《 建立概率模型》公开课教学设计【高中数学必修3(北师大版)】
3.2.2建立概率模型 教案(高中数学北师大版必修3)
2．2建立概率模型●三维目标1．知识与技能(1)使学生进一步掌握古典概型的概率计算公式．(2)能建立概率模型解决实际问题．2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．3．情感、态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．重点：建立概率模型解决古典概型在实际生活中的应用．难点：古典概型中比较复杂的背景问题的概率求值问题．●教学建议本节课是在学生已掌握了古典概型的定义及能够解决简单的概率求值问题的基础上学习的，教师可以例题为主线，通过学生自己动手发现问题，引导学生自主解决．●教学流程创设情境，引入新课，通过掷骰子试验建立古典概率模型⇒引导学生分析探究建立概率模型后每次试验的基本事件，掌握树状图是列举基本事件的常用方法⇒通过例1及变式训练掌握“有放回”与“不放回”的古典概型的区别及相应概率的求法与技巧⇒通过例2及变式训练掌握运用树状图解决“有序”与“无序”的古典概型的方法技巧⇒通过例3及变式训练，使学生掌握运用数形结合的方法解决所建立概率模型的技巧⇒归纳整理课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正如何观察分析试验中的等可能结果？【提示】一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则只有三种结果，即站左边、中间或右边．1．一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．2．从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单． 3．树状图是进行列举的一种常用方法.121 (1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率； (2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．【思路探究】 分别利用列举法列举出可能出现的条件，找到符合要求的事件，利用概率公式求概率．【自主解答】 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的； (2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．【解】 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝945＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件为100，故P (A )＝18100＝950.图3－2－1用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．【思路探究】由涂色的有序性可画出树状图解题．【自主解答】所有可能的基本事件共有27个，如图所示：红红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄黄红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄蓝红红蓝黄蓝红蓝黄黄红蓝黄(1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝627＝29.1．本题列出全部可能的结果采用的是树状图，对于试验结果不太多的情况，都可采用此法．2．列出基本事件时要注意问题是否与顺序有关．将甲、乙两枚骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所得的点数，若把点P(a，b)落在不等式组{x>0， y>0， x＋y≤4所表示的平面区域的事件记为A，求P(A)．【解】利用直角坐标系表示基本事件数及不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由图可知基本事件数为36个，落在不等式组所表示的平面区域的点共有6个，所以P(A)＝636＝16.(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．【思路探究】明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求出，可借图来确定基本事件总数．【自主解答】如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出事件A 包含的基本事件共6个，(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P (A )＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B .从图中可以看出事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)，故P (B )＝136.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共12个，(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P (C )＝1236＝13.1．求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便准确地找出某事件所包含的基本事件总数．2．数形结合能使解决问题的过程变得形象直观，给问题的解决带来方便．某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A ，B ，C ，D ，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A ，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列举法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E .由上表可知，可能结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P (E )＝412＝13.知识性错误致误设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球． (1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．【错解】 一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(白，白)}，所以P (A )＝13.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(白，黑)}，所以P (B )＝13. 【错因分析】 在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．【防范措施】 弄清基本事件总数有哪些，注意每个基本事件的出现是等可能的． 【正解】 我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．(1)用A 表示“2只球都是白球”这一事件，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．所以P (A )＝1230＝25.(2)用B 表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B ＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}，共16个．所以P (B )＝1630＝815.1．注意区分古典概型中有无放回及有无顺序问题．2．建立概率模型，常用列举法、列表法、树状图法求出基本事件的总数，从而解决问题．1．下列不属于古典概型的性质的是( ) A ．所有基本事件的个数是有限个 B ．每个基本事件发生的可能性相等 C ．任两个基本事件不能同时发生D ．可能有2个基本事件发生的可能性不相等【解析】 古典概型的特征之一就是每个基本事件发生的可能性相等． 【答案】 D2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.15【解析】 该试验共4个基本事件，所求事件包含2个基本事件，∴其概率P ＝12.【答案】 A3．从1,2,3，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是( ) A.320 B.14 C.310 D.15【解析】 从1,2,3，…，20中任取一个数共有20种基本事件，其中是3的倍数是3,6,9,12,15,18共6种基本事件，由古典概型概率公式得是3的倍数的概率是620＝310.【答案】 C4．一个家庭中有两个小孩，设生男还是生女是等可能的，求此家庭中两小孩均为女孩的概率．【解】 所有的基本事件是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)共4个，均为女孩的基本事件只有1个，故此家庭中两个均为女孩的概率为P ＝14＝0.25.一、选择题1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110【解析】 由古典概型的计算公式得P (A )＝810＝45.【答案】 C2．从{1,2,3,4,5}中随机选一个数为a ，从{1,2,3}中随机选一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】 从{1,2,3,4,5}中随机选一个数a ，从{1,2,3}中随机选一个数b ，共有以下不同结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共15种．其中满足b >a 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)三种，所以b >a 的概率为315＝15，故选D.【答案】 D3．将一颗均匀的正方体骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等的实根的概率为( )A.112B.19C.136D.118【解析】 方程x 2＋bx ＋c ＝0有相等实根，故Δ＝b 2－4c ＝0即b 2＝4c .基本事件总数为6×6＝36.当b ＝4，c ＝4或b ＝2，c ＝1时，b 2＝4c 成立，故P ＝236＝118.【答案】 D4．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )A.15B.25C.310D.710【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为410＝25.【答案】 B 5．(2013·咸阳检测)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )。
北师大版高中数学必修3教案备课建立概率模型
