相遇及追及问题

相遇及追击问题（一）
一．填空题（共12小题）
1．五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x= _________ 分钟．
2．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x= _________ 分钟．
3．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________ 分钟．
4．小锋骑车在环城路上匀速行驶，每隔5分钟有一辆公共汽车从对面向后开过，每隔20分钟又有一辆公共汽车从后向前开过，若公共汽车也匀速行驶，不计中途耽误时间，则公交车车站每隔_________ 分钟开出一辆公共汽车．
5．某人在公共汽车上发现一个小偷向反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如其速度比小偷快一倍，比汽车慢，则追上小偷要（_________ ）秒．
6．某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔_________ 分钟从起点开出一辆．
7．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到
_________ 点时，停车场内第一次出现无车辆
8．通讯员从队伍末尾追赶至队伍前头时用全速进行，其速度为队伍的3倍，当他从队伍前面返回队伍末尾时每分钟减少100米．在队伍前进过程中，通讯员连续三次往返执行任务，途中花费时间共1小时，其中三次往返队伍末尾时间比三次追赶队伍前头时间共少用12分钟，则队伍的长为_________ ．
9．男女运动员各一名，在环行跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，如果他们从同一起跑点沿相反方向同时出发，那么每隔25秒相遇一次，现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，男运动员经过15分钟追上女运动员，并且比女运动员多跑了16圈，女运动员跑了_________ 圈．
10．有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔1分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了_________ 分钟．
11．一路电车的起点和终点分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发车开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站，到甲站时恰好又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了
_________ 分钟．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm 的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止，这段时间内线段PQ有_________ 次与线段AB平行．
13．（巴蜀初2012级第一次月考16题）某人从甲地走往乙地，甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，且两地发车的时间间隔都相等。

他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过来一辆去乙地的公共汽车，则公共汽车每隔几分钟从各自的始发站发车（假设每辆公共汽车的速度相同）
相遇及追击问题（一）答案与评分标准
一．填空题（共12小题）
1．五羊公共汽车公司的555路车在A，B两个总站间往返行驶，来回均为每隔x分钟发车一次．小宏在大街上骑自行车前行，发现从背后每隔6分钟开过来一辆555路车，而每隔3分钟则迎面开来一辆555路车．假设公共汽车与小宏骑车速度均匀，忽略停站耗费时间，则x= 4 分钟．
考点：三元一次方程组的应用。

专题：行程问题。

分析：可设路车和小宏的速度为未知数，等量关系为：6×（路车的速度﹣小宏的速度）=x×路车的速度；3×（路车的速度+小宏的速度）=x×路车的速度，消去x后得到路程速度和小宏速度的关系式，代入任意一个等式可得x的值．
解答：解：设路车的速度为a，小宏的速度为b．
，
解得a=3b，
代入第2个方程得x=4，
故答案为4．
点评：考查3元一次方程组的应用；消元是解决本题的难点；得到相遇问题和追及问题的等量关系是解决本题的关键．
2．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰到一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的间隔时间x= 8 分钟．
考点：二元一次方程的应用。

专题：行程问题。

分析：设公共汽车的速度为V1，甲的速度为V2．因为两辆车间隔距离相等，汽车与甲是追及问题，即甲与汽车之间距离为s=10（V1﹣V2）．汽车与乙是相遇问题，即乙与汽车之间的距离为s=5（V1+3V2）．根据上面两式可得到V1=5V2．再代入①即可求得的值．至此问题得解．
解答：解：设公共汽车的速度为V1，甲的速度为V2．
由题意得
由①﹣②得 0=5V1﹣25V2，即V1=5V2③
将③代入①得 s=10（V1﹣V1）
∴=8
故答案为8．
点评：本题考查二元一次方程组的应用．解决本题的关键是将本题理解为追及与相遇问题，解得未知数的比例关系，即为本题的解．
3．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 4 分钟．
考点：有理数的加减混合运算。

专题：应用题。

分析：根据路程=速度×时间，则此题中需要用到三个未知量：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．然后根据追及问题和相遇问题分别得到关于a，b，t的方程，联立解方程组，利用约分的方法即可求得t．
解答：解：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．
二辆车之间的距离是：at
车从背后超过是一个追及问题，人与车之间的距离也是：at
那么：at=6（a﹣b）①
车从前面来是相遇问题，那么：
at=3（a+b）②
①÷②，得：a=3b
所以：at=4a
t=4
即车是每隔4分钟发一班．
点评：注意：此题中涉及了路程问题中的追及问题和相遇问题．解方程组的时候注意技巧．
4．小锋骑车在环城路上匀速行驶，每隔5分钟有一辆公共汽车从对面向后开过，每隔20分钟又有一辆公共汽车从后向前开过，若公共汽车也匀速行驶，不计中途耽误时间，则公交车车站每隔8 分钟开出一辆公共汽车．
考点：三元一次方程组的应用。

