直角三角形的边角关系三角函数的概念

同步教学

主讲人：黄冈中学高级教师梁荷映

一、周知识概述

1、从实际问题出发——梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通过学习发现：把这一问题

转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定

显然，梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关，当0°

，梯子越陡.

2、相应地规定正弦：

3、关于30°，45°，60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三角形大小无关，而与两锐角大小有关.

当∠A=30°时当∠A=45°时当∠A=60°时

将它们的特殊值列表如下：

三角函数

sinαcosαtanα

角α的度数

30°

45°1

60°

4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把∠A的邻边与∠A的对边之比起名为余切，即

5、在Rt△ABC中，由锐角A（0°

可得出即sin2A＋cos2A=1.

6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定：

（b≠0），而sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.

二、本周重难点

1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大

小.

2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题.

三、本周重难点知识讲解：

例1、在Rt△ABC中∠C=90°，AB=6，BC=2.求

（1）sinA, cosA, tanA的值；

（2）sinA与cosB是否相等？sinB与cosA是否相等？为什么，

tanA与sinA，cosA又有什么关系，为什么？

（3）sin2A与cos2A有什么关系？为什么？

解：∵BC=2，AB=6，.

（1）

同理：

（2）

又∵∠B=90°－∠A，即sinA=cos(90°－A) ①

∴sinB=cosA而∠A=90°－∠B

∴sinB=cos(90°－B) ②

（3）

且sin2A＋cos2A=

综上所述，除了掌握从0°～90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关系，可分为：（1）互余关系：sinA=c os(90°－A)，cosA=sin(90°－A)

（2）平方关系：sin2A＋cos2A=1

（3）商数关系：可作为公式使用.

例2、在Rt△ABC中，∠C=90°，若求tanB的值.

解析：此题有两种解法，一是定义法，二是用三角函数间的关系式.

解法一：定义法：在Rt△ABC中，∠C=90°，且

∴设BC=3a，∴AB=5a，

解法二：∵sinA=cos(90°－A)=cosB，.

又∵sin2B＋cos2B=1，且sinB>0,

例3、求下列各式的值.

（1）

（2）(1＋sin40°)(1－cos50°)－tan60°·tan30°－cos240°

（3）已知

解析：∵sin90°=1（规定），且cos245°＋sin245°=1.

解：（1）

（2）利用互余关系cosα=sin(90°－α)，即cos50°=sin(90°－50°)=sin40°,

∴原式=（1＋sin40°）（1－sin40°）－

=1－sin240°－1－cos240°=－(sin240°＋cos240°)=－1

（3）将所求式子转化为有tanα的式子，即可代值，∴利用商数关系.

例4、如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值.

解析：∵△ABC不是Rt△，但∠A=120°是一个特殊角，一般情况下，不去破坏它，即不要从点A向BC边引垂线，而要利用∠A的补角60°去解决问题.

解：过C、B分别作CD⊥BA，BE⊥CA，交BA、CA的延长线于D，E，

∵∠BAC=120°，∴∠CAD=∠BAE=60°，∴在Rt△ADC中，∠ACD=30°，

∴.

.

例5、若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m，则树高h的范围是多少

解析：将实际问题转化为解Rt△，画出图形

解：如图，由题意∠B=37°，BC=10m，∠ACB=90°，

又∵30°<37°<45°,∴tan30°

即（单位：m）.S