加权平均值及中误差(1)
测量误差与平差(1)
在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。 （这个限值不是固定的，与观测条件有关）
例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角之
和与180º之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列，然后
以d△＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其相对 个数（k / n，也称作频率，n＝358 ）。结果列于下表：
一般函数形式的误差传播定律：
设有一般函数:
Z f (x1, x2,, xn)
式中，x1、x2、……xn为互相独立的观测值，相应的中 误差分别为mx1、mx2、 …… mxn；Z是各观测值的函数。 经推导(教材P150），函数Z的中误差计算式为：
mZ2
(
f x1
)
2
mx21
(
f x2
)
2
mx22
2、倍乘函数：
▪ 函数表达式：
z kx
▪ 函数中误差为：
▪函数中误差为：
mZ2
m2 x1
m2 x2
m2 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
mz k mx
3、线性函数： ▪ 函数表达式：
z k1 x1 k2 x 2 kn x n
▪ 根据误差传播律有：
mZ2
k12mx21
k22mx22
kn2
m2 xn
求观测值函数中误差的步骤
四. 精度及其衡量指标 （一）.精度的含义 精度是指一组观测误差分布的密集或离散的程度。 若分布集中，即小误差多、大误差少，则说明该组
观测值的质量好、精度高；反之，精度就低。 据此可判别下图中哪组观测精度相对较高。
加权平均值及中误差(1)
加权平均值及中误差 在测量实践中，除了同精度观测外，还有不等精度观测。
如果对某观测值得观测值在不同的观测条件下进行的，即对其进行了n 次不等精度观测，在这种情况下，由于观测条件不同，求观测值的最或然值就不能简单地用算术平均值来求解，而是采用另一种方法即加权平均值方法求解。
(一)权和单位权 所谓“权”，就是不同精度观测值在计算未知量的最或然值时所占的“比重”。
一般观测值误差愈小，精度愈高，说明其值愈可靠，权就愈大，因此，权定义：观测值或观测值函数的权（通常以P 表示）与中误差m 的平方成反比。
设不等精度观测值n L L L ,,,21 的中误差分别为n m m m ,,,21 ，则i L 权的可定义为：2i i m C P = 式中C ——任意常数；4—39,2,1=i n若令第一次观测值的权作为标准，并令其为1，即取21m C =，则2212221221211,,,1n n m m P m m P m m P ==== 4—40等于1的权称为单位权，权等于1的对应的观测值中误差称为单位权中误差。
一般用μ表示，习惯上取一次观测、一个测回、一公里线路等的测量误差为单位权中误差。
这样（4-40）式另一表示方式为：22i i m P μ= 4—41由上式得到观测值或观测值函数的中误差的另一种表示方式为i i p m 1μ= 4—42权具有如下性质：① 权与中误差同为衡量观测精度的指标，中误差表示观测值的绝对精度；权是一个相对性数值，表示观测值之间的相对精度关系，对单一观测值而言，权无意义;② 权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值精度越高;③ 权始终取正号;④ 权的大小与常数C 的选值不同而不同，但观测值间权的比例关系不变，同一个研究问题只能选取一个C ，其取值应使 p 值便于平差时 使用。
(二)测量中常用的定权方法(1) 算术平均值 的权 由（4--37）和 (4--41) 式知，n 个等精度观测值算术平均值的中误差n m M /= ,当μ=m 时有： n nm m M P L ===/2222μ 4--43 即当取一次观测值权为１时，n 个观测值算术平均值的权为 n 。
测量学讲稿第四章 测量误差及测量数据
第四章 测量误差及测量数据初步处理通过前几章的学习，我们会发现：水准测量中闭合路线的高差总和往往不等于零；用经纬仪观测同一水平角，上下半测回的角值不完全相同；同一段距离往返丈量的结果也不一定相等。
这些差异现象的存在，表明测量观测值中含有误差。
§4—1 测量误差及测量精度1，误差概念及误差来源1）观测对象的量是客观存在的，称为真值。
2）真误差：观测值为i l （n i ,,2,1 ），某观测值的真值为x ，则两者差数x l i i （n i ,,2,1 ） （4—1）称为真误差3）产生原因：人，仪器，外界条件。
这三者称为观测条件。
4）同精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测，得到的观测也应相同称为同精度观测。
2，误差分类及特征1，误差分类：根据观测误差对观测结果的影响性质，可将其分为系统误差和偶然误差： （1）系统误差系统误差是在一定的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小均保持不变，或按一定规律变化着的误差。
产生的原因：主要是使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。
如水准尺的1m 刻画与1m 真长不等，水准仪的视准轴与水准轴不平行，大气折光对测角的影响等。
