弹塑性力学-第二章 应力分析
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000弹塑性力学-应力理论
y 32
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
zl323
2 xyl31l32
2 yzl32l33
2 zxl33l31
（2-4）
x'y' xl11l21 yl12l22 zl13l23 xy (l11l22 l12l21) yz (l12l23 l13l22 ) zx (l13l21 l11l23 ) y'z' xl21l31 yl22l32 zl23l33 xy (l21l32 l22l31) yz (l22l33 l23l32 ) zx (l23l31 l21l33) z'x' xl31l11 yl32l12 zl33l13 xy (l31l12 l32l11) yz (l32l13 l33l12 ) zx (l33l11 l31l13 )
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
px
τ xz
τ O yz τ zy
τ zx
σz
n x'
σx
py
A
x
z'
B
y
假定不计体力，且斜截面上的外法线n 的余弦分别为：
cos(n, x) l1
cos(n, y) l2
（a）
cos(n, z) l3
若令斜截面ABC的面积为1，则三角形 OBC、OAC、OAB的面积分别为：
第一章 概述
1. 弹塑性力学的任务 2. 基本假设 3. 发展概况 4. 主要内容 5. 主要参考文献
第二章 应力理论
§2-1 应力的概念
若一物体受到外力 P1、P2…….Pn 的作用，它必然产生变形，也即其形 状或尺寸会发生变化，同时物体内各 部分之间将产生相互平衡的内力（附 加内力）。现假想用一个平面K将物 体分成两部分，如图2-1所示。显然 这两部分将通过K截面有分布内力的 相互作用。
弹性力学 (2)
平衡方程(不计体力)为
(2-5)
几何方程为 将式(2-6)中的第二式对 r 求一阶导数，得
(2-6)
(2-7)
式(2-7)为应变分量(或位移分量)表示的变形协调方程。 物理方程为
(2-8)
(2-9)
由式(2-8)可得到
将以上两式代入式(2-7)，得到以应力分量表示的变形协调方程
(2-10)
将此式与平衡方程式(2-5)第一式联立求解便可得到应力 分量 r 和 。 二、厚壁圆筒的应力和位移解 厚壁圆筒的应力、应变和位移分量求解一般有两种解法， 即位移法和应力法。
方程．四个几何方程和四个物理方程，求解十个未知量，即四 个应力分量 r , , z , zr ,四个应变分量 r , , z , zr , 和 两个位移分量 u , w 。 对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒体的几何形状、 载荷、支承情况沿 z 轴没有变化，所有垂直于轴线的横截面在 变形后仍保持为平面，则 zr 0, zr 0, 即 u 只决定于 r ．w只 决定于 z ，由此可得
线段PC的线应变为
PA和PC间的直角变化，即切应变为:
在
r
的平面内
由此，空间轴对称的几何方程为
(2-2)
3．物理方程 根据广义虎克定律，微元体的应力应变必须满足下列关系:
(2-3)
或写成
(2-4)
式中 e r z
综上所述，空间轴对称问题共十个基本方程，即两个平衡
(2-22)
(2-23)
②厚壁圆筒仅作用内压( pi 0 , po 0)时
(2-24)
pi 0 ,
po 0
(2-25)
③厚壁圆筒仅作用外压( pi 0 , po 0 )时
(2-5)
几何方程为 将式(2-6)中的第二式对 r 求一阶导数，得
(2-6)
(2-7)
式(2-7)为应变分量(或位移分量)表示的变形协调方程。 物理方程为
(2-8)
(2-9)
由式(2-8)可得到
将以上两式代入式(2-7)，得到以应力分量表示的变形协调方程
(2-10)
将此式与平衡方程式(2-5)第一式联立求解便可得到应力 分量 r 和 。 二、厚壁圆筒的应力和位移解 厚壁圆筒的应力、应变和位移分量求解一般有两种解法， 即位移法和应力法。
方程．四个几何方程和四个物理方程，求解十个未知量，即四 个应力分量 r , , z , zr ,四个应变分量 r , , z , zr , 和 两个位移分量 u , w 。 对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒体的几何形状、 载荷、支承情况沿 z 轴没有变化，所有垂直于轴线的横截面在 变形后仍保持为平面，则 zr 0, zr 0, 即 u 只决定于 r ．w只 决定于 z ，由此可得
线段PC的线应变为
PA和PC间的直角变化，即切应变为:
在
r
的平面内
由此，空间轴对称的几何方程为
(2-2)
3．物理方程 根据广义虎克定律，微元体的应力应变必须满足下列关系:
(2-3)
或写成
(2-4)
式中 e r z
综上所述，空间轴对称问题共十个基本方程，即两个平衡
(2-22)
(2-23)
②厚壁圆筒仅作用内压( pi 0 , po 0)时
(2-24)
pi 0 ,
po 0
(2-25)
③厚壁圆筒仅作用外压( pi 0 , po 0 )时
弹塑性力学 第02章应力状态理论
第二章
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6 §2-7
应力状态理论
体力和面力 应力和一点的应力状态 与坐标轴倾斜的微分面上的应力 平衡微分方程·应力边界条件 主应力·应力张量不变量 最大切应力 偏应力张量及其不变量
§2-1 体力和面力
作用于物体上的外力分为两类 ①体力：指分布在物体内所有质点上的力，如重 力、惯性力和电磁力等；用 Fbx , Fby , Fbz 表示单位 体积的体力；其量纲为 MT −2 L−2 ；其单位为 N m 3。 ②面力：指作用在物体表面上的力，如风力、液 体压力等；用 f sx , f sy , f sz 表示单位面积的面力；其 量纲为 MT L ；其单位为 N m 。
