1 矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
合集下载
第一讲 对偶理论和影子价格
四川农业大学数学系王莉莉
14
线性规划问题的参数变化灵敏度分析
灵敏度分析中研究C、b等参数在保持最优解或最优 基不变时的允许变化范围或改变到某一值时对问题 最优解的影响，若C按( C+λC* )或b按( b+ λ b* )连 续变化，而目标函数Z(λ )是参数λ的线性函数时， 将下面的问题称为参数线性规划。
四川农业大学数学系王莉莉
9
对偶问题解的经济含义：
对偶问题解中变量 yi* 的经济含义是在其他条件 不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起 的目标函数最优值的变化。所以， yi* 描述了原 始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处 于最优的配置时），第 i 种“资源”的某种“价 值”，故称其为第 i 种“资源”的影子价格。
25
四川农业大学数学系王莉莉 16
并进一步讨论以下3个附加问题： 1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项 投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付 给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
对偶理论与灵敏度分析
线性规划的对偶理论
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是 深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同 时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它 成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分 析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为 什么会产生这样一种问题呢？
四川农业大学数学系王莉莉
四川农业大学数学系王莉莉
22
最优基不变条件 下目标函数系数 的允许变化范 围：x1的系数为 Ranges in which the basis is unchanged: （72-8， 72+24）= Objective Coefficient Ranges （64，96） Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Row 2 3 4 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 50.00000 10.00000 6.666667 480.0000 53.33333 80.00000 100.0000 INFINITY 40.00000
2-3影子价格
4.由互补松驰性
当 aij x j bi时, yi 0
j 1
n
n
表明生产过程中如果某种资源 bi 未被充分利用时 , 该种资源的影子价格为0.
当yi 0时, aij x j bi
j 1
又当资源的影子价格不为 0,表明该种资源在生产中已 耗费完毕.
对偶问题的经济解释--影子价格(5)
1 1 1 1
令
N C N CB B N 得
1
（2 2）
（3）借助一个恒等式推出检验数的另一个等价 表达式：
CB CB B B 0
1
C C B B 1 A ( C B
C N ) C B B 1 ( B
1
N)
1
(C B C B B B C N C B B N ) (0 N )
§2.1 线性规划的对偶问题 §2.2 对偶问题的基本性质
原问题（或对偶问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶问题（或原问题）
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
Z * 1 * CB B Y b
对偶问题的经济解释--影子价格(4) 3.资源的影子价格实际上又是一种机会成本.当市场中,某 种资源的市场价格低于影子价格时,可以买进这种资源;相 反当市场价格高于影子价格时,就会卖出这种资源.随着资 源的买进卖出,它的影子价格也随之发生变化,一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态.
2 、将分块形式代入矩阵形式标准型， 得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
当 aij x j bi时, yi 0
j 1
n
n
表明生产过程中如果某种资源 bi 未被充分利用时 , 该种资源的影子价格为0.
当yi 0时, aij x j bi
j 1
又当资源的影子价格不为 0,表明该种资源在生产中已 耗费完毕.
对偶问题的经济解释--影子价格(5)
1 1 1 1
令
N C N CB B N 得
1
（2 2）
（3）借助一个恒等式推出检验数的另一个等价 表达式：
CB CB B B 0
1
C C B B 1 A ( C B
C N ) C B B 1 ( B
1
N)
1
(C B C B B B C N C B B N ) (0 N )
§2.1 线性规划的对偶问题 §2.2 对偶问题的基本性质
原问题（或对偶问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶问题（或原问题）
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
Z * 1 * CB B Y b
对偶问题的经济解释--影子价格(4) 3.资源的影子价格实际上又是一种机会成本.当市场中,某 种资源的市场价格低于影子价格时,可以买进这种资源;相 反当市场价格高于影子价格时,就会卖出这种资源.随着资 源的买进卖出,它的影子价格也随之发生变化,一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态.