系统误差对观测成果具有累积作用，应设法消除部分或全部的系统误差，方法有：1）在观测方法和程序上采取必要措施，如水准测量中的前后视距保持相等，分上下午进行往返观测，三角测量中正倒镜观测，盘左、盘右读数，分不同的时间段观测等；2）分别找出产生系统误差的原因，利用已有公式，对观测值进行改正，如对距离观测值进行必要的尺长改正、温度改正、地球曲率改正等。
（2）偶然误差偶然误差是在相同的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小都表现出随机性，即大小不等，符号不同，但统计分析的结果都具有一定的统计规律性。
偶然误差是：由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因造成的。
如仪器本身构造不完善而引起的误差，观测者的估读误差，照准目标时的照准误差等，不断变化的外界环境，温度、湿度的忽高忽低，风力的忽大忽小等，会使观测数据有时大于被观测值的真值，有时小于被观测值的真值。
测量误差的基本知识
如经纬仪测角的照准误差 水准仪在水准尺上的估读误差
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全 个三角形在相同的观测条件下观测了全 部内角，三角形内角和的真误差∆ 三角形内角 部内角，三角形内角和的真误差∆i=三角形内角 和测量值-180˚ 其结果如表 分析三角形内角和 其结果如表, 和测量值 的误差∆ 的规律。 的误差∆i的规律。
m L m =± ⋅ m = ± 站 ⋅ L = ±µ ⋅ L = ± L ⋅ m h km 站 S S
误差传播应用示例—角度测量 误差传播应用示例 角度测量
1、菲列罗公式—由三角形闭合差计算测角中误差 、菲列罗公式 由三角形闭合差计算测角中误差 设在三角网中等精度观测各三角形内角， 设在三角网中等精度观测各三角形内角，其测角中误差 均为mβ, 各三角形闭合差f i，闭合差的中误差mΣ为
三、容许误差
据偶然误差的第一特性： 据偶然误差的第一特性：在一定观测条件下偶然 误差的绝对值不会超过一定限值。 误差的绝对值不会超过一定限值。
P(−σ < ∆ < +σ) = 68.3% P(−2σ < ∆ < +2σ) = 95.5%
工程测量中的数据处理方法
工程测量中的数据处理方法引言工程测量是一门关键的学科，它在建筑、土木工程等领域中扮演着至关重要的角色。
测量数据的准确性对于工程项目的成功实施至关重要。
然而，测量过程中所获取到的原始数据往往需要经过一系列处理方法，以消除误差并获得更可靠的结果。
本文将探讨在工程测量中常用的数据处理方法。
一、数据校正数据校正是数据处理的第一步，它主要用于消除仪器和观测误差。
在测量过程中，仪器可能存在一定的偏差，这会导致所得数据与真实值之间存在一定的差异。
校正方法主要包括仪器校准和观测均值的修正。
仪器校准是通过与已知标准进行比较，确定测量仪器的误差值，并进行校正。
这可以通过实验室测试或者比较观测值来实现。
例如，在水准测量中，可以使用已知高程点进行标定以消除仪器刻度的误差。
观测均值的修正是基于多次观测得到的数据，通过统计学方法计算出一个更准确的结果。
常见的方法包括加权平均值和中误差法。
加权平均值使用观测值的权重来计算，较高的权重分配给更可靠的观测值。
中误差法则利用观测值之间的差异来评估观测误差，并提供一个可靠的观测均值。
二、数据平差数据平差是通过一种数学模型，对观测数据进行优化处理，以获得更加可靠和精确的结果。
数据平差主要包括最小二乘法和条件方程法两种常用方法。
最小二乘法是一种广泛应用于工程测量中的数据处理方法。
它基于一个关键假设：观测误差是随机的，并且遵循正态分布。
通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和，可以获得最佳估计结果。
最小二乘法被广泛应用于距离测量、角度测量和水准测量等领域。
条件方程法是一种将观测数据与先验信息相结合的数据处理方法。
通过建立一组条件方程，将观测数据与已知点、已知线或其他已知约束相连接，以产生一个完整的测量网络。
然后，通过求解这个方程组，可以同时获得未知参数和观测误差的最小二乘解。
三、数据插值数据插值是通过已知的离散数据点，利用数学方法推导出未知点的数值。
在工程测量中，经常需要根据有限的测量数据估计连续空间中的某些未知量。
物理实验技术中常见的数据分析方法
物理实验技术中常见的数据分析方法在物理实验中，数据分析是非常重要的一环，它能够帮助我们理解实验过程中产生的数据，并从中提取有用的信息。
本文将介绍几种常见的物理实验数据分析方法，帮助读者更好地应用于实验中。
一、加权平均值在进行物理实验时，我们经常需要重复测量同一物理量多次。
为了减小误差，我们可以使用加权平均值方法来估计被测物理量的真实值。
加权平均值通过给予每个测量结果一个合适的权重，将每个结果根据权重进行加权求和，最终得到加权平均值。
二、误差分析在物理实验中，误差是不可避免的。
为了评估测量结果的可靠性，我们需要进行误差分析。
误差分析可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于实验设备、环境条件等因素引起的，它会导致测量结果整体上偏离真实值。
常见的系统误差分析方法有零误差校正、线性化处理等。
随机误差是由于测量过程中的不确定性引起的，它会导致同一物理量多次测量结果的偏离。
常见的随机误差分析方法有标准差分析、方差分析等。
三、线性回归线性回归是一种常见的数据分析方法，它用于研究两个变量之间的线性关系。
线性回归可以通过最小二乘法拟合数据，得到最佳拟合直线，并评估拟合精度。