⎧σ x = −γy ⎨ ⎩τ xy = 0
平面情况下面力边界 条件简化为
⎧ ⎪ f sx = σ x l + τ yx m ⎨ ⎪ ⎩ f sy = τ xy l + σ y m
AB边
l = 0， m = −1
f sx = 0， f sy = γh
⎧ ⎪σ y = −γh ⎨ = 0 τ ⎪ xy ⎩
⎧τ zy = τ yz ⎪ ⎨τ xz = τ zx ⎪τ = τ yx ⎩ xy
切应力互 等定理
σ ij = σ ji
在弹性体的表面，考虑任一微分四面体的平衡。 设物体单位面积上的面力为 f sx , f sy , f sz ，物体表面外 法线的方向余弦为l，m，n，则应用平衡关系，可得
⎧ f sx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎪ ⎪ ⎨ f sy = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎪ ⎪ ⎩ f sz = τ xz l + τ yz m + σ z n
应力分析(Stress Analysis)
推导原理： 静力平衡条件： 静力矩平衡条件：
X 0, Y 0, Z 0
M
x
0, M y 0, M z 0
2 1 f ( x ) 1 f ( x) 泰勒级数展开： f ( x dx) f ( x) ...... 2 1! x 2! x
2 2 P 总应力 8 8 8 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。
八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2 , 3 8 , 8
I1, I 2
因为
2 2 8 ( I1 3I 2 ) 3
ij ij m
' ij
(i,j=x,y,z)
为柯氏符号。
1 其中 m ( x y z ) 即平均应力， 3
即
' x xy xz x xy xz 1 0 0 . . ' 0 1 0 y yz y yz m ' . . . . z z 0 0 1
' ' ' ' ' ' I1' x y z 1 2 3 0
' ' ' ' ' ' I2 1 2 2 3 3 1' （体现变形体形状改变的程度）
' ' ' ' I3 1 2 3 const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程* ij 0 i
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
第二章弹性力学的基本原理
第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。
考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。
每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1)这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=31j j ij e σ。
这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。
由此得到九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=zz zy zx yz yy yxxz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。
如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。
2.1.2 柯西(Cauchy)方程记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。
外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。
设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为⎪⎪⎪⎭⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即j n j n T e T )()(= (2.4)另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。
塑性力学-应力分析讲义_
S 3 J2S J3 0
(2-17)
求解上式，可得到应力偏张量的 3 个主应力 S1 ， S 2 ， S 3 （主偏应力） 。利用三角 方程求解，设 S i r sin ，带入式(2-17)中，整理得到：
sin 3
J3 J2 sin 3 0 2 r r
(2-16A)
或
J 1 S1 S 2 S 3 0
1 J 2 S1 S 2 S 2 S 3 S 3 S1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] (2-16B) 6
J 3 S1 S 2 S 3
称为应力偏张量的不变量。定义广义剪应力 q （等效应力或应力强度 ）为：
I 1 ( 1 2 3 ) I 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) I 3 1 2 3 (2-10B)
2.1.4
应力张量的分解
三个正应力的平均值称为平均应力，并用 m 或 p 表示：
m p ( 11 22 33 )
(2-23A)
或
2 sin( ) 1 p 3 2 2 p q sin p 3 4 3 sin( 3 )
(2-23B)
其中， p = m 为平均应力， q = r 为广义剪应力或应力强度，在岩土力学中，常 以 ( p, q, ) 表示一点的应力状态。
2 S1 sin( 3 ) 2 J 2 sin S 2 3 S 4 3 sin( 3 )
(2-22)
考虑到前面所说的张量分解，应力张量的主应力可表示为：
2-1 应力状态分析
Sz=τxzl+τyzm+σzn 即 当斜面为边界时 因此S2=Sx2+Sy2+Sz2 σ= Sxl+Sym+Szn =σxl2+σym2+σxn2+2(τxylm+τyzmn+τxzln) τ2= S2-σ2 重要意义： （1）已知垂直面上的应力，则斜面上的应力可求，反之，可反求; （2）当斜面为外边界时，可利用外力求内力，建立了内外力之间的 关系。
l=0 m=± n=± 此时τ23=±（σ2 -σ3）/2 ，面上有σ=（σ2 +σ3）/2 l=± m=0 n=± 此时τ31=±（σ3–σ1）/2，面上有σ=（σ1 +σ3）/2 l=± m=± n=0 此时τ12=±（σ1–σ2）/2 ，面上有σ=（σ1 +σ2）/2 若σ1>σ2 >σ3则τmax=（σ1 –σ3）/2 此切应力为最大值即最大切应力。
第二章 应力分析
应力：单位面积上的内力。 塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），
称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件 写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。 满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。
第一节 外力、应力和点的应力状
态
任意一点的应力状态 —— 整个变形体的应力状态
一 应力分析
外力—— 产生内力的外部力 内力(或应力)―― 在外力的作用下，物体内部之间的平衡力 应力：正应力σ，
切应力τ
应力分析单元体法（三维）
设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分 量，可写为矩阵：
作用面 作用方向 张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负号。 单元体平衡有：τxy=τyx τxz=τzx τyz=τzy 因此σij=是对称张量
弹塑性力学——应力
x xy xz yx y yz z zx zy
• 张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
• 应力正、负号规定 正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负； 负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。
y
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角 ex
e ' x
ey
m1 m2
ez
n1 n2
l1 l2
ey '
ez'
l3
m3
n3
• e ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝xl1+yxm1+zxn1 Ty＝xyl1+ym1+zyn1 Tz＝xzl1+yzm1+zn1
• 力矩平衡：绕z轴
(xydydz)dx(yxdxdz)dy=0 xy＝yx 绕x和y方向的形心轴取矩 yz=zy xz= zx
静力学边界条件
n X A
xl+yxm+zxn＝ X
xyl+ym+zyn＝ Y ＝
xzl+yzm+zn
Z
z y x
例1-2 如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条 件。
zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z
x yx zx X 0 x y z
• 由y、z方向的平衡
xy x y y zy z Y 0
xz yz z Z 0 x y z
弹塑性力学应力分析
解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
02应变分析(弹塑性力学讲义)
2 2 d x d y 2 + d y d z 2 + d z d x 2 + 3 d xy + d 2 + d zx yz 2
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
塑性力学 第二章 应力状态与应变状态
1 2 3 c
c 平均应力为 m 3 因此，在与 平面平行的平面上的各点 表示了这样一些点的应力状态，即它们具有 相同的弹性体积变形。
26
§2-6 应变张量及其分解 一、应变与位移的关系 1 1、小变形情况 ij ui , j u j ,i 2 2、大变形（有限变形）情况 设变形前的初始时刻t=0，物体内A点的坐 标为ai a1 , a2 , a3 ，经过变形后，在t时刻它移 到 A 。相对于同一坐标系的坐标为 xi x1, x2 , x3 变形前后的位置一一对应，可由 xi 的单值连续 函数表示 xi xi a j , t 。同样也可以表示为 a i 的 单值连续函数 ai ai x j , t 。
1 MP1 max ( 1 3 ) 2 MP2 MP 1P 2P 1
1 1 ( 1 3 ) 1 2 2 2 1 3 2 2
1925年Lode提出参数
20
MP2 2 2 1 3 2s2 s1 s3 MP 1 3 s1 s3 1
22
（1）应力空间中过原点并与坐标轴成等角的 直线L L直线的方程为 1 2 3 。该直线上 的点代表物体上承受静水应力的点。L直线上 的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。 （2）应力空间中过原点而与L直线垂直的平 面—— 平面 平面的方程为 1 2 3 0 。该平面 上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量， 因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上 的点对应于不引起体积变形的应力状态。
17
§2-5 三向应力圆 Lode应力参数 Haigh-Westergaard应力空间
一、三向应力圆
c 平均应力为 m 3 因此，在与 平面平行的平面上的各点 表示了这样一些点的应力状态，即它们具有 相同的弹性体积变形。
26
§2-6 应变张量及其分解 一、应变与位移的关系 1 1、小变形情况 ij ui , j u j ,i 2 2、大变形（有限变形）情况 设变形前的初始时刻t=0，物体内A点的坐 标为ai a1 , a2 , a3 ，经过变形后，在t时刻它移 到 A 。相对于同一坐标系的坐标为 xi x1, x2 , x3 变形前后的位置一一对应，可由 xi 的单值连续 函数表示 xi xi a j , t 。同样也可以表示为 a i 的 单值连续函数 ai ai x j , t 。
1 MP1 max ( 1 3 ) 2 MP2 MP 1P 2P 1
1 1 ( 1 3 ) 1 2 2 2 1 3 2 2
1925年Lode提出参数
20
MP2 2 2 1 3 2s2 s1 s3 MP 1 3 s1 s3 1
22
（1）应力空间中过原点并与坐标轴成等角的 直线L L直线的方程为 1 2 3 。该直线上 的点代表物体上承受静水应力的点。L直线上 的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。 （2）应力空间中过原点而与L直线垂直的平 面—— 平面 平面的方程为 1 2 3 0 。该平面 上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量， 因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上 的点对应于不引起体积变形的应力状态。
17
§2-5 三向应力圆 Lode应力参数 Haigh-Westergaard应力空间
一、三向应力圆
弹塑性力学-02详解
九个量
这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。
数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定
义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并
称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。
各应力分量即为应力张量的元素。
12
应力张量通常表示为
其中i，j=x，y，z，当 i，j任取x，y，z时，
量
x xy xz yz y yz zx zy z
i, j
11
x xy xz yz y yz zx zy z
x' y'z' z'x'
x'y' y' z'y'
x'z' y'z' z'
9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象， 即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系 变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的
应力及其分量 的量纲为 [力][长度]-2
单位为帕（Pa） =N/m2
9
在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可 以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续 变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了 一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。
为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微 小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的 正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在 各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面 中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为 一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给 出的各应力分量均为正方向。
这9个量描绘同一点P的同一物理现象，所以它们的定义仍为∑。
数学上，在坐标变换时，服从一定的坐标变换式的九个数所定
义的量叫做二阶张量。根据这一定义，∑是一个二阶张量，并
称为应力张量。以后将证明，应力张量为一对称的二阶张量。
各应力分量即为应力张量的元素。
12
应力张量通常表示为
其中i，j=x，y，z，当 i，j任取x，y，z时，
量
x xy xz yz y yz zx zy z
i, j
11
x xy xz yz y yz zx zy z
x' y'z' z'x'
x'y' y' z'y'
x'z' y'z' z'
9个应力分量定义一个新的量∑，它描绘了一种物理现象， 即P点处的应力状态。∑是对坐标系Oxyz而言的，当坐标系 变换时，它们按一定的变换式变换成另一坐标系Ox'y'z'中的
应力及其分量 的量纲为 [力][长度]-2
单位为帕（Pa） =N/m2
9