2.2建立概率模型学习目标核心素养1.进一步掌握古典概型的概率计算公式．(重点)2．对于一个实际问题，尝试建立不同的概率模型来解决．(重点、难点)1.通过进一步运用古典概型的概率计算公式求解概率，提升数学运算素养．2．通过实际问题尝试建立不同的概率模型来解决，培养数学建模素养.由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．(3)树状图是进行列举的一种常用方法．思考：若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？[提示]若一个试验是古典概型，需具备以下两点：(1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型．(2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型．1．一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为()A.34 B.12C.13 D.14B[这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为24＝12.]2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A.112 B.512 C.712 D.56A[由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一个，故所求概率为P＝1 12.]3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16 D.13A[先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.]4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A．一定不会淋雨B．淋雨机会为3 4C．淋雨机会为12D．淋雨机会为14D[用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝1 4.]“有放回”与“不放回”的古典概型121连续取两次．(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4个基本事件组成，因而P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝4 9.1．“有放回”与“无放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．2．无论是“有放回”还是“无放回”抽取，每一件产品被取出的机会都是均等的．[跟进训练]1．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是1 6.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．[解](1)设红色球有x个，依题意得x24＝16，解得x＝4，所以红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P(A)＝512.“有序”与“无序”问题察向上的点数．(1)求两数之积是6的倍数的概率；(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y，则log x(2y)＝1的概率是多少？[解](1)此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由图①可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(A)＝1536＝512，即两数之积是6的倍数的概率为512.661218243036 551015202530 44812162024 3369121518 224681012 1123456积12345 6 (2)此问题中含有36个等可能基本事件，记“第一次，第二次抛掷向上的点数分别为x，y，且log x(2y)＝1”为事件B，则满足log x(2y)＝1的x，y有(2,1)，(4,2)，(6,3)三种情况，所以P(B)＝336＝112，即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x，y且满足log x(2y)＝1的概率是1 12.若问题与顺序有关，则(a1，a2)与(a2，a1)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则(a1，a2)与(a2，a1)表示同一个基本事件.[跟进训练]2．任意投掷两枚质地均匀，六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子．(1)求出现的点数相同的概率；(2)求出现的点数之和为奇数的概率．[解](1)任意投掷两枚骰子，由于骰子质地均匀，因此可以看成是等可能事件．其结果可表示为数组(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中i，j分别表示两枚骰子出现的点数，共有6×6＝36(种)，其中点数相同的数组为(i，i)(i＝1,2，…，6)，共有6种结果，故出现点数相同的概率为636＝16.(2)法一出现的点数之和为奇数由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成(如(1,2)，(2,3)等)．由于每枚骰子的点数中有3个偶数，3个奇数，因此出现的点数之和为奇数的数组有3×3＋3×3＝18(个)，从而所求概率为1836＝12.法二由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个，而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数，奇数)、(奇数，偶数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)这四种等可能结果，因此出现的点数之和为奇数的概率为24＝12.建立概率模型1．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是多少，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为出现1,2,3,4,5,6点，共6个基本事件，这6个基本事件出现的可能性相同，其概率都为1 6.2．掷一粒均匀的骰子，若考虑向上的点数是奇数还是偶数，则这个随机试验的基本事件是什么？有多少个基本事件？其概率是多少？提示：基本事件为“向上的点数是奇数”和“向上的点数是偶数”，有2个基本事件，这2个基本事件是等可能性的，所以发生的概率都为0.5.3．在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？为什么？提示：不一定，因为一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验的结果)是人为规定的．只要基本事件的个数是有限的，每次试验只有一个基本事件出现，且发生是等可能的，就是一个古典概型．【例3】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[思路探究]用树形图表示所求事件的可能性，利用概率模型计算便可．[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来，等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝1 24.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝924＝38.(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝824＝13.1．解答古典概型时，要抓住问题实质，建立合适的模型，以简化运算．2．本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．[跟进训练]3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率．(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．[解]利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)，故甲在边上的概率为P＝1224＝12.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝16.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙), (丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝16.对古典概型的认识一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.1．思考辨析(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个．()(2)树状图是进行列举的一种常用方法．()(3)在建立概率模型时，所得的结果越少，问题越复杂．()(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时，所选择的观察角度必须统一．() [解析](1)√，由古典概型的特征知(1)正确．(2)√，用树状图进行列举直观形象．(3)×，结果越多问题就越复杂．(4)√，由古典概型的概率公式易知正确．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．甲、乙两人随意入住两间空房，则两人各住一间房的概率是________．12[设两间房分别为A，B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(B，A)，(B，B)共计4种，则两人各住一间房包含(A，B)，(B，A)两个基本事件，故所求概率为1 2.]3．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取一张卡片，则取得的卡号是7的倍数的概率是________．750[7的倍数用7n(n∈N＋)表示，则7n≤100，解得n≤1427，即在100以内有14个数是7的倍数，所以概率为14100＝750.]4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，(1)从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．[解](1)设取出的2只球颜色不同为事件A.基本事件有(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A包含5种，故P(A)＝5 6.(2)设两次取得球的颜色相同为事件B.基本事件有(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率为P(B)＝616＝38.。
高中数学 第三章 概率 2.2 建立概率模型教学案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教学案