在物理实验中，线性回归可以用于确定实验数据的相关性，并预测未知变量的值。
四、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域数据转换为频域数据的方法，它在物理实验中广泛应用于信号处理、频谱分析等领域。
傅里叶变换可以将时域信号表示为频率幅度谱，帮助我们分析信号的频谱特性。
五、概率分布拟合概率分布拟合是一种用于将实验数据与理论分布进行比较的方法。
在物理实验中，我们经常需要将实验数据与某个理论分布进行拟合，以获得实验数据的分布规律。
常见的概率分布拟合方法有正态分布拟合、指数分布拟合等。
六、误差传递在进行多步实验时，误差会随着步骤的增加而逐渐积累。
为了评估最终结果的误差，我们需要进行误差传递分析。
误差传递分析可以通过计算每个步骤中误差的传递规律，得出最终结果的误差范围。
误差理论的基本知识题目
第六章误差理论的基本知识一、填空题1、观测条件与精度的关系是 B 。
A.观测条件好，观测误差小，观测精度小。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度大B.观测条件好，观测误差小，观测精度高。
反之观测条件差，观测误差大，观测精度低C.观测条件差，观测误差大，观测精度差。
反之观测条件好，观测误差小，观测精度小2、防止系统误差影响应该 C 。
A.严格检验仪器工具；对观测值进行改正；观测中削弱或抵偿系统误差影响B.选用合格仪器工具；检验得到系统误差大小和函数关系；应用可行的预防措施等C.严格检验并选用合格仪器工具；对观测值进行改正；以正确观测方法削弱系统误差影响3、系统误差具有的特点为（ C ）。
A．偶然性 B．统计性 C．累积性 D．抵偿性4、水平角测量时视准轴不垂直于水平轴引起的误差属于（ B ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差5、下列误差中（ A ）为偶然误差Ａ.照准误差和估读误差Ｂ.横轴误差和指标差Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差6、经纬仪对中误差属（ A ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差7、尺长误差和温度误差属（ B ）Ａ．偶然误差Ｂ．系统误差Ｃ．中误差8、测量的算术平均值是 B 。
A. n次测量结果之和的平均值B. n次等精度测量结果之和的平均值C.是观测量的真值9、算术平均值中误差按 C 计算得到。
A. 白塞尔公式B. 真误差△。
C. 观测值中误差除以测量次数n的开方根10、角度测量读数时的估读误差属于（ C ）。
A．中误差 B．系统误差 C．偶然误差 D．相对误差11、边长测量往返测差值的绝对值与边长平均值的比值称为（ D ）。
A．系统误差 B．平均中误差 C．偶然误差 D．相对误差12、距离测量中的相对误差通过用（ B ）来计算。
A．往返测距离的平均值B．往返测距离之差的绝对值与平均值之比值C．往返测距离的比值D．往返测距离之差13、衡量一组观测值的精度的指标是（ A ）Ａ.中误差Ｂ.允许误差Ｃ.算术平均值中误差14、对某一量进行观测后得到一组观测值，则该量的最或是值为这组观测值的（ C ）。
加权平均数的标准误差计算公式 知乎
加权平均数的标准误差计算公式知乎
加权平均数是一种对数据进行加权处理的统计方法，它能够更准确地反映不同
数据点对总体的贡献程度。
在实际应用中，我们经常需要对加权平均数进行统计推断，其中一个重要指标就是加权平均数的标准误差。
标准误差是对样本平均数估计值的精确性进行描述的指标，它可以帮助我们判断加权平均数的可靠性和稳定性。
加权平均数的标准误差计算公式如下：
标准误差 = 根号下(Σ(wi*(xi-xbar)^2) / (Σwi*(n-1)))
其中，wi代表第i个数据点的权重，xi代表第i个数据点的数值，xbar代表加
权平均数，n代表数据点的个数。
在计算加权平均数的标准误差时，首先需要计算每个数据点的加权残差平方和，然后除以加权权重的总和再除以自由度的减一，最后取平方根即可得到标准误差。
通过计算加权平均数的标准误差，我们可以更准确地评估加权平均数的抽样误差，判断加权平均数的置信区间，从而进行统计推断和决策。
在实际应用中，标准误差的计算公式可以帮助我们对加权平均数进行更科学的分析和解释。
总之，加权平均数的标准误差计算公式是对加权平均数统计推断的重要工具，
通过准确计算标准误差，我们可以更好地理解数据的特征和规律，为决策提供更可靠的依据。
希望以上内容能够帮助您更好地理解加权平均数的标准误差计算方法。
如果您有任何疑问，欢迎继续提问，我会尽力解答。
加权平均数的标准误差计算公式__概述说明
加权平均数的标准误差计算公式概述说明1. 引言1.1 概述加权平均数是一种常用的统计方法，它可以根据不同样本的权重对数据进行综合计算。
在实际应用中，我们经常需要评估加权平均数的可靠性，即标准误差。
标准误差是衡量样本数据与整体数据之间的差异程度的一项指标。
因此，了解如何计算加权平均数的标准误差是非常重要的。
本文将详细介绍加权平均数的标准误差计算公式，以及其相关概念和应用场景。
首先，我们将简要介绍加权平均数和标准误差的基本概念，并阐述这两者之间的关系。
随后，我们将详细说明如何计算加权平均数的标准误差，并提供具体示例进行演示和解读。
最后，我们将对加权因子、样本量等因素对标准误差的影响进行讨论和分析。
1.2 文章结构本文包括五个主要部分：引言、加权平均数的标准误差计算公式、应用举例、讨论和分析以及结论。
