材料力学——应力分析
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材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
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7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
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7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学应力与应变分析
主应力和次应力
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要 的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切 应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度 。
采用有限元分析方法，建立高 层建筑的三维模型，模拟不同 工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键 部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更 好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下 的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变 ，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的 应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以 导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量， 表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变 （με）和工程应变（%）。
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要 的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切 应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度 。
采用有限元分析方法，建立高 层建筑的三维模型，模拟不同 工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键 部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更 好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
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不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下 的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变 ，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的 应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以 导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量， 表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变 （με）和工程应变（%）。
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学-应力分析
• 材料的屈服强度是指材 料开始产生塑性变形时 的应力。
疲劳和应力寿命
材料在交变应力下的破坏行为 称为疲劳，疲劳寿命是指材料 在交变应力下能够承受的循环 次数。
蠕变变形
材料在高温和持续应力下的变 形称为蠕变变形，蠕变是材料 疲劳和断裂的重要因素。
结论和要点
应力分析方法
应力分析可通过数学计算和 实验测试来确定材料的应力 分布。
材料力学-应力分析
材料力学是研究材料的力学性质和行为的科学。本节将介绍材料力学中的应 力分析的基本概念和方法。
材料力学的概述
1 定义
材料力学是研究材料受力和变形的科学，涉及材料的应力、应变及其关系。
2 重要性
了解材料力学对于设计和制造可靠的工程结构至关重要。
3 应用领域
材料力学广泛应用于工程、建筑、航空航天等领域。
应力和应变分析
应力ห้องสมุดไป่ตู้
应力是材料受力时单位面积上的力，通常用希腊 字母 σ 表示。
分析方法
应力分析可以通过数学方法和实验测试来确定材 料在不同载荷下的变形和破坏行为。
应变
应变是材料在受力下的变形程度，通常用 ε 表示。
种类
常见的应力类型包括拉应力、压应力、剪应力等。
应力分析的方法
1
分析前准备
收集材料的物性数据并对载荷进行预测
杨氏模量
杨氏模量是材料的刚度指标， 能够反映材料对外界应力的 响应。
力学性质与应力
材料的力学性质与应力密切 相关，影响着材料的强度、 疲劳和蠕变行为。
应力计算
2
和分析。
使用数学公式和力学原理计算出材料在
不同区域的应力分布。
3
应力测试
通过实验测试方法，如拉伸试验和压缩 试验，来测量材料在不同应力下的性能。
疲劳和应力寿命
材料在交变应力下的破坏行为 称为疲劳，疲劳寿命是指材料 在交变应力下能够承受的循环 次数。
蠕变变形
材料在高温和持续应力下的变 形称为蠕变变形，蠕变是材料 疲劳和断裂的重要因素。
结论和要点
应力分析方法
应力分析可通过数学计算和 实验测试来确定材料的应力 分布。
材料力学-应力分析
材料力学是研究材料的力学性质和行为的科学。本节将介绍材料力学中的应 力分析的基本概念和方法。
材料力学的概述
1 定义
材料力学是研究材料受力和变形的科学，涉及材料的应力、应变及其关系。
2 重要性
了解材料力学对于设计和制造可靠的工程结构至关重要。
3 应用领域
材料力学广泛应用于工程、建筑、航空航天等领域。
应力和应变分析
应力ห้องสมุดไป่ตู้
应力是材料受力时单位面积上的力，通常用希腊 字母 σ 表示。
分析方法
应力分析可以通过数学方法和实验测试来确定材 料在不同载荷下的变形和破坏行为。
应变
应变是材料在受力下的变形程度，通常用 ε 表示。
种类
常见的应力类型包括拉应力、压应力、剪应力等。