2 、将分块形式代入矩阵形式标准型， 得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格
影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
2011-3-10
5
运筹学
Operations Research
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
运筹学
Operations Research
§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
2011-3-10
1
运筹学
运筹学课件第三节影子价格
运筹学教程
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
对偶理论与影子价格
9
管
理
运
筹
学
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： 1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的 不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等 于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。 2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量 3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换 4.两个规划模型中的变量皆非负
21
管
理
运
筹
学
弱对偶定理的推论： 1.（P）任一可行解的目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下界；（D）任一可行解的目标函数值是 其原问题目标函数值的上界。 2. 若（P）可行，那么（P）无有限最优解的充分 必要条件是（D）无可行解。 3. 若（D）可行，那么（D）无有限最优解的充分 必要条件是（P）无可行解。 4. 若（P）、（D）可行，那么（P）、（D）都有 最优解。
第六节 对偶理论与影子价格
对偶问题的提出 对偶问题的形式 对偶问题的基本性质 影子价格
1
管
理
运
筹
学
对偶问题的提出
2
管
理
运
筹
学
例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。 设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数 目标函数 min f 65 y1 40 y2 75 y3 max z 1500 x1 2500 x2 目标函数 3 y1 2 y2 1500 3 x1 2 x2 65 （不少于甲产品的利润） 2 x x 40 约束条件 1 2 约束条件 2 y1 y2 3 y3 2500 3 x2 75 （不少于乙产品的利润） x 0, x 0 1 2 y1 0, y2 0, y3 0
对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用
影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
线性规划对偶理论(含影子价格)_21136
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对 称
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
x2 0,
x2
2
0
无界
关于无界性有如下结论： minW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可 行解
对偶问题 无可行解 无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1
y1
y2 0, y2
1 0
无可 行解
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
〔1〕目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
〔2〕一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
〔3〕一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
〔4〕原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
〔4〕强对偶性〔最优解的目标函数之间的关系〕 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
01-2线性规划对偶理论与影子价格-1h
a11 y1 + a21 y2 + L + am1 ym ≥ c1 a y + a y + L + a y ≥ c 22 2 m2 m 2 12 1 LLL a y + a y + L + a y ≥ c 2n 2 mn m n 1n 1 (i = 1, L, m) yi ≥ 0
3 代入目标函数得 z = 8 4 ，说明第2种资源的边际收入
为1/4。又如第③个约束条件右端项增加1，可行 域的边界线③将移至③‘，代人目标函数得z=9， 说明第3种资源的边际收入为1/2。
影子价格的性质（1）
影子价格表示资源的稀缺程度，有赖于资 影子价格表示资源的稀缺程度， 源的利用情况，是未知数。 源的利用情况，是未知数。而资源的市场价格是已
这就是例1中原问题， 可见对偶问题与原问题互为对偶。
[例3] 写出下述线性规划的对偶问题
min z = 7 x1 + 4 x2 − 3 x3
− 4 x1 + 2 x2 − 6 x3 ≤ 24 − 3 x − 6 x − 4 x ≥ 15 1 2 3 5 x2 + 3x3 = 30 x1 ≤ 0, x2取值无约束, x3 ≥ 0
第二节 原问题与对偶问题
Original Problem & Dual Problem
线性规划原问题与 对偶问题的表达形式(1)
max z = c1 x1 +c2 x2 + L + cn x n min w = b1 y1 + b2 y2 + L + bm ym
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn ≤ b2 LLL a x + a x + L + a x ≤ b mn n m m1 1 m 2 2 x j ≥ 0 ( j = 1, L , n)
第三章 对偶的经济解释——影子价格
3.5 对偶的经济解释——影子价格
