加权平均值及中误差(1)
测量误差与平差(1)
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
加权平均值及中误差(1)
加权平均值及中误差 在测量实践中，除了同精度观测外，还有不等精度观测。
如果对某观测值得观测值在不同的观测条件下进行的，即对其进行了n 次不等精度观测，在这种情况下，由于观测条件不同，求观测值的最或然值就不能简单地用算术平均值来求解，而是采用另一种方法即加权平均值方法求解。
(一)权和单位权 所谓“权”，就是不同精度观测值在计算未知量的最或然值时所占的“比重”。
一般观测值误差愈小，精度愈高，说明其值愈可靠，权就愈大，因此，权定义：观测值或观测值函数的权（通常以P 表示）与中误差m 的平方成反比。
设不等精度观测值n L L L ,,,21 的中误差分别为n m m m ,,,21 ，则i L 权的可定义为：2i i m C P = 式中C ——任意常数；4—39,2,1=i n若令第一次观测值的权作为标准，并令其为1，即取21m C =，则2212221221211,,,1n n m m P m m P m m P ==== 4—40等于1的权称为单位权，权等于1的对应的观测值中误差称为单位权中误差。
一般用μ表示，习惯上取一次观测、一个测回、一公里线路等的测量误差为单位权中误差。
这样（4-40）式另一表示方式为：22i i m P μ= 4—41由上式得到观测值或观测值函数的中误差的另一种表示方式为i i p m 1μ= 4—42权具有如下性质：① 权与中误差同为衡量观测精度的指标，中误差表示观测值的绝对精度；权是一个相对性数值，表示观测值之间的相对精度关系，对单一观测值而言，权无意义;② 权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值精度越高;③ 权始终取正号;④ 权的大小与常数C 的选值不同而不同，但观测值间权的比例关系不变，同一个研究问题只能选取一个C ，其取值应使 p 值便于平差时 使用。
(二)测量中常用的定权方法(1) 算术平均值 的权 由（4--37）和 (4--41) 式知，n 个等精度观测值算术平均值的中误差n m M /= ,当μ=m 时有： n nm m M P L ===/2222μ 4--43 即当取一次观测值权为１时，n 个观测值算术平均值的权为 n 。
测量学讲稿第四章 测量误差及测量数据
第四章 测量误差及测量数据初步处理通过前几章的学习，我们会发现：水准测量中闭合路线的高差总和往往不等于零；用经纬仪观测同一水平角，上下半测回的角值不完全相同；同一段距离往返丈量的结果也不一定相等。
这些差异现象的存在，表明测量观测值中含有误差。
§4—1 测量误差及测量精度1，误差概念及误差来源1）观测对象的量是客观存在的，称为真值。
2）真误差：观测值为i l （n i ,,2,1 ），某观测值的真值为x ，则两者差数x l i i （n i ,,2,1 ） （4—1）称为真误差3）产生原因：人，仪器，外界条件。
这三者称为观测条件。
4）同精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测，得到的观测也应相同称为同精度观测。
2，误差分类及特征1，误差分类：根据观测误差对观测结果的影响性质，可将其分为系统误差和偶然误差： （1）系统误差系统误差是在一定的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小均保持不变，或按一定规律变化着的误差。
产生的原因：主要是使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。
如水准尺的1m 刻画与1m 真长不等，水准仪的视准轴与水准轴不平行，大气折光对测角的影响等。
系统误差对观测成果具有累积作用，应设法消除部分或全部的系统误差，方法有：1）在观测方法和程序上采取必要措施，如水准测量中的前后视距保持相等，分上下午进行往返观测，三角测量中正倒镜观测，盘左、盘右读数，分不同的时间段观测等；2）分别找出产生系统误差的原因，利用已有公式，对观测值进行改正，如对距离观测值进行必要的尺长改正、温度改正、地球曲率改正等。
