初中数学教学论文 关于化归思想的分析与应用

关于化归思想的分析与应用

【摘要】解数学问题，往往可以有众多的方式和方法，而在这些方式方法中基本都有一个共同的和重要的特点，那就是化归.化归是人们解决问题首先考虑的方法.也是数学思想中一种最基本，最典型的方法，本文从渗透在教材中的化归思想出发，结合例题阐述了化归思想，化归策略，化归的具体方法. 从而体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位.

【关键词】化归思想化归策略化归方法

所谓化归，就是转化和归结的意思，数学中的化归方法就是将一个新的，有待解决的或者还没解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法.化归的方向可以简述为：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁.在具体化归的时候一般应遵循三个原则，分别是:熟悉性原则，简单性原则，直观性原则.也可以简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题.

义务教育大纲明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分以来，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法、如何有效地进行数学思想方法教学、如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题.在新课程中，化归的思想在教材中的体现是丰富多彩，在整个初中阶段几乎我们在解决新的问题都用了化归的思想，将不熟悉的问题化归为熟悉的问题，所以在教学的过程中我们应该从深层去揭示数学例题的实质，让学生从学习中去领悟数学思想去感受数学方法论，提高对数学的审美观.新课标不同于过去的数学教学大纲，不再是一系列的知识点的罗列，而是把数学看成人类创造的“活生生”的思维活动，而不是“天上掉下来”的教条.数学内涵丰富了，学生易于亲近了，学习的积极性提高了，数学教学的效能也自然提高了.

一、化归在教材中的渗透

1、化归思想在代数运算方面的渗透：

有理数的运算：例：；这是初中阶段最基础的有理数的运算，从这个例题中我们可以看出化归在这里已经体现出来了，我们学习有理数的运算是先学加法运算，而减法运算是通过化归成已学习的加法来运算。同理，在学了乘法的基础上如何计算除法呢，同样我们将陌生的除法转化为熟悉学过的乘法运算.

解二元一次方程组

分析：（1）式—（2）式得2y=3, ,将代入（2）式得到

利用消元解二元一次方程，实质就是将不熟悉的二元一次方程组化归为我们已经熟悉的一元一次方程.分式方程整式化、无理方程有理化,实现新知识向已知知识块的转化 .

教材中的分式方程按去分母后的形式分为可化为一元一次方程的分式方式和可化为一元二次方程的分式方程，前者安排在七年级上，后者安排在八年级下。从此可以看出把分式方程转化为整式方程这一已知的知识模块是解分式方程的基本思路.初中教材中的无理方程基本上都可以通过对方程两边进行平方或是换元把它转化为整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，从而使无理方程转化为有理方程这一已知的模块，从而得到求解.

2、化归思想在几何教学中的渗透与应用平面几何从定义、定理到立体、习题等许多地方都体现出了化归思想。在四边形中研究有关边、角的数量关系时，经常通过作辅助图形化归成三角形的有关知识来解决，对正多边形的有关计算可以化归为直角三角形中的有关计算。学习正多边形和圆的位置关系后，正多边形的作法可化归成等分圆周来解决；求圆柱、圆锥的侧面积可化归为计算矩形、扇形面积等。以上这些都是化归思想在教材中的体现。在新教材中，对圆周角定理的证明，就充分体现了化归的思想方法.

3、化归思想在解析几何教学中的渗透与应用在教学“函数及图象”中的求两直线的交点问题，化归思想体现在以下方面：

将求两直线交点问题化归为求方程组的解集.两直线Ｌ１和Ｌ２的交点为Ａ（ｘ１，ｙ２），说明点Ａ（ｘ１，ｙ２）即在Ｌ１上又在Ｌ２上，故其坐标（ｘ１，ｙ２）即满足Ｌ１的表达式，又满足Ｌ２的表达式。所以同时满足两个方程的一对未知数的值ｘ１和ｙ２，就是两表达式组成的方程组的解.所以在求直线交点的问题就可以化归为求方程组解的问题了，从而对此类题目有了一个较明确、形象的理解，不再那么抽象.

二、化归的策略

1、变换的策略

1.1、寻找恰当的映射（对应关系）实现化归，数学知识的内在联系有许多是映射.利用映射，可将待解决的问题转化为另一问题.

笛卡尔通过建立坐标系，确定了平面上的点与有序实数对的一一对应关系，把几何问题转化为代数问题，创立了解释几何.由此我们可以把判断点P（6，3）是

否在抛物线上，变成判断是否是方程的解；求直线与双曲线交点问题，变成求方程组解的问题.

1.2、代换.变量替换、换元、增量替换、等量代换都是特殊的映射变换.

例1、若a、b为互不相等的实数，且，，则

的值为

分析：用变量x替换a、b.即根据条件的特殊结构，由方程解的定义可知：a、b是方程的两个不等实根.由韦达定理得，。利用已知条件，把所求代数式变形，再整体代换

2、转换语义实现化归策略

数学中，每一种数学语义（概念、关系等），一般都有一种确定的数学符号（式）表示，但不同的数学语义可能是由同一种数学符号（式）表示的.也就是

说，一种数学符号（式），可作不同的语义解释，如表示a与b差的绝对值，又表示数轴上a，b两点的距离.语言是思维的载体，是思维的外部表现形式，同一种数学语义的内容可以用文字语言、符号语言、逻辑语言、图形语言、表格等不同的数学语言形式表示.因此，通过语义转换，能使一个问题转化为另一个较简单明了的问题.

2.1、等价转换

将一种数学语言翻译成另一种语言形式；或将一种形式意义翻译成另一种形式意义，这种以对象“释”对象，就是等价转换。如点P在⊙O上（R为

⊙O半径）；两圆外切（d为圆心距，R、r为两圆半径）；原命题等价于逆否命题.

2.2、数形转化

数和形反映了事物的两个方面，数无形，少直观；形无数，难入微.因此，在解决问题时，常要把同一数学对象进行代数释意与几何释意，实现“数”与“形”的语义转化.也就是说，将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究，通过数的计算去找图形之间的联系，用“数”的知识解决“形”的问题；根据条件画图形或结合所给图形去寻找数之间的联系，用“形”的知识解决“数”的问题，这种数形结合的思想是解决数学问题的切入点.

例2、△ABC中，AB=AC=4，BD交AC于E，，且CE=1。求