弹性力学第2章应力分析
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应力分析
第 2 章
应力分析
本章用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态，介绍应力的概念及其性质，包 括斜截面的应力、坐标变换公式、主应力状态、应力张量不变量及其在塑性力学中的应用， 八面体上的应力及其应力张量分解为球形应力张量和偏斜应力张量，最后导出应力应满足 的平衡微分方程。本章不涉及材料的力学性质，所得结论对各种连续介质均普遍适用。
13
应力分析
设截面 ABC 的外法线 N 与各坐标轴正 向的夹角分别为 ( N , x) ，( N , y ) ，( N , z ) ，则 其方向余弦分别为：
z
yx
C
cos( N , x) l cos( N , y ) m cos( N , z ) n
如果三角形 ABC 的面积为 dA ，那么根 据平面图形面积投影定理，可得三角形 o
于是， 0 和 Fz 0 可导出另外两个相类似的平衡方程，
斜截面 ABC 的应力分量 p x , p y , p z 为，
p x x l xy m xz n p y yx l y m yz n p z zx l zy m z n
10
-3
应力分析
面力是指分布在物体表面上的外力。例如，液体压力、风力和接触力等，都是面力， 物体表面上各点所受面力一般也是不相同的，为表明物体表面任意一点 M 所受面力的大小 和方向，在 M 点的邻域内取一包含 M 点的微分面积为 A ，如图 2-1b 所示。设 A 的面力 为 P ， 则面力的平均集度为它的面积为 P / A ， 令 A 无限缩小而趋于 M 点， 则 P / V P 将趋于一定的极限 ，即
(i, j x, y, z )
（2-5b）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
式中 i ：自由指标，同一项只出现一次 ，同一方程中，各项的自由指标应相同。 j ：哑 指标，表示求和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。一方面通过哑指标对求和
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应力分析
起缩写的作用，另一方面通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。 令斜截面 ABC 的正应力为 N ，切应力为 N ，则将 p N 的各分量 p x , p y , p z 向 N 方向 投影即得
y
x
图 2-5
向的三个分量分别为 p x , p y , p z 。研究微分四面体的平衡，由
F
x
0 得：
p x dA x ldA yx mdA zx ndA 0
两边除以 dA 移项后，并注意应用切应力互等定理，得(2-4)式的第一式， 同理， 根据平衡条件
F
y
x,
y , z , xy , yz , zx ，则应
用式（2-6）和（2-7）可求得该点任意斜截面上的正应力和切应力。也就是说，已知一点处 的六个应力分量，则该点的应力状态就完全确定了。 如果，斜截面 ABC 是物体的边界面， p x , p y , p z 表示边界上的面力分量。由式（2-4） 可以得到应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物体的应力边界条件：
p2 2 2
应力的因次是[力]·[长度]
-2
（2-1）
§2.2 一点的应力状态
一般来说，物体内同一截面上不同点的应力是不同的，过同一点不同方向截面上应力
11
应力分析
的总体称为该点应力状态，研究一点的应力状态，就是确定过该点不同方向截面上应力的 大小和方向，建立它们之间的关系，这对于解决物体在弹性或塑性阶段的强度问题，尤其 是建立复杂应力状态下的强度理论，是很重要的。 为研究外力作用下物体内任意点 M ( x, y, z ) 的应力状态，可围绕 M 点用平行坐标面的 三 对 平 行 面 切 出 一 微 分 六 面 体 ， 简 称 单 元 体 或 微 分 体 （ 图 2-3 ） 。当单元体各边长
V 0
lim
F F V
(a)
z
fz
V
z F M y
(a)
图 2-1
F
fy
pz
A
P M
P
py
fx
px
o
x
o
x
(b)
y
极限矢量 F 就是 M 点所受体力的集度。 F 的方向与 F 的极限方向相同。 F 在坐标 轴 x、y、z 上的投影分别为 f x、f y , 、f z ，称为 M 点的体力分量。规定沿坐标轴正方向的 分量为正，沿坐标轴负方向的分量为负。体力的因次是[力]·[长度] 。
P P A0 A lim
