全等三角形的性质及判定(经典讲义)

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《全等三角形》讲义

《全等三角形》讲义

《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。

“完全重合”意味着它们的形状和大小完全相同,对应边相等,对应角也相等。

例如,我们将一个三角形沿着某条直线对折,如果对折后的两部分能够完全重合,那么这就是一个全等三角形。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这是全等三角形最基本的性质之一。

如果两个三角形全等,那么它们对应的三条边的长度是相等的。

比如,三角形 ABC 全等于三角形DEF,那么 AB = DE,BC = EF,AC = DF。

2、全等三角形的对应角相等同样,如果两个三角形全等,它们对应的三个角的度数也是相等的。

还是以上面的例子来说,∠A =∠D,∠B =∠E,∠C =∠F。

3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等,所以它们的周长也必然相等。

4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同,所以它们所覆盖的面积也是相等的。

三、全等三角形的判定1、 SSS(边边边)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等。

比如说,有三角形 ABC 和三角形 DEF,AB = DE,BC = EF,AC = DF,那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

2、 SAS(边角边)如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中,AB = DE,∠A =∠D,AC = DF,那么可以得出这两个三角形全等。

3、 ASA(角边角)当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时,这两个三角形全等。

例如,在三角形 ABC 和三角形 DEF 中,∠B =∠E,BC = EF,∠C =∠F,那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

4、 AAS(角角边)如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等。

比如,在三角形 ABC 和三角形 DEF 中,∠A =∠D,∠B =∠E,BC = EF,那么这两个三角形全等。

第5课三角形全等的判定(学生版)八年级数学上册讲义(浙教版)

第5课三角形全等的判定(学生版)八年级数学上册讲义(浙教版)

第5课三角形全等的判定目标导航学习目标1.掌握判定两个三角形全等的方法:“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”,会判定两个三角形全等.2.了解三角形的稳定性及其应用.3.掌握线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.4.掌握角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.知识精讲知识点01 三角形全等的判定三角形全等的判定方法:1.三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)3.两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

(简写成“角边角”或“ASA”)4.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)知识点02 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等知识点03 角平分线的性质角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等能力拓展考点01 三角形全等的判定【典例1】如图,下列各组条件中,不能得到△ABC≌△BAD的是()A.BC=AD,∠ABC=∠BAD B.BC=AD,AC=BDC.AC=BD,∠CAB=∠DBA D.BC=AD,∠CAB=∠DBA【即学即练1】如图,点E在AB上,AC=AD,∠CAB=∠DAB,△ACE与△ADE全等吗?△ACB与△ADB 呢?请说明理由.考点02 线段垂直平分线的性质【典例2】如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3,△ABC的周长为14,求△BCD的周长.【即学即练2】如图,在△ABC中,AC=6cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是13cm,则BC的长为()A.6cm B.7cm C.8cm D.13cm考点03 角平分线的性质【典例3】如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,点E、D为垂足,CF=CB.(1)求证:BE=FD;(2)若AC=10,AD=8,求四边形ABCF的面积.【即学即练3】如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是30cm2,AB=13cm,AC=7cm,则DE的长()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm分层提分题组A 基础过关练1.如图,已知AB=AC,AE=AD,要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE,还需要添加的一个条件是()A.∠B=∠C B.BD=CE C.∠BAD=∠CAE D.以上都不对2.下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是()A.AB=A′B′,∠B=∠B′,AC=A′C′B.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′C.AC=A′C′,BC=B′C′,∠C=∠C′D.AC=A′C′,BC=B′C′,∠B=∠B′3.如图,用∠B=∠C,∠1=∠2,直接判定△ABD≌△ACD的理由是()A.AAS B.SSS C.ASA D.SAS4.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,下列条件中,能使△ADF≌△CBE的是()A.∠A=∠C B.AF=CE C.AD∥BC D.DF∥BE5.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,点E在BC的垂直平分线上,若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACE的度数为()A.48°B.50°C.55°D.60°6.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D,AC和DB相交于点O,OA=OD.求证:(1)AB=DC;(2)△ABC≌△DCB.7.如图,AF=CE,AF∥CE,BE=FD,问△ABF与△CDE全等吗?请说明理由.8.如图所示,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠3,∠E=∠C,AE=AC,问△ABC≌△ADE吗?请说明理由.题组B 能力提升练9.已知:BD=CB,AB平分∠DBC,则图中有()对全等三角形.A.2对B.3对C.4对D.5对10.如图,若∠B=∠C,下列结论正确的是()A.△BOE≌△COD B.△ABD≌△ACE C.AE=AD D.∠AEC=∠ADB11.用如图所示方法测小河宽度:AB⊥BC,OB=OC,BC⊥CD,点A,O,D在同一条直线上,量出CD 的长度即知小河AB的宽度.这里判断△AOB≌△DOC的依据是()A.SAS或SSA B.SAS或ASA C.AAS或SSS D.ASA或AAS12.如图,已知AC=AD,要使△ABC≌△ABD,还需要添加一个条件,给出下列条件:①∠1=∠2,②∠C=∠D,③BC=BD,其中符合要求的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③13.如图,已知AB=CD,在不添加辅助线的情况下,若再添一个条件就可以证明△ABC≌△CDA,下列条件中符合要求的有()个.①BC=AD;②AD∥BC;③∠B=∠D;④AB∥DC;A.1 B.2 C.3 D.414.如图所示,△EBC≌△DCB,BE的延长线与CD的延长线交于点A,CE与BD相交于点O.则下列结论:①△OEB≌△ODC;②AE=AD;③BD平分∠ABC,CE平分∠ACB;④OB=OC,其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个15.如图,在△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若AB=5,AC=8,BC=10,则△AEF的周长为()A.5 B.8 C.10 D.1316.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,请你添加一个条件,使△BEC≌△CDA(填一个即可).17.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接AP,BP,CP,若∠BAC=50°,则∠BPC=°.18.如图,在△ABC中,点D在AC上,BD平分∠ABC,延长BA到点E,使得BE=BC,连接DE,若∠ADE=38°,∠C=42°,求∠BAD的度数.19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,延长BA至F使AF=AB,连接EF;延长CA至G 使AG=AC,连接DG,当∠G=∠F时,猜想线段BD与线段CE的数量关系?并说明理由.题组C 培优拔尖练20.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是OABC外一点,连接AD、BD、CD,且BD交AC于点O,在BD上取一点E,使得AE=AD,∠EAD=∠BAC,若∠ABC=62°,则∠BDC的度数为()A.56°B.60°C.62°D.64°21.在学习完“探索三角形全等的条件”一节后,一同学总结出很多全等三角形的模型,他设计了以下问题给同桌解决:如图,做一个“U”字形框架P ABQ,其中AB=42cm,AP,BQ足够长,P A⊥AB于A,QB⊥AB于点B,点M从B出发向A运动,同时点N从B出发向Q运动,使M,N运动的速度之比3:4,当两点运动到某一瞬间同时停止,此时在射线AP上取点C,使△ACM与△BMN全等,则线段AC 的长为()A.18cm B.24cm C.18cm或28cm D.18cm或24cm22.如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC.下列判断正确的有()①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④2S△AEC=3S△AEB.A.1个B.2个C.3个D.4个23.如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=60°,BE,CD为三角形ABC的角平分线.BE,CD交于点F,FG平分∠BFC,有下列四个结论:①∠BFC=120°;②BD=BG;③△BDF≌△CEF;④BC=BD+CE.其中结论正确的序号有()A.①②③B.①②④C.②③①D.①③④24.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AC为边,作△ACD,满足AD=AC,E为BC上一点,连接AE,∠CAD=2∠BAE,连接DE,下列结论中:①∠ADE=∠ACB;②AC⊥DE;③∠AEB=∠AED;④DE=CE+2BE.其中正确的有()A.①②③B.③④C.①④D.①③④25.已知:在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,(1)如图1,求∠BDC的度数;(2)如图2,连接AD,作DE⊥AB,DE=2,AC=4,求△ADC的面积.26.如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.(1)求∠P AD的度数;(2)求证:P是线段CD的中点.。

全等三角形(知识点讲解)

全等三角形(知识点讲解)

全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念,也是几何学中的核心内容之一。

在这篇文章中,我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。

一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。

简而言之,在几何学中,当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时,我们称这两个三角形是全等的。

二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等,我们有以下几个常用的判定条件:1. SSS判定法:即边-边-边判定法。

当两个三角形的三条边分别相等时,它们就是全等的。

2. SAS判定法:即边-角-边判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时,它们就是全等的。

3. ASA判定法:即角-边-角判定法。

当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时,它们就是全等的。

4. AAS判定法:即角-角-边判定法。

当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时,它们就是全等的。

需要注意的是,这些判定条件是相互独立的,即只要满足其中一种条件,就可以判定两个三角形是全等的。

三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质:1. 对应边对应角相等性质:全等三角形的对应边对应角相等。

即若∆ABC≌∆DEF,那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF,并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等:即若∆ABC≌∆DEF,那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等:即若∆ABC≌∆DEF,那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。

4. 全等三角形的外角相等:即若∆ABC≌∆DEF,那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。

通过以上性质,我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。

四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。

全等三角形判定ppt课件

全等三角形判定ppt课件

若两个三角形全等,则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中,任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等,则它们的内 角和也相等,且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等,则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a',∠B=∠B',b=b',则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a',∠B=∠B',b=b',∴⊿ABC≌⊿A'B'C'( SAS)。
角边角判定法(ASA)
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题,如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法,通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS(角角边)全等条件进行证明,即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等,则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中,角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如,在建筑设计中,如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等, 就可以利用角角边判定法来进行验证。

全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

(两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样,与他们的位置没有关系。

)【知识点2】两个三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点;重合的边叫做 对应边;重合的角叫做对应角。

