a) X*=(2, 3 ,0 ,4 ,0)T z*=19 对偶问题（b） Y*= (2, 0, 1/4) w*=19
2．由影子价格可以了解到，花费多大的代价增 加资源才是有利的。
显然增加该种资源所需的代价或成本不应超过 增加该种资源所带来的收益。
3．利用影子价格分析现有产品价格变动对资源 紧缺情况的影响。
运筹学
由原问题的最优解可知，原材料A和原材料C已经用 完，而原材料B剩余4个单位，所以，即使再增加这一材 料的供应量也不会使得目标函数（总利润）增加，也即 它的影子价格y2=0.因此材料B不是紧缺资源。
二、影子价格的作用
1．由影子价格可了解到，若要增加资源以增加 收益的话，应首先增加哪种资源最为有利，哪 种资源最稀缺。如上例中，三种资源影子价格 为(2, 0, 1/4)说明应首先增加第一种资源。因相 比之下，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ加它所增加的收益最大，而不应增 加第二种资源。
对偶理论与影子价格
9
管
理
运
筹
学
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： 1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的 不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等 于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。 2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量 3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换 4.两个规划模型中的变量皆非负
21
管
理
运
筹
学
弱对偶定理的推论： 1.（P）任一可行解的目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下界；（D）任一可行解的目标函数值是 其原问题目标函数值的上界。 2. 若（P）可行，那么（P）无有限最优解的充分 必要条件是（D）无可行解。 3. 若（D）可行，那么（D）无有限最优解的充分 必要条件是（P）无可行解。 4. 若（P）、（D）可行，那么（P）、（D）都有 最优解。
第六节 对偶理论与影子价格
对偶问题的提出 对偶问题的形式 对偶问题的基本性质 影子价格
1
管
理
运
筹
学
对偶问题的提出
2
管
理
运
筹
学
例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。 设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数 目标函数 min f 65 y1 40 y2 75 y3 max z 1500 x1 2500 x2 目标函数 3 y1 2 y2 1500 3 x1 2 x2 65 （不少于甲产品的利润） 2 x x 40 约束条件 1 2 约束条件 2 y1 y2 3 y3 2500 3 x2 75 （不少于乙产品的利润） x 0, x 0 1 2 y1 0, y2 0, y3 0
对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用
影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
线性规划对偶理论(含影子价格)_21136
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对 称
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
x2 0,
x2
2
0
无界
关于无界性有如下结论： minW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可 行解
对偶问题 无可行解 无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1
y1
y2 0, y2
1 0
无可 行解
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
〔1〕目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
〔2〕一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
〔3〕一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
〔4〕原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
〔4〕强对偶性〔最优解的目标函数之间的关系〕 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
2对偶单纯形法
对偶问题的经济解释－影子价格
3）影子价格在资源利用中的应用 根据对偶理论的互补松弛性定理: Y*Xs=0 , YsX*=0
Page 5
表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种 资源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为0时，表明 该种资源在生产中已耗费完。