应力分析的方法
1
分析前准备
收集材料的物性数据并对载荷进行预测
杨氏模量
杨氏模量是材料的刚度指标， 能够反映材料对外界应力的 响应。
力学性质与应力
材料的力学性质与应力密切 相关，影响着材料的强度、 疲劳和蠕变行为。
应力计算
2
和分析。
使用数学公式和力学原理计算出材料在
不同区域的应力分布。
3
应力测试
通过实验测试方法，如拉伸试验和压缩 试验，来测量材料在不同应力下的性能。
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
材料力学与应力分析
材料力学与应力分析材料力学是研究物质的力学性能和变形行为的一门科学，它是工程学中的重要基础学科。
在工程学的相关领域中，材料力学的应用非常广泛，涵盖了结构设计、材料选择和材料制备等方面。
本文将介绍材料力学的基本概念，并深入探讨应力分析的相关理论和方法。
一、材料力学基本概念1. 应力与应变在材料力学中，应力和应变是两个非常重要的概念。
应力是物体受到的单位面积上的内力，通常用σ表示。
而应变则是物体单位初始长度的变化量，通常用ε表示。
根据应力和应变之间的关系，可以得到材料的本构关系，从而进一步研究其力学性能。
2. 弹性与塑性材料力学中，根据物体受力后的变形行为，可以将材料分为弹性和塑性两种类型。
弹性材料在受到外力作用后，能够恢复到原来的形状和尺寸，而塑性材料则会发生永久性变形。
通常通过应力应变曲线来描述材料的弹性和塑性行为。
3. 应变能与弹性模量应变能是材料在受到外力作用后所储存的能量，它是材料弹性变形能力的体现。
而弹性模量则是用来衡量材料在受力后产生的应变程度，它是材料的重要力学性能参数之一。
常见的弹性模量有Young's 模量、剪切模量和体积模量。
二、应力分析的理论和方法1. 静力学分析静力学分析是应力分析的基础，它主要研究物体在受到静力作用时的力学性质。
通过牛顿第二定律和力的平衡条件，可以得到物体的受力分布和力的作用方向。
静力学分析可以为后续的应力分析提供基本的力学参数。
2. 应力张量与应力变换应力是材料内部产生的力，通常被表示为一个张量。
应力张量的各个分量与物体的几何形状和受力情况密切相关。
应力变换则是将应力张量在不同坐标系下的表示进行转换，以便得到更方便的计算结果。
3. 应力集中与应力分布在实际工程中，常常会出现应力集中的情况，即物体的某个局部区域受到了较大的应力。
应力集中的分析是工程设计中十分重要的一环，它能够帮助工程师了解材料的破坏机理和确定结构的合理性。
4. 应力场的数值模拟对于复杂的材料力学问题，往往需要借助计算机的数值模拟方法进行分析。
材料力学第9章应力分析强度理论
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
材料力学习题 应力状态分析答案详解
解析： 与 无关
13、在图示梁的A点测得梁在弹性范围内的纵横方向的线应变 、 后，所能算出的材料常数有（ D ）。
（A）只有E；（B）只有v；（C）只有G；（D）E、v和G均可算出。
解析：中间段为纯弯曲，A点为单向拉伸，
则
14、纯剪应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案，正确答案是（ C ）。
解答：
确定 ， 确定
6、 物体内某一点，载荷系统Ⅰ和载荷系统Ⅱ单独作用时产生的应力状态分别如图（a）和（b）所示。试求两载荷系统同时作用时（仍处于弹性小变形）的主单元体和主应力。
解答：
7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。
解答：
8、图示单元体，已知 、 及该点的最大主应力 。求该点的另外两个主应力 、 及最大切应力 。
解答：
确定
确定
2、已知应力状态如图。试求主应力及其方向角，并确定最大切应力值。
解答：
确定
所以 确定
3、图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力：（2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。
解答：
确定
所以 确定
4、用解析法求图示单元体ab面上的应力（ ），并求 及主应力。
解答：
5、试求图示单元体主应力及最大切应力，并将主平面在单元体上标出。
由第三强度理论 安全
10、直径为20mm的圆截面折杆受力情况如图所示，已知：F＝0.2kN，材料的许用应力为 。试用第三强度理论确定折杆的长度a的许用值。
解答：
在危险截面A上危险点在七上下边缘
由第三强度理论
取
11、AB、CD两杆互相垂直，在水平面内，C点的集中力2F及D点的集中力F与刚架平面垂直。已知F＝20kN，l＝1m，各杆直径相同d＝10cm， 。试按最大切应力强度理论校核强度。
13、在图示梁的A点测得梁在弹性范围内的纵横方向的线应变 、 后，所能算出的材料常数有（ D ）。
（A）只有E；（B）只有v；（C）只有G；（D）E、v和G均可算出。
解析：中间段为纯弯曲，A点为单向拉伸，
则
14、纯剪应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案，正确答案是（ C ）。
解答：
确定 ， 确定
6、 物体内某一点，载荷系统Ⅰ和载荷系统Ⅱ单独作用时产生的应力状态分别如图（a）和（b）所示。试求两载荷系统同时作用时（仍处于弹性小变形）的主单元体和主应力。
解答：
7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。
解答：
8、图示单元体，已知 、 及该点的最大主应力 。求该点的另外两个主应力 、 及最大切应力 。
解答：
确定
确定
2、已知应力状态如图。试求主应力及其方向角，并确定最大切应力值。
解答：
确定
所以 确定
3、图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力：（2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。
解答：
确定
所以 确定
4、用解析法求图示单元体ab面上的应力（ ），并求 及主应力。
解答：
5、试求图示单元体主应力及最大切应力，并将主平面在单元体上标出。
由第三强度理论 安全
10、直径为20mm的圆截面折杆受力情况如图所示，已知：F＝0.2kN，材料的许用应力为 。试用第三强度理论确定折杆的长度a的许用值。
解答：
在危险截面A上危险点在七上下边缘
由第三强度理论
取
11、AB、CD两杆互相垂直，在水平面内，C点的集中力2F及D点的集中力F与刚架平面垂直。已知F＝20kN，l＝1m，各杆直径相同d＝10cm， 。试按最大切应力强度理论校核强度。
应力状态分析