【例题1】如图,已知图中的两个三角形全等,填空:(1)AB 与 是对应边,BC 与 是对应边, CA 与 是对应边;(2)∠A 与 是对应角,∠ABC 与 是对应角, ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1)有公共边的,公 共边一定是对应边;(2)有公共角的,公共角一定是对应角;(3)有对顶角的,对顶角是对应角;(4)在两个全等三角形中,最长的边对最长的边,最短的边对最短的边,最大的角对最大的角,最小的角对最小的角。

【练习1】 如图,图中有两对三角形全等,填空: (1)△BOD ≌ ; (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等,对应角相等。

(由定义还可知道,全等三角形的周长相等,面积相等,对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等,对应角的角平分线相等)【例题2】 (海南省中考卷第5题) 已知图2中的两个三角形全等,则∠α度数是( )A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】(清远)如图,若111ABC A B C △≌△,且11040A B ∠=∠=°,°,则1C ∠= .【练习2】 如图,ACB A C B '''△≌△,BCB ∠'=30°,则ACA '∠的度数为( )A 20° B.30° C .35° D .40°【练习3】如图,△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC , 且∠ABD=90°。

全等三角形经典讲义

全等三角形经典讲义

全等三角形状元笔记【知识要点】1.全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.3.三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).4.直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).【温馨提示】1.两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等,只有角分别相等不能证明两个三角形全等.2.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.3.“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等,而不是斜边和直角分别相等.【方法技巧】1.应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角,其规律主要有以下几点:(1)以对应顶点为顶点的角是对应角;(2)对应顶点所对应的边是对应边;(3)公共边(角)是对应边(角);(4)对顶角是对应角;(5)最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角).全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定,如若△ABC≌△DEF,说明A与D,B与E, C与F是对应点,则∠ABC与∠DEF是对应角,边AC与边DF是对应边.2.判定两个三角形全等的解题思路:专题一 三角形全等的判定1.如图,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ,∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F .求证:△ABE≌△CDF .2.如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的点(不与B ,C 重合),F ,E 分别是AD 及其延长线上的点,CF ∥BE . 请你添加一个条件,使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.(1)你添加的条件是:__________; (2)证明:SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——3.如图,△ABC中,点D在BC上,点E在AB上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,还需添加一个条件.(1)给出下列四个条件:①AD=CE;②AE=CD;③∠BAC=∠BCA;④∠ADB=∠CEB;请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件,并给出证明;(2)在(1)中所给出的条件中,能使△ADB≌△CEB的还有哪些?直接在题后横线上写出满足题意的条件序号.__________________.专题二 全等三角形的判定与性质4.如图,已知△ABC 中,∠ABC =45°,AC =4,H 是高AD 和BE 的交点,则线段BH 的长度为( )AB .4C .D .55.【2013·襄阳】如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,将△ADC 绕点A 顺时针旋转,使AC 与AB 重合,点D 落在点E 处,AE 的延长线交CB 的延长线于点M ,EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证:AM =AN .6.【2012·泸州】如图,△ABC 是等边三角形,D 是AB 边上一点,以CD 为边作等边三角形CDE ,使点E 、A 在直线DC 的同侧,连接AE .求证:AE ∥BC .NME D B CA专题三全等三角形的应用7.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是()A.60° B.90° C.120° D.150°8.有一座小山,现要在小山A、B的两端开一条隧道,施工队要知道A、B两端的距离,于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A、B两端的距离,你能说说其中的道理吗?9.已知如图,要测量水池的宽AB ,可过点A 作直线AC ⊥AB ,再由点C 观测,在BA 延长线上找一点B′,使∠ACB′=∠ACB ,这时只要量出AB′的长,就知道AB 的长,对吗?为什么?10.如图,点D 、B 分别在∠A 的两边上,C 是∠A 内一点,AB = AD ,BC = CD ,CE ⊥AD 于E ,CF ⊥AF于F .求证:CE = CF11.已知:如图,在△ABC 中,∠A =90°,AB = AC ,BD 平分∠ABC .求证:BC = AB + ADFA BECD12.如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB13.如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B14.如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M . (1)求证:MB =MD ,ME =MF(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.DBACPEDCBA D CBA15.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点, (1)求证:△AED ≌△EBC .(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):16.如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延长线于F .求证:BD =2CE .OEDCBAFEA17.已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由;(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何?请说明理由;(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B C E,,在同一条直线上,连结DC.(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);图1图2DCAB(2)证明:DC BE⊥.19.如图-1,ABC△的边BC在直线l上,AC BC⊥,且AC BC=;EFP△的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF FP=.(1)在图-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP关系;(2)将EFP△沿直线l向左平移到图-2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP的关系,请证明你的猜想;(3)将EFP△沿直线l向左平移到图-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.A (E)B C (F)Pl l l图-1 图-2图-3全等三角形——角的平分线的性质状元笔记【知识要点】1.角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【温馨提示】1.到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点,不是其他线段的交点.2.到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点,还有相邻两外角的平分线的交点,这样的点共有4个.【方法技巧】1.利用角的平分线的性质解决问题的关键是:挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段.若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等,若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段,若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段.2.利用角平分线的判定解决问题的策略是:挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段.若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等,然后说明角平分线或角的关系;若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段,再证明两条垂线段相等;若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后,证明两条垂线段相等.专题一利用角的平分线的性质解题1.如图,在△ABC中,AC=AB,D在BC上,若DF⊥AB,垂足为F,DG⊥AC,垂足为G,且DF=DG.求证:AD⊥BC.2.如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,,AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB 于点E ,AC =3 cm ,求BE 的长.专题二 角平分线的性质的应用 4.如图,三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在()A .在AC 、BC 两边高线的交点处B .在AC 、BC 两边中线的交点处C .在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D .在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处5.如图,要在河流的南边,公路的左侧M 区处建一个工厂,位置选在到河流和公路的距离相等,并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm (指图上距离),则图中工厂的位置应在__________,理由是__________.21BAC B ∶∶∠∠6. 如图, ∠ B= ∠ C=90 °, M 是 BC 中点, DM 平分 ∠ ADC ,求证: AM 平分 ∠ DAB .7. 如图,已知 △ ABC 的周长是 22 , OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB , OD ⊥ BC 于 D ,且 OD=3 , △ ABC 的面积是多少?8.如图,已知 ∠ 1= ∠ 2 , P 为 BN 上的一点, PF ⊥ BC 于 F , PA=PC ,求证: ∠ PCB+ ∠ BAP=180 º9.如图,△ ABC 中, P 是角平分线 AD , BE 的交点. 求证:点 P 在∠ C 的平分线上.10. 如图,在 △ ABC 中, BD 为 ∠ ABC 的平分线, DE ⊥ AB 于点 E ,且 DE=2cm , AB=9cm , BC=6cm ,求 △ ABC 的面积.21NP F C BA11.如图, D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三条边上的点, CE=BF ,△ DCE 和△ DBF 的面积相等.求证: AD 平分∠ BAC .。

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

要点二、对应顶点,对应边,对应角1. 对应顶点,对应边,对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.要点诠释:在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图,△ABC 与△DEF 全等,记作△ABC ≌△DEF ,其中点A 和点D ,点B 和点E ,点C 和点F 是对应顶点;AB 和DE ,BC 和EF,AC 和DF 是对应边;∠A 和∠D ,∠B 和∠E ,∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定(SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL )全等三角形判定一(SSS ,SAS)全等三角形判定1-—“边边边”三边对应相等的两个三角形全等。

(可以简写成“边边边”或“SSS ”)。

要点诠释:如图,如果''A B =AB,''A C =AC ,''B C =BC ,则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2-—“边角边"两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边"或“SAS ”).要点诠释:如图,如果AB = ''A B ,∠A =∠'A ,AC = ''A C ,则△ABC ≌△'''A B C . 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.2。

有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等。

如图,△ABC 与△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等。

全等三角形讲义

全等三角形讲义

全等三角形讲义(总14页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全等三角形一、知识点:1.全等形的定义2.全等三角形的定义3.对应顶点、对应边、对应角的定义4.全等三角形的性质二、重难点:1.全等三角形的概念2.对应顶点、对应边、对应角的定义3.全等三角形的性质三、考点全等三角形的性质一、全等形1. 叫做全等形。

全等用符号表示,读作2.两个图形是否为全等形,关键是看两个图形的是否相同,是否相等,而与图形所在的无关;判断两个图形是否是全等形,只要把它们在一起,看是否完全;一个图形经过、、等变换后,所得到的图形与原图形全等。

例题:1.下列说法不正确的是()A.形状相同的两个图形是全等形 B.大小不同的两个图形不是全等形C. 形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形2.下列说法正确的是()A.面积相等的两个图形是全等图形 B.周长相等的两个图形是全等图形C. 形状相同的两个图形是全等图形D.能够重合的两个图形是全等图形二、全等三角形1. 叫做全等三角形2. 两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫做,重合的边叫做,重合的角叫做3.寻找对应因素的方法:①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角,两个对应边所夹的角是对应角;③全等三角形的公共角是对应角;④全等三角形的公共边是对应边;⑤全等三角形中的对顶角是对应角;⑥全等三角形中一对最长(短)的边是对应边,一对最大(小)的角是对应角例题:1.下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角oO BCDCDABCDCBD2.将ABC ∆沿直线BC 平移,得到DEF ∆,说出你得到的结论,说明理由B AD3.如图,,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ,AD 与AE 是对应边,已知: 30,43=∠=∠B A ,求ADC ∠的大小。

《全等三角形》讲义(完整版)

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全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义:形状大小相同,并且能够完全重合两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明:重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质:全等三角形对应边相等,全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理:(1)边边边定理:三边对应相等的两个三角形全等。