对偶问题的经济解释－影子价格
Page 15
学习要点：
1. 线性规划解的概念以及3个基本定理
2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤
λj
对偶单纯形法
cj cB xB -9 x1 -12 x2 -15 x3 0 x4 0 x5 0 x6 b
Page 11
i
0
0 -15
x4
x5 x3
-9/5
-9/5 1/5 -6
-9/5
-14/5 1/5 -9 -12 -15
0
0 1 0 0
1
0 0 0 0
0
1 0 0
-1/5
-1/5 -1/5 -3 0
初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别 准则
最小比值中
aij<0 这时必须取绝对值。在极大化问题中,σj≤0，分母aij<0， 写成
aij
的绝对值是使得比值非负，在极小化问题σj≥0，分母
总满 a
ij
j
j
足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数
max z' 4 x1 x2 3 x3
max Z CX AX b P X 0 minW Yb YA C D Y 0
n m j 1 i 1
由对偶问题得基本性质可得： z c j x j bi yi
对偶单纯形法
min f c j x j
j1 n
c
j
0
n i 1, 2, , m a ij x j bi j1 x 0, j 1, 2, , n j
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等 式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正 的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯 形表进行求解，非常方便。
对偶单纯形法求解线性规划问题过程：
1.建立初始单纯形表,检查b列中的各分量，若都为非 负，且检验数均非正,则已得到最优解，若b列中至 少有一个负分量，检验数非正,则转2； 2.确定换出变量
min
(bi 0)
确定对应的基变量xi为出基变量,转3 3.在单纯形表中检查xi所在行的各系数，若所有 aij≥0，则原问题无可行解,停止;否则,若有aij<0 则选 =min{j/aij┃ aij<0}=k/aik 那么xk为进基变量,转4； 4.以aik为主元，进行迭代运算，得到新的单纯形表； 5.重复上述步骤，直到求得最优解。
（2） 影子价格表明资源增加对总效益产生 的影响。根据推论“设x0和y0分别为原规划（P） 和对偶规划（D）的可行解，当cx0=y0b时，x0、 y0 分别是两个问题的最优解”可知，在最优解 的情况下，有关系
Z w b y b2 y bm y
* * * 1 1 * 2
* m
因此，可以将z*看作是bi,i=1,2，… ,m的函数， 对bi求偏导数可得到
影子价格y2 0的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 B 1 时，最大利润将不变化 .
影子价格y3 50的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 C 1 时，最大利润将增加 个单位. 50
(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定 y1, y2 , y3 , 为
j1 n
c
j
0
n i 1, 2, , m a ij x j bi j1 x 0, j 1, 2, , n j
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等 式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正 的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯 形表进行求解，非常方便。
对偶单纯形法求解线性规划问题过程：
1.建立初始单纯形表,检查b列中的各分量，若都为非 负，且检验数均非正,则已得到最优解，若b列中至 少有一个负分量，检验数非正,则转2； 2.确定换出变量
min
(bi 0)
确定对应的基变量xi为出基变量,转3 3.在单纯形表中检查xi所在行的各系数，若所有 aij≥0，则原问题无可行解,停止;否则,若有aij<0 则选 =min{j/aij┃ aij<0}=k/aik 那么xk为进基变量,转4； 4.以aik为主元，进行迭代运算，得到新的单纯形表； 5.重复上述步骤，直到求得最优解。
（2） 影子价格表明资源增加对总效益产生 的影响。根据推论“设x0和y0分别为原规划（P） 和对偶规划（D）的可行解，当cx0=y0b时，x0、 y0 分别是两个问题的最优解”可知，在最优解 的情况下，有关系
Z w b y b2 y bm y
* * * 1 1 * 2
* m
因此，可以将z*看作是bi,i=1,2，… ,m的函数， 对bi求偏导数可得到
影子价格y2 0的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 B 1 时，最大利润将不变化 .