2．2 建立概率模型“放回〞与“不放回〞问题[典例] 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1)假设每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)假设每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解] (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰好有一件次品〞这一事件，那么A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品〞这一事件，那么B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对基本事件的总数是有影响的．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．[活学活用]口袋中有6个除颜色外其余都相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中一次任意取出2球，求以下事件的概率：(1)事件A ＝“取出的2球都是白球〞；(2)事件B ＝“取出的2球一个是白球，另一个是红球〞．解：设4个白球的编号分别为1,2,3,4,2个红球的编号分别为5,6.从口袋中的6个球中任取2个球的所有基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个基本事件．(1)从口袋中的6个球中任取2个，所取的2球全是白球包含的基本事件共6个，分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以取出的2个球全是白球的概率P (A )＝615＝25. (2)从口袋中的6个球中任取2个，其中一个是红球，而另一个是白球包含的基本事件共8个，分别是(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)．所以取出的2个球一个是白球，另一个是红球的概率P (B )＝815. 建立概率模型解决问题[典例] 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求以下事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．[解] 利用树状图来列举基本事件，如下图．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．故甲在边上的概率为P ＝1224＝12. (2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝1 6.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝16.对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况．在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图那么是解决此类问题的较好方法．[活学活用]有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如下图的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上〞，那么事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上〞，那么事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上〞，那么事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13. 古典概型的综合应用[典例] A B C 从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C 数量 50 150 100(1)求这6件样品中来自(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，那么抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区〞，那么事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}共4个．所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.(1)概率问题常常与统计问题结合在一起考查，在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算． (2)涉及方程或者函数的有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件A 所包含的基本事件的个数，通常需要将函数与方程的知识应用其中．解决此类问题，只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的X 围，从而确定基本事件的个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答以下各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：假设第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，那么所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共36种．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b x ＝6－2b ，2a －b y ＝2a －3，(1)假设方程组只有一个解，那么b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标] 1．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，那么这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16解析：选C 从A ，B 中各任意取一个数记为(x ，y )，那么有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个基本事件．而这两数之和为4的有(2,2)，(3,1)，共2个基本事件．又从A ，B 中各任意取一个数的结果是等可能的，故所求的概率为26＝13. 2．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，那么体育课不排在第一节的概率为( )A.14B.13C.12D.34解析：选D 我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个基本事件，因此体育课不排在第一节的概率为34. 3．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，假设第一次摸到的球的编号为x ，第二次摸到的球的编号为y ，构成数对(x ，y )，那么所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16 解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy ＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为316. 4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：所有的基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种，故所求的概率为39＝13. 答案：13[层级二 应试能力达标]对应配套卷P1011．从装有两个白球和一个红球的袋中逐个不放回地摸两个球，那么摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为( )A.13B.23C.16D.12解析：选B 不放回地摸出两球共有6种情况，即(白1，红)，(白2，红)，(白1，白2)，(白2，白1)，(红，白1)，(红，白2)，而恰有一个红球的结果有4个．所以P ＝23. 2．在5X 卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，那么得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8解析：选C 一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况．因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除．故所求概率为P ＝35＝0.6. 3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}．假设|a －b |≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀〞的概率为( )A.58B.18C.38D.14解析：选A 甲、乙所猜数字的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10种情况，故所求概率为1016＝58. 4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，那么所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618 解析：选C 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一条共有36个基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，其包括10个基本事件，所以所求概率等于1036＝518. 5.如下图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．解析：从图中的数据知甲组数据的平均数为88＋89＋90＋91＋925＝90. 假设甲、乙两组平均数相等，那么有90×5－(83＋83＋87＋99)＝98.假设甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，那么被污损的数字可为0,1，…，7，共8种情况，故其概率P ＝810＝45.答案：456．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，那么点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________．解析：以(x ，y )为基本事件，用列表法或坐标轴法可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，那么x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标轴法可知满足x ∈{－1，1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925. 答案：9257．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，那么甲站在乙的左边的概率为________． 解析：我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为12. 答案：128．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，蓝色球3个．假设从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16. (1)求红色球的个数；(2)假设将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率． 解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝16，解得x ＝4， ∴红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大〞为事件A ，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A 包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，∴P (A )＝512. 9．从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)[80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)由题意知苹果的样本总数n ＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是2050＝0.4. (2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x 个，那么从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x )个．∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，∴5∶15＝x ∶(4－x )，解得x ＝1.即重量在[80,85)的有1个．(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a ，重量在[95,100)中有3个，记为b 1，b 2，b 3，任取2个，有：ab 1，ab 2，ab 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，共6种不同方法．记基本事件总数为n ，那么n ＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A ，事件A 包含的基本事件为ab 1，ab 2，ab 3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P (A )＝36＝12.10．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．假设S ≤4, 那么该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5word11 / 11(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于4〞， 求事件B 发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，那么事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.。
【教案】高中数学第三章概率22建立概率模型教案北师大版必修3
【关键字】教案2.2 建立概率模型整体设计教学分析本节教材通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力.三维目标1.使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.2.通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力.重点难点教学重点：建立古典概型.教学难点：建立古典概型.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的.今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题.思路2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题.推进新课新知探究提出问题1.回顾解应用题的步骤？2.什么样的概率属于古典概型？讨论结果：1.解应用题的一般程序：①读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.③解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.④答：将数学结论还原给实际问题的结果.2.同时满足以下两个条件的概率属于古典概型：①试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件；②每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1 口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球.试计算第二个人摸到白球的概率.分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.为此考虑用列举法列出所有可能结果.解法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”.把2个白球编上序号1,2;2个黑球也编上序号1,2.于是,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果,可用树状图直观地表示出来(如图1).图1树状图是进行列举的一种常用方法.从上面的树状图可以看出,试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同,因此,这24种结果的出现是等可能的,试验属于古典概型.在这24种结果中,第二个人摸到白球的结果有12种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)==,这与第一节的模拟结果是一致的.还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率.如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少,那么我们计算起来就更简便.解法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率,所以我们可以只考虑前两人摸球的情况.前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图2).图2从上面的树状图可以看出,这个模型的所有可能结果数为12,因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,这12种结果的出现是等可能的,这个模型也是古典概型.在上面12种结果中,第二个人摸到白球的结果有6种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)==.这里,我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点,利用试验结果的对称性,只考虑前两人摸球的情况,从而简化了模型.还可以从另外一个角度来考虑这个问题.因为口袋里的4个球除颜色外完全相同,因此,可以对2个白球不加区别,对2个黑球也不加区别,这样建立的模型的所有可能结果数就会更少,由此得到例2的另一种解法.解法三：只考虑球的颜色,4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来(如图3).图3试验的所有可能结果数为6,并且这6种结果的出现是等可能的,这个模型是古典概型.在这6种结果中,第二个人摸到白球的结果有3种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)==. 下面再给出一种更为简单的解法.解法四：只考虑第二个人摸出的球的情况,他可能摸到这4个球中的任何一个,这4种结果出现的可能性是相同的.第二个人摸到白球的结果有2种,因此“第二个人摸到白球”的概率P(A)==.点评：画树状图进行列举是计算结果个数的基本方法之一.解法一利用树状图列出了4个人依次从袋中摸出一球的所有可能结果，公有24种，其中第二个人摸到白球的结果有12种，因此算得“第二个人摸到白球”的概率为.解法二利用试验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，所有可能结果减少为12种，简化了模型.解法三只考虑球的颜色，对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，所有可能结果只有6种.解法四只考虑第二个人摸出的球的情况，所有可能结果变为4种，这个模型最简单.尽管解法二,三,四建立的模型在解决该问题时比解法一简便，但解法一也有它的优势，利用解法一可以计算出4个人顺次摸球的任何一个事件的概率，而解法二,三,四却不能做到.教师要提醒学生，本章古典概率的计算，解法一是最基本的方法.对于一个实际问题，有时从不同的角度考虑，可以建立不同的古典概型来解决.变式训练小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？分析：计算双方获胜的概率，来判断游戏是否公平.解：设(x,y)表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型.所有的基本事件是：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6),即有36种基本事件.其中点数之和为奇数的基本事件有：(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5).即有18种.所以小刚得1分的概率是3618=21. 则小明得1分的概率是1-21=21. 则小明获胜的概率与小刚获胜的概率相同，游戏公平.思路2例1 （2007广东高考,文8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A.103 B.51 C.101 D.121 分析：用(x,y)(x≠y)表示从这5个球中随机取出2个小球上数字的结果，其结果有： (1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，即共有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果有：(1，2)、(1，5)、(2，4)，共有3种，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P(A)= 103. 答案：A点评：求古典概型的概率的步骤：①利用枚举法计算基本事件的总数;②利用枚举法计算所求事件所含基本事件的个数;③代入古典概型的概率计算公式求得.变式训练1.（2007全国高考卷Ⅰ,文13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋该自动包装机包装的食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率约为___________.分析：观察表格可得在497.5 g —501.5 g 之间的食盐有：498，501，500，501，499共5袋，则食盐质量在497.5 g —501.5 g 之间的概率P(A)=205=0.25. 答案：0.252.某校要从高一、高二、高三共2 007名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率( )A.不全相等B.均不相等C.都相等且为200750D.都相等且为401 分析：按分层抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于200750. 答案：C知能训练1.袋中有4个红球，5个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，不是基本事件.( )A.｛正好2个红球｝B.｛正好2个黑球｝C.｛正好2个白球｝D.｛至少一个红球｝分析：至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以｛至少一个红球｝不是基本事件，其他事件都是基本事件.答案：D2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷10 000次，那么第9 999次出现正面朝上的概率是( ) A.99991 B.100001 C.100009999 D.21 答案：D3.有4条线段,长度分别为1、3、5、7,从这四条线段中任取三条,则所取三条线段能够成一个三角形的概率是( ) A.41 B.31 C.21 D.52 答案：A4.（2007全国高考卷Ⅱ,文13）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为____________.分析：按简单随机抽样抽取样本时，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于1005,即201. 答案：201 5.某小组有5名女生，3名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是__________. 答案：81 6.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)事件A ：取出的两球都是白球；(2)事件B ：取出1个是白球，另1个是红球.分析：首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A 的个数和事件B 的个数，运用公式求解即可.解：设4个白球的编号为1，2，3，4，两个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)共15个.(1)取出的全是白球的基本事件，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)，(3，4)，∴取出的两个球都是白球的概率为P(A)=156. (2)取出一个红球，而另一个为白球的基本事件，共有8个，即为(1，5)，(1，6)， (2，5)，(2，6)， (3，5)，(3，6)， (4，5)，(4，6),∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)=158. 拓展提升1.连续掷两次骰子，以先后得到的点数m,n 为点P(m,n)的坐标，设圆Q 的方程为x 2+y 2=17.(1)求点P 在圆Q 上的概率；(2)求点P 在圆Q 外部的概率.解：m 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，n 的值的所有可能是1，2，3，4，5，6，所以,点P(m ，n)的所有可能情况有6×6=36种，且每一种可能出现的可能性相等，本问题属古典概型问题.(1)点P 在圆Q 上只有P(1,4)，P(4,1)两种情况，根据古典概型公式，点P 在圆Q 上的概率为181362=. (2)点P 在圆Q 内的坐标是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),共有8点，所以点P 在圆Q 外部的概率为1-18133682=+. 2.将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次，求以下事件的概率：(1)3次正面向上;(2)2次正面向上,1次反面向上.解：(1)将一枚质地均匀的硬币连续投掷3次的基本事件总数为8,又事件“3次正面向上”共有基本事件数为1,设事件“3次正面向上”为A, ∴P(A)=81. ∴事件“3次正面向上”发生的概率为81. (2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件数为3,设事件“2次正面向上，1次反面向上”为B, ∴P(B)=83. ∴事件“2次正面向上，一次反面向上”发生的概率为83.课堂小结本节课学习了同一个古典概型的概率计算问题，可以建立不同的概率模型来解决.作业习题3－2 A组 7、8.设计感想本节教学设计过程中，注重培养学生的应用能力，以及古典概型的计算方法.在实际教学过程中，教师要根据学生的实际，重点指导学生如何建立古典概型.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 2 古典概型 2.2建立概率模型》优质课教案_6
§2.2建立概率模型教学设计一、教材的地位和作用本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概率模型的第二课时，是在随机事件的概率之后，几何概率模型之前，学生对古典概率模型的特点有了初步的认识，对于同一个实验，建立不同的概率模型，培养学生发散思维能力，让学生体会数学文化价值，进一步深入的理解古典概率模型，为其它概率的学习奠定基础，加深对概率和随机事件的理解，体会随机事件和确定事件的不同，有利于解释生活中的一些问题。
二、学情分析：高一文科班学生，数学基础整体偏弱，其中有二十多名学生数学基础较差，优点在于学生听讲还比较认真，学习态度比较端正，因此在教学设计中，必须抓好基本概念，帮助学生理清概念内涵脉络，低起点，小步走，异步达标，对于培养优秀学生要通过课后训练来逐步实现，因此在课后配备古典概率模型核心素养检测试题。
三、教学目标1.知识与技能（1）进一步正确理解古典概率模型的两大特点，能从实际问题中识别和抽象出古典概率模型。
（2）会用列举法计算一些随机事件的基本事件及其发生的概率，进一步掌握古典概率模型的概率公式根据实际问题建立适当的概率模型解决简单的实际问题。
（3）会2.过程与方法（1）通过掷骰子问题的分析以及例2的学习，经历对同一个问题从不同的角度分析，建立不同的古典概率模型，感知应用数学解决问题的方法，发展学生提出问题，分析问题和解决问题的能力。
（2）通过模拟实验解决摸奖公平问题的过程，转化为例2用古典概率模型来解决问题，探究数学解决问题的方法。
（3）对于同一个实际问题，通过不同角度的思考，建立不同的概率模型，使问题的解决不断地简化，发展学生的发散思维能力，体验求简意识，发展学生批判性思维的能力。
3.情感态度价值观：通过本节课的学习，增强学生数学建模意识，树立学生数学应用意识，体会数学的应用价值与社会价值。
4.本节课程内容涉及的核心素养和数学文化：本节课的引入以生活中的抓阄摸奖为素材让学生体会数学源于生活，数学文化根植于我们的生活，本节课涉及到了数学建模意识（古典概率模型），数学应用、数学抽象和数学逻辑推理等。
3.2.2【教学设计】《 建立概率模型》(北师大)
《建立概率模型》本节教材通过四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣，教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力。
解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重要内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型。
【知识与能力目标】根据需要会建立合理的概率模型解决一些实际问题，理解概率模型的特点及应用。
【过程与方法目标】经历用不同的模型及各种方法使学生能建立概率模型来解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过建立概率模型，培养学生的应用能力。
【教学重点】会应用所学的知识建立合理的概率模型。
【教学难点】古典概率模型的实际应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）,求（1）甲乙平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率。
设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。
二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。
甲乙甲乙甲乙锤子锤子锤子锤剪刀剪刀剪刀布剪刀布布布2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
由概率模型认识古典概型(1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型。
(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单。
(3)树状图是进行列举的一种常用方法。
设计意图:在自主探究，合作交流中构建新知，体验从不同的角度理解古典概型的特点，从而突出重点。
三、质疑答辩，发展思维1.举例：口袋里装有2个白球和2个黑球, 这4个球除颜色外完全相同, 4个人按顺序依次从中摸出一球, 试计算第二个人摸到白球的概率。
高中数学北师大版必修三教学案第三章§2第2课时 建立概率模型 Word版含答案
第课时建立概率模型[核心必知]建立不同的古典概型在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求：每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型．[问题思考]甲、乙、丙三人站队，求甲站在最左边的概率．．若只考虑甲的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：种；＝.．若只考虑最左边位置的站法，基本事件总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：种；＝.．若考虑所有人的站法，基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：种；＝.讲一讲.从含有两件正品，和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[尝试解答] 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有个，即(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)．其中小括号内左边的字母表示第次取出的产品，右边的字母表示第次取出的产品．总的事件个数为，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以＝{(，)，(，)，(，)，(，)}．因为事件由个基本事件组成，所以()＝＝.“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．练一练．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上，…，这个数字，今随机地抽取两个小球，如果：()小球是不放回的；()小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解：设事件：两个小球上的数字为相邻整数．则事件包括的基本事件有：()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()，()共个．()不放回取球时，总的基本事件数为，故()＝＝.()有放回取球时，总的基本事件数为，.故()＝＝.某乒乓球队有男乒乓球运动员名、女乒乓球运动员名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？[尝试解答] 由于男运动员从人中任意选取，女运动员从人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为，，，，女运动员为，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如()表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员，从女运动员中选取的是女运动员，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件.由上表可知，可能的结果总数是个．设女运动员为国家一级运动员，她参赛的可能事件有个，故她参赛的概率为()＝＝.。
北师大版高中必修32.2建立概率模型课程设计
北师大版高中必修32.2建立概率模型课程设计一、教学目标1.了解概率模型的基本概念和性质2.掌握一些常见的离散型和连续型的概率模型3.学会利用概率模型分析和解决实际问题二、教学内容1. 概率模型的概念和分类（1）概率的概念：随机试验、样本空间、事件、概率（2）概率分布的分类：离散型概率模型、连续型概率模型2. 常见的概率模型（1）离散型概率模型：0-1分布、二项分布、泊松分布（2）连续型概率模型：正态分布、t分布、F分布、卡方分布3. 举例分析实际问题（1）利用0-1分布模型分析硬币抛掷问题（2）利用二项分布模型分析文本分类问题（3）利用正态分布模型分析身高体重问题三、教学重点和难点1.概率模型的概念和分类2.连续型概率模型的使用3.实际问题的分析和解决四、教学方法1.讲授法2.分组讨论3.案例分析4.实验操作五、教学过程1. 课堂讲授（1）概率模型的基本概念和性质（2）离散型概率模型的概念和性质（3）连续型概率模型的概念和性质（4）实际问题的分析和解决2. 分组讨论（1）根据老师布置的问题进行讨论（2）学生分成小组进行讨论，回答问题并给出解题过程3. 案例分析（1）老师给出一个实际问题（2）学生分析问题，并用所学的概率模型解决问题4. 实验操作（1）老师布置实验任务（2）学生在实验室中进行实验操作，并记录实验数据六、教学评价1. 学生自评（1）学生自拟题目，运用所学知识解决问题（2）学生总结所学内容，结合实际应用进行思考2. 老师评价（1）老师从作业和课堂表现等方面对学生进行评价（2）老师听取学生的意见，针对性改进教学方法七、教学资源1.教材：《高中数学32》2.教具：投影仪、电脑、台式计算机3.实验器材：数学实验室设备八、教学反思本次教学中，我注重思维方法的培养，提高学生的问题解决能力，鼓励学生思考和交流。
同时，我也发现学生对于概率模型应用较为生疏，需要更多的练习和示范。