在以上的讨论中，过P点的C平面是任选的。显然，过P点可 以做无穷多个这样的平面C。或者说，过P点有无穷多个连续 变化的n方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了 一个到底如何描绘一点处应力状态的问题。
为了研究P点处的应力状态，我们在P点处沿坐标方向取一个微 小的平行六面体，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的 正、负方向重合，各边长分别为△x，△y，△z.。假定应力在 各个面上均匀分布，于是各面上的应力矢量便可用作用在各面 中心点的一个应力矢量来表示。每个面上的应力又可以分解为 一个正应力和两个剪应力分量。按前面约定的表示法，图中给 出的各应力分量均为正方向。
弹性力学第2章—应力
τyz
px
O
τzy
τxz
τzx
σz
σx
py
B
y
( ) σ x′
=
σ
x
l
2 x′x
+
σ
y
l
2 x′y
+
σ
z
l
2 x′z
+
2 τ xy lx′xlx′y
+ τ yz l lx′y x′z
+ τ zxlx′xlx′z
即 σ1′1′ = l1′il1′ jσ ij
σ σ 同理可得 σ1′2′ = σ l l1′i 2′ j ij ， = l l 1′3′ 1′i 3′ j ij
pn
=
lim
ΔSC →0
ΔP ΔSC
Bn
C σ n ΔP
P
ΔSC
τ
pn
n
A
O
y
x
2.1 应力的概念
应力的分解:
应力矢量分解为正应力（截面法向）和剪应力（切向）
正应力 剪应力
σn τn
= =
lim
ΔSC →0
lim
ΔSC →0
ΔPn ΔSC ΔPs ΔSC
⎫
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
pn = σ nn + τ ns
z
Bn
C σ n ΔP
P
ΔSC
τ
pn
n
A
σ n = pn ⋅ n
O
τ n = pn ⋅ s =
p2
−
σ
2 n
y
x
2.1 应力的概念
一点的应力状态：
过固体内部一点的所有截面上应力的集合
2-弹塑性力学-应力分析
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
应力的坐标变换(例题讲解) 应力的坐标变换(例题讲解)*
实际应用:晶体取向, 实际应用:晶体取向,织构分析等
应力莫尔圆**: 应力莫尔圆 :
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书) 掌握如何画,如何分析(工程力学已学,看书)
不计体力) (不计体力)
物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 物理意义:表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系. 对弹性变形和塑性变形均适用. 对弹性变形和塑性变形均适用.
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
推导原理:
– 静力平衡条件: 静力平衡条件: –
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
八面体应力的求解思路: 八面体应力的求解思路:
σij (i, j = x, y, z) →σ1,σ2 ,σ3 →σ8,τ8
↓→I1,I2 →↑
因为
2 2 τ8 = (I1 3I2 ) 3
第二章 应力分析 (Stress Analysis)
等效应力( 2.6 等效应力(equivalent stress) )
通常规定: 通常规定:
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ3
τ max = σ1 σ 3
2
则有最大剪应力:
或者: 或者: 其中: 其中: 且有:
τ max = max{ 12 , τ 23 , τ31 } τ τ12 = ± σ1 σ 2
2 ,τ 23 = ±
σ 2 σ 3
2
,τ31 = ±
σ3 σ1
2
τ12 +τ 23 +τ31 = 0
第二章 应力分析
z
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 5
Mechanics of Elasto-Plasticity
z
y
yz
y
pyyx
y
正 面
zx
dz x
xz
dy
zy
yz
dx
x
同样，在三个坐标面的负面， 可表示为
xy yx y
N xy y zy Z N xz l yz m z n
简记为：
pi ji l j
(2-8)′
特别重要地，在边界上，若边界外力设为 (Tx , Ty, Tz )，且外边界 面的法线方向 (l,m,n), 则有 外力边界条件: Tx x l yx m zx n
弹塑性力学
YN dS xy l ds y m ds zy n ds 0
0
石家庄铁道学院工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
得到斜截面上应力分量 (Cauchy stress formula) X N x l yx m zx n (2-8) Y l m n
P3
dP
y
x
P2
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 3
Mechanics of Elasto-Plasticity
<ii>应力分量: 1°PN 可分解成沿截面法线的法向分量σN 和在截面内的切向分量τN ,
z
N
N
n PN y
σN 称为正应力； τN 称为切应力；
υ
x N PN sin N PN cos υ为PN 与截面间的夹角； yz z 下标N表示所在截面的外法线方向n。 y 2°应力分量表示： 当N与y轴一致时, 全应力P y 在法向上分量σy ， yx 在切向上分量τy 。 切向应力分量τy 又沿坐标轴分解成 x x 方向切应力τyx 和 z 方向切应力τy z .