(b)
极限矢量 P 就是 M 点所受面力的集度。 P 的方向与 P 的极限方向相同。 P 在坐标轴
x、y、z 上的投影分别为 p x ,、p y ,、p z ， 称为
z
Pn
M 点的面力分量。规定沿坐标轴正方向的分量 -2 P p 为正，反之为负，面力的因次是[力]·[长度] 在外力作用下， 物体内部或部分之间将产生 B m “附加内力” 简称为内力。 确定内力的方法是截 A m P M 面法。 A 设一任意形状的物体， 受外力作用时而处于 平衡，如图 2-2 所示，确定任意截面 m m 上 y 某一点 M 处的内力，可用假想的一个平面沿 m m 面将物体截开，分成 A，B 两部分。这两 x 部分在 m m 面上将有内力相互作用。移去 B 图 2-2 部分， 则 B 部分对 A 部分的作用以内力表示。 围 作用于ΔA 上的内力 绕 M 点取一微分面积ΔA， 为ΔQ，则内力的平均集度为ΔQ/ΔA。令ΔA 无限缩小而趋于 M 点，则在内力连续分布的 条件下ΔQ/ΔA 将趋于一定的极取 p ，即：
或缩写成矩阵形式
（2-4）
p N T N N
其中， 为应力矩阵的转置矩阵。且 ，
T T
（2-5a）
(l , m, n)
N
T
称为斜截面的方向
余弦列阵。 或按下标记法与求和约定写为
pi ij n j
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应力分析
向者为负。按此规定，正应力符号与材料力学中使用的拉应力为正、压应力为负规定是一 致的。切应力的符号与材料力学规定不完全一致，图 2-4 所有应力分量均按正的画出。 由此可见，在物体任意 M 点处的应力分量共有九个，其中有三个正应力分量，六个切 应力分量，这九个应力分量，当坐标变换时服从一定坐标变换式作相应变化，因此，由这 九个应力分量所组成的量称为二阶应力张量，各应力分量是应力张量的元素。应力张量通 常用记号 ij 表示，则有：
正应力 加上一个坐标角码，表明这个正应力的作用面和作用方向。例如： x 是作用 在垂直于 x 轴的面上，沿着 x 轴方向的作用正应力，切应力τ加上两个坐标角码，第一角码 表明作用面垂直于该坐标轴，第二个角码表明应力作用方向沿着该坐标轴。例如， xy 是作 用在垂直于 x 轴的面上，沿着 y 轴方向作用的切应力。 为了使物体同一截面（假设剖开后任意一部分上的截面）上的每个应力分量具有相同 符号，对于各应力分量的符号采用下述规定。 如果单元体截面的外法线方向沿着坐标轴正方向，则此截面成为正面。反之，截面的 外法线方向沿着坐标轴负方向，则称为负面。规定正面上的应力分量以沿坐标轴正方向者 为正，沿坐标负方向者为负；负面上的应力分量以沿坐标轴负方向者为正，沿坐标轴正方
由图 2-5 可见
2 2 2 2 2 pn px py p z2 N N
（2-6b）
因此，斜截面上的切应力由下式确定。
2 2 2 2 2 2 2 N ( pn N ) px py p z2 N 1 1
（2-7）
由此可见，已知物体内任意一点 M 处的六个应力分量
N l p x m p y n p z N T p N N T T N
将上式展开，并应用切应力互等定理可得
（2-6a）
N l 2 x m 2 y n 2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
xy
y
zy
A
pz x pN
N
yz p x M xzp y B zx
z
MBC ，MCA ，MAB 的面积为 ldA ，mdA ， ndA 。 四面体 MABC 是微分体。因此，可以认
为该微分体各截面上的应力是均匀分布的， 令 截面 ABC 上的总应力为 p N ，它沿坐标轴方
§2.1 基本概念
固体力学研究的对象是在外力作用下处于平衡状态时任意形状的变形固体。作用外力 是指其它物体对该物体的作用力。在固体力学中通常假定外力（荷载）是已知的。 外力的不同作用方式，一般可分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是指分布 在物体整个体积内的外力。例如，物体所受的重力、惯性力以及在磁场中所受的磁力等。 物体内各点所受的体力一般是不相同的。为表明物体内任一点 M 所受体力的大小和方向， 可取一包含 M 点的微分体，它的体积为 V （图 2-1a） V 设上的体力为 F ，则体力的 平均集度为 F / V 。令 V 无限缩小而趋于 M 点时，则 F / V 将趋于一定的极限 F ， 即
假定单元体各截面上的应力是均匀分布的，这些应力便可用作用在各截面中心点的一 个应力矢量表示。这个应力矢量又可分解为一个正应力和两个切应力，它们分别与三个坐 标轴平行，如图 2-4 所示。显而易见，微分体的六个面上共有九个应力分量，即：