在引言部分中，我们将概述文章内容、目的和结构，为读者提供整体的框架。
1.3 目的本文的目的是介绍加权平均数的标准误差计算公式，并通过应用举例和讨论分析，帮助读者更好地理解和应用这一统计方法。
通过阐述加权因子、样本量等影响因素，我们希望读者能够全面了解加权平均数标准误差的计算过程和意义，从而在实际问题中更准确地评估数据的可靠性。
以上是对“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写。
2. 加权平均数的标准误差计算公式：2.1 加权平均数简介：加权平均数是一种用于计算多个数据值对结果产生不同影响的统计指标。
在某些情况下，不同数据点可能具有不同的重要性或可靠性，因此通过为每个数据点分配适当的权重，可以更准确地计算出整体数据的平均值。
2.2 标准误差概念说明：标准误差是衡量统计样本中各测量值与总体参数估计之间差异的度量。
它表示样本估计结果与真实参数之间的离散程度，通常用于评估对总体参数的估计精度和可靠性。
2.3 加权平均数的标准误差计算公式说明：为了计算加权平均数的标准误差，我们需要考虑两个因素：加权因子和样本量。
加权因子是根据数据点的相对重要性或可靠性来分配给每个数据点的权重。
工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)
测量误差理论一、中误差估值(也称中误差)：Δi （i=1，2，…,n ）（6-8）【例】设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组-3″、+3″、—1″、-3″、+4″、+2″、-1″、—4″； 第二组+1″、—5″、-1″、+6″、—4″、0″、+3″、-1″。
试比较这两组观测值的精度，即求中误差.解：由于m 1〈m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。
同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。
另外,由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。
二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比,并化为分子为1、分母为整数的形式,即（6—10）三、误差传播定律【例】丈量某段斜距S =106.28m ，斜距的竖角，斜距和竖角的中误差分别为、，求斜距对应的平距D 及其中误差。
解：平距由于是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“”代替“d "得 再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值因此,平距的中误差为:m D =±5 cm.则最终平距可表示为：D =105。
113±0。
050 m 。
应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位,所以，应注意各项单位要统一。
例如,上例中的角值需要化为弧度.综上所述,应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式 对函数式进行全微分 写出中误差关系式应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。
n m ] [∆∆ ±=【例】用长度为l=30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=±5mm,求全长D及其中误差m D.解:列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式则，全长的中误差为m D=±如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l，写出全长D的中误差关系式并计算中误差m D=10·m=10·5=±50mm。
数字测图习题集
数字测图习题集第一章1.测绘学研究的对象和任务是什么？2.简述数字测图的发展概况。
3.学习本课程应达到那些要求？第二章1.什么是水准面？水准面有何特性？2.何谓大地水准面？它在测量工作中有何作用？3.测量工作中常用哪几种坐标系？它们是如何定义的？4.测量工作中采用的平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系有何不同之处？画图说明。
5.何谓高斯投影？高斯投影为什么要分带？如何进行分带？6.高斯平面直角坐标系是如何建立的？7.应用高斯投影时，为什么要进行距离改化和方向改化？8.地球上某点的经度为东经112°21′，求该点所在高斯投影6°带和3°带的带号及中央子午线的经度？9.若我国某处地面点P的高斯平面直角坐标值为：x=3102467.28m，y=20792538.69m。
问：（1）该坐标值是按几度带投影计算求得。
（2） P点位于第几带？该带中央子午线的经度是多少？P点在该带中央子午线的哪一侧？（3）在高斯投影平面上P点距离中央子午线和赤道各为多少米？10.什么叫绝对高程？什么叫相对高程？11.根据“1956年黄海高程系”算得地面上A点高程为63.464m，B点高程为44.529m。
若改用“1985国家高程基准”，则A、B两点的高程各应为多少？12.用水平面代替水准面，地球曲率对水平距离、水平角和高程有何影响？13.什么是地形图？主要包括哪些内容？14.何谓比例尺精度? 比例尺精度对测图有何意义？试说明比例尺为1∶1000和1∶2000地形图的比例尺精度各为多少。