影子价格y3 50的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 C 1 时，最大利润将增加 个单位. 50
(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定 y1, y2 , y3 , 为
第二章 线性规划的对偶理论3-影子价格对偶单纯形法
根据对偶原理，当原问题有最优解时，对偶问题也 有最优解。反之，也成立。 因此，首先找对偶问题的可行解，如果这时有 XB = CBB-1 0 即原问题的解也为可行解，则两者均为最优解。 否则，保持对偶问题为可行解，找出原问题的相邻 基解，再判别是否有 XB = CBB-1 0 ，循环进行，直到 原问题也为可行解为止。
资源影子价格的性质
1 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它
的影子价格则依赖于资源的利用情况，是未知数。企业 生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格 也随之发生变化。
2 资源的影子价格是一种 边际价格。 在
z c j x j bi yi w中对 z 求 bi 的偏导数得
2.3 对偶单纯形法
单纯形法的计算步骤如下：
第一步 找出一个基可行解 第四步 第二步 判断其是否最优
是，且基变量 中无人工变量
结束
否 第三步 转换到相邻的基可行解，并使目标函数值增大
第一步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。 第二步：最优性检验。 第三步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大 的基可行解，列出新的单纯形表。 第四步：重复第二、三步，直到计算结束为止。
差额成本 = 机会成本 - 利润
5 影子价格与资源的关系 根据对偶问题的互补松弛性质：
aij x j bi
j 1 n
n
时，yi* = 0；当 yi* > 0 时，有
aij x j bi 。
j 1
说明生产过程中如果某种资源未得到充分利用时， 该种资源的影子价格为零； 当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产 中已经消耗完毕。
min w 15 y1 24 y2 5 y3
影子价格
2
1.线性规划对偶问题 1.线性规划对偶问题
影子价格的经济含义 (1)影子价格是对现有资源实现最 大效益时的一种估价 企业可以根据现有资源的影子价 格，对资源的使用有两种考虑：第一， 是否将设备用于外加工或出租，若租 费高于某设备的影子价格，可考虑出 租该设备，否则不宜出租。第二，是 否将投资用于购买设备，以扩大生产 能力，若市价低于某设备的影子价格， 可考虑买进该设备，否则不宜买进。
100 x2 1 1 (1) 100* 0 0 1 0 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 -50
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 -50
I
θi 300 400 250 50 75
单纯形法 典式对应原规划的 基本解是可行的
对偶单纯形法 典式对应原规划的 基本解的检验数
是 所有 否 计算
得到 最优解
是 所有 否
停
计算
是 所有 否 计算
没 有 最 优 解
没 有 最 优 解
是 所有 否 计算
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
1
1.线性规划对偶问题 1.线性规划对偶问题
4.影子价格 4.影子价格 —— 是一个向量，它 的分量表示最优目标值随相应资源数量 变化的变化率。 若x*,y* 分别为（LP）和（DP）的最优解， 那么， cT x* = bT y* 。 根据 f = bTy*=b1y1*+b2y2*+L+bmym* 可知 ∂f / ∂bi = yi* yi* 表示 bi 变化1个单位对目标 f 产生 的影响，称 yi* 为 bi的影子价格。 注意： 注意：若 B 是最优基， y* 为影子价格向量。
1.线性规划对偶问题 1.线性规划对偶问题
影子价格的经济含义 (1)影子价格是对现有资源实现最 大效益时的一种估价 企业可以根据现有资源的影子价 格，对资源的使用有两种考虑：第一， 是否将设备用于外加工或出租，若租 费高于某设备的影子价格，可考虑出 租该设备，否则不宜出租。第二，是 否将投资用于购买设备，以扩大生产 能力，若市价低于某设备的影子价格， 可考虑买进该设备，否则不宜买进。