（2）偶然误差偶然误差是在相同的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小都表现出随机性，即大小不等，符号不同，但统计分析的结果都具有一定的统计规律性。
偶然误差是：由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因造成的。
如仪器本身构造不完善而引起的误差，观测者的估读误差，照准目标时的照准误差等，不断变化的外界环境，温度、湿度的忽高忽低，风力的忽大忽小等，会使观测数据有时大于被观测值的真值，有时小于被观测值的真值。
测量误差的基本知识
如经纬仪测角的照准误差 水准仪在水准尺上的估读误差
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全 个三角形在相同的观测条件下观测了全 部内角，三角形内角和的真误差∆ 三角形内角 部内角，三角形内角和的真误差∆i=三角形内角 和测量值-180˚ 其结果如表 分析三角形内角和 其结果如表, 和测量值 的误差∆ 的规律。 的误差∆i的规律。
m L m =± ⋅ m = ± 站 ⋅ L = ±µ ⋅ L = ± L ⋅ m h km 站 S S
误差传播应用示例—角度测量 误差传播应用示例 角度测量
1、菲列罗公式—由三角形闭合差计算测角中误差 、菲列罗公式 由三角形闭合差计算测角中误差 设在三角网中等精度观测各三角形内角， 设在三角网中等精度观测各三角形内角，其测角中误差 均为mβ, 各三角形闭合差f i，闭合差的中误差mΣ为
三、容许误差
据偶然误差的第一特性： 据偶然误差的第一特性：在一定观测条件下偶然 误差的绝对值不会超过一定限值。 误差的绝对值不会超过一定限值。
P(−σ < ∆ < +σ) = 68.3% P(−2σ < ∆ < +2σ) = 95.5%
工程测量中的数据处理方法
工程测量中的数据处理方法引言工程测量是一门关键的学科，它在建筑、土木工程等领域中扮演着至关重要的角色。
测量数据的准确性对于工程项目的成功实施至关重要。
然而，测量过程中所获取到的原始数据往往需要经过一系列处理方法，以消除误差并获得更可靠的结果。
本文将探讨在工程测量中常用的数据处理方法。
一、数据校正数据校正是数据处理的第一步，它主要用于消除仪器和观测误差。
在测量过程中，仪器可能存在一定的偏差，这会导致所得数据与真实值之间存在一定的差异。
校正方法主要包括仪器校准和观测均值的修正。
仪器校准是通过与已知标准进行比较，确定测量仪器的误差值，并进行校正。
这可以通过实验室测试或者比较观测值来实现。
例如，在水准测量中，可以使用已知高程点进行标定以消除仪器刻度的误差。
观测均值的修正是基于多次观测得到的数据，通过统计学方法计算出一个更准确的结果。
常见的方法包括加权平均值和中误差法。
加权平均值使用观测值的权重来计算，较高的权重分配给更可靠的观测值。
中误差法则利用观测值之间的差异来评估观测误差，并提供一个可靠的观测均值。
二、数据平差数据平差是通过一种数学模型，对观测数据进行优化处理，以获得更加可靠和精确的结果。
数据平差主要包括最小二乘法和条件方程法两种常用方法。
最小二乘法是一种广泛应用于工程测量中的数据处理方法。
它基于一个关键假设：观测误差是随机的，并且遵循正态分布。
通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和，可以获得最佳估计结果。
最小二乘法被广泛应用于距离测量、角度测量和水准测量等领域。
条件方程法是一种将观测数据与先验信息相结合的数据处理方法。
通过建立一组条件方程，将观测数据与已知点、已知线或其他已知约束相连接，以产生一个完整的测量网络。
然后，通过求解这个方程组，可以同时获得未知参数和观测误差的最小二乘解。
三、数据插值数据插值是通过已知的离散数据点，利用数学方法推导出未知点的数值。
在工程测量中，经常需要根据有限的测量数据估计连续空间中的某些未知量。
物理实验技术中常见的数据分析方法
物理实验技术中常见的数据分析方法在物理实验中，数据分析是非常重要的一环，它能够帮助我们理解实验过程中产生的数据，并从中提取有用的信息。
本文将介绍几种常见的物理实验数据分析方法，帮助读者更好地应用于实验中。
