人教版高中数学选修1-1-3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3ppt课件

所以函数g12 (x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b.
(2)若 1 <a< e ,则1<2a<e, 22
于是当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0, 当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]
当0<x<2时,f′(x)<0,当2<x<3时
f′(x)>0,故当x=2时,函数取极小值,也是最小值,
f(x)min=f(2)= -8+4=- .
8
4
3
3
3.函数f(x)=x-lnx的最小值为
.
【解析】f′(x)=1- 1 ,当x 01<x<1时,f′(x)<0,当x>1 时,f′(x)>0,故当x=1时x ,函x数取极小值,也是最小值,故
所以函数g1 (x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1,不符合题意; 2
(2)若 1 <a< e ,则1<2a<e, 22
于是当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0,
当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调
所以a=1.
3
3
(2)由(1)知:f(x)=-x3+x2+1,f′(x)=-3x2+2x,
令f′(x)=0⇒x1=0,x2= .
因为f(0)=1,f = ,f(22 )=-3, 3
所以f(x)max= ( 2,f) (x)m3 i1n=-3. 3 27
31
27
类型二 含参数的最值问题 【典例】(2014·四川高考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.
【方法技巧】 1.含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值问题. (2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论 导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已 知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出 极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
【解析】(1)f(x),g(x)的图象过P(2,0),所以f(2)=0,即 2×23+a×2=0,a=-8. g(2)=0,即4b+c=0. 又因为f(x),g(x)在点P处有相同的切线, 所以4b=16,b=4,c=-16.
(2)F(x)=2x3+4x2-8x-16,F′(x)=6x2+8x-8
【总结提升】 1.对函数最大(小)值的认识 (1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最 值.若有惟一的极值,则此极值必是函数的最值. (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
2.函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小 值是一个整体性概念. (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数 的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但 最值只能有一个. (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.
【解题探究】由函数g′(x)的表达式,求g(x)在区间[0,1]上的最小 值的关键是什么? 提示:因为g′(x)=ex-2a,令g′(x)=0得x=ln(2a),因此关键是讨论ln(2a) 与区间[0,1]的关系.
【解析】因为f(x)=ex-ax2-bx-1, 所以g(x)=f′(x)=ex-2ax-b, 又g′(x)=ex-2a,因为x∈[0,1],1≤ex≤e, 所以: (1)若a≤ ,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
(2)函数在区间[a,b]上的最值一定在端点处取得吗? 提示:不一定.还与函数在区间上的单调性、极值有关.
2.函数f(x)= x 3 -4x+4在[0,3]上的最小值为 ( )
A.1
B.43
C.5
D.- 4
【解析】选D.f′(x)=x2-4,令f′(x)=0 3
解得x=±2,因为x∈[0,3],故x=2,
f(x)的极大值为f(-1)=3 2,f(x)的极小值为f(1)=-2,
又f(- )=0,f(3)=18, 所以f(x)的最大值为18,f(x)的最小值为-2.
3
【方法技巧】求函数最值的四个步骤 第一步求函数的定义域. 第二步求f′(x),解方程f′(x)=0. 第三步列出关于x,f(x),f′(x)的变化表. 第四步求极值、端点值,确定最值.
2.(变换条件、改变问法)当b=0时,若函数g(x)在区间[0,1]上的最 小值为0,求a的值. 【解析】当b=0时,因为f(x)=ex-ax2-1, 所以g(x)=f′(x)=ex-2ax, 又g′(x)=ex-2a,因为x∈[0,1],1≤ex≤e, 所以: (1)若a≤ ,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
解不等式F′(x)=6x2+8x-8≥0得x≤-2或x≥ 2,
故单调增区间为(-∞,-2],
[
2
,同理,单调减区3间为 , )
当-2≤m≤ 时,F(x)min=F(m3)=2m3+4m2-8m-16,
2
当m> 时,F3 (x)min=
2
F(2) 512.
3
3 27
[2, 2 ], 3
类型三 与函数最值有关的综合问题 【典例】(2015·兰州高二检测)已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数f(x)的最小值. (2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
【题型探究】
类型一 求函数的最值
【典例】1.(2015·桂林高二检测)函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最
大值为
.
2.(2015·安庆高二检测)已知函数f(x)=x3-3x,x∈R
(1)求f(x)的单调区间.
(2)当x∈[- ,3]时,求f(x)的最大值与最小值.