100 x2 1 1 (1) 100* 0 0 1 0 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 -50
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 -50
I
θi 300 400 250 50 75
单纯形法 典式对应原规划的 基本解是可行的
对偶单纯形法 典式对应原规划的 基本解的检验数
是 所有 否 计算
得到 最优解
是 所有 否
停
计算
是 所有 否 计算
没 有 最 优 解
没 有 最 优 解
是 所有 否 计算
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
1
1.线性规划对偶问题 1.线性规划对偶问题
4.影子价格 4.影子价格 —— 是一个向量，它 的分量表示最优目标值随相应资源数量 变化的变化率。 若x*,y* 分别为（LP）和（DP）的最优解， 那么， cT x* = bT y* 。 根据 f = bTy*=b1y1*+b2y2*+L+bmym* 可知 ∂f / ∂bi = yi* yi* 表示 bi 变化1个单位对目标 f 产生 的影响，称 yi* 为 bi的影子价格。 注意： 注意：若 B 是最优基， y* 为影子价格向量。
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
对偶单纯形法详解课件
终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。
对偶单纯形影子价格课件
投资决策案例
总结词
投资决策问题涉及到如何分配资金进行各种投资，以 实现最大的预期回报。
详细描述
在投资决策案例中，通常有多项投资选择，每项投资都 有不同的预期回报和风险。通过使用对偶单纯形法，可 以找到最优的投资组合，使得预期回报最大而风险最小 。具体来说，这涉及到构建一个线性规划模型，其中决 策变量表示每个投资项目的资金分配比例，目标函数表 示预期回报的最大化，约束条件表示资金总量和风险限 制。然后，通过求解这个线性规划模型，可以得到最优 的投资组合方案。
迭代法
对于非线性规划问题，可 以通过迭代法逐步逼近最 优解，并计算每个迭代步 的影子价格。
约束法
对于某些特殊形式的规划 问题，可以通过约束法直 接计算影子价格。
影子价格的经济含义
影子价格反映了资源的稀缺程度 和重要性，可以用于资源分配和
投资决策。
在经济分析中，影子价格可以作 为资源的边际贡献，用于评估不
02 影子价格的概念
影子价格的定义
01
影子价格也称为边际价格或条件 价值，是指资源在最优配置条件 下，每增加或减少一个单位所引 起的价值变化。
02
在线性规划问题中，影子价格通 常表示为对偶问题的最优解，反 映了资源在最优解下的稀缺程度 和重要性。
影子价格的计算方法
01
02
03
对偶单纯形法
通过求解对偶问题的最优 解，可以得到原问题的影 子价格。
资源分配问题
总结词
影子价格在资源分配问题中，可以用于评估不同资源在不同用途下的潜在价值，为决策者提供科学的资源配置依 据。
详细描述
在资源有限的情况下，如何将资源合理分配到各个项目中，以实现整体效益最大化是资源分配问题的核心。通过 对偶单纯形法，可以求解出每个资源的影子价格，即该资源在约束条件下的边际贡献，从而帮助决策者了解资源 的相对紧缺程度和潜在收益，实现资源的有效配置。
对偶问题的经济解释-影子价格
影子价格在经济管理中的应用
(1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向.
影子价格越高的资源,说明它对目标增益的影响 越大,同时也表明这种资源越稀缺和贵重. 企业的管理者要重视这种资源的管理,挖掘潜力 ,及时组织资源,由此可以给企业带来较大的收 益. 注意:对于影子价格为零的资源企业的资源 不一定有剩余.如果有剩余,企业应该充分利 用剩余的资源,开辟新的生产途径,以增加企 业的总收益.
max z c1x1 c 2 x 2 c j x j c n x n s.t. a11x1 a12 x 2 a1jx j a1n x n b1y1 a 21x1 a 22 x 2 a 2jx j a 2n x n b 2 y2 a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n b m ym x1 x2 xj xn 0
(4)影子价格在资源购销决策中的应用.
当资源的市场价格低于影子价格,企业买进该资源, 扩大生产,当资源的市场价格高于影子价格,企业 应设法转让该资源.
(5)利用影子价格分析现有产品价格变动对 资源紧缺情况的影响.
产品价格的变动会影响到影子价格的大小,从而 对资源的稀缺性产生影响.