一、加权平均值在进行物理实验时，我们经常需要重复测量同一物理量多次。
为了减小误差，我们可以使用加权平均值方法来估计被测物理量的真实值。
加权平均值通过给予每个测量结果一个合适的权重，将每个结果根据权重进行加权求和，最终得到加权平均值。
二、误差分析在物理实验中，误差是不可避免的。
为了评估测量结果的可靠性，我们需要进行误差分析。
误差分析可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验设备、环境条件等因素引起的，它会导致测量结果整体上偏离真实值。
常见的系统误差分析方法有零误差校正、线性化处理等。
随机误差是由于测量过程中的不确定性引起的，它会导致同一物理量多次测量结果的偏离。
常见的随机误差分析方法有标准差分析、方差分析等。
三、线性回归线性回归是一种常见的数据分析方法，它用于研究两个变量之间的线性关系。
线性回归可以通过最小二乘法拟合数据，得到最佳拟合直线，并评估拟合精度。
在物理实验中，线性回归可以用于确定实验数据的相关性，并预测未知变量的值。
四、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域数据转换为频域数据的方法，它在物理实验中广泛应用于信号处理、频谱分析等领域。
傅里叶变换可以将时域信号表示为频率幅度谱，帮助我们分析信号的频谱特性。
五、概率分布拟合概率分布拟合是一种用于将实验数据与理论分布进行比较的方法。
在物理实验中，我们经常需要将实验数据与某个理论分布进行拟合，以获得实验数据的分布规律。
常见的概率分布拟合方法有正态分布拟合、指数分布拟合等。
六、误差传递在进行多步实验时，误差会随着步骤的增加而逐渐积累。
为了评估最终结果的误差，我们需要进行误差传递分析。
误差传递分析可以通过计算每个步骤中误差的传递规律，得出最终结果的误差范围。
误差理论的基本知识题目
第六章误差理论的基本知识一、填空题1、观测条件与精度的关系是 B 。
A.观测条件好，观测误差小，观测精度小。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度大B.观测条件好，观测误差小，观测精度高。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度低C.观测条件差，观测误差大，观测精度差。
反之观测条件好，观测误差小，观测精度小2、防止系统误差影响应该 C 。
A.严格检验仪器工具；对观测值进行改正；观测中削弱或抵偿系统误差影响B.选用合格仪器工具；检验得到系统误差大小和函数关系；应用可行的预防措施等C.严格检验并选用合格仪器工具；对观测值进行改正；以正确观测方法削弱系统误差影响3、系统误差具有的特点为（ C ）。
A．偶然性 B．统计性 C．累积性 D．抵偿性4、水平角测量时视准轴不垂直于水平轴引起的误差属于（ B ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差5、下列误差中（ A ）为偶然误差Ａ.照准误差和估读误差Ｂ.横轴误差和指标差Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差6、经纬仪对中误差属（ A ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差7、尺长误差和温度误差属（ B ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差8、测量的算术平均值是 B 。
A. n次测量结果之和的平均值B. n次等精度测量结果之和的平均值C.是观测量的真值9、算术平均值中误差按 C 计算得到。
A. 白塞尔公式B. 真误差△。
C. 观测值中误差除以测量次数n的开方根10、角度测量读数时的估读误差属于（ C ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差11、边长测量往返测差值的绝对值与边长平均值的比值称为（ D ）。
A．系统误差 B．平均中误差 C．偶然误差 D．相对误差12、距离测量中的相对误差通过用（ B ）来计算。