15.地面上两点的水平距离为123.56m，问在1∶1000，1∶2000比例尺地形图上各长多少厘米?16.由地形图上量得某果园面积为896mm2，若此地形图的比例尺为1∶5000，则该果园实地面积为多少平方米?（算至0.1m2）17.已知由A点至B点的真方位角为68°13′14″，而用罗盘仪测得磁方位角为68.5°，试求A点的磁偏角。
第五章 测量误差
（2）水准路线高差的中误差
如果在这段水准路线当中一共观测了n站，则总高 差为： 设每站的高差中误差均为m站 ，则 mh = 取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为： m容= 3
2.水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左 盘右观测同一方向的中误差为±6” ，即 =±6”。 假设盘左瞄准A点时读数为A左，盘右瞄准A时读数 为A右，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为
求真误差的方差： 由方差的性质可得：
中误差为标准差σ的估计值，而标准差的平方就等 于方差，故
二、线性函数
1、倍数函数 设有函数 Z=Kx 式中 x—直接观测值，其中误差为mx； K—常数 Z—观测值x的函数 若对x作n次同精度观测，其真误差列为 设对应的函数的真误差列为 。 观测值与函数间的真误差关系式为：
三、非线性函数 设有非线性函数 z=f（x1、x2、…、xn） 式中，x1、x2、…、xn为独立观测值，其相应的中
误差分别为m1、m2、…、mn，对其全微分得到
四、误差传播定律的应用 1.水准测量的误差分析
（1）一个测站的高差中误差 每站的高差为：h=a-b；a、b为水准仪在前后水准 尺上的读数，读数的中误差m读，m读≈±3mm，则 每个测站的高差中误差为
二、中误差（均方差）
1.测量工作中，用标准差来衡量观测的精度，我 们称之为中误差，用ｍ表示。 设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立 观测，观测值为:l1,l2,…,ln,其真误差为Δ １,
Δ ２,…,Δ n ,则真误差的方差
式中当ｎ→∞，E(Δ ) ＝ 0 ，根据数学期望的定义 E(Δ 2)就是Δ 2的算术平均值。
将上式平方，得 按上式求和，并除以n，得
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差基本知识
测量误差基本知识 Last updated on the afternoon of January 3, 2021四、测量误差基本知识1、测量误差分哪两类它们各有什么特点测量中对它们的主要处理原则是什么2、产生测量误差的原因有哪些 偶然误差有哪些特性3、何谓标准差、中误差和极限误差？4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。
计算其算术平均值x 、一测回的中误差m 及算术平均值的中误差m x 。
表4-15、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差=++-180，其结果如下：1=+3，2=-5，3=+6，4=+1，5=-3，6=-4，7=+3，8=+7，9=-8；求此三角形闭合差的中误差m 以及三角形内角的测角中误差m β。
图 4-16、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差m γ。
7、量得某一圆形地物直径为，求其圆周的长S 。
设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。
8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。
9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m a =m a =m a =m a =25mm ；按S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a 2a +3a 4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。
10．误差传播定律应用（1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。
（2）已知a m =c m =6，=a -c ，求βm 。
（3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。
测量误差理论的基本知识习题答案
测量误差理论的基本知识习题答案5测量误差的基本知识一、填空题：1、真误差为观测值减去真值。
2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。
3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。
4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。
5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。
6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。