3
【解题探究】1.要求函数的最值,需要先确定函数的哪些量? 提示:要求函数的最值,需要求出函数的极值、端点值. 2.闭区间上函数的单调性对最值有何影响? 提示:若在闭区间上单调,则最值在端点处取得,否则要将极值与端点 值比较.
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
【知识提炼】
1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是_____________的曲线,
那么它必有最大值和最小值.
一条连续不断
2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在______内的极值. (a,b)
上单调递增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.
(3)若a≥ e,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0, 2
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b.
综上所述,当a≤ 时1 ,g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min=g(0)=12 -b;
【解析】1.f(x)=x-x3,f′(x)=1-3x2,令f′(x)=0得x= 或3
3 x=- 3 ,f(0)=0,f(1)=0,f( )=3 ,所2 以3 f(x)在x= 处取 3
得极大3 值,也是最大值.
3
9
3
答案:
23
9
2.(1)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x<-1或x>1时,f′(x)>0; 当-1<x<1时,f′(x)<0 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间为(-1,1). (2)由(1)可知x∈[- ,3]时,
当x∈
(
0
,
1
时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
)
当x∈ e 时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
(1 , )
f(x)min=e
11
f( ) .
ee
(2)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+3 ,
设h(x)=2lnx+x+3 (x>0),
x
则h′(x)= x3x,x 1
f(x)min=f(1)=1-ln1=1. 答案:1
4.函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值
是
.
【解析】f′(x)=ex-1,
令f′(x)>0,x∈[-1,1],可得0<x≤1;令f′(x)<0,x∈[-1,1],可得-
1≤x<0,
因为f(-1)= +1,f(1)=e-1,所以f(-1)<f(1),
①x∈(0,1),h′(xx)<2 0,h(x)单调递减;
②x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)单调递增;
所以h(x)min=h(1)=4, 对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
所以a≤h(x)min=4.
【方法技巧】分离参数求解不等式恒成立问题
【变式训练】已知函数f(x)=x(x2-a)(a∈R),g(x)=lnx. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求f(x)的极大值. (2)若在区间[1,2]上f(x)的图象在g(x)图象的上方(没有公共点),求 实数a的取值范围.
【解题探究】对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,应进行怎样的 转化?对于恒成立问题,求参数范围常用的方法是什么? 提示:一般转化为2f(x)-g(x)≥0恒成立;对于恒成立问题,求参数范围 常用的方法是分离参数法.
【解析】(1)由已知知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,
【变式训练】(2015·南昌高二检测)已知函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R),
且f(x)在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线垂直于y轴. (1)求实数a的3值.3
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】(1)依题意:f′ =( 2 0) ,
ห้องสมุดไป่ตู้
3
因为f′(x)=-3x2+2ax,所以-3× ( 2+) 22·a· =0, 2
递增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)=0, 解得a= 不符合题意,舍去.
e 2
(3)若a≥ ,e 则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0, 2
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a=0,解得
a= e . 综上2 所述,a= .
e 2
当 <a< 时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=
g(l1n(2a))e =2a-2aln(2a)-b; 22
当a≥ 时,g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=g(1)=e-2a-b.
e 2
【延伸探究】 1.(变换条件)若a=1,b=-2,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值. 【解析】因为a=1,b=-2, g(x)=f′(x)=ex-2x+2, 又g′(x)=ex-2,令g′(x)=0,因为x∈[0,1], 解得x=ln2,已知当x=ln2时,函数取极小值,也是最小值,故 g(x)min=g(ln2)=2-2ln2+2=4-2ln2.
(2)将函数y=f(x)的_______与端点处的________________比较,其中
各极值
函数值f(a),f(b)
_____的一个是最大值,_____的一个是最小值.
最大
最小
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)函数在闭区间上的极大值就是最大值吗?极小值就是最小值吗? 提示:不一定.函数在闭区间上的极大值不一定是最大值,还要与端点 处的函数值比较,最大的即最大值;同理,闭区间上的极小值也不一定 是最小值.
所以函数f(x)1 =ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大 值是e-1. e
答案:e-1
【知识探究】 知识点 函数的最大(小)值与导数 观察图形,回答下列问题:
问题1:在闭区间上函数的图象连续不断是函数有最值的充要条件吗? 问题2:连续函数y=f(x)在区间(a,b)上有极值,那么在区间(a,b)上一 定有最值吗?
2.已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思 维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示 出最值后求参数的值或范围.
【补偿训练】已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点 P(2,0),且在点P处有相同的切线. (1)求实数a,b,c. (2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)在[-2,m]上的最小值.