A．往返测距离的平均值B．往返测距离之差的绝对值与平均值之比值C．往返测距离的比值D．往返测距离之差13、衡量一组观测值的精度的指标是（ A ）Ａ.中误差Ｂ.允许误差Ｃ.算术平均值中误差14、对某一量进行观测后得到一组观测值，则该量的最或是值为这组观测值的（ C ）。
加权平均数的标准误差计算公式 知乎
加权平均数的标准误差计算公式知乎
加权平均数是一种对数据进行加权处理的统计方法，它能够更准确地反映不同
数据点对总体的贡献程度。
在实际应用中，我们经常需要对加权平均数进行统计推断，其中一个重要指标就是加权平均数的标准误差。
标准误差是对样本平均数估计值的精确性进行描述的指标，它可以帮助我们判断加权平均数的可靠性和稳定性。
加权平均数的标准误差计算公式如下：
标准误差 = 根号下(Σ(wi*(xi-xbar)^2) / (Σwi*(n-1)))
其中，wi代表第i个数据点的权重，xi代表第i个数据点的数值，xbar代表加
权平均数，n代表数据点的个数。
在计算加权平均数的标准误差时，首先需要计算每个数据点的加权残差平方和，然后除以加权权重的总和再除以自由度的减一，最后取平方根即可得到标准误差。
通过计算加权平均数的标准误差，我们可以更准确地评估加权平均数的抽样误差，判断加权平均数的置信区间，从而进行统计推断和决策。
在实际应用中，标准误差的计算公式可以帮助我们对加权平均数进行更科学的分析和解释。
总之，加权平均数的标准误差计算公式是对加权平均数统计推断的重要工具，
通过准确计算标准误差，我们可以更好地理解数据的特征和规律，为决策提供更可靠的依据。
希望以上内容能够帮助您更好地理解加权平均数的标准误差计算方法。
如果您有任何疑问，欢迎继续提问，我会尽力解答。
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加权平均值及中误差 在测量实践中，除了同精度观测外，还有不等精度观测。
如果对某观测值得观测值在不同的观测条件下进行的，即对其进行了n 次不等精度观测，在这种情况下，由于观测条件不同，求观测值的最或然值就不能简单地用算术平均值来求解，而是采用另一种方法即加权平均值方法求解。
(一)权和单位权 所谓“权”，就是不同精度观测值在计算未知量的最或然值时所占的“比重”。
一般观测值误差愈小，精度愈高，说明其值愈可靠，权就愈大，因此，权定义：观测值或观测值函数的权（通常以P 表示）与中误差m 的平方成反比。
设不等精度观测值n L L L ,,,21 的中误差分别为n m m m ,,,21 ，则i L 权的可定义为：
2
i i m C P = 式中C ——任意常数；4—39
,2,1=i n
若令第一次观测值的权作为标准，并令其为1，即取21m C =，则
221222122
1211,,,1n n m m P m m P m m P ==== 4—40
等于1的权称为单位权，权等于1的对应的观测值中误差称为单位权中误差。
一般用μ表示，习惯上取一次观测、一个测回、一公里线路等的测量误差为单位权中误差。
这样（4-40）式另一表示方式为：
2
2i i m P μ= 4—41
由上式得到观测值或观测值函数的中误差的另一种表示方式为
i i p m 1μ= 4—42
权具有如下性质：
① 权与中误差同为衡量观测精度的指标，中误差表示观测值的绝对精度；权是一个相对性数值，表示观测值之间的相对精度关系，对单一观测值而言，权无意义;
② 权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值精度越高;
③ 权始终取正号;
④ 权的大小与常数C 的选值不同而不同，但观测值间权的比例关系不变，同一个研究问题只能选取一个C ，其取值应使 p 值便于平差时 使用。
(二)测量中常用的定权方法
(1) 算术平均值 的权 由（4--37）和 (4--41) 式知，n 个等精度观测值算术平均值的中误差n m M /
= ,当μ=m 时有： n n
m m M P L ===/22
22μ 4--43 即当取一次观测值权为１时，n 个观测值算术平均值的权为 n 。
(2) 角度观测时定权
与算术平均值的权同理，当令一测回观测的角度中误差为单位权中误差时，观测n 个测回的角度观测值的权为n 。