7、权等于1的观测量称单位权观测。
8、权与中误差的平方成反比。
9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488。
10、用经纬仪对某角观测4次,由观测结果算得观测值中误差为±20″,则该角的算术平均值中误差为___10″__．11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为__9.4 mm ___。
12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856″。
13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测了15个测站，则1km 的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm二、名词解释：1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。
观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。
2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。
它是一个不名数，常用分子为1的分式表示。
3、等精度观测----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。
4、非等精度观测---- 是指观测条件不同的各次观测。
5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。
三、选择题：1、产生测量误差的原因有（ABC）。
测量学（第五版）章节复习试题（无答案）
思考题与练习题1.学习“测量学”的目的是什么？2.如何表示地球的形状和大小？3.有哪些坐标系可以确定地面点位？城市和工程测量中常用哪种坐标系？4.进行建筑坐标和城市坐标的换算，需要已知哪些数值？5.有哪几种方法可以表示两点间的平面位置关系？6.何谓极坐标法测定点位？7.何谓绝对高程(海拔)? 何谓相对高程(假定高程)？何为标高？8.测量工作程序的基本原则是什么？9.测量工作有哪些基本观测量？10.水准面曲率对观测量有何影响？11.设有500m长、250m宽的矩形场地，其面积有多少公顷？合多少亩？12.在半径R＝50m的圆周上有一段125m长的圆弧，其所对圆心角为多少弧度？用度分秒制表示时应为多少？13.直角三角形中有一小角度β＝30″，设角度一边的长度为124m，β角对边的长度为多少（算至毫米）？思考题与练习题1.何谓1985国家高程基准？水准测量分哪些等级？2.进行水准测量时，为何要求前、后视距离大致相等？3.进行水准测量时，设A为后视点，B为前视点，后视水准尺读数a= 1124,前视水准尺读数b= 1428,则A，B两点的高差h AB＝？设已知A点的高程H A＝20.016m，则B点的高程H B＝？4.水准仪由哪些主要部分构成？各起什么作用？5.用测量望远镜瞄准目标时，为什么会产生视差？如何消除视差？6.试述使用水准仪时的操作步骤。
7.何谓水准路线？何谓高差闭合差？如何计算容许的高差闭合差？8.图2-55 所示为某一附合水准路线的略图，BM.A和BM.B为已知高程的水准点，BM.1－BM.4为高程待定的水准点。
已知点的高程、各点间的路线长度及高差观测值注明于图中。
试计算高差闭合差和允许高差闭合差，进行高差改正，最后计算各待定水准点的高程。
++13.38H A = 36.444mH B = 85.997m图 2-55 附合水准路线略图9.水准仪有哪些轴线？轴线之间应满足哪些条件？如何进行检验和校正？ 10.设进行水准仪的水准管轴平行于视准轴的检验和校正，仪器先放在相距80m 的A ，B 两桩中间，用两次仪器高法测得A ，B 两点的高差h 1＝+0.204m ，然后将仪器移至B 点近傍，测得A 尺读数a 2＝1.695m 和B 尺读数b 2＝1.466m 。
高精度中误差计算公式
高精度中误差计算公式一、高精度中误差的基本概念。
1. 定义。
- 在测量学中，中误差是衡量观测精度的一种数字标准。
它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根。
对于高精度测量，中误差的计算更为精确和复杂，需要考虑更多的因素。
二、高精度中误差的计算公式。
1. 等精度观测的中误差计算公式。
- 设对某一未知量X进行了n次等精度观测，观测值分别为l_1, l_2,·s, l_n，其算术平均值为¯x=(l_1 + l_2+·s+ l_n)/(n)。
- 观测值l_i的真误差Δ_i = l_i - X（i = 1,2,·s,n），中误差m=±√(frac{[ΔΔ]){n}}，其中[ΔΔ]=Δ_1^2+Δ_2^2+·s+Δ_n^2。
2. 由改正数计算中误差（白塞尔公式）- 在实际测量中，未知量的真值往往是不知道的，此时可以用观测值的改正数来计算中误差。
设观测值l_i的改正数为v_i，v_i=¯x-l_i。
- 中误差m = ±√(frac{[vv]){n - 1}}，其中[vv]=v_1^2 + v_2^2+·s+v_n^2。
3. 不同精度观测的中误差（权与中误差的关系）- 对于不同精度的观测值，设观测值L_1, L_2,·s, L_n，其对应的中误差为m_1, m_2,·s, m_n，权为p_1, p_2,·s, p_n。
- 权与中误差的关系为p_i=(μ^2)/(m_i^2)（μ为任意选定的比例常数）。