二 影子价格的经济意义
1．影子价格不是市场价 资源的市场价格是已知数，相对比较稳定， 而它的影子价格则有赖于资源的利用情况， 是未知数。 由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化， 资源的影子价格也随之改变。 企业 影子价格 市场价格
市场
2．资源的影子价格是一种机会成本
.在纯市场经济条件下, 设第i 种资源的单位市场价格为mi ， 当yi > mi 时，企业愿意购进这种资源， 单位资源的纯利为yi－mi ，则有利可图； 如果yi < mi ，则企业有偿转让这种资源， 可获单位 资源的纯利mi－yi ， 否则，企业无利可图，甚至亏损。 随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化， 一直到影子价格与市场价格保持同等水平时， 才处于平衡状态。
第六节影子价格和对偶单纯形法
对偶单纯形法的优点
初始解可以是非可行的，检验数都为负数， 可以进行基变换。（无需加入人工变量）
变量个数多于约束条件个数。（对偶化） 灵敏度分析中可以使问题简化。
缺点：很难找到一个初始可行基。
小结
？ ？
作业
P75/2.7/(1) /2.8/(1)
5x1 2x2 50
x2 8
x1, x2 0
MinZ 18 y1 50 y2 8y3
y1 5y2 5 2 y1 2 y2 y3 4
y1
,
y2 ,
y3
0
第三章 对偶理论与灵敏度分析
MinZ 18 y1 50 y2 8y3
5
8 y3 2 [8/5] 0 1 2/5 -1 -2/5
5/4
66
zj
22.8 50 8 -6.8 -8 6.8
zj -cj
4.8 0
0 -6.8 -8 6.8-M
50 y2 3/4 0 1 -1/8 -1/4 1/8 1/4
?
18 y1 5/4 1
0 5/8 1/4 -5/8 -1/4
60
zj
18 50 5 -8 -5 8
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
cj
max 2x1 3x2 4x3 Mx6 Mx7
x1 2x2 x3 x4 x6 3
2x1 x2 3x3
x5 x7 4
xj 0, j 1,..., 7
-2 -3 -4 0 0
以aek为主元素进行迭代
单纯形法和对偶单纯形法的步骤
对偶单纯形法的适用范围
影子价格与对偶单纯形法-易明智
实例
用对偶单纯形法解线性规划:
Min ω=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+x3≥0 S . t 2x1-x2+3x3≥4 x1，x2，x3 ≥0
解：先将线性规划问题化成如下形式：
Maz z=-2x1-3x2-4x3 -x1-2x2-x3+x4=-3 S . t -2x1+x2-3x3 +x5=4 X j，j=1，2，…，5
2、应用影子价格预测产品的价格
如例中A1产品的单耗为2、4、1、0，则A1产品定价 应为高于 2 =1.75 1 0 才能使公司收益增加，若定价低于1.75，就相当于无 效生产。 (0 0.375 0.25 0.625) 4
3、影子价格反映了资源的稀缺性 影子价格越高，则资源越稀缺。 有此可知本例子中的瓶颈资源是技术 服务，在扩大再生产过程中应首先考虑 这种资源。
x1
-3
x2
-4
x3
0
x4
0
x5
0 1 0
-5/2 -1/2 -4
1/2 3/2 -1
1 0 0
-1/2 -1/2 -1
表3
Cj CB -3 -2 XB x1 x1 C j-Z j b 2/5 11/5
-2
x1
-3
x2
-4
x3
0
x4
0
x5
0 1 0
1 0 0
-1/5 7/5 -3/5
-2/5 -1/5 -8/5
1/5 -2/5 -1/5
表3中，b列数字全为非负，检验数全为 非正，故问题的最优解为：
= X （11 / 5 2 / 5 0 0）
∗ T
若对应两个约束的对偶变量为y1y2，则对 偶问题的最优解为：
第二章 线性规划的对偶理论3-影子价格对偶单纯形法
影子价格(shadow price)
影子价格广泛地被用于投资项目和进出口活动的经济 评价。
例如，把投资的影子价格理解为资本的边际生产率与 社会贴现率的比值时，用来评价一笔钱用于投资还是用于 消费的利亏；
把外汇的影子价格理解为使市场供求均衡价格与官方 到岸价格的比率，用来评价用外汇购买商品的利亏，使有 限外汇进口值最大。
b1 y1 b2 y2
am1x1 am2 x2 amj x j amn xn bm ym
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本
a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
-5
-2
-1
0
