旋转体的侧面积

x x2)dx
0
1 3
在第一象限所围
y
y2 x (1,1) y x2
O xx d x1 x
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例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
O
πa 2πa x
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
0a
2
(t
sin
t
)
2
a
sin
t
d
t
π a3 2π (t sin t)2 sin t dt 0
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
y
x xdx
柱面面积
柱壳体积
2 π a(t sin t) a (1 cost)
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
O a xxdxb x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
成悬链线 . 悬链线方程为
y c ch x (b x b)
y c
c
求这一段弧长 .
b O b x
解:
1 sh2 x dx ch x dx
c
c
s
b
20 ch
x c
dx
2c sh
x c
b 0
(c c2hcsxh)b c 1 sh x cc c c
ch x ex ex 2
sh x ex ex 2
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
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例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA (
a2 2
1
3
3
2π 0
4 π3 a2 3
对应 从 0 变
2πa
O
x
d
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例6. 计算心形线
面积 . 心形线
解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2
π
4
cos
4
d
0
2
令t
2
π
8a2 2 cos4t dt 0
8a2 3 1 π 3 π a2 422 2
(ch x) sh x
(sh x) ch x
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例10. 求连续曲线段
解:
此题 cos x 0,
π 2
x
π 2
π
s
2
π 2
1 y2 dx
π
2 2 1 ( cos x)2 dx 0
π
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
π 2
0
4
的弧长.
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(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
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例15. 设
在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:
证: 利用柱壳法
y f (x)
dV 2 π (t x) f (x) d x
则
t
V (t) 2 π (t x) f (x) d x
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x
因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A(x)
ax
bx
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特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V
b
π
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[
f
(
x)]2
dx
a
y
y f (x)
例17. 计算由曲面
所围立体(椭球体)
的体积.
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
b2
y2 (1
x2 a2
)
c2
z2 (1
x2 a2
)
1
它的面积为
c
bx
O
a
因此椭球体体积为
V
2
a 0
π
bc(1
x a
2 2
)d
x
2
π
bc
x
x3 3a 2
a
0
4 π abc 3
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
例12. 求阿基米德螺线 r a (a 0)相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: ds r2( ) r2( ) d a2 2 a2 d
a 1 2 d
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
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三、已知平行截面面积函数的立体体积
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d r 2 ( ) r2 ( ) d (自己验证)
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
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例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
所围图形的
(利用对称性)
d
O
2a x
心形线 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A
1 π a2 2 2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 πa2 a2 (3 2cos 1 cos 2 )d
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
30
y
Ox
R x
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) 2x y tan 2 tan y R2 y2
V 2 tan Ry R2 y2 dy 0
y
R
O R (x, y) x
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利用对称性
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin6 t d t (令 u t )
0
02
2
32 π a3
π 2
sin 6
u
du
32 π
a3
5
3
1
π
0
6422
5π2 a3
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y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
解:
2π
AdA a (1 cost) a (1 cost) d t
0
a2 2π (1 cos t)2 d t 0
y
4a2 2π sin4 t d t
0
2
8a2 π sin4 u d u 0
π
16a2 2 sin4 u d u 0
O (令u t )
2
3πa2
2πa x
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2 π 2π a(t sin t) a2 (1 cos t)2 d t 0
8 π a3 2π (t sin t)sin4 t d t
0
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u)sin4 u d u 0
令v uπ
2
π
16 π
a3
2
π 2
(利用对称性)
2
π
b2 a2
a (a2 x2 ) dx
0
2
π
b2 a2
a2x
1 3
x3
a 0
4 π ab2 3
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方法2 利用椭圆参数方程
y b
O x ax
则
V 2
a
π
y2 dx
2π
ab2 sin3t d t
0
2 π ab2 2 1 3
4 π ab2 3
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解:
ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
O
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2π 0
2a sin
td 2
t
2a
2 cos
t 2
2π 0
8a
2πa x
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当考虑连续曲线段
Oax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
y
d
y x (y)
c
O
x
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例13. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
O x ax
则 V 2 a π y2 dx 0
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
π 4
π 6
1 a2 2
cos 2
d
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二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
0 t
2 πt f (x)d x 2 π
Ox
t
x f (x)d x
tx xdx
0
0
V (t) 2 π t f (x) d x 2 πt f (t) 2 πt f (t) 0
故 V (t) 2 π f (t)
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例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
πa3 .
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例14. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2π a πy2 dx 2
0
π a πy2 dx
0
O
y πa 2πa x
2 π π a2 (1 cos t)2 a(1 cost) d t 0
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
O
x
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例5. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解: A 2π 1 (a )2 d 02
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
四、 旋转体的侧面积 (补充)
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一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
y y f (x)
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
Oa x bx x dx
则有
A
d
A 4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
d
y
O
yx4 x
(2, 2)
18
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例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x a cos t y bsin t
(0 t 2 π)
y
b
O xxdxa x
2
2
2y
1 π a2 a2 3 π 2
2
4
O
a 2a x
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
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例18. 求曲线 y 3 x2 1 与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研)
解: 利用对称性 , 在第一象限
y
x2 2, 4 x2 ,
0 x 1 1 x 2
y 3B
A
故旋转体体积为
C
V
π 32 4 2
1
π[3
(x2
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
2
利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2 ) tan d x
02
2 tan R2x 1 x3 R
应用定积分换元法得
4
ab
1 2
π 2
π ab
π
4ab 2 sin2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
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一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值
O
则曲边梯形面积
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例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
2)]2
d
x
O
1 2x
0
2 2 π[3 (4 x2 )]2 d x 1
36π 2 π
12(1x2
x21)2
d
x
448 2π
π2
(
x2
1) 2
d
x
0
15 1