弹塑性力学第二章
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
1. 外力 面力（表面力）：作用在物体表面上的力 体力（体积力）：满布在物体内部各质点上的力 面力平均集度： 一点面力的集度：
∆p ∆S
lim
[力][长度] -2
∆p = pS ∆S → 0 ∆S
Ps方向：与∆P的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
第二章
§2.1 力和应力的概念
应力
§2.2 二维应力状态与平面问题的平衡方程 §2.3 一点处应力状态的描述 §2.4 边界条件 §2.5 主应力与主方向 §2.6 球张量与应力偏量
附录
下标记号法(指标记法） 一、下标记号法(指标记法）
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
对于厚度t=1的微小矩形单 元abcd，有平衡条件： M a = 0 ∑
解得： τ xy = τ yx 剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或共同背离这一交线
∑X =0
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y =a x +a x +a x 31 1 32 2 3 3 3
按求和约定，上述方程组可以写为
y1 = a1m xm y2 = a2 m xm y = a x 3m m 3
1. 外力 面力（表面力）：作用在物体表面上的力 体力（体积力）：满布在物体内部各质点上的力 面力平均集度： 一点面力的集度：
∆p ∆S
lim
[力][长度] -2
∆p = pS ∆S → 0 ∆S
Ps方向：与∆P的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
第二章
§2.1 力和应力的概念
应力
§2.2 二维应力状态与平面问题的平衡方程 §2.3 一点处应力状态的描述 §2.4 边界条件 §2.5 主应力与主方向 §2.6 球张量与应力偏量
附录
下标记号法(指标记法） 一、下标记号法(指标记法）
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
对于厚度t=1的微小矩形单 元abcd，有平衡条件： M a = 0 ∑
解得： τ xy = τ yx 剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或共同背离这一交线
∑X =0
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
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y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y =a x +a x +a x 31 1 32 2 3 3 3
按求和约定，上述方程组可以写为
y1 = a1m xm y2 = a2 m xm y = a x 3m m 3
弹塑性力学-2 应变分析
0
0
0 0 0
平均应变：
1 0 ( 1 2 3 ) 3
x 0 xy xz 应变偏量 eij y 0 yz yx zx zy z 0
1 ( 2 ) x y z xy xz 3 1 eij yx (2 y x z ) yz 3 1 ( 2 ) zx zy z x y 3 1 ( 2 ) 0 0 3 1 2 3 1 0 (2 2 1 3 ) 0 3 1 0 0 ( 2 ) 3 1 2 3
( x )dx xy dy xz dz 0
yx dx ( y )dy yz dz 0
zx dx zy dy ( z )dz 0
系数行列式为零
x xy xz yx y yz 0 zx zy z
第2章 应变分析
一点的应变状态，应变与位移的关系 主应变 应变张量与应变偏量 应变协调方程
2-1 一点的应变状态,应变与位移的关系
在物体中，若任意两个点的相对位置有了变化， 则认为物体有了变形。 沿x方向的正应变
A
x
x
A’
l0
B
u
u u
u du x lim x 0 x dx
dv yx dx y dy yz dz dw zx dx zy dy z dz
o
x v
x
主应变空间中， r (1 , 2 , 3 )表示一个应变状态。如 何找到r？ 若r增加了一个增量dr， z 则r和dr在坐标轴上的投 dr 影是成比例的。
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第二章 应力分析
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
2020/4/16
1
§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
另一部分：V-、S-、外法线 n、合力F；
截面上的合力：F F 或
FF0
2020/4/16
8
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量
n
截面上P点上的内力情况，
S V+ P
F
在V+上S面围绕P点取S，
S上合力为F。
lim
F
应力矢量（作用在V+）： t(n)
S0
S
应力矢量与P点位置有关，与截面方向 n （ 方向）有关。
2020/4/16
3
§2-1 内力和外力
其中 fx, fy, fz 为沿三个坐标轴分量。 2.外部面力：作用在物体外部表面力
如静水压力、土压力等。 量纲：力/（长度）2。 求物体表面上任意一点P上
x3
F
P
S
受面力仍采用极限方法：
x2
x1
2020/4/16
4
§2-1 内力和外力
lim P S 0 F S F ie i F x i F y j F z k X i Y j Z k
2020/4/16
17
§2-2 应力矢量和应力张量
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
x1
2020/4/16
11