应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀. 内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆. 重点1.应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2.平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3.⾯⼒边界条件；4.应⼒分量的转轴公式；5.应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；§2.5 ⾯⼒边界条件学习思路:在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。
⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。
只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。
⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。
当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。
⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。
学习要点：1. ⾯⼒边界条件。
物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。
在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
材料力学--第2讲
所以：上述的9个应力分量就变成了6个应力分量
4、应力状态分类
三向应力状态：亦称空间应力状态，是最一般最复杂的； 二向应力状态：单元体只有两对面上承受应力并且作用线均在同一 平面内，另外一对面上没有任何应力，亦称平面应力状态；
单向应力状态：当平面应力状态中切应力为0，且只在一个方向上 有正应力作用时，称为——
而过一点各方向截面上应力矢量的集合称为该点的应
力状态。
2.3 一点的应力状态 切应力互等定律
1、单元体：（对连续均匀介质用极限的概念）来要描述构件上 一点a，就围绕a取一微小的六面体，当三个垂直的棱边趋近于0 时的极性时，即点a，称此微小六面体为——; 用截面外法线方向来命名截面，x面是指该截面的外法线法线沿x 轴，或者说该截面垂直于x轴；
斜面ABC上总应力矢量pn在x，y，在， 三个方向分量为：
pnx，pny，pnz，四面体处于平衡状态，在x轴方向则有：
斜面ABC上正应力
为总应力矢量pn在法线N上的投影，即是
pn的三个分量pnx，pny，pnz，在法线N上的投影的代数和：
2、主应力与主方向
过点O的斜面A*B*C*就是主平面，其方向余弦l* 、 m* 、 n*就是一 个主方向。因为主平面无切应力，则A*B*C*面上的全应力就是正 应力分量。该面上的全应力在坐标轴上的投影为：
△Ｐ
ｐ称为总应力或全应力。
应力求法
常用的表示方法是把p分解为两个分量:
垂直于截面的分量：正应力，用σ表示 沿截面的切向分量：切应力，用τ表示
正应力或法向应力σ : 剪应力或切应力τ :
总结：
Ｋ点的总应力p与截面方向有关。过Ｋ点在另外方向取 一截面，可定义另外一个不同的总应力矢量。过Ｋ点 可以有无限多个不同方向的截面，相应可得无限多个 不同的总应力矢量。 仅有一个方向截面的应力矢量，不能全面描述一点的 应力特性。
材料力学——应力分析
材料力学——应力分析
材料力学，应力分析
材料力学是一门研究材料的力学特性和行为的学科，包括研究材料力
学性能，分析和评估风险以及设计制造过程中使用的材料。
应力分析是材
料力学的一个重要分支。
它分析造成材料在应用时受到外部载荷作用下形
成的应力和应变。
应力分析可以用来预测材料的行为，有助于材料设计师和工程师识别
可能出现的结构性问题，帮助他们改进设计和选择更合适的材料。
应力分
析不仅可以预测工程结构的强度，而且还可以预测可能出现的破坏模式。
应力分析的步骤包括：
1.选择结构中所有材料及其它形状的元素，并明确它们的几何尺寸和
物理性能。
2.明确结构所处的正常环境或加载条件，包括温度、湿度、表面润湿、化学污染、局部受力、机械损伤等因素。
3.建立结构的模型，并在模型中添加或移除材料元素。
4.确定受力元素的力学性能，例如应力应变曲线、塑性性能参数和破
坏限度。
5.运用有效的数值方法来模拟建立的模型，有助于预测结构应力和应
变水平以及破坏模式。
6.对模拟技术进行敏感性分析，以确定设计变量或参数的变化对结构
性能有多大影响。
7.对实际结构进行实验及诊断，以确定结构的实际应力和应变水平。
材料力学——应力分析
,则α1
405(τx0) 405(τx0)
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MP，a txy 30MPa, y 40MP,a 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y t xy
x
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
t
ty(xdsAin)co sy(dsAin)sin0
y
Ft 0
td Atx(ydc Ao )sco sx(dc Ao )ssin ty(xdsAin)siny(dsAin)co s0
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
co2 s 1(1co2s)
2
sin 21(1co2s)
d d (x y)si2 n2 txc y o 2 s
设α＝α0 时，上式值为零，即
t (xy )s2 i0 n 2xc y 2 o 0 s 0
2 (x σ 2 σ y) si0n τ x 2 c yα o0s 2 2α α 0 τ 0
即α＝α0 时，切应力为零 目录
2
2 s ic n o s si2 n
并注意到 t yx t xy 化简得
t 1
1
2 (xy) 2 (xy)c2 o s xs y 2 in
t1 2(xy)si2 ntxy co 2s
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
t 1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs y 2 in
（2）主平面的位置
tg2α0
2τ xy σx σy
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
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S平面
F
F
1
1
F
A
1
15
目录
S平面
n
F
1
F
1
90
同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.
