弹塑性力学应力分析
弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
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§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
06_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹塑性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
因为“弹性筒”内壁面同时也是“塑性筒”的外 壁面，所以在交界面上( r=Rc )，也满足 Mises 条件
r R
c
r r R
c
2 s 3
联立上述三式，得到弹、塑性区界面压力pc的另一表达 式如下
pc
s R R
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
（2）高压厚壁筒提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
下图为经过自增强处理后，单层厚壁筒中的应力 分布情况。自增强法最早出现于20世纪初，首先应用 于炮筒的制造。目前已经应用于石油化工中的高压及 超高压容器、超高压管道、超高压压缩机气缸等。
残余应力的计算是依据“卸载定理”的，参见教 材。该部分须掌握残余应力的分布图。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（1）爆破过程 OA：弹性变形 AB：进入屈服 BC：屈服并强化 CD：爆破 pc:塑性垮塌压力， 工程上称为爆破 压力。
2.3.3 屈服压力和爆破压力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（2）理想弹塑性材料
2.3.2 弹塑性应力
对于理想弹塑性材料，忽略材料的硬化阶段，同 时认为材料的屈服极限为常数。
2.3 厚壁圆筒应力分析
（3）塑性失效准则
2.3.2 弹塑性应力
筒体为理想弹塑性材料，当屈服区扩展至外壁 面，使筒体整体屈服，此时承受的内压力为筒体承 受的最高极限载荷。 （4）屈服条件 当材料从弹性阶段进入理想塑性阶段时，应满 足一定的条件，以此来判定材料是否进入屈服阶段， 此条件称为“屈服条件”（屈服失效判据）。 常用的屈服条件有：Tresca屈服条件和Mises 屈服条件。
厚壁圆筒__弹塑性力学知识
2. 弹塑性阶段： （1） 弹性区：r r b
(1 )a 2 pe u E (b 2 a 2 ) b2 r (1 2 )r
a2 pe 1 2 2 b
ss
内半径为r ，外半径为b，在 r = r 处承受内压的厚壁筒
sq r
r rb
sq
p
r
sq r
a p
b
sq r
r b2 p a2 1 2 s s 1 l n 2 2 a b a r 2 2 2 s r a p b s 1 2 2 2 2 2 b b a r
通解：
s r C1 C2 r 2
s q C1 C2 r 2
一、弹性分析
2. 解答
通解：
s r C1 C2 r 2
s q C1 C2 r 2
er
1 1 C1 1 C 2 r 2 E 1 1 C1 1 C 2 r 2 eq E 1 1 C1r 1 C 2 r 1 u E 1 2 2 C1 2 a p b p2 1 2 b a a 2b 2 p2 p1 C2 2 2 b a
u
e
rr
u
p
rr
(1 ) r 2s s 2 2 C b ( 1 2 ) r 2 Eb 2
(1 ) r 2s s 2 2 u b ( 1 2 ) r 2 Eb 2 r
=1/2
3 r 2s s u 4 Er ul ue b2 2 a
弹性极限状态:
a p1
弹塑性力学名词解释
弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。
2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。
一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。
3.体积力：作用在物体每一点的外力。
比如每一点都有的重力。
4.面力：作用在物体表面的外力。
比如水给大坝表面的压力。
5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。
物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。
6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。
8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。
变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。
9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。
直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。
10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。
12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。
13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。
工程弹塑性力学---平面应力应变问题的直角坐标解
第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。
这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。
弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。
虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。
这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。
§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。
这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
塑性力学-应力状态
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零 ，因此前式为包括三个未知量
应力强度 或广义剪应力
i
3 2
0
1
1 2 2
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3J 2 ( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
2 2 2
0 为平均应力或静
水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量 主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以
塑性力学
第1章 应力分析
1. 应力状态
2. 三维应力状态分析
3. 三维应力状态的主应力
4. 最大剪应力
5. 等倾面上的正应力和剪应力 6. 应力罗德参数与应力罗德角 7. 应力张量的分解 8. 平衡微分方程
1－1 应力状态
1. 外力
体力、面力
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
Q —— 体力分布集度 F lim （矢量） V 0 V F Xi Yj Zk
八面体上 的正应力 与剪应力
p 0 0
称为应力状态的特征角，cos 为应力形式指数 。
应力分析(Stress Analysis)
推导原理： 静力平衡条件： 静力矩平衡条件：
X 0, Y 0, Z 0
M
x
0, M y 0, M z 0
2 1 f ( x ) 1 f ( x) 泰勒级数展开： f ( x dx) f ( x) ...... 2 1! x 2! x
2 2 P 总应力 8 8 8 八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有 关。
八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2 , 3 8 , 8
I1, I 2
因为
2 2 8 ( I1 3I 2 ) 3
ij ij m
' ij
(i,j=x,y,z)
为柯氏符号。
1 其中 m ( x y z ) 即平均应力， 3
即
' x xy xz x xy xz 1 0 0 . . ' 0 1 0 y yz y yz m ' . . . . z z 0 0 1
' ' ' ' ' ' I1' x y z 1 2 3 0
' ' ' ' ' ' I2 1 2 2 3 3 1' （体现变形体形状改变的程度）
' ' ' ' I3 1 2 3 const
§1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程* ij 0 i
讨论：1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域之一。
本文将介绍弹塑性分析方法的基本概念、应用领域以及常用的数学模型和计算方法。
一、弹塑性分析方法的基本概念弹塑性分析方法是一种综合运用弹性力学和塑性力学理论的方法，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
在弹塑性分析中，材料会先发生弹性变形，当应力达到一定临界值时，开始发生塑性变形。
弹塑性分析方法可以更准确地预测材料的变形和破坏行为。
二、弹塑性分析方法的应用领域弹塑性分析方法广泛应用于工程结构、土力学、岩石力学等领域。
例如，在工程结构的设计中，使用弹塑性分析方法可以预测结构在外载荷作用下的变形和破坏行为，从而确定结构的合理尺寸和材料强度要求。
在土力学和岩石力学中，弹塑性分析方法可以用于预测土体和岩石的变形和破坏特性，为工程施工和地质灾害的预测提供依据。
三、弹塑性分析的数学模型弹塑性分析方法使用了多种数学模型来描述材料的力学行为。
其中常用的模型包括线性弹性模型、单一参数塑性模型和本构模型等。
1. 线性弹性模型：线性弹性模型假设材料的应力与应变之间呈线性关系，常用于描述小应变范围内的材料行为。
2. 单一参数塑性模型：单一参数塑性模型假设材料的塑性行为由一个参数来描述，常用于描述中等应变范围内的材料行为。
3. 本构模型：本构模型是更为复杂的数学模型，可用于描述广泛的材料行为。
常见的本构模型包括弹塑性本构模型、弹塑性本构模型、弹粘塑性本构模型等。
四、弹塑性分析的计算方法弹塑性分析方法使用了多种计算方法来求解材料的变形和应力分布。
其中常用的计算方法包括有限元法、边界元法和等。
这些方法可以将实际结构离散成有限个子区域，通过求解子区域的变形和应力，得到整个结构的变形和应力分布。
这些计算方法具有高精度和较强的通用性，广泛应用于工程和科学研究领域。
综上所述，弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
弹塑性力学基础
温加工
冷加工 在不产生回复和 再结晶温度以下
改善产品组织性能
降低金属变形抗力 改善金属塑性 提高强度
冷加工－退火 表面光洁，尺寸精确， 组织性能良好
加热温度 变形终了温度 变形程度 冷却速度
冷变形及热变形
冷变形
变形温度低于回复温度时，金属在 变形过程中只有加工硬化而无回复与再 结晶现象，变形后的金属只具有加工硬 化组织，这种变形称为冷变形。
继续提高变形速度，塑性又开始 下降：随变形速度↑，变形抗力
升高，达到相应于更小变形程度 下的断裂抗力之值。 第二次上升：热效应起作用，温度↑ ，变形抗力下降。
第二次下降：热效应极大，把金属加热到出现液相或大大降
低其晶间物质的强度。