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b， 和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经 济意义是什么? n m 目标函数 z = c x = b y
∑
j =1
j
j
∑
i =1
i
i
式中bi 是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表 第i种资源的拥有量；对偶变量yi 的意义代表对一个 单位第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价 格，而是根据资源在生产中的贡献而作的估价，为 区别起见，称为影子价格（s的建立，使 线性规划不仅成为优化的工具，而且赋 予线性规划理论和算法以明确的经济意 义，从而使线性规划成为对企业经济活 动进行经济分析的重要工具。企业经济 活动就其目标分析，可以归纳为“最小 成本”和“最大利润”两大类。
3.5.1 最小成本问题
同样，我们也可以分析最大利润问题。 由于时间关系，我们不在课堂介绍。
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b， 和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经 济意义是什么? n m 目标函数 z = c x = b y
∑
j =1
j
j
∑
i =1
i
i
式中bi 是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表 第i种资源的拥有量；对偶变量yi 的意义代表对一个 单位第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价 格，而是根据资源在生产中的贡献而作的估价，为 区别起见，称为影子价格（s的建立，使 线性规划不仅成为优化的工具，而且赋 予线性规划理论和算法以明确的经济意 义，从而使线性规划成为对企业经济活 动进行经济分析的重要工具。企业经济 活动就其目标分析，可以归纳为“最小 成本”和“最大利润”两大类。
3.5.1 最小成本问题
同样，我们也可以分析最大利润问题。 由于时间关系，我们不在课堂介绍。
运筹学课件 第三节 影子价格
由强对偶定理知
Z* =CX*= CBB b=Y*b=W*
由此 Z*
-1
= Y*b=b1y1+b1y2+…bmym
Z* bi
= CBB-1= Y*
或
Z* bi
= （ Y*b） = yi* bi
运筹学教程
线性规划的对偶理论 对偶问题解的经济含义： 由上面分析——对偶问题解中变量 yi* 的 经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的 变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达 到最优时（各种“资源”都处于最优的配置 时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称 其为第 i 种“资源”的影子价格。 下面图解阐述影子价格的直观含义：
运筹学教程
所有检验数≤0意味着
CN CBB
1
N 0Y AC
T
，
说明原问题的最优基也是对偶问题的可行基。 换言之，当原问题的基B既是原可行基又是 对偶可行基时，B成为最优基。 补充定理 B是线性规划的最优基的充要条 件是，B是可行基，同时也是对偶可行基。
运筹学教程
单纯形法的求解过程就是： 在保持原问题可行的前提下（b列保持≥0）， 通过逐步迭代实现对偶可行（检验数行≤0） 。 2、 对偶单纯形法思想： 换个角度考虑LP求解过程：保持对偶可行 的前提下（检验数行保持≤0） ，通过逐步迭 代实现原问题可行（b列≥0，从非可行解变 成可行解）。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x 2 3 x 3 x1 x 2 x 3 5 st . x1 x 2 4 x 3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
对偶单纯形影子价格课件
投资决策案例
总结词
投资决策问题涉及到如何分配资金进行各种投资，以 实现最大的预期回报。
详细描述
在投资决策案例中，通常有多项投资选择，每项投资都 有不同的预期回报和风险。通过使用对偶单纯形法，可 以找到最优的投资组合，使得预期回报最大而风险最小 。具体来说，这涉及到构建一个线性规划模型，其中决 策变量表示每个投资项目的资金分配比例，目标函数表 示预期回报的最大化，约束条件表示资金总量和风险限 制。然后，通过求解这个线性规划模型，可以得到最优 的投资组合方案。
迭代法
对于非线性规划问题，可 以通过迭代法逐步逼近最 优解，并计算每个迭代步 的影子价格。
约束法
对于某些特殊形式的规划 问题，可以通过约束法直 接计算影子价格。
影子价格的经济含义
影子价格反映了资源的稀缺程度 和重要性，可以用于资源分配和
投资决策。
在经济分析中，影子价格可以作 为资源的边际贡献，用于评估不
02 影子价格的概念
影子价格的定义
01
影子价格也称为边际价格或条件 价值，是指资源在最优配置条件 下，每增加或减少一个单位所引 起的价值变化。
02
在线性规划问题中，影子价格通 常表示为对偶问题的最优解，反 映了资源在最优解下的稀缺程度 和重要性。
影子价格的计算方法
01
02
03
对偶单纯形法
通过求解对偶问题的最优 解，可以得到原问题的影 子价格。
资源分配问题
总结词
影子价格在资源分配问题中，可以用于评估不同资源在不同用途下的潜在价值，为决策者提供科学的资源配置依 据。
详细描述
在资源有限的情况下，如何将资源合理分配到各个项目中，以实现整体效益最大化是资源分配问题的核心。通过 对偶单纯形法，可以求解出每个资源的影子价格，即该资源在约束条件下的边际贡献，从而帮助决策者了解资源 的相对紧缺程度和潜在收益，实现资源的有效配置。
对偶问题的经济解释-影子价格
一
影子价格的概念
1 对偶问题的经济解释---影子价格
在单纯形法的每步迭代中， 1 目标函数取值 z CB B b ， 1 1 检验数 CN CB B N 中都有乘子Y CB B
那么Y的经济意义是什么？
影子价格的概念
讨论对称形式：
已知当LP求得 最优解x*时， 其DP也得到最 优解y*，且有
a 21x1 a 22x 2 a 2n xn am1x1 am 2 x 2 amn xn
消耗的资源（吨）
x1
x2
xn
单位产品消耗的资源（（吨）
原始问题和对偶问题都取得最优解时， 最大利润 max z=min ω出售价（最小收购价）
总利润（元） 单位产品的利润（元/件） 产品产量（件）
max z c1x1 s.t . a11x1
c 2 x 2 c 2 xn a12x 2 a1n xn xn 1 xn 2 xn m xn 1 xn 2 xn m
b1 b2 bm 0
影子价格在经济管理中的应用
(1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向.