(简称SSS ) (2)边角边定理:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(简称SAS) (3)角边角定理:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(简称ASA ) (4)角角边定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(简称AAS ) (5)斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(简称HL ) 角平分线的性质:在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ,PM ⊥OA 于M ,PN ⊥OB 于N , ∴PM=PN角平分线的判定:到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM ⊥OA 于M ,PN ⊥OB 于N ,PM=PN ∴OP 平分∠AOB三角形的角平分线的性质:三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例A BC PMNO A BC PMNO例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图,△ABC 是一个钢架,AB=AC ,AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架.求证:△ABD ≌△ACD .例3、已知:点A 、F 、E 、C 在同一条直线上, AF =CE ,BE ∥DF ,BE =DF . 求证:△ABE ≌△CDF .例4、如图:D 在AB 上,E 在AC上,AB =AC ,∠B =∠C .求证AD =AE .例5、如图:∠1=∠2,∠3=∠4 求证:AC=AD例6、如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F ,DE ⊥BC 于E ,AB=DC ,BE=CF ,你认为AB 平行于CD 吗?说说你理由ACADB123 4例7、如图1,△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ,连结EG ,试判断△ABC 与△AEG 面积之间关系,并说明理由.例8、如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上的一点,PD ⊥OA 交OA 于D ,PE ⊥OB 交OB 于E ,F 是OC 上的另一点,连接DF ,EF ,求证DF =EF例9、如图,△ABC 中,AD 是它的角平分线,P 是AD 上的一点,PE ∥AB 交BC 于E ,PF ∥AC 交BC 于F ,求证:D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等例10、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,△ABC 面积是282cm ,AB =20cm ,AC =8cm ,求DE 的长.AGF C BDE图1AEB CFAB CDE D C EFBA 例10、已知:BE ⊥CD ,BE =DE ,BC =DA ,求证:① △BEC ≌△DAE ;②DF⊥BC .例11、如图,已知:E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OB ,ED ⊥OA ,C ,D 是垂足,连接CD ,求证:(1)∠ECD=∠EDC ;(2)OD=OC ;(3)OE 是CD 的中垂线.三、专题版块专题一: 全等三角形的判定和性质的应用例1、如图,在△ABC 中,AB=AC , BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ,使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证:BD=CE.例2、如图,A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证:AB=CD.例3、如图在△ABC 中,BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高,在BE 延长线上截取BM =AC ,在CF 延长线上截到CN =AB ,求证:AM =AN 。

(完整版)全等三角形的性质及判定

(完整版)全等三角形的性质及判定

全等三角形第 1 节全等三角形的性质和判断【知识梳理】1、全等图形:能够完整重合的两个图形就是全等图形.2、全等三角形的观点与表示:能够完整重合的两个三角形叫作全等三角形.能够互相重合的极点、边、角分别叫作对应极点、对应边、对应角.全等符号为“≌”.3、全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角均分线相等,面积相等.4、全等三角形的判断方法:(1)边角边定理 ( SAS) :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理 ( ASA) :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理 ( SSS) :三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理 ( AAS ) :两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理 ( HL ) :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.【诊疗自测】1、假如ABC≌Δ DBC,则 AB的对应边是_____,AC的对应边是_____,∠DBC的对应角是_____,∠ DCB的对应角是_____.2、如图,已知△ABE≌△ DCE, AE=2 cm, BE=1.5 cm,∠ A=25°,∠ B=48°;那么 DE=_____cm,EC= _____cm,∠C= _____°;∠D= _____°.C 和点E,点 B 和点D 分别是对应点,则另一3、假如△ABC和△ DEF这两个三角形全等,点组对应点是,对应边是,对应角是,表示这两个三角形全等的式子是.【考点打破】种类一:全等形例 1、由同一张底片冲刷出来的两张五寸照片的图案 _____全等图案,而由同一张底片冲刷出来的五寸照片和七寸照片 ____全等图形。

(填“是”或许“不是”)种类二:全三角形的定义和性质例 2、如图,点 E,F 在线段 BC 上,△ ABF 与△ DCE 全等,点 A 与点 D ,点 B 与点 C 是对应极点, AF 与 DE 交于点 M ,则∠ DCE= ()A .∠B B.∠ A C.∠ EMF D .∠ AFB例 3、如图,△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折 180°形成的,若∠ BAC :∠ABC :∠ BCA=28 : 5: 3,则∠α的度数为()A . 90° B. 85° C. 80° D. 75°种类三:全等三角形的判断(SSS)例 4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图印迹如下图,则作图的依照是()A . SSS B. SAS C. ASA D. AAS例 5、已知:如图 2- 1,△ RPQ 中, RP= RQ, M 为 PQ 的中点.求证: RM 均分∠ PRQ.剖析:要证 RM 均分∠ PRQ,即∠ PRM= ______,只需证 ______≌ ______证明:∵M 为 PQ 的中点(已知),∴______= ______在△ ______和△ ______中,RP RQ(已知 ),PM ______,______ ______(),∴______≌ ______().∴∠ PRM = ______( ______).即 RM.例 6.已知:如图, AD =BC. AC= BD .试证明:∠ CAD =∠ DBC .种类四:全等三角形的判断(SAS)例 7. 已知:如图3-1,AB、CD订交于O点,AO=CO,OD=OB.求证:∠ D=∠ B.剖析:要证∠ D=∠ B,只需证 ______≌ ______证明:在△ AOD 与△ COB 中,AO CO ( ),______ ______( ),OD ______( ),∴△ AOD ≌△ ______ ().∴∠D=∠ B ( ______).例8、小红家有一个小口瓶(如下图),她很想知道它的内径是多少?可是尺子不可以伸在里边直接测,于是她想了想,唉!有方法了.她拿来了两根长度同样的细木条,而且把两根长木条的中点固定在一同,木条能够绕中点转动,这样只需量出AB 的长,就能够知道玻璃瓶的内径是多少,你知道这是为何吗?请说明原因.(木条的厚度不计)例 9、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接∠ABC= ∠ EBD=90 °),连结 AE 、 CD,试确立 AE 结论.(A 、B、D 三点共线,AB=CB ,EB=DB ,与 CD 的地点与数目关系,并证明你的种类五:全等三角形的判断(AAS和 ASA)例 10、某同学把一块三角形的玻璃打坏成了 3 块,现要到玻璃店去配一块完整同样的玻璃,同学小明知道只需带③ 去就行了,你知道此中的道理是()A . SAS B. SSA C. ASA D. HL例 11.如图,已知△ ABC的六个元素,则以下甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例 12、已知:如图,PM = PN,∠ M=∠ N.求证: AM= BN.剖析:∵ PM= PN,∴要证AM=BN,只需证PA= ______,只需证 ______≌ ______.证明:在△ ______与△ ______中,______ ______( ),______ ______( ),______ ______( ),∴△ ______≌△ ______ ().∴ PA= ______ ().∵PM=PN (),∴PM - ______= PN- ______,即 AM = ______.例 13、已知: AB ⊥ AE ,AD ⊥ AC ,∠ E=∠ B, DE=CB .求证: AD=AC ..例 14、如图,在△ ABC中,∠ ACB=90°, AC=BC,BE⊥CE于点 E. AD⊥CE于点D.求证:△ DEC≌△ CDA.种类六:全等三角形的判断(HL)例 15. 已知在△ ABC和△ DEF中 , ∠ A=∠D=90°, 则以下条件中不可以判断△ABC和△DEF全等的是 ( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠ F,BC=EF例 16、如下图,在△ ABC中,∠ C=90°, DE⊥AB 于点 D, BD=BC,若 AC=6,则AE+DE=_____BDAE C【易错优选】1、如下图,△ABC ≌△ DEC,则不可以获得的结论是()A . AB=DEB .∠ A= ∠ D C. BC=CD D .∠ ACD= ∠ BCE2、如图,梯形 ABCD中,AD∥BC,点 M是 AD的中点,且 MB=MC,若 AD=4,AB=6,BC=8,则梯形 ABCD的周长为()A.22 B.24 C.26 D. 283、如图,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等,则∠ ABC+∠ DFE=__________度【精髓提炼】判断三角形全等的基本思路:找夹角SAS已知两边 SS找直角HL找另一边SSS边为角的对边→找随意一角→AAS找这条边上的另一角→ASA已知一边一角 SA边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→ SAS找两角的夹边ASA已知两角 AA找随意一边AAS备注:找寻对应边和对应角,常用到以下方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的,公共边常是对应边.(4)有公共角的,公共角常是对应角.(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 ( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ,一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) .要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是重点.全等三角形的图形概括起来有以下几种典型形式:⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【 1】如图, E 为线段 BC 上一点, AB ⊥BC,△ ABE ≌△ ECD ,判断 AE 与 DE 的关系,并证明你的结论.训练【 2】如图,点A、F、C、D在同向来线上,点 B 和点 E 分别在直线 AD的双侧,且 AB=DE,∠ A=∠ D,AF= DC.求证: BC∥EF.训练【 3】已知图中的两个三角形全等,则∠ 1 等于度.【训练 4】.如图,∠ BAC= ∠DAE ,∠ ABD= ∠ ACE ,AB=AC .求证: BD=CE .基础稳固一、选择题1、以下说法:①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等;②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等;③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等;④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等.此中正确的有().A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个DE=BC,以D、 E 为两个极点作地点不一样的三2、如图,△ABC是不等边三角形,角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多能够画出[ ] .A.2 个B.4 个C.6 个D.8 个3、以下说法正确的选项是()A、全等三角形是指周长和面积都同样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都同样;C、全等三角形是指形状同样的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、以下两个三角形中,必定全等的是()A.两个等边三角形B.有一个角是 40°,腰相等的两个等腰三角形C.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D.有一个角是 100°,底相等的两个等腰三角形5、如图,△ ABC与△ BDE都是等边三角形, AB<BD,若△ ABC不动,将△ BDE绕点CD的大小关系为( )B 旋转,则在旋转过程中,AE与A.AE=CD B . AE>CD C.AE<CD D.没法确立ECA B D6、如图,已知 AB=AD,那么增添以下一个条件后,仍没法判断△ABC≌△ ADC的是()A.CB=CD B .∠ BAC=∠DAC C.∠ BCA=∠ DCA D.∠ B=∠D=90°二、填空题6、如图,在△ ABC 中,AD⊥ BC 于 D,BE⊥ AC 于 E,AD 与 BE 订交于点F,若 BF=AC,则∠ ABC=_______7、如图,等腰直角三角形ABC的直角极点 B 在直线 PQ上,AD⊥ PQ于 D,CE⊥PQ 于 E,且 AD=2cm,DB=4cm,则梯形 ADEC的面积是 _____ .8、(着手操作实验题)如下图是小明自制对顶角的“小仪器”表示图:(1)将直角三角板 ABC的 AC边延伸且使 AC固定;(2)另一个三角板 CDE?的直角极点与前一个三角板直角极点重合;(3)延伸 DC,∠PCD与∠ ACF就是一组对顶角,已知∠ 1=30°,∠ ACF为多少?三、简答题9、如图,已知AB=AC ,∠ 1=∠ 2,AD=AE ,求证:∠ C=∠ B.10、如图,在△ ABC中, AD是∠ BAC的均分线, DE、DF分别是△ ABD和△ ACD的高线,求证: AD⊥EF。

《直角三角形全等的判定》 讲义

《直角三角形全等的判定》 讲义

《直角三角形全等的判定》讲义一、直角三角形全等的概念在平面几何中,如果两个直角三角形能够完全重合,那么它们就是全等的。

全等的直角三角形具有相同的形状和大小,对应的边和角都相等。

二、直角三角形全等的判定方法1、 SSS(边边边)如果两个直角三角形的三条边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。

2、 SAS(边角边)如果两个直角三角形的两条边及其夹角分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。

3、 ASA(角边角)如果两个直角三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。

4、 AAS(角角边)如果两个直角三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。

5、 HL(斜边、直角边)如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等。

这是直角三角形全等特有的判定方法。

因为在直角三角形中,斜边是最长的边,当斜边和一条直角边对应相等时,由勾股定理可以推出另一条直角边也对应相等,从而满足边边边(SSS)的判定条件。

三、HL 判定方法的证明已知:在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中,∠C =∠C' = 90°,AB =A'B',AC = A'C' 。

求证:Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'证明:在 Rt△ABC 中,根据勾股定理:BC²= AB² AC²在 Rt△A'B'C' 中,根据勾股定理:B'C'²= A'B'² A'C'²因为 AB = A'B',AC = A'C' ,所以 BC = B'C'因为 AB = A'B',AC = A'C' ,BC = B'C' ,所以 Rt△ABC ≌Rt△A'B'C'(SSS)四、直角三角形全等判定方法的应用1、证明线段相等例如,已知两个直角三角形全等,那么它们对应的边相等,从而可以证明某些线段相等。

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1.判定和性质一般三角形直角三角形边角边( SAS)、角边角( ASA)具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等( HL )角角边( AAS)、边边边( SSS)对应边相等,对应角相等性质对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等注:①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;② 全等三角形面积相等.2.证题的思路:找夹角( SAS)已知两边找直角( HL )找第三边( SSS)若边为角的对边,则找任意角( AAS)找已知角的另一边(SAS)已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角(AAS)找夹已知边的另一角(ASA)找两角的夹边(ASA)已知两角找任意一边(AAS)性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

(SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。

3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角,用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

专题06 全等三角形的判定与性质1. 三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定,这三角形就固定了,这是三角形具有稳定性。

2. 三角形的内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°。

3. 三角形的外角定理:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4. 全等三角形的性质:若两个三角形全等,则他们的对应边相等;对应角相等;对应边上的中线相等,高线相等,角平分线也相等;且这两个三角形的周长和面积均相等。

5. 全等三角形的判定:①边边边(SSS):三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边(SAS):两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角(ASA):两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边(AAS):两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定(HL):直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形。

1.已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB=AD.【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB=∠ACD,利用ASA证明△ACB≌△ACD,根据全等三角形的性质即可得解.【解答】证明:∵∠3=∠4,∴∠ACB=∠ACD,在△ACB和△ACD中,,∴△ACB≌△ACD(ASA),∴AB=AD.2.如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC=∠DCB,进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等,再利用全等三角形的性质解答即可.【解答】证明:∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠DCB,在△EBC与△DCB中,,∴△EBC≌△DCB(SAS),∴BD=CE.3.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.【分析】由∠BAD=∠EAC可得∠BAC=∠EAD,根据SAS可证△BAC≌△EAD,再根据全等三角形的性质即可求解.【解答】解:∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD,在△BAC与△EAD中,,∴△BAC≌△EAD(SAS),∴∠D=∠C=50°.4.如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.【分析】(1)由AC平分∠BAD,得∠BAC=∠DAC,根据CB⊥AB,CD⊥AD,得∠B=90°=∠D,用AAS可得△ABC≌△ADC;(2)由(1)△ABC ≌△ADC ,得BC =CD =3,S △ABC =S △ADC ,求出S △ABC =AB •BC =6,即可得四边形ABCD 的面积是12.【解答】(1)证明:∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC =∠DAC ,∵CB ⊥AB ,CD ⊥AD ,∴∠B =90°=∠D ,在△ABC 和△ADC 中,,∴△ABC ≌△ADC (AAS );(2)解:由(1)知:△ABC ≌△ADC ,∴BC =CD =3,S △ABC =S △ADC ,∴S △ABC =AB •BC =×4×3=6,∴S △ADC =6,∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12,答:四边形ABCD 的面积是12.5.如图,在△ABC 中,点D 在边BC 上,CD =AB ,DE ∥AB ,∠DCE =∠A .求证:DE =BC .【分析】利用平行线的性质得∠EDC =∠B ,再利用ASA 证明△CDE ≌△ABC ,可得结论.【解答】证明:∵DE ∥AB ,∴∠EDC =∠B ,在△CDE 和△ABC 中,,∴△CDE ≌△ABC (ASA ),∴DE =BC .6.如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC 于点P,MH⊥AC于点H.(1)求证:MP=NP;(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).【分析】(1)过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ =∠AQM=∠A=60°,可得△AMQ是等边三角形,易证△QMP≌△CNP(AAS),即可得证;(2)根据等边三角形的性质可知AH=HQ,根据全等三角形的性质可知QP=PC,即可表示出HP的长.【解答】(1)证明:过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,如图所示:在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°,∵MQ∥BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∴△AMQ是等边三角形,∴AM=QM,∵AM=CN,∴QM=CN,在△QMP和△CNP中,,∴△QMP≌△CNP(AAS),∴MP=NP;(2)解:∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,∴PH=HQ+QP=AC,∵AB=a,AB=AC,∴PH=a.7.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列三个条件:①AC=DF,②∠ABC =∠DEF,③∠ACB=∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号) (只需选一个条件,多选不得分),你判定△ABC≌△DEF的依据是 (填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”);(2)利用(1)的结论△ABC DEF.求证:AB∥DE.【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌△DEF,即可解决问题;(2)根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF,再根据平行线的判定即可解决问题.【解答】(1)解:在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SSS),∴在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF,选取的条件为①,判定△ABC≌△DEF的依据是SSS.故答案为:①,SSS;(答案不唯一).(2)证明:∵△ABC≌△DEF.∴∠A=∠EDF,∴AB∥DE.8.在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.【分析】(1)证明△BCD≌△FCE(SAS),由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC,证出BD∥EF,则可得出结论;(2)由题意画出图形,延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,证出∠AEF=90°,得出∠DHE=90°,由直角三角形的性质可得出结论.【解答】(1)证明:在△BCD和△FCE中,,∴△BCD≌△FCE(SAS),∴∠DBC=∠EFC,∴BD∥EF,∵AF⊥EF,∴BD⊥AF;(2)解:由题意补全图形如下:CD=CH.证明:延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,∵AC⊥BF,BC=CF,∴AB=AF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,∵AB2=AE2+BD2,∴AF2=AE2+EF2,∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF,∴BD⊥AE,∴∠DHE=90°,又∵CD=CE,∴CH=CD=CE.9.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.【分析】(1)可利用SAS证明结论;(2)由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD,利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数,进而可求可求解【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,∵∠EAC=60°,∴∠AEC=180°﹣∠ACE﹣∠EAC=180°﹣45°﹣60°=75°,∴∠CED=∠AEC﹣∠AED=75°﹣45°=30°.10.如图,在△ABC中(AB<BC),过点C作CD∥AB,在CD上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,连接DE、DB.(1)求证:△ABC≌△ECD;(2)若∠A=90°,AB=3,BD=2,求△BCD的面积.【分析】(1)由CD∥AB得∠ABC=∠ECD,而CD=CB,CE=AB,即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD;(2))由∠A=90°,根据全等三角形的对应角相等证明∠BED=∠CED=∠A=90°,设BE=x,由BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,列方程(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,解方程求得符合题意的x的值为2,则BC=5,再根据勾股定理求出DE的长,即可求出△BCD的面积.【解答】(1)证明:∵CD∥AB,CD=CB,CE=AB,∴∠ABC=∠ECD,在△ABC和△ECD中,,∴△ABC≌△ECD(SAS).(2)解:∵∠A=90°,∴∠CED=∠A=90°,∴∠BED=180°﹣∠CED=90°,设BE=x,∵EC=AB=3,BD=2,∴CD=BC=3+x,∵BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,∴(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,整理得x2+3x﹣10=0,解得x1=2,x2=﹣5(不符合题意,舍去),∴BE=2,BC=3+2=5,∴DE===4,=BC•DE=×5×4=10,∴S△BCD∴△BCD的面积为10.11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠BAD=22.5°时,求BD的长.【分析】(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE;(2)由等腰三角形三角形的性质可得BC的长,由角度关系可求∠ADC=67.5°=∠CAD,可得AC=CD =1,即可求解.【解答】(1)证明:∵∠BAC=90°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵∠BAC=90°,AB=AC=1,∴BC=,∠B=∠ACB=45°,∵∠BAD=22.5°,∴∠ADC=67.5°=∠CAD,∴AC=CD=1,∴BD=﹣1.12.如图,已知矩形ABCD中,AB=8,BC=x(0<x<8),将△ACB沿AC对折到△ACE的位置,AE和CD交于点F.(1)求证:△CEF≌△ADF;(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示).【分析】(1)根据矩形的性质得到∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得到BC=CE,∠E=∠B=90°,等量代换得到∠E=∠D=90°,AD=CE,根据AAS证明三角形全等即可;(2)设DF=a,则CF=8﹣a,根据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,根据勾股定理表示出DF的长,根据正切的定义即可得出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得:BC=CE,∠E=∠B=90°,∴∠E=∠D=90°,AD=CE,在△CEF与△ADF中,,∴△CEF≌△ADF(AAS);(2)解:设DF=a,则CF=8﹣a,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AD=BC=x,∴∠DCA=∠BAC,根据折叠的性质得:∠EAC=∠BAC,∴∠DCA=∠EAC,∴AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,∵AD2+DF2=AF2,∴x2+a2=(8﹣a)2,∴a=,∴tan∠DAF==.13.如图,△ABC和△DEF,点E,F在直线BC上,AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F.如图①,易证:BC+BE =BF.请解答下列问题:(1)如图②,如图③,请猜想BC,BE,BF之间的数量关系,并直接写出猜想结论;(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明;(3)若AB=6,CE=2,∠F=60°,S=123,则BC= ,BF= .△ABC【分析】(1)根据图形分别得出答案;(2)利用AAS证明△ABC≌△DFE,得BC=EF,再根据图形可得结论;(3)首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长,从而得出BC,再对点E的位置进行分类即可.【解答】解:(1)图②:BC+BE=BF,图③:BE﹣BC=BF;(2)图②:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BC+CE,∴BC+BE=EF+BC+CE=BF;图③:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BF+EF,∴BE﹣BC=BF+EF﹣BC=BF+BC﹣BC=BF;(3)当点E在BC上时,如图,作AH⊥BC于H,∵∠B=∠F=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=3,∴AH=3,∵S=12,△ABC∴=12,∴BC=8,∵CE=2,∴BF=BE+EF=8﹣2+8=14;同理,当点E在BC延长线上时,如图②,BF=BC+BE=8+10=18,故答案为:8,14或18.14.△ABC和△ADE都是等边三角形.(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明);(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.【分析】(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)和△BAF≌△CAP(SAS),得AF=AP,∠BAF=∠CAP,再证明△AFP是等边三角形,最后由线段的和可得结论;(3)如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理可得结论.【解答】解:(2)PB=PA+PC,理由如下:如图②,在BP上截取BF=PC,连接AF,∵△ABC、△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA;(3)PC=PA+PB,理由如下:如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理得:△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠PAM=60°,∴△AMP是等边三角形,∴PM=PA,∴PC=PM+CM=PA+PB.15.【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图,并连接AG,BH,如图③所示,AB交HO于E,AC交OG于F,通过证明△OBE≌△OAF,可得OE=OF.请你证明:AG=BH.【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明DG与BH的位置关系.【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图,并连接HB,AG,如图⑥所示,其他条件不变,请你猜想并证明AG与BH的数量关系.【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF,得BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,可证明△BHE≌△AGF (SAS),得BH=AG;【迁移应用】由△BHE≌△AGF,得∠BHE=∠AGF,可得∠AGF+∠GPO=90°,从而∠BHE+∠HPD=90°,∠HDP=90°,故DG⊥BH;【拓展延伸】设AB交OH于T,交AC于K,根据△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,可得OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,即得△BOT∽△AOK,有===,∠BTO=∠AKO,又OH=GO,可得==,故△BTH∽△AKG,即得==,BH=AG.【解答】【情境再现】证明:由阅读材料知△OBE≌△OAF,∴BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,∴∠BEH=∠AFG,∵OH=OG,∴OH﹣OE=OG﹣OF,即EH=GF,在△BHE和△AGF中,,∴△BHE≌△AGF(SAS),∴BH=AG;【迁移应用】解:猜想:DG⊥BH;证明如下:由【情境再现】知:△BHE≌△AGF,∴∠BHE=∠AGF,∵∠HOG=90°,∴∠AGF+∠GPO=90°,∴∠BHE+∠GPO=90°,∵∠GPO=∠HPD,∴∠BHE+∠HPD=90°,∴∠HDP=90°,∴DG⊥BH;【拓展延伸】解:猜想:BH=AG,证明如下:设AB交OH于T,OG交AC于,如图:由已知得:△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,∴∠AOB=90°,∴OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,∴△BOT∽△AOK,∴===,∠BTO=∠AKO,∴OT=OK,BT=AK,∠BTH=∠AKG,∵OH=GO,∴HT=OH﹣OT=GO﹣OK=(GO﹣OK)=KG,∴==,∴△BTH∽△AKG,∴==,∴BH=AG.。

全等三角形及性质PPT课件

全等三角形及性质PPT课件

角角边定理
两角和一边对应相等的两个三角 形全等,简称AAS。
若两个三角形有两个角相等,且 其中一个角的对边也相等,则这
两个三角形全等。
举例:若△ABC和△DEF中, ∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,则
△ABC≌△DEF。
04
全等三角形与相似三角形关系
相似三角形定义及性质
定义:两个三角形如果它们 的对应角相等,则称这两个
行推导。
全等三角形在几何证明中作用
01
02
03
04
证明线段相等
通过全等三角形的对应边相等 来证明两条线段相等。
证明角相等
通过全等三角形的对应角相等 来证明两个角相等。
证明垂直关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线垂直。
证明平行关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线平行。
典型例题解析
例题1
已知△ABC和△DEF全等,且AB=DE,BC=EF,∠B=∠E。 求证:AC=DF。
HL全等(直角三角形)
在直角三角形中,斜边和一条直 角边分别相等的两个三角形全等 。
典型例题解析
解析
根据SAS全等的判定方法,已知两边和夹角分别相等,因 此可以判定△ABC和△DEF全等。
例2
已知△ABC中,∠C = 90°,AC = BC,AD平分∠CAB交BC 于D,DE⊥AB于E,且AB = 6cm,求△DEB的周长。
边角边判定
如果两个多边形的一组对 应边和它们之间的对应角 都相等,则它们是全等的 。
角边角判定
如果两个多边形的一组对 应角和它们之间的夹边都 相等,则它们是全等的。
典型例题解析
1. 例题一
已知两个四边形ABCD和EFGH,其中AB=EF, BC=FG, CD=GH, DA=HE,且∠A=∠E, ∠B=∠F, ∠C=∠G, ∠D=∠H。求证:四边形ABCD与四边形EFGH全等。

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念:两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.2、全等三角形性质:(1)两全等三角形的对应边相等,对应角相等.(2)全等三角形的对应边上的高相等,对应边上的中线相等,对应角的平分线相等.(3)全等三角形的周长、面积相等.3、全等三角形判定方法:(1)全等判定一:三条边对应相等的两个三角形全等(SSS)(2)全等判定二:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)(3)全等判定三:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) (4)全等判定四:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边(对应中线、角平分线、高线)、对应角、对应周长、对应面积相等例题1:下列说法,正确的是()A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2:如图1,折叠长方形ABCD ,使顶点D 与BC 边上的N 点重合,如果AD=7 cm ,DM=5 c m,∠DAM=39°,则AN =____cm,NM =____cm,NAB =.A DCEMDB 图3AB 图1 CN 图2 图 4【仿练1】如图2,已知ABC ADE ,AB AD ,BC DE ,那么与BAE 相等的角是.【仿练2】如图3,ABC ADE ,则AB= ,∠E= _ .若∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC= .、三角形全等的判定一(SSS)相关几何语言考点C AE CFM BA∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________( ) ∴____________________∴__________()或A B ∵AC=EF∴____________________∴__________()AB=AB ()A DB CE F在△ABC和△DEF中_________∵__________________∴△ABC≌△DEF()A例1.如图,AB=AD,CB=CD.△ABC与△ADC全等吗?为什么?CBDCDB E2例3.如图,点B,E,C,F 在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A=∠D.习练1..如图,AB=CD,AD=CB,那么下列结论中错误的是()A.∠A=∠C B.AB=AD C.AD∥BC D.AB∥CD2、如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“S SS”可以判定()A.△ABD≌△ACD B.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACE D.以上都不对3.如图,AB=AC,BD=CD,则△ABD≌△ACD的依据是()A.SSS B.SAS C.AASD.HL4.如图,AB=AC,D为B C 的中点,则△ABD ≌_________.5.如图,已知A B=DE,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,那么还要需要一个条件,这个条件可以是:.2.如图,AB=AC,BD=DC,∠BAC=36°,则∠BAD 的度数是°.7、.如图,AB=AE,AC=AD,BD=CE,求证:△ABC≌ADE。

三角形全等的判定ppt课件

三角形全等的判定ppt课件
∴△ABC≌△A1B1C1(AAS)
5.HL(H.L.) 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中,
AB=A1B1(已知)
BC=B1C1(已证) ∴△ABC≌△A1B1C1(HL)
例题精讲
例:已知:如图,点A,C,B,D在同一条直线上,
AC=BD,AM=CN,BM=DN 求证:AM∥CN,BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示,AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,且D
为BC边的中点,那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明:∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD(SSS)
拓展延伸
8.如图所示,AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,且D
证明:∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND(SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN,BM∥DN
例:如图,A,E,C,F在同一条直线上,AB=FD,BC=DE,
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
(2)全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS(S.S.S.) 在△ABC与△A1B1C1中,
AB=A1B1(已知) BC=B1C1(已知) AC=A1C1(已证)
∴△ABC≌△A1B1C1(SSS)

著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)

著名机构七年级数学春季班讲义10全等三角形的判定及性质(教师)