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
f -t(1)
n
n1 nx l n2 ny m -t(2)
t(n)
n3 nz n 即 ：
P A
x2 B
-t(3)
r r r r x1 r t ( n ) t ( i) n i t ( 1 ) n 1 t ( 2 ) n 2 t ( 3 ) n 3
力中的体力和面力的范围。
2020/4/16
2
§2-1 内力和外力 1.外部体力：作用在物体单位体积（质量）
上的力,如重力（或惯性力）
量纲：力/（长度）3。
x3
F
求 V 中任意点P上承受体力
P
V
采用极限方法：
x2
lim F x1
V 0 V f fie i fx i fy j fz k X i Y j Z k
rr r t(x)lt(y)m t(z)n
2020/4/16
12
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
证：
-t(2)
设 ABCS,
P
则 PBCn1S,
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
2020/4/16
13
§2-2 应力矢量和应力张量 x3
根据微元体的平衡，得
C
-t(2)
t(n) St(i) Sif V0
P
而
r rr t(i) t(i)ti
A x1
代入上式r，并忽略r高阶微量 t(n) Stini S0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
2020/4/16
14
§2-2 应力矢量和应力张量 x3 f
rr
C
t(n) Stini S0 -t(2)
其中 Fx , Fy , Fz为沿三个坐标轴分量。
2020/4/16
5
§1-1 内力和外力
1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。
在材力和结力中以N、M、Q形式出现，
但在弹力中常以应力来描述。
2020/4/16
6
§2-2 应力和应力张量
2.1 应力矢量 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）
——内力，为了描述物体内任意点P的内力可
采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为 两部分：（相互有作用力与反作用力）
2020/4/16
7
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量 n
F-
V- S-
S
V+ PFຫໍສະໝຸດ n+ n-V+
F+
S+
一部分：V+、S+、外法线n、合力F；
n 定理： r过P点以 单位外法线截面上的应
力矢量
t ( n )
是作用在通过P点坐标平面的应力矢
量t(1) t(x)、t(2) t(y) 、t(3) t(z)
x3
f
的线性函数、其系 数是 n的方向余弦，
C
-t(2)
-t(1) n
t(n)
n1 nx l n2 ny m
P
x2
B
n3 nz n
A
-t(3)
或
r
r
t(n) niti
P A
-t(1) n
t(n)
x2 B
-t(3)
展开为
r r rx1 r t(n ) t1 n 1 t2 n 2 t3 n 3
或
r rr r t(n)txltym tzn
2020/4/16
15
§2-2 应力矢量和应力张量
2.2 应力张量
x3(z)
每个坐标面上的应
x2(y)
力矢量又可以沿三个坐
2020/4/16
9
§2-2 应力矢量和应力张量
当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。
量纲为力/（长度）2。
r
r
lim lim 取V- ：tr( n) S 0 F S S 0 F S tr(n) 作用在V-上。
当P点的截面与坐标面平行时，
(nei)
t(n) ti
2020/4/16
10
§2-2 应力矢量和应力张量
13 12
t1
标面分解三个分量，比
11
如坐标面法线为x1
x1(x)
t r 1 t r x 1 1 x e r x 1 e r x 1 2 e r x 2 y e ry 1 3 e r 3 x ze rz1 j e r j
2020/4/16
16
§2-2 应力矢量和应力张量
r ti
ijerj
§2-1 内力和外力 §2-2 应力矢量和应力张量 §2-3 应力分量转换公式 §2-4 主应力和应力主方向、应力张量
的不变量 §2-5 最大正应力和剪应力 §2-6 应力张量的分解
§2-7 平衡微分方程、力的边界条件
2020/4/16
1
§2-1 内力和外力
1.1 外力：
物体承受外因而导致变形，外因可以是热力 作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作 用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积 力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械
另一部分：V-、S-、外法线 n、合力F；
截面上的合力：F F 或
FF0
2020/4/16
8
§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量
n
截面上P点上的内力情况，
S V+ P
F
在V+上S面围绕P点取S，
S上合力为F。
lim
F
应力矢量（作用在V+）： t(n)
S0
S
应力矢量与P点位置有关，与截面方向 n （ 方向）有关。
2020/4/16
3
§2-1 内力和外力
其中 fx, fy, fz 为沿三个坐标轴分量。 2.外部面力：作用在物体外部表面力
如静水压力、土压力等。 量纲：力/（长度）2。 求物体表面上任意一点P上
x3
F
P
S
受面力仍采用极限方法：
x2
x1
2020/4/16
4
§2-1 内力和外力
lim P S 0 F S F ie i F x i F y j F z k X i Y j Z k
2020/4/16
17
§2-2 应力矢量和应力张量