影子价格越高的资源,说明它对目标增益的影响 越大,同时也表明这种资源越稀缺和贵重. 企业的管理者要重视这种资源的管理,挖掘潜力 ,及时组织资源,由此可以给企业带来较大的收 益. 注意:对于影子价格为零的资源企业的资源 不一定有剩余.如果有剩余,企业应该充分利 用剩余的资源,开辟新的生产途径,以增加企 业的总收益.
Z* 也可以写成： y i * (i 1,2m) b i
边际价格
即yi*表示Z*对 bi的变化率。
影子价格的定义： 是对偶问题的最优解Y*=(y1*,y2*,…，ym*), 是一个向量， 它的每个分量yi*表示 最优目标值随相应资源数量变化的变化率。 即在一对L P 和 D P中，在其它条件不变的情况下， LP 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时， 所引起的目标函数最优值Z* 的改变量yi* 称为LP的第 i 个约束条件的影子价格， 又称为边际价格。
影子价格的概念
1 对偶问题的经济解释---影子价格
在单纯形法的每步迭代中， 1 目标函数取值 z CB B b ， 1 1 检验数 CN CB B N 中都有乘子Y CB B
那么Y的经济意义是什么？
影子价格的概念
讨论对称形式：
已知当LP求得 最优解x*时， 其DP也得到最 优解y*，且有
a 21x1 a 22x 2 a 2n xn am1x1 am 2 x 2 amn xn
消耗的资源（吨）
x1
x2
xn
单位产品消耗的资源（（吨）
原始问题和对偶问题都取得最优解时， 最大利润 max z=min ω出售价（最小收购价）
总利润（元） 单位产品的利润（元/件） 产品产量（件）
max z c1x1 s.t . a11x1
c 2 x 2 c 2 xn a12x 2 a1n xn xn 1 xn 2 xn m xn 1 xn 2 xn m
b1 b2 bm 0
影子价格在经济管理中的应用
(1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向.
影子价格越高的资源,说明它对目标增益的影响 越大,同时也表明这种资源越稀缺和贵重. 企业的管理者要重视这种资源的管理,挖掘潜力 ,及时组织资源,由此可以给企业带来较大的收 益. 注意:对于影子价格为零的资源企业的资源 不一定有剩余.如果有剩余,企业应该充分利 用剩余的资源,开辟新的生产途径,以增加企 业的总收益.