x , xy , xz , yx , y , yz , zx , zy , z
dx、dy、dz 无限缩小时，单元体即趋于 M 点。因此，这个单元体各个截面上的应力状况，
就可表示 M 点的应力状态。 σz
z
dx dy dz M
o
z
τzx τyx σy τxy
τzy σx
τyz σy
y
图 2-3
o x
τxz τxz τyz τxy τyx σx τzx τzy σz
图 2-4
y
x
式（2-2）就是切应力互等定理。该定理表明，作用在相互垂直的两截面上的切应力大小相 等。于是 M 点处的九个应力分量中只有六个应力分量是独立的即 x , y , z , xy , yz , zx , 。 由这六个应力分量可完全确定该点的应力状态。 应用切应力互等定理，应力张量 ij 又可表示为：
x xy xz ij xy y yz xz yz z
可见应力张量是一个对称的二阶张量。
（2-3）
已知一点的六个应力分量，可以确定该点任意斜截面上的应力。为此，围绕 M 点用平 行坐标平面的三对平行面截取一微分单元体，再过此单元作一个与 M 点相距为无穷小的任 意斜截面 ABC 。 截面 ABC 和过 M 点的单元体平面形成一个微分四面体 MABC ， 如图 2-5 所示。显然，截面 ABC 上的应力可以认为是过 M 点任意斜截面上的应力。
x xy xz ij yx y yz zx zy z 式中 i , j x , y , z ，当 i , j 任取 x , y , z 时，就可以得到相应的分量。 实际上, M 点处的六个切应力分量之间有一定的互等关系，例如，将单元体上的作用
1 2
Q
o
lim
Q p A
(c)
极限矢量 p 就是 m m 截面上 M 点的总应力。 p 的方向与ΔQ 的极限方向一致。 为应用方便， 通常把总应力 p 分解为沿其所在截面的法线方向和切线方向的两个分量， 总应力沿截面法线方向的应力分量称为正应力，以符号 表示。总应力沿截面切线方向的 应力分量称为切应力，以符号τ表示，显然
力分别对与 x, y, z 轴平行的棱边取矩，由 M X 0 得，
于是得出： 同理由 ,
zy
dxdy dz yz dxdz dy
zy yz
得： xz zx 得： xy yx
(2-2a) (2-2b) （2-2c）
M y 0 Mz 0:
第 2 章
应力分析
本章用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态，介绍应力的概念及其性质，包 括斜截面的应力、坐标变换公式、主应力状态、应力张量不变量及其在塑性力学中的应用， 八面体上的应力及其应力张量分解为球形应力张量和偏斜应力张量，最后导出应力应满足 的平衡微分方程。本章不涉及材料的力学性质，所得结论对各种连续介质均普遍适用。
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应力分析
设截面 ABC 的外法线 N 与各坐标轴正 向的夹角分别为 ( N , x) ，( N , y ) ，( N , z ) ，则 其方向余弦分别为：
z
yx
C
cos( N , x) l cos( N , y ) m cos( N , z ) n
如果三角形 ABC 的面积为 dA ，那么根 据平面图形面积投影定理，可得三角形 o
于是， 0 和 Fz 0 可导出另外两个相类似的平衡方程，
斜截面 ABC 的应力分量 p x , p y , p z 为，
p x x l xy m xz n p y yx l y m yz n p z zx l zy m z n
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应力分析
面力是指分布在物体表面上的外力。例如，液体压力、风力和接触力等，都是面力， 物体表面上各点所受面力一般也是不相同的，为表明物体表面任意一点 M 所受面力的大小 和方向，在 M 点的邻域内取一包含 M 点的微分面积为 A ，如图 2-1b 所示。设 A 的面力 为 P ， 则面力的平均集度为它的面积为 P / A ， 令 A 无限缩小而趋于 M 点， 则 P / V P 将趋于一定的极限 ，即
(i, j x, y, z )
（2-5b）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
式中 i ：自由指标，同一项只出现一次 ，同一方程中，各项的自由指标应相同。 j ：哑 指标，表示求和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。一方面通过哑指标对求和
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应力分析