专题：行程问题。

分析：设相邻汽车间距离为L，汽车速为V1，自行车为V2，间隔时间为t．根据题意列出三元一次方程组、并解方程组即可．
解答：解：设相邻汽车间距离为L，汽车速为V1，自行车为V2，间隔时间为t．
则根据题意，得
，
由，得
V1=V2，④
将①、④代入②，解得
t=8．
故答案是：8．
点评：本题考查了三元一次方程组的应用．解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
5．某人在公共汽车上发现一个小偷向反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如其速度比小偷快一倍，比汽车慢，则追上小偷要（110 ）秒．
考点：一元一次方程的应用。

专题：行程问题。

分析：可以设车的速度为x，则某人的速度为x，小偷的速度为x，设t秒可以追上小偷，根据汽车10秒行驶的路程+（10+t）秒小偷的路程=某人的行程列出方程求解即可．
解答：解：设车的速度为x米/秒，则某人的速度为x米/秒，小偷的速度为x米/秒，设t秒可以追上小偷，根据题意得：
10x+x×（t+10）=xt，
解得：t=110（秒）．
故答案填：110．
点评：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
6．某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 6 分钟从起点开出一辆．
考点：二元一次方程组的应用。

专题：方程思想。

分析：每12分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题，等量关系为：电车12分走的路程=行人12分走的路程+两辆电车相间隔的路程；每4分钟有一辆电车迎面开来，是相遇问题，等量关系为：电车4分走的路程+行人4分走的路程=两辆电车相间隔的路程，两辆电车间隔的路程为两辆电车相隔的时间×电车的速度．
解答：解：设电车的每分走x，行人每分走y，电车每隔a分钟从起点开出一辆．
则
两式相减得：x=2y
把x=2y代入方程组任何一个式子都可以得到a=6
点评：本题考查行程问题中的相遇问题和追及问题，那么就需要弄清相应的模式加以分析．
7．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到
点时，停车场内第一次出现无车辆
考点：一元一次不等式的应用。

专题：应用题。

分析：可设6时后x分时出现无车辆．根据无车时进场车所用的总时间大于出场的车所用的总时间可得关系式为：8×进场车数＞6×出场车数﹣3，可先得到x的值进而计算所用时间．
解答：解：设6时后开出第x辆车后停车场无车．
8×（x﹣15）＞6×（x﹣1）﹣3，
解得x＞，
∴开出第56辆车后停车场无车．
∴所用时间为（56﹣1）×6÷60=小时．
∴到时第一次出现无车．
故答案为．
点评：考查一元一次不等式的应用；得到无车辆时相应时间的关系式是解决本题的关键．
8．通讯员从队伍末尾追赶至队伍前头时用全速进行，其速度为队伍的3倍，当他从队伍前面返回队伍末尾时每分钟减少100米．在队伍前进过程中，通讯员连续三次往返执行任务，途中花费时间共1小时，其中三次往返队伍末尾时间比三次追赶队伍前头时间共少用12分钟，则队伍的长为40米．
考点：应用类问题。

分析：此题根据题意先分析出每一天往返的时间和每一次往返时间差，得出赶队伍前时间和返回时间，然后设出队伍速度和队伍长的长，在分两种情况，赶过程和返过程列出方程，得出队伍的长．
解答：解：每一天往返的时间为h，每一次往返时间差为h，
所以赶队伍前时间为h，返回时间为h，
设队伍速度为x米/小时，队伍长为 y米，
赶过程：y=3x×﹣x× ①，
返过程：y=（3x﹣100）×+x× ②，
解①得：x= ③，
把③代入②解得：x=100，y=40，
所以队伍的长为40米；
故填；40米．
点评：此题考查了应用类问题；解题的关键是读懂题意，分析出每一天往返的时间和每一次往返的时间差，列出方程．
9．男女运动员各一名，在环行跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，如果他们从同一起跑点沿相反方向同时出发，那么每隔25秒相遇一次，现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，男运动员经过15分钟追上女运动员，并且比女运动员多跑了16圈，女运动员跑了10 圈．
考点：一元一次方程的应用。

专题：行程问题。

分析：易得男女运动员合跑一圈需要25秒，看15分钟可合跑几圈，列出方程求解即可．
解答：解：设女运动员跑了x圈，则男运动员跑了（x+16）圈，
则：x+x+16=15×60÷25，
解得：x=10．
故答案为10．
点评：考查一元一次方程的应用，得到追及问题中男女运动员合跑圈数的等量关系是解决本题的关键．10．有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔1分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了12 分钟．
考点：一元一次方程的应用。