Z* 也可以写成： y i * (i 1,2m) b i
边际价格
即yi*表示Z*对 bi的变化率。
影子价格的定义： 是对偶问题的最优解Y*=(y1*,y2*,…，ym*), 是一个向量， 它的每个分量yi*表示 最优目标值随相应资源数量变化的变化率。 即在一对L P 和 D P中，在其它条件不变的情况下， LP 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时， 所引起的目标函数最优值Z* 的改变量yi* 称为LP的第 i 个约束条件的影子价格， 又称为边际价格。
对偶问题的经济解释-影子价格
是未知数。
由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，
资源的影子价格也随之改变。
企业
市场价格
影子价格
市场
2．资源的影子价格是一种机会成本
.在纯市场经济条件下, 设第i 种资源的单位市场价格为mi ， 当yi > mi 时，企业愿意购进这种资源， 单位资源的纯利为yi－mi ，则有利可图； 如果yi < mi ，则企业有偿转让这种资源， 可获单位 资源的纯利mi－yi ， 否则，企业无利可图，甚至亏损。 随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化， 一直到影子价格与市场价格保持同等水平时， 才处于平衡状态。
x1 , x2 , x3 0
( A资 源 限 制) (B资 源 限 制) (C资 源 限 制)
已解得最优单纯形表如下 ：
CB
XB b
x1
x2 x3 x4 x5 x6
2
x2 100 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0
5
x3 230 3/2 0 1
0 1/2 0
0
x6 20 2
00
-2
11
Z
Z′*= y1*b1+ y2*b2+…+yi*（ bi+1 ）+…+ym*bm ∴ △Z*= Z′*－ Z* = yi*
也可以写成： Z*
bi
yi * (i 1,2m)
边际价格
即yi*表示Z*对 bi的变化率。
影子价格的定义：
是对偶问题的最优解Y*=(y1*,y2*,…，ym*), 是一个向量，
三 LP和DP中其它概念的经济学意义
1 对偶约束的经济解释---产品的机会成本（opportunity cost ） 增加单位资源可以增加的总利润
1 矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
8 16 12
b
单纯形法的矩阵描述
1 0 2 x 1 1 0 8 4 0 0 x 0 0 x 3 16 5 x 0 1 4 x 2 0 1 4 12
解: 把原问题化为标准型
m axz 2 x 1 3 x 2 8 x1 2 x 2 x 3 4 x 1 x4 16 s .t. 4 x2 x 5 12 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
单纯形法的矩阵描述
用单纯形法求解如下:
1 0 2 B3 4 0 0 0 1 4
线性规划问题的对偶问题
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
B 1 1 / 4 0 0 2 0.5 1 0.5 1 / 8 0
第二章 线性规划的对偶理论3-影子价格对偶单纯形法
影子价格(shadow price)
影子价格广泛地被用于投资项目和进出口活动的经济 评价。
例如，把投资的影子价格理解为资本的边际生产率与 社会贴现率的比值时，用来评价一笔钱用于投资还是用于 消费的利亏；
把外汇的影子价格理解为使市场供求均衡价格与官方 到岸价格的比率，用来评价用外汇购买商品的利亏，使有 限外汇进口值最大。
b1 y1 b2 y2
am1x1 am2 x2 amj x j amn xn bm ym
x1
x2
xj
xn 0
减少一件产品可以节省的资源
机会成本
a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
-5
-2
-1
0
1
cj-zj
-15
-24
-5
0
0
-24
y2
1/3
0
1
1/6
-1/6
0
0
y5
-1/3
-5
0
[-2/3] -1/3
1
cj-zj
-15
0
-1
-4
0
max w 15y1 24y2 5y3 0y4 0y5
6 y2 y3 y4 2
5y1 2 y2 y3
6 互补松弛关系的经济解释
yi xni
0
yi xni
0
xni 0 yi
0 0
x j ym j
0
xj ym j
0 ym j 0 xj
运筹学第2章影子价格
CB2 (21,0,20), CN2 (8,20,10,0,0)
第二步迭代，计算
0
1 0 0
2 3 / 2; E2 0 1 3 / 2
1/ 2
0 0 1/ 2
B2的逆阵
1 0 0 1 0 0
B21
E2 B11
yi的值代表对第i种资源的估价。这种估价 是针对具体工厂的具体产品而存在的一种 特殊价格，称它为”影子价格”。在该厂 现有资源和现有生产方案的条件下，设备 的每小时租费为1.5元，1kg原材料A的出 让费为除成本外再附加0.125元，1kg原材 料B可按原成本出让，这是该厂的收入与 自己组织生产时获利相等。影子价格随具 体情况而异。
第一步迭代。计算
1
1 0 0
1
2 ；B11
E1B01
21 0 Nhomakorabea 2
2 0 1
非基变量检验数
N1 CN1 CB1 B11N1 (8,20,10,20,0)
1 0 01 2 1 0 1 (21,0,0) 2 1 01 0 1 3 0