起缩写的作用，另一方面通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。 令斜截面 ABC 的正应力为 N ，切应力为 N ，则将 p N 的各分量 p x , p y , p z 向 N 方向 投影即得
y
x
图 2-5
向的三个分量分别为 p x , p y , p z 。研究微分四面体的平衡，由
F
x
0 得：
p x dA x ldA yx mdA zx ndA 0
两边除以 dA 移项后，并注意应用切应力互等定理，得(2-4)式的第一式， 同理， 根据平衡条件
F
y
x,
y , z , xy , yz , zx ，则应
用式（2-6）和（2-7）可求得该点任意斜截面上的正应力和切应力。也就是说，已知一点处 的六个应力分量，则该点的应力状态就完全确定了。 如果，斜截面 ABC 是物体的边界面， p x , p y , p z 表示边界上的面力分量。由式（2-4） 可以得到应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物体的应力边界条件：
p2 2 2
应力的因次是[力]·[长度]
-2
（2-1）
§2.2 一点的应力状态
一般来说，物体内同一截面上不同点的应力是不同的，过同一点不同方向截面上应力
11
应力分析
的总体称为该点应力状态，研究一点的应力状态，就是确定过该点不同方向截面上应力的 大小和方向，建立它们之间的关系，这对于解决物体在弹性或塑性阶段的强度问题，尤其 是建立复杂应力状态下的强度理论，是很重要的。 为研究外力作用下物体内任意点 M ( x, y, z ) 的应力状态，可围绕 M 点用平行坐标面的 三 对 平 行 面 切 出 一 微 分 六 面 体 ， 简 称 单 元 体 或 微 分 体 （ 图 2-3 ） 。当单元体各边长
V 0
lim
F F V
(a)
z
fz
V
z F M y
(a)
图 2-1
F
fy
pz
A
P M
P
py
fx
px
o
x
o
x
(b)
y
极限矢量 F 就是 M 点所受体力的集度。 F 的方向与 F 的极限方向相同。 F 在坐标 轴 x、y、z 上的投影分别为 f x、f y , 、f z ，称为 M 点的体力分量。规定沿坐标轴正方向的 分量为正，沿坐标轴负方向的分量为负。体力的因次是[力]·[长度] 。
P P A0 A lim
(b)
极限矢量 P 就是 M 点所受面力的集度。 P 的方向与 P 的极限方向相同。 P 在坐标轴
x、y、z 上的投影分别为 p x ,、p y ,、p z ， 称为
z
Pn
M 点的面力分量。规定沿坐标轴正方向的分量 -2 P p 为正，反之为负，面力的因次是[力]·[长度] 在外力作用下， 物体内部或部分之间将产生 B m “附加内力” 简称为内力。 确定内力的方法是截 A m P M 面法。 A 设一任意形状的物体， 受外力作用时而处于 平衡，如图 2-2 所示，确定任意截面 m m 上 y 某一点 M 处的内力，可用假想的一个平面沿 m m 面将物体截开，分成 A，B 两部分。这两 x 部分在 m m 面上将有内力相互作用。移去 B 图 2-2 部分， 则 B 部分对 A 部分的作用以内力表示。 围 作用于ΔA 上的内力 绕 M 点取一微分面积ΔA， 为ΔQ，则内力的平均集度为ΔQ/ΔA。令ΔA 无限缩小而趋于 M 点，则在内力连续分布的 条件下ΔQ/ΔA 将趋于一定的极取 p ，即：
或缩写成矩阵形式
（2-4）
p N T N N
其中， 为应力矩阵的转置矩阵。且 ，
T T
（2-5a）
(l , m, n)
N
T
称为斜截面的方向
余弦列阵。 或按下标记法与求和约定写为
pi ij n j
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应力分析
向者为负。按此规定，正应力符号与材料力学中使用的拉应力为正、压应力为负规定是一 致的。切应力的符号与材料力学规定不完全一致，图 2-4 所有应力分量均按正的画出。 由此可见，在物体任意 M 点处的应力分量共有九个，其中有三个正应力分量，六个切 应力分量，这九个应力分量，当坐标变换时服从一定坐标变换式作相应变化，因此，由这 九个应力分量所组成的量称为二阶应力张量，各应力分量是应力张量的元素。应力张量通 常用记号 ij 表示，则有：
正应力 加上一个坐标角码，表明这个正应力的作用面和作用方向。例如： x 是作用 在垂直于 x 轴的面上，沿着 x 轴方向的作用正应力，切应力τ加上两个坐标角码，第一角码 表明作用面垂直于该坐标轴，第二个角码表明应力作用方向沿着该坐标轴。例如， xy 是作 用在垂直于 x 轴的面上，沿着 y 轴方向作用的切应力。 为了使物体同一截面（假设剖开后任意一部分上的截面）上的每个应力分量具有相同 符号，对于各应力分量的符号采用下述规定。 如果单元体截面的外法线方向沿着坐标轴正方向，则此截面成为正面。反之，截面的 外法线方向沿着坐标轴负方向，则称为负面。规定正面上的应力分量以沿坐标轴正方向者 为正，沿坐标负方向者为负；负面上的应力分量以沿坐标轴负方向者为正，沿坐标轴正方