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
这九个分量的两个下标：第一个表示应力 矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力 矢量的分量的方向。
x1
2020/4/16
11
x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
f -t(1)
n
n1 nx l n2 ny m -t(2)
t(n)
n3 nz n 即 ：
P A
x2 B
-t(3)
r r r r x1 r t ( n ) t ( i) n i t ( 1 ) n 1 t ( 2 ) n 2 t ( 3 ) n 3
力中的体力和面力的范围。
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§2-1 内力和外力 1.外部体力：作用在物体单位体积（质量）
上的力,如重力（或惯性力）
量纲：力/（长度）3。
x3
F
求 V 中任意点P上承受体力
P
V
采用极限方法：
x2
lim F x1
V 0 V f fie i fx i fy j fz k X i Y j Z k
rr r t(x)lt(y)m t(z)n
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x3
§2-2 应力矢量和应力张量 C
证：
-t(2)
设 ABCS,
P
则 PBCn1S,
A x1
PACn2S, PABn3S,
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
可得
Si niS
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3
根据微元体的平衡，得
C
-t(2)
t(n) St(i) Sif V0
P
而
r rr t(i) t(i)ti
A x1
代入上式r，并忽略r高阶微量 t(n) Stini S0
f -t(1)
n
t(n)
x2 B
-t(3)
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§2-2 应力矢量和应力张量 x3 f
rr
C
t(n) Stini S0 -t(2)
其中 Fx , Fy , Fz为沿三个坐标轴分量。
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§1-1 内力和外力
1.2 内力： 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。
在材力和结力中以N、M、Q形式出现，
但在弹力中常以应力来描述。
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§2-2 应力和应力张量
2.1 应力矢量 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时
沿三个坐标面的应力矢量由九个 元素(分量)表示,
这九个分量组成一个二阶张量：
11 12 1 3 xx xy x z x xy x z 21 22 23 yx yy y zyx y y z
31 32 33 zx zy zz zx zy z
引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）
——内力，为了描述物体内任意点P的内力可
采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为 两部分：（相互有作用力与反作用力）
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§2-2 应力矢量和应力张量
2.1 应力矢量 n
F-
V- S-
S
V+ PFຫໍສະໝຸດ n+ n-V+
F+
S+
一部分：V+、S+、外法线n、合力F；
n 定理： r过P点以 单位外法线截面上的应
力矢量
t ( n )
是作用在通过P点坐标平面的应力矢
量t(1) t(x)、t(2) t(y) 、t(3) t(z)
x3
f
的线性函数、其系 数是 n的方向余弦，
C
-t(2)
-t(1) n
t(n)
n1 nx l n2 ny m
P
x2
B
n3 nz n
A
-t(3)
或
r
r
t(n) niti
P A
-t(1) n
t(n)
x2 B
-t(3)
展开为
r r rx1 r t(n ) t1 n 1 t2 n 2 t3 n 3
或
r rr r t(n)txltym tzn
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§2-2 应力矢量和应力张量
2.2 应力张量
x3(z)
每个坐标面上的应
x2(y)
力矢量又可以沿三个坐
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§2-2 应力矢量和应力张量
当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。
量纲为力/（长度）2。
r
r
lim lim 取V- ：tr( n) S 0 F S S 0 F S tr(n) 作用在V-上。
当P点的截面与坐标面平行时，
(nei)
t(n) ti
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§2-2 应力矢量和应力张量
13 12
t1
标面分解三个分量，比
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如坐标面法线为x1
x1(x)
t r 1 t r x 1 1 x e r x 1 e r x 1 2 e r x 2 y e ry 1 3 e r 3 x ze rz1 j e r j
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§2-2 应力矢量和应力张量
r ti
ijerj