在教学方法上，需要在课堂上更多地引导学生进行实验和案例分析，提高学生的动手能力。
2021学年高中数学第三章概率3.2.2建立概率模型学案含解析北师大版必修3.doc
2．2 建立概率模型知识点建立不同的古典概型[填一填]一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个基本事件(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的角度去考虑，只要满足以下两点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每个试验结果出现的可能性相同．就可以将问题转化为不同的古典概型来解决，所得可能结果越少，那么问题的解决就变得越简单．[答一答]应该从哪个角度来建立古典概型？提示：一次试验中，常常不会确定基本事件，即对于把什么看作是古典概型中的基本事件会感到困难，其突破方法是结合实例积累经验，循序渐进地掌握．例如，一枚均匀的硬币连续抛掷2次，向上的面有(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)4种等可能结果，这是一个古典概型；如果只考虑两次抛掷向上的面是否相同，那么可以认为试验只有两个结果：“向上的面相同”“向上的面一正一反”，这两个结果也是等可能的，也是古典概型；而把出现“2次正面”“2次反面”“1次正面、1次反面”当作基本事件时，就不是古典概型．由此可见，无论从什么角度来建立古典概型，都要满足古典概型的两个特征：①试验的所有可能结果只有有限个；②每一个试验结果出现的可能性相同．否则，建立的概率模型不是古典概型．1．古典概型是一种最基本的概型，在应用公式P (A )＝m n时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏． 3．对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.类型一 随机事件中基本事件数的计算【例1】 同室4人各写一张贺卡，先集中起来，则每人从中拿一张别人送出的贺卡的分配方法有多少种？【思路探究】 将四张卡片分别编号，再利用树状图列举出来．【解】 将4张贺卡编号为1,2,3,4，将4个人编号为1,2,3,4，进行不对号排列，画出如图所示的树状图，则共有9种分配方式．规律方法 这是一个不对号入座问题，可以计算得3个人不对号入座的方法有2种；4个人不对号入座的方法有9种．一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，从中先后取出2个球，共有多少种不同的结果？解：解法一：从袋中先后取出2个球，如记(红，白)表示从袋中先取出红球，再取出白球，则所有可能的结果为共有12种不同的结果．解法二：画树状图如图．共有12种不同的结果．类型二概率模型的建立【例2】抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是7的概率；(2)出现两个4点的概率．【思路探究】首先找出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式进行计算．【解】作图如下，从图中容易看出，所有基本事件与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤6,1≤y≤6}中的元素一一对应．因为S中点的总数是6×6＝36个，所以基本事件总数n＝36.。
高中数学 第三章 概率 2.2 建立概率模型学案 北师大版必修3
2．2 建立概率模型学习目标 1.能建立概率模型解决简单的实际问题.2.能认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来建立我们需要的概率模型.3.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题．知识点一基本事件的相对性思考掷一粒均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？梳理一般地，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是____________，就是一个古典概型．知识点二同一问题的不同概率模型思考在“知识点一”的思考中，规定不同的基本事件，“向上的点数为奇数”的概率分别是多少？相等吗？梳理从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的__________来解决，而所得到的________的所有可能结果越少，问题的解决就变得越________．类型一基本事件的相对性例1 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．反思与感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．跟踪训练1 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．类型二概率模型的多角度构建例2 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答．跟踪训练2 假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A 、C 、J 、K 、S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩K 得到一个职位； (2)女孩K 和S 各自得到一个职位．1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( ) A.35 B.25 C.15 D.452．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23B.12C.16D.133．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.384．从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛，其中甲不被选中的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.345．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.1．对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单．因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用． 2．基本事件总数的确定方法：(1)列举法：此法适合于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求； (3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题．3．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法．答案精析问题导学 知识点一思考 可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件． 梳理有限的 等可能的 知识点二思考 若按6个基本事件，“向上的点数为奇数”有3个基本事件，故概率为36＝12；若按2个基本事件，则概率为12，两种方法结果相同．梳理古典概型 古典概型 简单 题型探究例1 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.跟踪训练1 解 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个． (1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P (A )＝18100＝950.例2 解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．解题过程如下：用A 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如图：由图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝1224＝12.方法二 把2个白球编上序号1、2，两个黑球也编上序号1、2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝612＝12.方法三 由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝36＝12.方法四 只考虑第二个人摸出的球的情况．第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝24＝12.跟踪训练2 解 5个人仅有3人被录用结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．(1)女孩K 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为35.(2)女孩K 和S 都被录用的结果有3种，所以K 和S 各自得到一个职位的概率为310. 当堂训练1．A [从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3个．∴P ＝35.]2．D [如图给4块试验田分别标号A1、A2、B 1、B 2.基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A )的基本事件有(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个． ∴P (A )＝26＝13，故选D.]3．D [设3个元素为a ，b ，c ，则所有子集共8个，∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，含2个元素的子集共3个，故所求概率为38.]4．A [基本事件有甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个．甲不被选中的事件为乙丙丁，∴P ＝14.]5．0.4 [10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.]。
高中数学北师大版必修三3.2.2【教学课件】《建立概率模型》
（1）从上面的4种解法可以看出, 我们从不同的角度去考虑一个实际问题, 可以将问
题化为不同的古典概型来解决, 而所得到的古典概型的所有可能结果数越少, 问题的 解决就变得越简单。 （2）解法1列出了试验的所有可能结果, 利用这个模型可以计算出4个人依次摸球的 任何一个事件的概率, 比如“第一个人和第四个人中有一人摸到2号白球”的概率。
（2）甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率。 ①甲在边上；②甲和乙都在边上；③甲和乙都不在边上。 解：利用树状图来列举基本事件，如图所示。
北京师范大学出版社 | 必修三
由树状图可看出共有24个基本事件。
①甲在边上有12种情形
(甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)，
试验的所有结果数为6, 并且这6种结果的出现是等可能的, 这个模型是古典概
型。在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球
”的概率
3 1 P (A) 6 2
北京师范大学出版社 | 必修三
【解法4】 只考虑第二个人摸出球的情况, 他可能摸到这4个球中的任何一个, 这4种 结果出现的可能性相同。第二个人摸到白球的结果只有2种, 因此“第二个人摸到 2 1 白球”的概率 P (A) 4 2 【抽象概括】
若问题与顺序无关，则(a，b)与(b，a)表示同一个基本事件。
北京师范大学出版社 | 必修三
巩固练习
(1)某人射击5枪, 命中了3枪, 所命中的三枪中, 恰好有2枪连中的概 率是多少?