- 加权平均值¯L=(p_1L_1 + p_2L_2+·s+p_nL_n)/(p_1 + p_2+·s+p_n)，其加权平均值的中误差M=±√(frac{1){[p]}}，其中[p]=p_1 + p_2+·s+p_n。
测量学 5测量误差分析与精度评定
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
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5.4 误差传播定律及其应用
误差传播定律：反映观测值的中误差与观 测值函数中误差关系的定 律。 倍数函数 和差函数 函数形式 线性函数 一般函数
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1.一般函数中误差 1.一般函数中误差
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解法2: 解法2:
z=3x-y+2l –10， x=2l+5, z=6l+15-3l+6+2l –10
=5l+11 所以：mz =5ml
y=3l-6
两种方法，两样结果，哪里错了？？？？
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例2:已知AB两点间的水平距离D=206.205±0.020 m，在A点安置经纬仪测得AB直线的高度角α =12 ̊ 20 30 ±30 ，计算AB间的高差h，及其 中误差 mh 。 解法1:函数式 ： h=D tg α = 45.130(m) 全微分：dh = tgα × dD + D × sec 2 α × dα 中误差关系：
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偶然误差的特性
有界性：在有限次观测中，偶然误差应小 于限值。 密集性：误差小的出现的频率大，误差大 的出现的频率小。 对称性：绝对值相等的正负误差频率大概 相等。 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误 差的平均数趋近于零。
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5.3 衡量观测值精度的指标
正态曲线： 正态曲线：
1 2σ 2 f (∆) = e 2π σ
方差 :
− ∆2
k/n/d∆
σ
2
[∆ ] = lim
加权平均值及其中误差
加权平均值及其中误差此时当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值（6-17）式和中误差（6-19）及（6-20）式来计算观测值的最或是值和评定其精度。
计算观测量的最或然值应考虑到各观测值的质量和可靠程度，显然对精度较高的观测值，在计算最或然值时应占有较大的比重，反之，精度较低的应占较小的比重，为此的各个观测值要给定一个数值来比较它们的可靠程度，这个数值在测量计算中被称为观测值的权(weight)。
显然，观测值的精度愈高，中误差就愈小，权就愈大，反之亦然。
在测量计算中，给出了用中误差求权的定义公式),,2,1(22n i mP ii ==μ （6-21）式中P 为观测值的权，μ为任意常数，m 为各观测值对应的中误差。
在用上式求一组观测值的权P i 时，必须采用同一μ值。
当取P =1时，μ就等于m ，即μ=m ，通常称数字为1的权为单位权，单位权对应的观测值为单位权观测值。
单位权观测值对应的中误差μ为单位权中误差。
当已知一组非等精度观测值的中误差时，可以先设定μ值，然后按（6-21）式计算各观测值的权。
例如：已知三个角度观测值的中误差分别为m 1=±3″、m 2=±4″、m 3=±5″，它们的权分别为：232322222121///m P m P m P μμμ===若设"3±=μ 则 P 1=1P 2=9/16P 3=9/25 若设"1±=μ 则 P '1=1/9 P '2=1/16P '3=1/25上例中P 1:P 2:P 3=P '1:P '2:P '3=1:0.56:0.36。
可见，μ值取得不同，权值也不同，但不影响各权之间的比例关系。
当"3±=μ时，P 1就是该问题中的单位权，m 1=±3"就是单位权中误差。
中误差是用来反映观测值的绝对精度，而权是用来比较各观测值相互之间的精度高低。
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加权平均值及中误差 在测量实践中，除了同精度观测外，还有不等精度观测。
如果对某观测值得观测值在不同的观测条件下进行的，即对其进行了n 次不等精度观测，在这种情况下，由于观测条件不同，求观测值的最或然值就不能简单地用算术平均值来求解，而是采用另一种方法即加权平均值方法求解。
(一)权和单位权 所谓“权”，就是不同精度观测值在计算未知量的最或然值时所占的“比重”。
一般观测值误差愈小，精度愈高，说明其值愈可靠，权就愈大，因此，权定义：观测值或观测值函数的权（通常以P 表示）与中误差m 的平方成反比。
设不等精度观测值n L L L ,,,21 的中误差分别为n m m m ,,,21 ，则i L 权的可定义为：
2
i i m C P = 式中C ——任意常数；4—39
,2,1=i n
若令第一次观测值的权作为标准，并令其为1，即取21m C =，则
221222122
1211,,,1n n m m P m m P m m P ==== 4—40
等于1的权称为单位权，权等于1的对应的观测值中误差称为单位权中误差。