（2） 当变量多于约束条件，对这样的线 性规划问题，用对偶单纯形法计算可以 减少计算工作量，因此对变量较少，而 约束条件很多的线性规划问题，可先将 它变换成偶问题，然后用对偶单纯形法 求解。
（3） 在灵敏度分析中，有时需要用对偶 单纯形法，这样可使问题的处理简化。 对偶单纯形法的局限性主要是，对大多 数线性规划问题，很难找到一个初始可 行基，因而这方法在求解线性规划问题 时很少单独应用。
见,y1* 1.5
，y
* 2
0.125
，y3*
第二步迭代，计算
0
1 0 0
2 3 / 2; E2 0 1 3 / 2
1/ 2
0 0 1/ 2
B2的逆阵
1 0 0 1 0 0
B21
E2 B11
yi的值代表对第i种资源的估价。这种估价 是针对具体工厂的具体产品而存在的一种 特殊价格，称它为”影子价格”。在该厂 现有资源和现有生产方案的条件下，设备 的每小时租费为1.5元，1kg原材料A的出 让费为除成本外再附加0.125元，1kg原材 料B可按原成本出让，这是该厂的收入与 自己组织生产时获利相等。影子价格随具 体情况而异。
第一步迭代。计算
1
1 0 0
1
2 ；B11
E1B01
21 0 Nhomakorabea 2
2 0 1
非基变量检验数
N1 CN1 CB1 B11N1 (8,20,10,20,0)
1 0 01 2 1 0 1 (21,0,0) 2 1 01 0 1 3 0
（2） 当变量多于约束条件，对这样的线 性规划问题，用对偶单纯形法计算可以 减少计算工作量，因此对变量较少，而 约束条件很多的线性规划问题，可先将 它变换成偶问题，然后用对偶单纯形法 求解。
（3） 在灵敏度分析中，有时需要用对偶 单纯形法，这样可使问题的处理简化。 对偶单纯形法的局限性主要是，对大多 数线性规划问题，很难找到一个初始可 行基，因而这方法在求解线性规划问题 时很少单独应用。
见,y1* 1.5
，y
* 2
0.125
，y3*
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 ?
1 ?
8 14 C B B 1b [1.5 1 / 8 0] 16 12
Байду номын сангаас 单纯形法的矩阵描述
例
用单纯形法求解下述线性规划问题.
m axz 2 x 1 3 x 2 x1 2 x 2 8 16 4 x1 s .t. 4 x 2 12 x1 , x 2 0
单纯形法的矩阵描述
继续讨论上例
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 -2 0.5 -3/2 x4 x5 1/4 0 0.5 1 -1/8 0 -1/8 0 b 4 4 2 -14
0 1 / 4 0 1 0 0 2 B 1a3 2 0 . 5 1 0. 5 1 / 8 0 0 0. 5
1 0 2 B2 4 1 0 0 0 4
迭代
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 x4 0 1/4 -2 0.5 0.5 -1/8 -3/2 -1/8 x5 0 1 0 0 b R 4 4 2 -14 X*=(4, 2)T z*=14
对偶理论与灵敏度分析
(Dual Theories and Sensitivity Analysis)
单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释 对偶单纯形法 灵敏度分析
----影子价格
单纯形法的矩阵描述
(Matrices Description)
m axz CX AX b s .t. X 0
令 A=(B N)
(LP)
A Cmn, R(A)=m .
X=(XB XN)T C=(CB CN)
可行基
相应于非基变量的系数矩阵
单纯形法的矩阵描述
max z C B X B C N X N BX B NX N b s.t. X B , X N 0
B 1 1 / 4 0 0 2 0 . 5 1 0.5 1 / 8 0
1 / 4 0 1 0 1 / 4 0 8 x 1 0 0 x 0 0 3 2 0.5 1 16 x 2 0 . 5 1 5 x 4 0.5 1 / 8 0 0 1 0.5 1 / 8 0 12 x 2
•
对称性形式
m axz 60x 1 30x 2 20x 3
8 x 1 6 x 2 x 3 48 4 x 2 x 1.5 x 20 1 2 3 s.t. 2 x 1 1.5 x 2 0.5 x 3 8 x 1 , x 2 , x 3 0
单纯形法的矩阵描述
选定主元，做完初等变换以后（相当于对增广矩阵/线性 方程组两边同时左乘了基的逆矩阵B-1）
单纯形表中变量 xj 的系数列向量 ： B-1pj 单纯形表中约束方程的右端项： B-1b 单纯形表中目标函数值： CBB-1b 单纯形表中变量 xj 的检验数 ： Cj - CBB-1pj
• •
例1与例2是一个问题的两个方面 两个线性规划模型是一对对偶问题
线性规划问题的对偶问题
2. 原问题与对偶问题的关系
m ax z CX minw Y Tb T T AX b A Y C s.t. X O s.t. Y O 例 3 求下列问题的对偶问题 min w 48 y 1 20 y 2 8 y 3
限制条件 135 405
如何组织生产，使总利润最大？ x1 , x2 , x3 ------分别生产甲、 乙、丙产品的数量
maxZ 2 x1 3 x 2 11 / 3 x 3 s.t. x1 x 2 x 3 135 x1 4 x 2 7 x 3 405 x1 , x 2 , x 3 0.