1
cj-zj
-15
-24
-5
0
0
-24
y2
1/3
0
1
1/6
-1/6
0
0
y5
-1/3
-5
0
[-2/3] -1/3
1
cj-zj
-15
0
-1
-4
0
max w 15y1 24y2 5y3 0y4 0y5
6 y2 y3 y4 2
5y1 2 y2 y3
6 互补松弛关系的经济解释
yi xni
0
yi xni
0
xni 0 yi
0 0
x j ym j
0
xj ym j
0 ym j 0 xj
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XB
XN
XS
检验
0
CB-CBB-1N
-CBB-1
YS1
-YS2
-Y
线性规划的图解法－例2-1
Graphical solution of linear programming
MaxZ 5x1 4x2
x1 2x2 18 (1)
5 x1
2x2 x2
50 8
( 2) ( 3)
x1, x2 0 (4)
y1 5y2 5 2 y1 2 y2 y3 4
y1
,
y2 ,
y3
0
第三章 对偶理论与灵敏度分析
MinZ 18 y1 50 y2 8y3
2
y1 y1
5 y2 2y2
y3
5 4
y1, y2 , y3 0
MinZ 18 y1 50 y2 8y3 0 y4 0 y5 My6
试用对偶理论找出原问题的最优解。
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
max z CX
s
.t
.AX
X
0
b
min z Y b
s
.t
.YY
A C 0
Z CBB1b Y b
Z b
CB B1
Y
XB
XN
XS
0
CB-CBB-1N
-CBB-1
YS1
-YS2
-Y
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
所有
否
停
计算
所有 否
计算
是无 界 解
无是
可
所有
行 解
否
计算
以aek为主元素进行迭代
以aek为主元素进行迭代
单纯形法和对偶单纯形法的步骤
对偶单纯形法的适用范围
对偶单纯形法适合于解如下形式 的线性规划问题
在引入松弛变量化为标准型之后，约 束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数 全部非正的原规划基本解，可以直接建立 初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。
第2章 对偶理论与灵敏度分析
Chapter 2 Duality Theory and Sensitivity Analysis
对偶问题的基本性质
1. 对称性 2. 弱对偶性 3. 无界性
max z CX
s
.t
. AX X
0
b
min z Y b
s
.t
.YY
A C 0
4. 最优解性质 5. 对偶定理 6. 互补松驰性
xj 0, j 1,..., 7
-2 -3 -4 0 0
CB
xB b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4 -3 -1 -2 -1 1
0
0
x5 -4 -2 1 -3 0
1
cj zj
-2 -3 -4 0 0
单纯形法
原规划的基本解 是可行的
对偶单纯形法
原规划的基本解的 检验数≤0
所有
否
计算
是 得到 是 最优解
MinZ 18 y1 50 y2 8 y3
y1 5 y2
5
2 y1 2 y2 y3 4
y1
,
y2 ,
y3
0
Max(Z ) 18 y1 50 y2 8y3 0 y4 0 y5
y1 5y2 y4 5
2 y1 2 y2 y3
y5 4
y1, y2 , y3 , y4 , y5 0
M-2 5M－34 0 －M -8
0
50 y2 1 1/5 1 0 -1/5 0 1/5
5
8 y3 2 [8/5] 0 1 2/5 -1 -2/5
5/4
66
zj
22.8 50 8 -6.8 -8 6.8
zj -cj
4.8 0
0 -6.8 -8 6.8-M
50 y2 3/4 0 1 -1/8 -1/4 1/8 1/4
初始解可以是非可行的，检验数都为负数， 可以进行基变换。（无需加入人工变量）
变量个数多于约束条件个数。（对偶化） 灵敏度分析中可以使问题简化。
缺点：很难找到一个初始可行基。
小结
？ ？
作业
P75/2.7/(1) /2.8/(1)
-1 -2/5 1
cj -zj
-8
0
-8 -10 0
y2 3/4 0
1 -1/8 -1/4 1/8
y1 5/4 1
0 5/8 1/4 -5/8
cj -zj
0
0 -3 -8 -5
课堂讨论
• 比较单纯形算法与对偶单纯形 算法的异同
对偶单纯形法例子