⊙ ⊙ ⊙ × ×; × ⊙ ⊙ ⊙ ×; × × ⊙ ⊙ ⊙; × ⊙ ⊙ × ⊙; × ⊙ × ⊙ ⊙;
⊙ ⊙ × ⊙ ×;
一球的所有可能结果, 可用树状图直观地表示出来。
高中数学 第六课时 3.2.2建立概率模型教案 北师大版必修3
第六课时3.2.2建立概率模型一、教学目标：1、知识与技能：（1）进一步正确理解古典概型的两大特点，能会从实际问题中识别古典概型模型。
（2）进一步掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A 。
2、过程与方法：（1）能运用古典概型的知识解决一些实际问题，通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；能运用树状图复杂背景的古典概型基本事件个数的计算；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点：正确理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中计算比较复杂的背景问题．三、学法与教法：1、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题；2、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯． 四、教学过程 （一）、温故知新1.古典概型的概念1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能性相同。
2.3.列表法和树状图练习：1.单选题是标准化考试中常用的题型.如果考生不会做,他从4个备选答案中随机地选择一个作答,他答对的概率是____.142. 从集合 {1,2,3,4,5} 的所有子集中任取一个, 这个集合恰是集合 {1,2,3} 的子集的概率是____.1323.抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为偶数与出现数字之积为奇数的概率分别是_____、______.2736 936（二）、探究新知1、在古典概型中，同一个试验中基本事件的个数是不是永远一定的呢？2、同样掷一粒均匀的骰子(1)若考虑向上的点数是多少,则可能出现1,2,3,4,5,6点，共有 6 个基本事件。
(2)若考虑向上的点数是奇数还是偶数,则可能出现奇数或偶数，共 2 个基本事件。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 2 古典概型 2.2建立概率模型》优质课教案_7
《建立概率模型》教学设计一、课题：建立概率模型二、学情分析授课班级介绍：高二理科班，按照分层教学和小组合作的教学模式的要求，把同学分成了多个小组，每一个小组有成绩好、中、差的学生，并且每组都有一位小组长。
三、教学目标1、通过案例分析，了解古典概型的基本事件的概念及两个特征；2、通过例题分析，掌握建立不同概率模型的方法。
四、教学重难点五、（一）．课堂导入1，旧知识回顾①古典概型的条件呢？②古典概型的概率计算公式呢？③如何确定概率计算公式中的m，n通过这一部分的提问，学生能够回顾与这节课内容相关的知识点，为新授课的内容做好铺垫，同时也是学生学习新知识前一次很好的“热身”。
2，引入新知识①在掷一粒均匀的试验中，如果只考虑向上的点数，那么，一共有___个基本事件，每一个基本事件发生的概率就是_______;而如果只考虑向上的点数是奇数还是偶数时，那么，一共有______个基本事件，每一个基本事件发生的概率是_______.②在装有从1到10编好号的10个球的箱子里摸球，我们把什么看成是基本事件的时候，每一个基本事件发生的概率是0.1？我们把什么看成基本事件的时候，每一个事件发生的概率是0.5？我们能够设计一个实验的方案，使得每一个基本事件发生的概率是0。
2呢？在这一环节里，我们创设了一个情境，然后让每个小组自主讨论，这里有两组题目，第①组的题目比较简单，而第二组的题目稍微复杂一点。
当学生思考一段时间后，老师便会随便抽取其中的一些组进行回答，然后给予适当的点评。
这样一来，不同程度的学生都会收获的。
而且，从这个情境的分析来看，学生便可以得到了一个结论，而这个结论就是这节课的主要内容――建立概率模型。
（二）．新知识讲授：1，结论：（1）在建立概率模型的时候，把什么看作是基本事件是人为规定的，只要每一次试验的结果有且只有一个；只要基本事件的个数是有限的，并且他们发生的可能性是等可能的，那就是古典概型。
（2）对于一个随机试验，我们可以根据需要来建立不同的古典概率模型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《建立概率模型》教学设计
◆ 教材分析
本节教材通过四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣，教师 在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析 和解决问题的能力。
解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这 是高中数学的重要内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型。
◆ 教学目标
【知识与能力目标】 根据需要会建立合理的概率模型解决一些实际问题，理解概率模型的特点及应用。
【过程与方法目标】 经历用不同的模型及各种方法使学生能建立概率模型来解决实际问题，提高学生分析问
题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】
通过建立概率模型，培养学生的应用能力。
◆ 教学重难点 ◆
【教学重点】 会应用所学的知识建立合理的概率模型。
【教学难点】 古典概率模型的实际应用。
◆ 课前准备 ◆
1/6
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
◆ 教学过程
一、导入部分
甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）,求（1）甲乙平局的概率；（2）甲赢的概
率； （3）乙赢的概率。
设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。
二、研探新知，建构概念
1.电子白板投影出上面实例。
甲
乙
甲
乙
甲
乙
锤子
锤子
锤子
锤
剪刀
剪刀
剪刀
布
剪刀
布
布
布
2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
由概率模型认识古典概型 (1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每