分析：首先假设出甲的速度为每分钟x米，乙每分钟行驶y米，根据已知表示出环形轨道一圈的距离，与甲，乙一共行驶的路程，路程除以速度，即是所用时间．
解答：解：设甲的速度为每分钟x米，乙每分钟行驶y米，
根据题意得：
环形轨道一圈的距离为：1（x+y），
∵甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，
∴甲已经行驶了5圈，
∴甲，乙一共行驶了9圈，
∴甲，乙一共行驶了：9×1（x+y）米，
根据它们的速度之和为：x+y，
∴此时它们行驶了：9×1（x+y）÷（x+y）=12分钟．
故答案为：12．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，得出甲，乙所行的路程，与速度是解决问题的关键．11．一路电车的起点和终点分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发车开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站，到甲站时恰好又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了
40 分钟．
考点：一元一次方程的应用。

分析：先根据题意可得出骑车人从乙站到甲站所用时间正好是第4辆电车从甲站开出到第12辆电车由甲站开出之间的时间，列出式子即可求出结果．
解答：解：由题意可得骑车人一共看见12辆电车，
因每隔5分钟有一辆电车开出，而全程需15分，
所以骑车人从乙站出发时，第4辆车正从甲站开出，
骑车人到达甲站时，第12辆车正从甲站开出，
所以，骑车人从乙站到甲站所用时间就是第4辆电车从甲开出到第12辆电车由甲开出之间的时间，
即（12﹣4）×5=40．
故答案为：40．
点评：本题主要考查了学生如何分析较复杂的路程问题，解题关键是要读懂题目的意思，会根据题目给出的条件，找出其中的数量关系，求出答案．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm 的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止，这段时间内线段PQ有 4 次与线段AB平行．
考点：矩形的性质。

专题：动点型。

分析：由已知可得：点Q需要4次到达B点，而在每次的运动过程中都有一次PQ∥AB，根据AD∥BC，PQ∥AB，则可知四边形APQB是平行四边形，则当PA=BQ时四边形APQB是平行四边形，列方程求解即可得到所需时间．
解答：解：根据已知可知：点Q需要4次到达B点；
在点Q第一次到达点B的过程中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
若PQ∥AB，
则四边形APQB是平行四边形，
∴AP=BQ，
设过了t秒，PQ∥AB，则PA=t，BQ=12﹣4t，
∴t=12﹣4t，
∴t=（s），
在点Q第二次到达点B的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12﹣4（t﹣3），
解得：t=（s），
在点Q第三次到达点B的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12﹣4（t﹣6），
解得：t=（s），
在点Q第四次到达点B的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12﹣4（t﹣9），
解得：t=（s）．
∴这段时间内线段PQ有4次与线段AB平行．
故答案为：4．
点评：此题考查了矩形的性质与平行四边形的判定与性质，此题属于运动型题目．此题属于中档题，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
13．某人从甲地走往乙地，甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，且两地发车的时间间隔都相等。

他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过来一辆去乙地的公共汽车，则公共汽车每隔几分钟从各自的始发站发车（假设每辆公共汽车的速度相同）
解答一
分析：本题属行程问题,由于每辆公共汽车速度相同,且两地发车时间都相等,所以往同一方向行驶的相邻的汽车距离是相等的,不妨设此距离为单位1;每隔12分钟从身后过来一辆公共汽车,即每隔12分钟,汽车比人多走单位1的路程;而每隔6分钟从对面来一辆公共汽车,即每6分钟人和汽车共同走完单位1的路程. 解答:设往同一方向行驶的相邻两辆公共汽车之间距离为"1";人单独走完此单位1的距离用X分钟,公共汽车单独行完单位1的距离用Y分钟.
1/Y+1/X=1/6 (1);
1/Y-1/X=1/12(2).
解之得:Y=8.
即公共汽车每隔8分钟从各自的车站发一辆车.
解答二
分析：设他某个时间刚好同时遇上两种车
这时候他身后的一个发车间距离有A车
身前两个距离有B车
然后总共三个距离，要走12分钟相遇
所以身后的车就是12分钟走了个距离
所以8分钟走一个距离
所以每8分钟发一辆车
方程法：设车走一个发车间距要x分钟，人要y分钟
1/（1/x+1/y)=6
1/(1/x-1/y)=12
所以解这个方程就有x=8，y=24
解答三
车从甲地开时人与其的关系是追击，设车与人之间的距离为s，时间为t，则追击时人与车的速度差为s/t,又因车是六分钟追上人的，则车的速度为s/6(因甲地车速度相等）。

所以人的速度是s/6-s/t。

反之车从乙地开时，是相遇关系，则车与人的速度和此时为s/t,而车的速度应为s/12，则人的速度为s/t-s/12.因人的速度相等，则s/6-s/t=s/t-s/12.
1、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。

问甲、乙的速度各是多少
2、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．
3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.
4、甲、乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。

乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。