16
目录
l
SF
a
Fa T
M
Fl
S平面 y
1
T
4
z
x
2
3 Mz
1
τ
T Wp
σ
Mz Wz
3
τ
T Wp
17
目录
σ
M W
z z
y
1
4
z
2
x
3
S平面
18
y
1
FQy
1
4
4 Mz
x
z
2
Mx
3
3
19
应力状态的概念
9
目录
目的： 研究过一点的各个面上的
应力情况，找到过该点的最大 应力（正应力，切应力），以 及其平面方位。
10
三、如何描述一点的应力状态
单元体
单元体的性质：
dz
dy
dx
a、单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布； b、任意一对平行平面上的应力相等
11
3、单元体法
P
（1）单元体截取方法: 围绕该点 (a)
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
27
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
2.斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
t
y
Fn 0 Ft 0
28
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
列平衡方程
Fn 0
x αa
n
a
xy
dA
dA xy(dAcos )sin x (dAcos ) cos yx
6
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称
为这一点的应力状态；
7
二、为什么要研究应力状态？
两种材料的拉伸试验
铸铁拉伸
低碳钢拉伸
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
8
7—1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
y
x
x
y
yx
xy
x
单向应力状态
纯剪应力状态
24
一点的三应力状态 向 应 力 状 特例 态
平
面
应
单向应力状态
力
状 特例
态
纯剪应力状态
25
7-3 二向应力状态分析--解析法
26
7-2 二向应力状态分析--解析法
1.正负号规则
y yx
x a
xy
x
y
α x
a
n
a
xy
x
t yx y
正应力：拉为正；反之为负 切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
21
三向应力状态
z
z
zx zy
3
2
xz yz
x x
xy
yx
y y
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示，并且 1 2 3
该单元体称为主应力单元。
22
目录
一般平面应力状态
σy
τyx
τ xy
x
σx
yx xy
y
23
一般单向应力状态或纯剪切应力状态
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
d d
( x
y ) sin
2
2 xy cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0
2(σx
σy 2
) si
n
2
α0
τx
yc
os
2
α0
2τα0
0
即α＝α0 时，切应力为零
31
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
29
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
。 主平面：单元体中剪应力等于零的平面
主单元体：在单元体各侧面只有正应力
而无剪应力
3
2
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的法线方向。
1
约定：
20
1
2
3
应力状态的分类
3
2
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。 二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不等于零的情况。 三向应力状态：三个主应力皆不等于零的情况。
{ 若 σ x σ y
,则 α1
450 450
(τ x 0) (τ x 0)
33
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xycos2
max
min
x y
2
(x
y
2
)2
2 xy
tan
2α0＝－
σ
2τ xy x σ
y
34
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
3
一、什么是应力状态？ 应力的点
应力的面
（一）、应力的点的概念:
（实心截面）
T
Ip
4
My
Mz
Iz
FQ
FS
S
* z
bI z
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
结果表明：
同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。
5
F
F
A
F
cos2
2
sin 2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
目录
（2）主平面的位置
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σ
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
32
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
A 取出一个单元体。
例如 图 9-1a 所示矩形截面
悬臂梁内A点的应力状态
(c)
(b) a
σ
b
d σ
A
c
12
6 提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP S平面
l/2
l/2
13
5
FQ
FP 2
S平面
5
4
4
3
3
Mz
FPl 4
2
2
1
1
x1
1 2
2 2
4
x2
x1
5
14
示例一
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
(
x
y ) sin
2
xy
cos 2
30
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
( x
第七章
应力和应变分析 强度理论
1
目录
目 第七章 应力状态分析 录
应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态 三向应力状态 广义胡克定律 三向应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常见的强度理论
2
目录
§7-1 应力状态的概述 一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?