次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生 是等可能的，就是一个古典概型。
(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而 所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单。
(3)树状图是进行列举的一种常用方法。
设计意图:
在自主探究，合作交流中构建新知，体验从不同的角度理解古典概型的特点，从而突出
重点。
三、质疑答辩，发展思维
1.举例：口袋里装有 2 个白球和 2 个黑球, 这 4 个球除颜色外完全相同, 4 个人按顺序依次
从中摸出一球, 试计算第二个人摸到白球的概率。
2/6
【解法 1 】用 A 表示事件“第二个人摸到白球”。
把 2 个白球编上序号 1, 2； 2 个黑球 也编上序号 1, 2。
于是 4 个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果, 可用树状图直 观地表示出来。
1
2
2
1 1
2
1
2
2
2
2
2 1 2
2 1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2 1 1
1 1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1 1
从树状图中可用看出,
2试验的所有结2 果数为
24。
由于口袋内的
4
2 个球除颜色外完全相
2 同, 因此, 这 24 种结果中,2 第二个人摸2到白球的结果有 12 种。
因此“第二个人摸到白球1 ”
的概率 P（A）=12=1
24 2
【解法 2 】因为是计算“第二个人摸到白球”的概率, 所以我们可以只考虑前两人摸球的
情况, 前两人依次从袋中摸出一球的所有可能的结果可用树状图列举出来。
有可能的结果
可用树状图列举出来。
这里, 我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点, 利用结果的对
称性, 只考虑前两个人摸球的情况, 从而简化了模型。
因此“第二个人摸到白球”的概率 P
（A）= 6 =1
12 2
2
1
2
2
1
3/6
1
2
1
2
1
1
1
【解法 3 】只考虑球的颜色, 4 个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图 列举出来试验的所有结果数为 6, 并且这 6 种结果的出现是等可能的, 这个模型是古典概型。
在这 6 种结果中, 第二个人摸到白球的结果有 3 种, 因此“第二个人摸到白球”的概率 P（A）=3=1
62
【解法 4 】只考虑第二个人摸出球的情况, 他可能摸到这 4 个球中的任何一个, 这 4 种结 果出现的可能性相同。
第二个人摸到白球的结果只有 2 种, 因此“第二个人摸到白球”的 概率 P（A）=2=1
42
2.思考：计算第 k（k=1, 3, 4）个人摸到白球的概率。
得到的结果说明什么问题? 从树状图中可以看出, 试验的所有结果数为 24。
由于口袋内的 4 个球除颜色外完全相
同, 因此, 这 24 种结果中, 第 k 个人摸到白球的结果有 12 种。
因此“第 k 个人摸到白球” 的概率 P（A）=12=1
24 2
3.例题 例：将一颗骰子(它的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，观察向上的点数。
求两数之积是 6 的倍数的概率。
解：此问题中含有 36 个等可能基本事件，记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 A，则 由图①可知，事件 A 中含有其中的 15 个等可能基本事件，所以 P(A)＝15＝ 5 ，即两数之积
36 12
4/6
是 6 的倍数的概率为 5
12
6
6
12
18
24
30
36
5
5
10
15
20
25
30
4
4
8
12
16
20
24
3
3
6
9
12
15
18
2
2
4
6
8
10
12
1
1
2
3
4
5
6
积
1
2
3
4
5
6
①
注意：若问题与顺序有关，则(a，b)与(b，a)为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，
则(a，b)与(b，a)表示同一个基本事件。
4.巩固练习
（1）某人射击 5 枪, 命中了 3 枪, 所命中的三枪中, 恰好有 2 枪连中的概率是多少？
因此所命中的三枪中, 恰好有 2 枪连中的概率 6 = 3
10 5
（2）甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率。
①甲在边上；②甲和乙都在边上；③甲和乙都不在边上。
【解】 利用树状图来列举基本事件，如图所示。
由树状图可看出共有 24 个基本事件。
①甲在边上有 12 种情形： (甲，乙，丙，丁), (甲，乙，丁，丙), (甲，丙，乙，丁)， (甲，丙，丁，乙), (甲，丁，乙，丙), (甲，丁，丙，乙)， (乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲), (丙，乙，丁，甲)， (丙，丁，乙，甲), (丁，乙，丙，甲), (丁，丙，乙，甲)， 故甲在边上的概率为 P＝12=1
24 2
5/6
②甲和乙都在边上有 4 种情形：(甲，丙，丁，乙), (甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲), (乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为 P＝ 4 =1。
24 6
③甲和乙都不在边上有 4 种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙， 丙), (丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为 P＝ 4 =1。
24 6
四、课堂小结 由概率模型认识古典概型 (1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的。
如果每
次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生 是等可能的，就是一个古典概型。
(2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而 所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单。
(3)树状图是进行列举的一种常用方法。
五、作业布置： 课后书面作业：第 138 页练习题第 2 题。
◆ 教学反思
略。
P(A) 6 3 10 5
6/6
。