同理，不同测回数的角度观测值，其权之比为测回数之比。
(3) 水准测量中定权
设－站观测高差精度相同，其中误差为m 站，则站数为N i 的某条水准路线的观测高差中误差为
i i N m m = (I=1,2,…,n)
若取C 站的高差中误差为单位权中误差，即c m =μ，依（4-41）式，某水准路线的权为
i
i N c P = 4--44 同理，若取C （Km ）路线高差中误差为单位权中误差，则长度为L i 的某水准路线的权为 i i L c
P = 4--45
因此，在水准测量中，若每一站高差观测精度相同，则各水准路线观测高差的权与路线测站数或路线长度成反比。
(4) 距离丈量时定权
设1Km 距离的丈量中误差为m ，则sKm 距离的丈量中误差为s m m s =，若取cKm 的中误差为单位权中误差，则丈
量sKm 的权为
()()s c s m c m P s ==22 4--46
因此，在距离丈量中距离观测值的权与距离长度成反比。
（三）加权平均值及其中误差
若对某一量进行n 次不等精度观测，现采用加权平均的方法，求解观测值的最或然值。
设观测值为n L L L ,,,21 ；中误差为n m m m ,,,21 ；权为n P P P ,,,21
设2
2i i m P μ=，其加权平均值为
[][]P PL P P P L P L P L P x n
n
n =++++++= 212211 4—47 由误差传播定律有：加权平均值的中误差： [][][]22222221212n n x m P P m P P m P P m ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= = []
()222222212121n n m p m p m p p +++ 4—48 又因i i P m 22
μ=，代入上式，化简得加权平均值的中误差：
[]p m x 22
μ= []P m x μ= µ 为单位权中误差 4—49
又因 x x P m 22
μ=,则：加权平均值的权等于各观测值的权之和：
[]P P x =
同样，(4-47)式知，不等精度观测值的改正值还满足下列条件：（等精度观测值的改正数： [v]=0）
[][][][]0)(=-=-=pL x p L x p pv 4—50
当观测值真值未知，按不等精度观测值改正数计算单位权中误差μ，可类似用观测值改正数求观测值中误差公式： []
1-±=n PVV μ 4—51
式中:V —观测值改正数。
计算出单位权中误差μ后，如果某一观测值的权已知，可由（4-42）计算该观测值或观测值函数中误差。
算术平均值 加权平均值 = [L]/n [pL]/[p] 权 p x n [p] 中误差 m x m/√n µ /√[p] µ 为单位权中误差
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
例7: 对某一角度，用同样仪器，分别进行了三组观测：第一组2个测回，第二组4个测回，第三组6个测回，得到各组角度观测值平均值分别为：60°12′13″,60°12′15″和60°12′17″。
设以2测回平均值观测值中误差为单位权中误差，求第三组观测6个测回中误差、该角最或然值及其中误差。
解：设观测一测回中误差为m ，由（4-37）式n
m M =，则以上第一、二、三组观测值平均值中误差分别为
21m m =，41m m =，6
1m m =， 设以第一组2测回平均值观测值中误差为单位权中误差，则以上三组平均值权分别为：
3,2,1232132
22121=====m m p m m p p
由（4-47）得到观测值加权平均值（最或然值）为
[][]
7.152160'''︒==P PL x 第一组2测回平均值观测值中误差，即单位权中误差为：
[]
133.13.137.07.027.27.211
-''⨯''⨯+''⨯''⨯+''⨯''⨯=-±=n PVV μ
6.22
34.13''==μ
由（4-42）式，第三组观测6个测回均值中误差为： 5.1316.2122''=''==p m μ ？？？？？？？？？
加权平均值即最或然值中误差为：
[]1.16
6.2''=''==P m x μ 最或然值结果为
x = 60°12′17″±1.1″。