min 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 3x3 4 x1, x2 , x3 0
A（8，5）
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格 x1 2x2 18 x1 2x2 19
MaxZ 5 7.75 45.625 61.25
(7.75, 5.625)
第五节 对偶问题的经济解释——影子价格
5x1 2x2 50 5x1 2x2 51
MaxZ 58.25 4 4.875 60.75
影子价格（shadow price)不同于一般意义上的市场 价格，按照资源最优分配理论, 可定义为“机会成本 的货币表现”，是指某种资源或劳务被用于一种用 途, 而放弃另一种用途时的价值。 这正是资源利用问 题的数学规划中对偶模型的最优解。这是著名的前 苏联数学家线性规划创始人、诺贝尔经济学奖获得 者康特罗维奇发现的。
XB
XN
XS
0
CB-CBB-1N
-CBB-1
YS1
-YS2
-Y
7. 原问题与对偶问题的关系
练例习题
min 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5
x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 3 xj 0, j 1,...,5
已知其对偶问题的最优解为： y1* 4 / 5, y2* 3 / 5, z 5
对于有些线性规划模型，如果在开始 求解时不能很快使所有检验数非正，最好 还是采用单纯形法求解。因为，这样可以 免去为使检验数全部非正而作的许多工作。 从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法 是单纯形法的一个补充。除此之外，在对 线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到 对偶单纯形方法，可以简化计算。
对偶单纯形法的优点
2
y1 y1
5 y2 2y2
y3
y4 y5y6Fra bibliotek5 4
y
j
0
j 1,2, ,6
18 50 8 0 0 M
CB
yB b
y1
y2
y3
y4
y5 y6
M y6 5 1 [5] 0 -1 0 1
1
8 y3 4 2 2 1 0 -1 0
2
5M+3
zj
M+16 5M+16 8 －M －8 M
2
zj -cj
第三章 对偶理论与灵敏度分析
CB 0 0 -Z=0 -50 0 -Z=50 -50 -18 -Z=60
-18 -50 -8 0
0
YB b
y1
y2
y3
y4
y5
y4 -5 -1 [-5] 0
1
0
y5 -4 -2
-2
-1
0
1
cj -zj
-18 -50 -8 0
0
y2 1 1/5
1
0 -1/5 0
y5 -2 [-8/5] 0
(8.25, 4.875) x2 8 x2 9 MaxZ 58 45 60
第三章 对偶理论与灵敏度分析
写出下面问题的对偶问题，然后用单纯形法求解。
MaxZ 5x1 4x2
x1 2x2 18
5x1
2x2 x2
50 8
x1, x2 0
MinZ 18 y1 50 y2 8y3
第六节 对偶单纯形法
MinZ 18 y1 50 y2 8 y3
2
y1 y1
5 y2 2y2
y3
5 4
y1, y2 , y3 0
二、对偶问题的计算步骤
1. 列出初始单纯形表；
2. 若B-1b≥0，σj=cj –zj≤0，则问题得到最优解，否 则进入下一步；
3. 取
Min{B 1b i
|
B 1b
0}
(B 1b)i*
对应的基变量xi*为换
出变量；
4. 由
c Min{
j
zj
j
ai* j
| ai* j
0} c j* z j* ai* j*
确定换
入变量xj*，当所有的ai*j ≥0时,问题无可行解；
5. 以ai*j*为主元素，按原单纯形法进行迭代，得到 新的计算表； 6. 重复2~5步。 例：用对偶单纯形法求例3-4的解
max 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 x4 3
2x1 x2 3x3 x5 4
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
cj
max 2x1 3x2 4x3 Mx6 Mx7
x1 2x2 x3 x4 x6 3
2x1 x2 3x3
x5 x7 4
?
18 y1 5/4 1
0 5/8 1/4 -5/8 -1/4
60
zj
18 50 5 -8 -5 8
zj -cj
0 0 -3 -8 -5 8-M
第三章 对偶理论与灵敏度分析
第六节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本原理 由原问题与对偶问题之间的关系知道，在单纯