4.变形程度 变形程度对塑性的影响，是同加工硬化及加工过程中伴 随着塑性变形的发展而产生的裂纹倾向联系在一起的。 在热变形过程中，变形程度与变形温度-速度条件是相 互联系着的，当加工硬化与裂纹胚芽的修复速度大于发生速
4、具有纤维组织的金属，各个方向上的机械性能 不相同。顺纤维方向的机械性能比横纤维方向的好。金 属的变形程度越大，纤维组织就越明显，机械性能的方 向性也就越显著。
使纤维分布与零件的轮廓相符合而不被切断； 使零件所受的最大拉应力与纤维方向一致，最大 切应力与纤维方向垂直。
实例：
当采用棒料直接经切削加工制造螺钉时，螺钉头部与杆部 的纤维被切断，不能连贯起来，受力时产生的切应力顺着纤维 方向，故螺钉的承载能力较弱(如图a示 )。 当采用同样棒料经局部镦粗方法制造螺钉时(如图b示)，纤 维不被切断且连贯性好，纤维方向也较为有利，故螺钉质量较 好。
3）金属表面形成吸附润滑层，塑性↑
提高金属塑性的主要途径
提高塑性的主要途径有以下几个方面： (1)控制化学成分、改善组织结构，提高材料的成分和组 织的均匀性； (2)采用合适的变形温度—速度制度；
弹塑性力学(
23
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
2 3
1 x
x x
x
zx
xz
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
n=cos(N,z) SDOAB=nS 26
1、斜截面上的应力 z
Fx 0
px S x lS yx mS zx nS 0
C pz
px l x m yx n zx
N
py l xy m y n zy
yx xy
x
pz l xz m yz n z
y
弹塑性力学 前言
❖弹塑性力学的定义 ❖弹塑性力学中的简化假设 ❖弹塑性力学的研究方法 ❖弹塑性力学的主要内容
1
弹塑性力学的定义
❖ 弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重 要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力 分布规律和变形规律的一门学科。
❖ 任务：
❖ 根据实验观察结果寻求弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。
②全应力：p ΔA0 ΔA
O
全应力分解为：
x
z
垂直于截面的应力称为“正应力”：
pcosa
位于截面内的应力称为“切应力”： O
psina
DF M
DA
y
n
M ap
y
x 19
应力状态
➢ 一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。
在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。
对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。
这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。
2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。
工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。
在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()21E G μ=+。
屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。
习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。
对于加载过程如图1OA: 比例阶段；线性弹性阶段AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。
在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。
如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变eε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。
如何在工程力学中处理弹塑性问题？
如何在工程力学中处理弹塑性问题？在工程力学领域，弹塑性问题是一个至关重要且复杂的研究方向。
弹塑性力学主要用于分析材料在受力过程中，从弹性阶段到塑性阶段的变形和应力分布规律，这对于确保工程结构的安全性和可靠性具有极其重要的意义。
要理解如何处理弹塑性问题，首先得清楚弹性和塑性的基本概念。
弹性阶段，材料在受到外力作用时会发生变形，一旦外力消失，材料能够完全恢复其原来的形状和尺寸，这种变形是可逆的。
而塑性阶段，材料在受力超过一定限度后，产生的变形即使外力去除也不能完全恢复，会留下永久的变形。
在实际工程中，很多材料都表现出弹塑性的特性，比如金属材料。
当对这类材料进行加工或者构建结构时，就需要准确地处理弹塑性问题，以预测其在不同载荷条件下的行为。
处理弹塑性问题的第一步是建立合适的本构模型。
本构模型用于描述材料的应力应变关系，它是分析弹塑性问题的基础。
常见的本构模型包括理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型和非线性强化弹塑性模型等。
选择合适的本构模型取决于材料的性质、加载条件以及分析的精度要求。
在建立本构模型之后，就需要运用相应的数学方法来求解弹塑性问题。
有限元法是目前广泛应用的一种数值方法。
它将连续的物体离散化为有限个单元，通过对每个单元的分析，最终得到整个物体的应力和应变分布。
在有限元分析中，需要合理地划分网格，选择合适的单元类型，并确定边界条件和加载方式。
边界条件的确定在处理弹塑性问题中也非常关键。
边界条件包括位移边界条件和力边界条件。
位移边界条件规定了物体某些点的位移，而力边界条件则规定了物体某些表面所受到的力。
正确地设定边界条件能够使分析结果更符合实际情况。
加载方式同样会影响弹塑性问题的分析结果。
加载可以是静载、动载或者循环加载等。
不同的加载方式会导致材料的响应不同，因此在分析时需要根据实际情况准确地模拟加载过程。
在处理弹塑性问题时，还需要考虑材料的各向异性。
很多材料在不同方向上具有不同的力学性能，这就需要在本构模型和分析中考虑这种各向异性的特点。
弹塑性力学-1 应力分析
斜截面上的应力 分量计算公式
如果作用在物体表面上的外面载荷用Fx，Fy，Fz表 示，而斜面为边界面，此时上式中的Pvx,Pvy,Pvz都 换成Fx，Fy，Fz，则上式亦可作为应力边界条件。
2 2 2 pvy pvz 总应力 pv pvx
正应力 v lPvx mP vy nP vz l 2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx 剪应力 v pv2 v2
对于动力学问题，还要给出初始条件。
弹塑性力学的基本解法： 根据基本方程求解 精确解法 即能满足弹塑性力学中全部方程的解。 近似解法 即根据问题的性质，采用合理的简化假 设，从而获得近似结果。 有限元数值分析方法 它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复 杂的物理关系都能算出正确的结果。
1-2 三维应力状态分析
z
pvz
斜截面的法线v与坐标轴 正向夹角余弦：
xy y yx xz yz zy zx pvx x z
x
pvy
cos(v, x) l , cos(v, y ) m, cos(v, z ) n
y
四面体平行于坐标轴的棱 边长度为dx，dy，dz 斜截面的面积为dS 静力平衡方程
3 基本方程与基本解法
弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学 和物理学三方面来进行研究。 几何学方面 建立位移和应变之间的关系。 几何方程，位移边界条件 运动学方面 建立物体的平衡条件。 运动（或平衡）微分方程，载荷的边界条件
以上两类方程与材料的力学性质无关，属于普适方程。
物理学方面 建立应力与应变之间的关系。 本构方程
正应力 p cos cos2 剪应力 p sin sin cos
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例一、本文概述结构静力弹塑性分析是一种重要的工程分析方法，用于评估结构在静力作用下的弹塑性行为。
该方法结合了弹性力学、塑性力学和有限元分析技术，能够有效地预测结构在静力加载过程中的变形、应力分布以及破坏模式。
本文将对结构静力弹塑性分析的基本原理进行详细介绍，并通过计算实例来展示其在实际工程中的应用。
通过本文的阅读，读者可以深入了解结构静力弹塑性分析的基本概念、分析流程和方法，掌握其在工程实践中的应用技巧，为解决实际工程问题提供有力支持。
二、弹塑性理论基础弹塑性分析是结构力学的一个重要分支，它主要关注材料在受力过程中同时发生弹性变形和塑性变形的情况。
在弹塑性分析中，材料的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出非线性特性。
当材料受到的应力超过其弹性极限时，材料将发生塑性变形，这种变形在卸载后不能完全恢复，从而导致结构的永久变形。
弹塑性分析的理论基础主要包括塑性力学、塑性理论和弹塑性本构关系。
塑性力学主要研究塑性变形的产生、发展和终止的规律，它涉及到塑性流动、塑性硬化和塑性屈服等概念。
塑性理论则通过引入屈服函数、硬化法则和流动法则等，描述了材料在塑性变形过程中的应力-应变关系。
弹塑性本构关系则综合考虑了材料的弹性和塑性变形行为，建立了应力、应变和应变率之间的关系。
在结构静力弹塑性分析中，通常需要先确定材料的弹塑性本构模型，然后结合结构的边界条件和受力情况，建立结构的弹塑性平衡方程。
通过求解这个平衡方程，可以得到结构在静力作用下的弹塑性变形和应力分布。
弹塑性分析在结构工程中有着广泛的应用，特别是在评估结构的承载能力、变形性能和抗震性能等方面。
通过弹塑性分析，可以更加准确地预测结构在极端荷载作用下的响应，为结构设计和加固提供科学依据。
以上即为弹塑性理论基础的主要内容，它为我们提供了分析结构在弹塑性阶段行为的理论框架和工具。
在接下来的计算实例中，我们将具体展示如何应用这些理论和方法进行结构静力弹塑性分析。
第二章 应力分析
z
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 5
Mechanics of Elasto-Plasticity
z
y
yz
y
pyyx
y
正 面
zx
dz x
xz
dy
zy
yz
dx
x
同样，在三个坐标面的负面， 可表示为
xy yx y
N xy y zy Z N xz l yz m z n
简记为：
pi ji l j
(2-8)′
特别重要地，在边界上，若边界外力设为 (Tx , Ty, Tz )，且外边界 面的法线方向 (l,m,n), 则有 外力边界条件: Tx x l yx m zx n
弹塑性力学
YN dS xy l ds y m ds zy n ds 0
0
石家庄铁道学院工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
得到斜截面上应力分量 (Cauchy stress formula) X N x l yx m zx n (2-8) Y l m n
P3
dP
y
x
P2
弹塑性力学
石家庄铁道学院工程力学系 3
Mechanics of Elasto-Plasticity
<ii>应力分量: 1°PN 可分解成沿截面法线的法向分量σN 和在截面内的切向分量τN ,
z
N
N
n PN y
σN 称为正应力； τN 称为切应力；
υ
x N PN sin N PN cos υ为PN 与截面间的夹角； yz z 下标N表示所在截面的外法线方向n。 y 2°应力分量表示： 当N与y轴一致时, 全应力P y 在法向上分量σy ， yx 在切向上分量τy 。 切向应力分量τy 又沿坐标轴分解成 x x 方向切应力τyx 和 z 方向切应力τy z .
有效应力原理的基本概念
有效应力原理的基本概念有效应力原理是弹塑性力学的基本原理之一，它用于描述材料中的应力状态和变形情况。
有效应力表示材料内的真正应力负荷，排除了由于材料中的孔隙、裂纹或微观缺陷引起的局部应力集中效应。
有效应力原理的主要目的是通过假设材料中的应力分布是均匀的，并将材料中各部分应力之间的关系表示为一个统一的应力张量。
有效应力原理的基本概念如下：1. 应力与变形关系：根据应力-应变曲线，可以将材料的力学行为划分为弹性和塑性阶段。
弹性阶段中，应力与应变成正比，且应力释放后材料恢复到初始状态。
而在塑性阶段，应力超过一定临界值时，材料开始发生可持续的形变，并且在去除外部应力后，材料只能恢复部分变形。
2. 应力状态：一个物体内的应力状态通常由一个代表应力的应力张量来描述。
在三维空间中，应力张量由九个应力分量组成，分别表示正应力和剪应力。
在有效应力原理中，这些应力分量被重新定义为有效应力分量，用于描述材料内部的真实应力状态。
3. Mohr-Coulomb准则：有效应力原理的基础是Mohr-Coulomb准则，它假设材料中的剪应力强度只与有效应力相关。
Mohr-Coulomb准则是一种经验公式，可以用于计算不同材料在不同应变速率和温度下的剪切强度。
4. 孔隙和裂纹对应力的影响：孔隙和裂纹是材料中最常见的缺陷，它们会引起应力集中，导致局部应力增大。
有效应力原理通过忽略这些缺陷的影响，将材料中的应力分布视为均匀的，从而简化了材料的力学分析。
5. 有效应力张量的计算：由于有效应力原理假设了均匀的应力分布，因此可以使用均匀应力分布的计算方法来计算有效应力张量。
常见的计算方法包括：平均应力法、应力不变量法和应变能密度法等。
总结来说，有效应力原理是一种简化材料力学分析的方法，它排除了缺陷对应力分布的影响，用一个统一的应力张量来描述材料内的应力状态。
在应用有效应力原理时，需要考虑材料的性质、受力情况和外部环境等因素，并结合真实的力学实验数据来计算有效应力张量，用于工程结构的设计与分析。
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解之 将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
将 联立
代入
解之
二. 最大和最小应力
3 z
3
设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主方向取Oxyz坐标，如图所示 设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3 2
则由斜截面正应力公式 及
1x
N
12
N
O
y2
1
主应力单元体
3
求极值
解之 同理，将
xxyy ( x 12))22 x2x2yy
xxyy ( y 12))22 x2x2yy
ll33((21) 0
设 为第一主方向与x轴的夹角
则由三角函数关系可得
例2-2 已知弹性体内部某点的 应力状态为
a 0 a
ij
0
a
0
a 0
a 0 a
求主应力和主方向。
解：不变量的计算
代入特征方程
C zx pz
yx
xy
xz
x
zy yz
N
pN y
设斜截面上全应力为：
O y
yz
x
zy
xz xy zx
yzp y
B
y
沿坐标的分量为：
px
A
z
x
简写为：
设四面体斜面的面积为：
则三个直面的面积为：
简写为：
考虑四面体微元的平衡
X 0 Y 0
pxdSN xdSx yxdSy zxdSz 0 pydSN xydSx ydSy zydSz 0
将 向外法线和斜面分解为 和 。
则
即
将Cauchy定理代入：
展开整理得：
z
pz
N
x
px
N N
pN py
y
由
可求得：
特例：平面应力状态斜截面应力公式
xy yx y
x
N y
py
px N
x
N
材料力学中斜截面应力公式为
原因？
0 1 2
例2-1
物体中一点的应力张量为
1
2
0
MPa
,
求作用在过此
仍视 为外法线的坐标面为
将该斜截面的全应力分量
投影即得
。
坐标系下的斜截面
分别向
方向
同理
所以 此系二阶张量的本质特征
数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点应力 状态的9个应力分量 是一个二阶张量，称为应力张量
§2-3 应力状态的主应力和主方向
一. 应力状态的主应力和主方向
定义：1. 当 P 点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面
为什么称为不变量？
求解特征方程得主应力，并按从大到小排序
分别将
回代
（取两式）
联立
求解，得三组方向余弦。即
◆
一定为实根（可证明），分别称为第一、第二和
第三主应力。
◆
一定相互垂直（可证明），分别称为第一、第
二和第三主方向。
◆ 若取
为
坐标轴
则
与坐标选取无关
特例1：平面应力状态主应力及主方向
代入特征方程 解方程（若按大小排序其解为）
xyl1 ( y )l2 zyl3 0
xzl1 yzl2 ( z )l3 0
主平面方程
由
x yx
zx
即
xy y zy 0
xz
yz z
展开整理，并考虑
得
称之为P点应力状态的特征方程或主应力方程
其中
也称为体积应力，习惯上用 表示。
分别称之为P点应力状态的第一、第二和第三不变量
z
pz
Z 0
pzdSN xzdSx yzdSy zdSz 0
p jdSN ijdSi 0
所以 p j ijli 即
p jdSN ijlidSN px xl1 yxl2 zxl3 py xyl1 yl2 zyl3
yx xy
x
O y yz zy
xz zx
x px
z
pz xzl1 yzl2 zl3
或
pi jil j
Cauchy定理
N
pN py
y
● 已知一点应力状态，可求过该点任意斜截面上的全应力在三 个（正交）坐标上作用的面力为 px , py , pz
则Cauchy公式表明了边界外力（面力）与该点应力的关系 ——应力边界条件
上的正应力称为 P点的一个主应力。
2. 该斜截面称为P点的一个应力主面（主平面）。
3. 主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。
由定义，在主平面上
则全应力
将其向三个坐标投影
xl1 yxl2 zxl3 l1
由Cauchy公式 ( x )l1 yxl2 zxl3 0
xyl1 yl2 zyl3 l2 xzl1 yzl2 zl3 l3
2 0 1
点的平面 x 3y z 1上的法向和切向应力。
解： 平面外法向的方向余弦
l1
1
12 32 12
1 11
p1 1 jl j
5 11
3
3
l2
12 32 12
11
l3
1
12 32 12
1 11
p2 2 jl j
7 11
p3 3 jl j
3 11
N ijlil j 1 jl1l j 2 jl2l j 3 jl3l j 11l1l1 12l1l2 13l1l3
第二章 应力分析
§2-1 斜截面上的应力 §2-2 应力状态的坐标变换 §2-3 应力状态的主应力和主方向 §2-4 应力张量的分解 §2-5 平衡微分方程 §2-6 应力边界条件
§2-1 斜截面上的应力
z
已知物体在任一点O的六个应力分量 ij , 求经
z
过O点的任一斜截面上的应力
令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为
21l2l1 22l2l2 23l2l3 31l3l1 32l3l2 33l3l3
0 3 2 3 18 0 2 0 1 29 11 11 11 11 11 11 11
N
px2
py2
pz2
2 N
25 49 9 292 6 2
11 11 11 121 11
§2-2 应力状态的坐标变换
将
回代
((xyxxyl1xl(12(1))2x1xy()()lll111l((1(33y(2y1))))2y1yyxy)x2)xll1lllll22l223223(((((33(((222111)))))
0
0 0 0 0
联立
解之
l1(ll311)((21) 0 l2(3) 0 l3l(l232)((21) 1
已知一点的应力状态在 Oxyz 坐标系下的应力 张量为 ij，则该点在Oxyz坐标系下（旋转）的应
力张量 ij 有什么关系？
设两坐标系三轴的方向余弦为 定义为
z z z
z
zx xz x
xz x
zy
zy yz
yz
xy
xy
yx
yx
y y y
x
y
x
x
若视 为外法线的坐标面为 则
同理
坐标系下的斜截面