全等三角形的判定及性质课时目标1. 理解全等三角形的概念及性质,并灵活运用;2. 掌握全等三角形的判定方法,并熟练应用于证明题.知识精要1. 全等形能够重合的两个图形叫做全等形.2. 全等三角形(1)两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形.(2)两个全等三角形,经过运动后一定能够重合,相互重合的顶点叫做对应顶点;相互重合的边叫做对应边;相互重合的角叫做对应角.注:(1)全等三角形不一定是两个图形之间的关系,还可能是多个图形之间的关系. (2)全等图形也可以看作是把图形翻折,旋转、平移等变换而得到的图形;反过来说,两个全等图形经过这样的变换一定能够重合.3. 全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等;(2)全等三角形的对应角相等;4. 确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况(1)两角及夹边(2)两边及其夹角(3)三边(4)两角及其中一角的对边注:知道两边及其中一边的对角时,一般不能确定三角形的形状,大小.5. 全等三角形的判定判定1:在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对应相等地,那么这两个三角形全等.(两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS)判定2:在两个三角形中,如果有两个角及它们的夹边对应相等地,那么这两个三角形全等.(两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA)判定3:在两个三角形中,如果有两个角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等(两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等AAS)DBEDB判定4:在两个三角形中,如果有三条边对应相等,那么这两个三角形全等(三边对应相等的两个三角形全等SSS )热身练习1. AC 与BD 交于点O ,且AB ∥CD ,AO=CO ,OB=OD ,AB=CD. 求证:△ABD ≌△ACE. 证明:在△ABD 和△ACE 中,⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(已知已知已知CD AB OD OB CO AO∴△ABD ≌△ACE (SSS )2. 已知△ABD ≌△ACE ,AD=3cm ,BD=1cm ,BC=6cm ,求△ADE 的周长. 解:∵△ABD ≌△ACE∴AE=AD=3cm ,CE=BD=1cm 又∵BC=6cm ∴DE=4cm ∴ADE C ∆=10cm3. 已知△ABC ≌△DBC ,如果∠ABC=72°,∠ACB=45° (1)求∠D 的度数. (2)求∠ABD 的度数. 解:∠A=180°-72°-45°=63°∵△ABC ≌△DBC∴∠D=∠A=63°(全等三角形的对应角相等) 同理:∠DBC=∠ACB=45° ∴∠ABD=72°-45°=27°4. 在水平桌面上放置了一块三角形木块,∠A=30°,∠B=90°,AC=2cm ,经过AECBDBEDBDCA运动后△ABC 到A B C '''∆的位置. (1)求ACB '∆的度数.(2)点A 的运动路线是什么图形?求出它的长度. 解:(1)60°(2)运动路线是圆弧:ππ342231=⋅⋅=l5. 已知AD=AE ,∠ADB=∠AEC ,BE=DC (1)试说明:△ABE ≌△ACD. (2)AB 与AC 相等吗?为什么? 证明: 在△ABE 和△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BE AEC ADB AEAD∴△ABE ≌△ACD (SAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)6. 已知AC ∥BE 且AC=BE ,点B 是AD 的中点,试说明△ABC ≌△BDF. 证明:∵AC ∥BE ∴∠A=∠EBD ∵AC=BE ,AB=BD ∴△ABC ≌△BDF (SAS )7. 已知AD=AE ,∠ADC=∠AEBCBDA (1)△ADC 和△AEB 全等吗?为什么? (2)BD 与CE 相等吗?为什么? 解:(1)△ADC ≌△AEB 全等, 证明略(ASA ) (2)∵△ADC ≌△AEB ∴AB=AC∴AB -AD=AC -AE即 BD=CE精解名题例1 △ABC ≌△DEF ,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE 的度数与EC 的长.解:∵△ABC ≌△DEF∴∠DEF=∠ACB=180°-30°-50°=100° EC=BF=2例2 P 为∠AOB 的平分线OC 上任意一点,PE ⊥OA 于E ,PF ⊥OB 于F ,求证:OP 是EF 的垂直平分线. 证明:易证 △OEP ≌△OFP (AAS ) ∴OE=OF∴△OME ≌△OMF ∴EM=FM ,∠OME=90° ∴OP 是EF 的垂直平分线例3 在△ABC 中,∠A=2∠B ,CD 是∠ACB 的平分线,求证:BC=AC+AD. 证明:在BC 上截取EC=ACFBO∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴∠DCB=∠DCA易证△DEC ≌△ACD (SAS ) ∴∠A=∠DEC=2∠B ,AD=DE ∴∠BDE=∠B ∴BE=DE=AD ∴BC=AC+AD例4 △ABC 是边长为1的等边三角形,△BDC 是顶角为∠BDC=120°的等腰三角形,以D 为顶点作一个60°,角的两边分别交AB 于M ,交AC 于N ,连结MN ,形面一个△AMN ,求△AMN 的周长. 解:延长NC 到L ,使CL=BM ,连接DL先证BDM DCL ≅V V (SAS ) DMN DLN ≅V V (SAS ) ∴MN NL NC CL NC BM ==+=+ ∴AMN C AM AN MN =++V AM BM AN NC =+++= 2巩固练习1. 如图,△ABC ≌△ DEF ,这两个三角形的对应边是 AB 与 AC , BC 与 DE , CA 与 FE .ACDBA(1题图)2. △ABC≌△DEF,那么∠A=∠D3. △ABC以点B为旋转中心,A旋转到E,CDA B D CB(3题图) (4题图)4. AD,BE,CF是△ABC的高,沿AD翻折,点F与点E,点B与点C重合,那么图中全等的三角形有( D )A. 3对B. 5对C. 6对D. 7对5. 给定一个三角形的六个元素中的下列条件画三角形,所画的三角形的大小形状可能不唯一确定的是( D )A. 两角及夹边B. 两角及其中一个角的对边C. 两边及夹角D. 两边及其中一条边的对角6. 下列判断错误的是( A )A. 全等三角形的所有边都相等B. 全等形的周长、面积一定对应相等C. 已知三角形的两条边及其中一条边的对角,所画的三角形不一定是唯一的D.确定一个三角形至少要有一个元素是边7. 下列判断中错误的是( C )A. 成轴对称的两个图形全等B. 成中心对称的两个图形全等C.两个正方形一定是全等形 D. 运动后能重合的两个三角形全等8. 已知△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,EEBAED CB求∠DFB 和∠DGB 的度数. 解:∠DFB =90°,∠DGB =65°9. 已知:△ABD ≌△ACE.求证:∠EBO ≌∠DCO. 证明:∵△ABD ≌△ACE ∴∠D=∠E ,DC=BE ∵∠DOC=∠BOE ∴∠EBO ≌∠DCO (AAS )10. 已知BE=CD ,∠ADE=∠AED ,∠B=∠C 解:∵BE=CD∴BD=EC ∵∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC 又∵∠B=∠C∴△ABD ≌△ACE (ASA )自我测试1. 如图1,已知△ABC ≌ △CDA ,则对应边是 AB 和CD ,BC 和DA , AC 和CA , 对应角是 ∠ABC 和∠CDA ,∠BCA 和∠DAC , ∠BAC 和∠DCA .DC图2 图32. 已知ABC∆≌'''CBA∆,A与'A,B与'B是对应顶点,ABC∆的周长为10cm,AB =3cm,BC =4cm.则''BA= 3 cm,''CB= 4cm,''CA= 3 cm.3. 已知ABC∆≌DEF∆,A与D,B与E分别是对应顶点,︒=∠52A,︒=∠67B,BC =15cm,则F∠= 61°,FE = 15 cm.4. 填空题:(1)如图2,已知AC =DB,要使ABC∆≌DCB∆,需增加一个条件是AB=CD等. (2)如图3,已知ABC∆中,090=∠C,AM平分CAB∠,CM =20cm那么M到AB的距离是20cm.(3)如图4,AB =EB,∠1=∠2,∠ADE =120°,AE、BD相交于F,则∠3的度数为30°.(4)如图5,已知:∠1 =∠2,∠3 =∠4,要证BD =CD,需先证△AEB ≌△AEC,根据是ASA ,再证△BDE ≌△BCE ,根据是SAS .(5)如图6,AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD⊥AB于A,BC =AE.若AB = 5,则AD = 5 .5. 如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,B=C∠∠,求证:AD=AE.证明:先证△AEB ≌△ADC(ASA)∴AD=AE(全等三角形的对应边相等)图1E图5 图6图4AACDFEAB6. 如图,DF=AE ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,CE=BF.求证:∠A=∠D. 证明:先证△CDF ≌△BAE (SAS)∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等)7. 如图,已知:在梯形ABCD 中,AB//CD ,E 是BC 的中点,直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证:△ABE ≌△FCE. 证明:∵AB//CD∴∠FCE=∠B ,∠F=∠EAB 又E 是BC 的中点 ∴CE=BE∴△ABE ≌△FCE (AAS)8. 求证:△ABE ≌△FCE 如图,∠ACB=90°,AC=BC ,BE ⊥CE ,AD ⊥CE 于D ,求证:BE=CD. 证明:∵BE ⊥CE ,AD ⊥CE ∴∠E=∠CDA=90°EFDCBA∴∠BCE+∠EBC=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠EBC=∠ACD∴△CBE≌△ACD(AAS)∴BE=CD(全等三角形的对应边相等)9. 已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上.求证:(1)△ACD≌△BCE (2)CF=CG (3)△FCG是等边三角形证明:(1)△ACD≌△BCE (SAS)(2)∵△ACD≌△BCE∴∠ADC=∠BEC∴△CDG≌△CEF(ASA)∴CF=CG(3)∵CF=CG,∠ACE=60°∴△FCG是等边三角形G F。

全等三角形讲义

全等三角形讲义

ADB C E FO A DEB C F 平移型对称型全等三角形讲义【知识要点】1、全等三角形的定义:(1)操作方式:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形; (2)几何描述:大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形;(几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状) 2、全等三角形的几何表示:如图,△ABC ≌△DEF ;(注意对应点、对应边、对应角) 3、全等的性质:(求证线段相等、求证角相等的常规思维方法) 性质1:全等三角形对应边相等; 性质2:全等三角形对应角相等; 几何语言 ∵△ABC ≌△DEF∴AB=DE ;AC=DF ,BC=EF ;∠A=∠D ,∠B=∠E ,∠C=∠F. 性质3:全等三角形的对应边上的高、对应角平分线、对应边上的中线相等 性质4:全等三角形的周长、面积相等 4、三角形全等的常见基本图形【新知讲授】例1、如图,△OAB ≌△OCD ,AB ∥EF ,求证:CD ∥EF.例2、如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于点 D ,BE ⊥AC 于 点E ,AD 、BE 交于点F ,△ADC ≌△BDF (1)∠C=50°,求∠ABE 的度数.(2)若去掉原题条件“AD ⊥BC 于点 D ,BE ⊥AC 于 点E ”,仅保持“△ADC ≌△BDF ”不变,试问:你能证明:“AD ⊥BC 于点 D ,BE ⊥AC ”吗?AD B CE 例3、如图,△ABC ≌△ADE ,延长边BC 交DA 于点F ,交DE 于点G.(1)求证:∠DGB=∠CAE ; (2)若∠ACB=105°,∠CAD=10°,∠ABC=25°,求∠DGB 的度数.例4、如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,将Rt △ABC 沿DE 折叠,使A 点与B 点重合,折痕为DE. (1)图中有全等三角形吗?请写出来;(2)若∠A=35°,求∠CBD 的度数;(3)若AC=4,BC=3,AB=5,求△BCD 的周长.例5、如图,△ABF ≌△CDE.(1)求证:AB ∥CD ;AF ∥CE ;(2)若△AEF ≌△CFE ,求证:∠BAE=∠DCF ;(3)在(2)的条件下,若∠B=35°,∠CED=30°,∠DCF=20°,求∠EAF 的度数.AE F C【课后练习】一、选择题1、下面结论是错误的是( ). (A )全等三角形对应角所对的边是对应边 (B )全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 (C )全等三角形是一个特殊的三角形(D )如果两个三角形都与另一个三角形全等,那么这两个三角形全等 2、如图,△ABC ≌△AEF ,则下列结论中不一定成立的是( ).(A )AC=AF (B )∠EAB=∠FAC (C )EF=BC (D )EF 平分∠AFB3、如图,已知△ABC ≌△DEF ,AB=DE ,AC=DF ,则下列结论:①BC=EF ;②∠A=∠D ;③∠ACB=∠DEF ;④BE=CF ,其中正确结论的个数是( ).(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个4、如图,△ABD ≌△EFC ,AB=EF ,∠A=∠E ,AD=EC ,若BD=5,DF=2.2则CD=( ). (A )2.2 (B )2.8 (C )3.4 (D )4(第2题图) (第3题图) (第4题图) 5、如图,已知△ABD≌△ACD,下列结论: ①△ABC 为等腰三角形;②AD 平分∠BAC ;③AD ⊥BC ;④AD=BC. 其中正确结论的个数是( ).(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二、填空题6、已知:如图,△ACD ≌△AEB ,其中CD=EB ,AB=AD ,则∠ADC 的对边是 ,AC 的对应边是 ,∠C 的对应角是 .7、如图,已知△ABD ≌△DCA ,AB 的对应边是DC ,AD 的对应边是 ,∠BAD 的对应角是 ,AB 与CD 的位置关系是 .8、如图,若△OAD ≌△OBC ,且∠O=65°,∠C=20°则∠OAD= .AAFA D C E F(第6题图) (第7题图) (第8题图)三、解答题9、如图,直线l ⊥BC ,将△ABC 沿直线l 翻折得到△DEF ,AB 分别交DF 、DE 于M 、Q 两点,AC 交DF 于点Q.(1)图中共有多少对全等三角形?(不添加其它字母)(2)写出(1)中所有的全等的三角形. 10、如图,△ABC ≌△ADE ,点E 正好在线段BC 上.(1)求证:∠DEB=∠EAC ;(2)若∠1=50°,求∠DEB 的度数.【知识要点】全等三角形判定定理 1、“SAS ”定理:有两边及夹角对应相等的两个三角形全等;①求证全等的格式:(“全等五行”)如:②利用全等进行几何证明的三大环节:预备证明、“全等五行”、全等应用; ③“边边角”不能证明两个三角形全等;DBDA1FB CDAA BC D EO在△ABC 和△DEF 中:AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.(SAS )【新知讲授】“SAS”公理的运用例1、如图,C为AB的中点,CD∥BE,CD=BE,求证:∠D=∠E.巩固练习1、如图,点E、A、C在同一条直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD,求证:BC=DE.2、已知:如图,AB=AC,D、E分别为AB、AC的中点,求证:∠B=∠C.例2、已知:如图,AB=CD,∠ABC=∠DCB,求证:∠ABD=∠ACD.巩固练习:1、已知:如图,AB ∥CD ,AB=CD ,AE=DF ,求证:CE ∥BF.2、已知:如图,AB=AD ,AC=AE ,∠1=∠2,求证:∠DEB=∠2.例3、如图,BD 、CE 为△ABC 的两条中线,延长BD 到G ,使BD=DG ,延长CE 到F ,使CE=EF.(1)求证:AF=AG ;(2)试问:F 、A 、G 三点是否在同一直线线?证明你的结论.巩固练习:1.已知:如图,AB ⊥BD 于点B ,CD ⊥BD 于点D ,AB=CD ,BE=DF ,求证:∠EAF=∠ECF.A BC DEF A B C D EF2.已知:如图,AB=AC,AD平分∠BAC,求证:∠DBE=∠DCE.例4、已知:如图,OA=OB,OC=OD,求证:∠ACD=∠BDC. (提示:不能用等腰三角形的性质)巩固练习:1、已知:如图,OD=OE,OA=OB,求证:∠A=∠B.2、已知:如图,AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,求证:∠EAF=∠EDF.AD B C EF A D B C EA DC B 【课后作业】1、已知:如图,AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,AB=DE ,BE=CD ,试判断△ACE 的形状并说明理由.2、如图,点A 、B 、C 、D 在同一条直线上,EA ⊥AD ,FD ⊥AD ,AE=DF ,AB=DC ,求证:∠ACE=∠DBF.3、已知:如图,OD=OE ,OC 平分∠AOB ,求证:∠A=∠B.4、如图,四边形ABCD 中,AD=BC ,AD ∥BC ,求证:AB=CD ,AB ∥CD.5、如图,已知,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC=∠DAE.(1)求证:BD=CE ;(2)若∠BAC=∠DAE=α,延长BD 交CE 于点P ,则∠BPC 的度数为 .(用含α的式子表示)ABED C ADBC EF6、如图,C 是线段AB 的中点,CD 平分∠ACE ,CE 平分∠BCD ,CD=CE .(1)求证:△ACD≌△BCE; (2)若∠D=50°,求∠B 的度数.2、“SSS ”定理:三边对应相等的两个三角形全等;如:3、①“ASA ”定理:两角及两角所夹的边对应相等的两个三角形全等;②“AAS ”定理:两角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等; 如:【定理运用】例1、如图,E 、F 两点在线段BC 上,AB=CD ,AF=DE ,BE=CF ,求证:∠AFB=∠DEC.巩固练习:1、如图,已知,AB=AC ,AD=AE ,BD=CE ,延长BD 交CE 于点P ,求证:∠BAC=∠DAE ;在△ABC 和△DEF 中:AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.(SSS )在△ABC 和△DEF 中: B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴△ABC ∽△DEF.(ASA ) 在△ABC 和△DEF 中:A DB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ∽△DEF.(AAS )C A E BD例2、已知:如图,AB=AC ,AD=AE ,∠1=∠2,求证:AF=AG.巩固练习:1、如图,已知,AB=CD ,BE=DF ,AF=CE ,求证:AD ∥BC.例3、如图,C 为线段AB 的中点,AD ∥CE ,∠D=∠E ,求证:CD=EB.巩固练习1、如图,AD 为△ABC 的高线,E 、F 为直线AD 上两点,DE=DF ,BE ∥CF ,求证:AB=AC.E AF DC B 2、如图,∠ABC=∠DCB,BD 、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线,求证:AB=DC.例4、如图,△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别在BC 、AC 的延长线上,∠1=∠2=∠3,求证:AD=AE.巩固练习:1、已知:如图,∠A=∠D ,OA=OD ,求证:∠1=∠2.2、已知:AD ∥BC ,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,AE=CF ,求证:AB=CD.E A D C B 例5、已知:如图,AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠ABC=∠DCB.巩固练习:1、已知:如图,AB=AC ,AD=AE ,求证:∠DBC=∠ECB.2、已知:如图,△ABC 中,∠BAC=∠BCA ,延长BC 边的中线AD 到E 点,使AD=DE ,F 为BC 延长线上一点,且CE=CF ,求证:AF=2AD.例6、在△OAB 和△OCD 中,OA=OB ,OC=OD ,∠AOB=∠COD ,AC 、BD 交于点P.(1)①如图1,∠AOB=∠COD=60°,则∠APD= ,AC 与BD 的数量关系是 ;②如图2,∠AOB=∠COD=90°,则∠APD= ,AC 与BD 的数量关系是 ;(2)如图3,∠AOB=∠COD=α°,则∠APD 的度数为 (用含α的式子表示),AC 与BD 之间的等量关系是 ;填写你的结论,并给出你的证明;图1 图2 图3AB CE FDO P D C BA O P D CB AααO P D CB AEBCD CEABE A D B CF ADF图1图2图3F巩固练习:点C 为线段AB 上一点,分别以AC 、BC 为腰在直线AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE ,且CA=CD ,CB=CE ,∠ACD=∠BCE ,直线AE 、BD 交于点F.(1)如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB= ;(2)如图2,若∠ACD=α°,则∠AFB= ;(用α的代数式表示) (3)如图3,将图2中的△ACD 绕点C 顺时针旋转一个角度,延长BD 交线段AE 于点F ,试探究∠AFB 与α之间的数量关系,并给出你的证明.例7、已知:AB=AC ,AD=AE ,AF ⊥CD ,AG ⊥BE ,求证:AF=AG.巩固练习:1、如图,已知,AB=AD ,AC=AE ,∠1=∠2.(1)求证:BC=DE ;(2)若AF 平分∠BAC ,求证:AF=AC.AB EDC2、已知:如图,AB=AC ,AD=AE ,求证:AO 平分∠BAC.3、如图,等腰Rt △ABC 中AB=AC ,过A 任作直线l ,BD ⊥l 于点D ,CE ⊥l 于点E. (1) 若l 与BC 不相交,求证:BD+CE=DE ;(2) 当直线l 绕A 点旋转到与BC 相交时,其它条件不变,试猜想BD 、CE 和DE 的关系? 画图并给出证明.课后作业:1、如图,等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC=∠DAE=90°. (1)求证:BD=CE ;(2)求证:BD ⊥CE.A B C D EA B CA BDCOA DBC E AD C B 2、已知:如图,AB=AC ,AD=AE ,BD=CE ,求证:∠BAE=∠CAD.3、如图,四边形ABCD 中,AB=CD ,AD=BC ,求证:AB ∥CD ,AD ∥BC.4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AB=CB ,AD=CD ,求证:∠A=∠C.5、已知:如图,AD=BC ,AC=BD ,求证:∠D=∠C.A DBCC M E A BD 6、如图1,等腰△ABC 中AB=AC ,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD 、AE ,M 、N 分别BE 、CD 的中点.(1)CD BE ,AM AN ;(填“>”、“=”、“<”)(2)如图2,把图1中的△ADE 绕A 点逆时针旋转任意一个角度,(1)中的两个结论是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由.7、如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ∥BC ,求证:AB=CD ,AD=BC.8、已知:如图,AB//DE ,AE//BD ,AF=DC ,EF=BC 。

全等三角形的性质及判定(讲义及答案)

全等三角形的性质及判定(讲义及答案)

15. 已知:如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:△ADC≌△AEB. A
第 6 题图 第 7 题图
7. 如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成 3 块,现要到玻璃店去配一块完
全一样的玻璃,那么最省事的方法是( )
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去
C
第 11 题图 第 12 题图
12. 如图,点 B,E,C,F 在同一直线上,在△ABC 与△DEF 中,AB=DE,
2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形,全等用符号
“_________”表示.全等三角形的__________相等,____________相等.
3. 全等三角形的判定定理:______________________________.
精讲精练
C
B
D
3. 如图,△ABC≌△DEC,对应边___________,__________,___________,
对应角_______________,_______________,
______________. A
D
知识点睛
1. 不在同一直线上,首尾顺次相接,△
2. 能够完全重合,≌,对应边,对应角
16. 已知:如图,AB=CD,AB∥CD.求证:△ABD≌△CDB.
A D
B C
A 2
B C
第 8 题图 第 9 题图
9. 如图,∠1=∠2,若加上一个条件_______________________,
O
B D
11. 如图,AB=AD,∠1=∠2,如果要使△ABC≌△ADE,还需要添加一个条
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全等三角形的性质及判定
知识要点
1、全等三角形概念:两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
2、全等三角形性质:(1)两全等三角形的对应边相等,对应角相等.
(2)全等三角形的对应边上的高相等,
对应边上的中线相等,
对应角的平分线相等.
(3)全等三角形的周长、面积相等.
3、全等三角形判定方法:
(1)全等判定一:三条边对应相等的两个三角形全等(SSS)
(2)全等判定二:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
(3)全等判定三:两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) (4)全等判定四:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边(对应中线、角平分线、高线)、对应角、对应周长、对应面积相等
例题1:下列说法,正确的是()
A.全等图形的面积相等
B.面积相等的两个图形是全等形
C.形状相同的两个图形是全等形
D.周长相等的两个图形是全等形
例题2:如图1,折叠长方形ABCD,使顶点D与BC边上的N点重合,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=39°,则AN=____cm,NM=____cm,NAB
= .
E C
D A
【仿练1】如图2,已知ABC ADE ∆≅∆,AB AD =,BC DE =,那么与BAE ∠相等的角是 .
【仿练2】如图3,ABC ADE ∆≅∆,则AB= ,∠E= _.若∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC= .

三角形全等的判定一(SSS )
相关几何语言考点
∵AE=CF ∵CM 是△的中线
∴_____________( )
F
E
C
A
C
M
B
A
∴____________________
∴__________( )
或 ∵AC=EF
∴____________________
∴__________( )
AB=AB ( )
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩

⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF ( )
例1.如图,AB =AD ,CB =CD .△ABC 与△ADC 全等吗?为什么?
F
E
D
C
B
A
B
A
例2.如图,C 是AB 的中点,AD =CE ,CD =BE .
求证△ACD ≌△CBE .
例3.如图,点B ,E ,C ,F 在一条直线上,AB =DE ,AC =DF ,BE =CF . 求证∠A =∠D . 练习
1..如图,AB=CD ,AD=CB ,那么下列结论中错误的是( )
A .∠A=∠C
B .AB=AD
C .A
D ∥BC D .AB ∥CD
2、如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,BE=CE ,则由“SSS ”可以判定( )
A .△ABD ≌△ACD
B .△BDE ≌△CDE
C .△ABE ≌△ACE
D .以上都不对
D
A
C
B
E
3.如图,AB=AC,BD=CD,则△ABD≌△ACD的依据是()
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
4.如图,AB=AC,D为BC的中点,则△ABD≌_________.
5.如图,已知AB=DE,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,那么还要需要一个条件,这个条件可以是:.
6.如图,AB=AC,BD=DC,∠BAC=36°,则∠BAD的度数是°.
7、.如图,AB=AE,AC=AD,BD=CE,求证:△ABC≌ADE。

作业:
1、如图,已知AB=AD,需要条件(用图中的字母表示),可得△ABC≌△ADC,根据是.
2、如图,已知B、E、F、C在同一直线上,BF=CE,AF=DE,则添加条件,可以判断△ABF≌△DCE.
9题图
3、如图,AC=AD,BC=BD,则△ABC≌△;应用的判定方法是(简
写).
4、.如图,已知AE=DF、EC=BF,添加,可得△AEC≌△DFB.
5、.如图,已知AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证∠EFD=∠BCA,
三角形全等的判定二(SAS)
相关的几何语言
∠1=∠2 ( ) ∠A=∠A ( )
∵∠EAB=∠DAC
∴____________________
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩

⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF ( )
∴__________ 或
2
1
A
1
E
D
C
B
A F
E D
C B
A
∵∠EAC=∠DAB
∴____________________
∴__________
例1.如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.
例2.已知:如图,AD∥BC,AD=CB,求证:△ADC≌△CBA.
D
A
B C
例3.已知:如图AD ∥BC ,AD=CB ,AE=CF 。

求证:△AFD ≌△CEB .
例4.已知,如图,AB=AC ,AD=AE ,∠1=∠2。

求证:△ABD ≌△ACE .
例5.已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF .
例6.已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE .求证:BE ∥CF .
A
E
B
C
F
D
2 A
C B
E
D
1
例7.已知:如图,正方形ABCD ,BE =CF ,求证:(1)AE =BF ; (2)AE ⊥BF . 练习
1.如图,点E 、F 在AC 上,AD=BC ,DF=BE ,要使△ADF ≌△CBE ,还需要添加一个条件是( )
A .AD ∥BC
B .DF ∥BE
C .∠D=∠B
D .∠A=∠C
2.如图,若已知AE=AC ,用“SAS ”说明△ABC ≌△ADE ,还需要的一个条件是( )
A .BC=DE
B .AB=AD
C .BO=DO
D .EO=CO
G F E
D
C
A
B
3.如图,AB=CD,AB∥CD,判定△ABC≌△CDA的依据是()
A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
4.如图所示,AB=BD,BC=BE,要使△ABE≌△DBC,需添加条件()
A.∠A=∠D B.∠C=∠E C.∠D=∠E D.∠ABD=∠CBE 5.如图,AD∥BC,AD=CB,要使△ADF≌△CBE,需要添加的下列选项中的一个条件是()
A.AE=CF B.DF=BE C.∠A=∠C D.AE=EF
6.如图,点A、D、C、E在同一条直线上,AB∥EF,AB=EF,AD=EC,AE=10,AC=6,则CD
的长为.
7.如图,点F、C在线段BE上,且∠1=∠2,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,则还须补充一个条件.(只要填一个)
8.如图,△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,当时,△ABD≌△ACE.(添加一个适当的条件即可)
9.如图,已知AC=AE,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一
个).
10.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D,下列结论:
①∠EAB=∠FAC;②∠C=∠EFA;③AD=AC;④AF=AC.
其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号).
11.如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.
12如图,在△ABD和△FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E.求证:∠ADB=∠FCE.
13、如图,AC=DF,AC//DF,AE=DB,求证:BC//EF
三角形全等的判定三、四(ASA 、AAS )
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩⎪⎨⎧
_________
__________________
∴△ABC ≌△DEF ( )
F E D C B A D
A
在△ABC 和△DEF 中
∵⎪⎩
⎪⎨⎧___________________________
∴△ABC ≌△DEF ( )
例1.如图,点B ,F ,C ,E 在一条直线上,FB =CE ,AB ∥ED ,AC ∥FD .求证AB =DE ,AC =DF .
例2已知:如图 , 四边形ABCD 中 , AB ∥CD , AD ∥BC .求证:△ABD ≌△CDB
例3如图, AD=EB,AC ∥DF ,BC ∥EF .求证:ABC DEF ∆≅∆
A C F
E
D
B
1.如图,已知:∠A=∠D,∠1=∠2,下列条件中能使△ABC≌△DEF的是()
A.∠E=∠B B.ED=BC C.AB=EF D.AF=CD
2.如图:AB=AC,∠B=∠C,且AB=5,AE=2,则EC的长为()
A.2 B.3 C.5 D.2.5
3.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,依据ASA,应添加的一个条件是.
4.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,BC=5,则BD= .
5、.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,AB=FC,∠A=∠F,∠EBC=∠FCB.求证:BE=CD.。

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