线性规划问题的对偶问题
•
非对称性形式
max z CX AX b s.t. X O
min w Y T b s.t. A TY C T
练习：
m ax z 6x 1 + 8x 2 3x 1 x 2 s.t .5x 1 2x 2 x , x2 , 1
8 16 12
b
单纯形法的矩阵描述
1 0 2 x 1 1 0 8 4 0 0 x 0 0 x 3 16 5 x 4 12 0 1 4 0 1 x 2
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
1 0 2 B3 4 0 0 0 1 4
线性规划问题的对偶问题
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 -0.5 0 1/4 -3/4
b
R
2 2 16 4 3 -9
1 0 2 B1 0 1 0 0 0 4
单纯形法的矩阵描述
迭代
XB x1 x4 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 1 -4 0 -2 x4 0 1 0 0 x5 -0.5 2 1/4 1/4 b 2 8 3 -13 R 4 12
B 1a4 ?
B 1a5 ?
单纯形法的矩阵描述
CB=[2 0 3]
1 / 4 0 0 B 1 2 0 . 5 1 0 .5 1 / 8 0
CBB -1=[1.5 1/8 0]
1 1.5 3 c3 C B B 1a3 0 [1.5 1 / 8 0] 0 0
XB x3 x4 x5 -z x1 1 4 0 2 x2 2 0 4 3 x3 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 b 8 16 12 0 R 4 3
1 0 0 B0 0 1 0 0 0 1
迭代
XB
x3 x4 x2 -z
x1 1 4 0 2
x2 0 0 1 0
C [2 3
单纯形法的矩阵描述
CB
max z 2 x 1 3x 2 8 x 1 2x 2 x 3 4x x 4 16 1 s.t. 4x 2 x 5 12 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
CN
XN
B
x 1 x3 m ax z [ 2 0 3] x 5 [ 0 0 ] x 4 XB x 2 1 0 2 x 1 0 1 x 3 s.t. 4 0 0 x 5 0 1 x 4 x 2 0 1 4 0 0 x 1 0 x x 5 0 , 3 0 . 0 x 4 x N 0 2
1/ 4 x 1 0 4 x 3 x 5 2 0.5 x 4 4 2 0 . 5 1 / 8 x 2
B-1 b
B-1 N
单纯形法的矩阵描述
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 0 -2 0.5 -3/2 x4 x5 1/4 0 0.5 1 -1/8 0 -1/8 0 b 4 4 2 -14
例
m ax z 2 x 1 3x 2 m axz 2 x1 3 x 2 8 x 1 2x 2 x 3 x1 2 x 2 8 4x 1 x4 16 16 4 x1 s.t. s.t. 4x 2 x 5 12 4 x 2 12 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 x1 , x 2 0 x 1 x 1 2 1 0 0 8 2 0 0 0] X x 3 A 4 0 0 1 0 16 b 0 4 0 0 1 x 4 12 x 5
矩阵形式的单纯形表
max z C B B 1 b (C N C B B 1 N ) X N X B B 1 NX N B 1 b s.t. X B , X N 0
XB XB -z
XB I 0
XN B-1N CN - CB B-1N
b B-1b - CB B-1b
1 0 2 B 4 0 0 0 1 4
1 0 N 0 1 0 0
XB
x 1 x 5 x 2
XN
x 3 x 4
CB=[2 0 3]
CN=[0 0]
单纯形法的矩阵描述
考虑线性规划问题的标准型
线性规划问题的对偶问题
例2 若另一工厂想要租赁这两台机器用于生产产品，那么该 工厂应该如何确定合理的租金呢？