一般用μ表示，习惯上取一次观测、一个测回、一公里线路等的测量误差为单位权中误差。
这样（4-40）式另一表示方式为：
2
2i i m P μ= 4—41
由上式得到观测值或观测值函数的中误差的另一种表示方式为
i i p m 1μ= 4—42
权具有如下性质：
① 权与中误差同为衡量观测精度的指标，中误差表示观测值的绝对精度；权是一个相对性数值，表示观测值之间的相对精度关系，对单一观测值而言，权无意义;
② 权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值精度越高;
③ 权始终取正号;
④ 权的大小与常数C 的选值不同而不同，但观测值间权的比例关系不变，同一个研究问题只能选取一个C ，其取值应使 p 值便于平差时 使用。
(二)测量中常用的定权方法
(1) 算术平均值 的权 由（4--37）和 (4--41) 式知，n 个等精度观测值算术平均值的中误差n m M /
= ,当μ=m 时有： n n
m m M P L ===/22
22μ 4--43 即当取一次观测值权为１时，n 个观测值算术平均值的权为 n 。
(2) 角度观测时定权
与算术平均值的权同理，当令一测回观测的角度中误差为单位权中误差时，观测n 个测回的角度观测值的权为n 。
同理，不同测回数的角度观测值，其权之比为测回数之比。
(3) 水准测量中定权
设－站观测高差精度相同，其中误差为m 站，则站数为N i 的某条水准路线的观测高差中误差为
i i N m m = (I=1,2,…,n)
若取C 站的高差中误差为单位权中误差，即c m =μ，依（4-41）式，某水准路线的权为
i
i N c P = 4--44 同理，若取C （Km ）路线高差中误差为单位权中误差，则长度为L i 的某水准路线的权为 i i L c
P = 4--45
因此，在水准测量中，若每一站高差观测精度相同，则各水准路线观测高差的权与路线测站数或路线长度成反比。
(4) 距离丈量时定权
设1Km 距离的丈量中误差为m ，则sKm 距离的丈量中误差为s m m s =，若取cKm 的中误差为单位权中误差，则丈
量sKm 的权为
()()s c s m c m P s ==22 4--46
因此，在距离丈量中距离观测值的权与距离长度成反比。
（三）加权平均值及其中误差
若对某一量进行n 次不等精度观测，现采用加权平均的方法，求解观测值的最或然值。
设观测值为n L L L ,,,21 ；中误差为n m m m ,,,21 ；权为n P P P ,,,21
设2
2i i m P μ=，其加权平均值为
[][]P PL P P P L P L P L P x n
n
n =++++++= 212211 4—47 由误差传播定律有：加权平均值的中误差： [][][]22222221212n n x m P P m P P m P P m ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= = []
()222222212121n n m p m p m p p +++ 4—48 又因i i P m 22
μ=，代入上式，化简得加权平均值的中误差：
[]p m x 22
μ= []P m x μ= µ 为单位权中误差 4—49
又因 x x P m 22
μ=,则：加权平均值的权等于各观测值的权之和：
[]P P x =
同样，(4-47)式知，不等精度观测值的改正值还满足下列条件：（等精度观测值的改正数： [v]=0）
[][][][]0)(=-=-=pL x p L x p pv 4—50
当观测值真值未知，按不等精度观测值改正数计算单位权中误差μ，可类似用观测值改正数求观测值中误差公式： []
1-±=n PVV μ 4—51
式中:V —观测值改正数。
计算出单位权中误差μ后，如果某一观测值的权已知，可由（4-42）计算该观测值或观测值函数中误差。
算术平均值 加权平均值 = [L]/n [pL]/[p] 权 p x n [p] 中误差 m x m/√n µ /√[p] µ 为单位权中误差
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
例7: 对某一角度，用同样仪器，分别进行了三组观测：第一组2个测回，第二组4个测回，第三组6个测回，得到各组角度观测值平均值分别为：60°12′13″,60°12′15″和60°12′17″。
设以2测回平均值观测值中误差为单位权中误差，求第三组观测6个测回中误差、该角最或然值及其中误差。
解：设观测一测回中误差为m ，由（4-37）式n
m M =，则以上第一、二、三组观测值平均值中误差分别为
21m m =，41m m =，6
1m m =， 设以第一组2测回平均值观测值中误差为单位权中误差，则以上三组平均值权分别为：
3,2,1232132
22121=====m m p m m p p
由（4-47）得到观测值加权平均值（最或然值）为
[][]
7.152160'''︒==P PL x 第一组2测回平均值观测值中误差，即单位权中误差为：
[]
133.13.137.07.027.27.211
-''⨯''⨯+''⨯''⨯+''⨯''⨯=-±=n PVV μ
6.22
34.13''==μ
由（4-42）式，第三组观测6个测回均值中误差为： 5.1316.2122''=''==p m μ ？？？？？？？？？
加权平均值即最或然值中误差为：
[]1.16
6.2''=''==P m x μ 最或然值结果为
x = 60°12′17″±1.1″。