由图 2-5 可见
2 2 2 2 2 pn px py p z2 N N
（2-6b）
因此，斜截面上的切应力由下式确定。
2 2 2 2 2 2 2 N ( pn N ) px py p z2 N 1 1
（2-7）
由此可见，已知物体内任意一点 M 处的六个应力分量
N l p x m p y n p z N T p N N T T N
将上式展开，并应用切应力互等定理可得
（2-6a）
N l 2 x m 2 y n 2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
xy
y
zy
A
pz x pN
N
yz p x M xzp y B zx
z
MBC ，MCA ，MAB 的面积为 ldA ，mdA ， ndA 。 四面体 MABC 是微分体。因此，可以认
为该微分体各截面上的应力是均匀分布的， 令 截面 ABC 上的总应力为 p N ，它沿坐标轴方
§2.1 基本概念
固体力学研究的对象是在外力作用下处于平衡状态时任意形状的变形固体。作用外力 是指其它物体对该物体的作用力。在固体力学中通常假定外力（荷载）是已知的。 外力的不同作用方式，一般可分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是指分布 在物体整个体积内的外力。例如，物体所受的重力、惯性力以及在磁场中所受的磁力等。 物体内各点所受的体力一般是不相同的。为表明物体内任一点 M 所受体力的大小和方向， 可取一包含 M 点的微分体，它的体积为 V （图 2-1a） V 设上的体力为 F ，则体力的 平均集度为 F / V 。令 V 无限缩小而趋于 M 点时，则 F / V 将趋于一定的极限 F ， 即
假定单元体各截面上的应力是均匀分布的，这些应力便可用作用在各截面中心点的一 个应力矢量表示。这个应力矢量又可分解为一个正应力和两个切应力，它们分别与三个坐 标轴平行，如图 2-4 所示。显而易见，微分体的六个面上共有九个应力分量，即：
x , xy , xz , yx , y , yz , zx , zy , z
dx、dy、dz 无限缩小时，单元体即趋于 M 点。因此，这个单元体各个截面上的应力状况，
就可表示 M 点的应力状态。 σz
z
dx dy dz M
o
z
τzx τyx σy τxy
τzy σx
τyz σy
y
图 2-3
o x
τxz τxz τyz τxy τyx σx τzx τzy σz
图 2-4
y
x
式（2-2）就是切应力互等定理。该定理表明，作用在相互垂直的两截面上的切应力大小相 等。于是 M 点处的九个应力分量中只有六个应力分量是独立的即 x , y , z , xy , yz , zx , 。 由这六个应力分量可完全确定该点的应力状态。 应用切应力互等定理，应力张量 ij 又可表示为：
x xy xz ij xy y yz xz yz z
可见应力张量是一个对称的二阶张量。
（2-3）
已知一点的六个应力分量，可以确定该点任意斜截面上的应力。为此，围绕 M 点用平 行坐标平面的三对平行面截取一微分单元体，再过此单元作一个与 M 点相距为无穷小的任 意斜截面 ABC 。 截面 ABC 和过 M 点的单元体平面形成一个微分四面体 MABC ， 如图 2-5 所示。显然，截面 ABC 上的应力可以认为是过 M 点任意斜截面上的应力。
x xy xz ij yx y yz zx zy z 式中 i , j x , y , z ，当 i , j 任取 x , y , z 时，就可以得到相应的分量。 实际上, M 点处的六个切应力分量之间有一定的互等关系，例如，将单元体上的作用
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Q
o
lim
Q p A
(c)
极限矢量 p 就是 m m 截面上 M 点的总应力。 p 的方向与ΔQ 的极限方向一致。 为应用方便， 通常把总应力 p 分解为沿其所在截面的法线方向和切线方向的两个分量， 总应力沿截面法线方向的应力分量称为正应力，以符号 表示。总应力沿截面切线方向的 应力分量称为切应力，以符号τ表示，显然
力分别对与 x, y, z 轴平行的棱边取矩，由 M X 0 得，
于是得出： 同理由 ,
zy
dxdy dz yz dxdz dy
zy yz
得： xz zx 得： xy yx
(2-2a) (2-2b) （2-2c）
M y 0 Mz 0: