第三章 恒定电流

平均热运动速率v

e u E 2m v 2 ne 2 ne j neu E , 令 2m v 2m v j E
例1. 一平行板电容器如图所示，极板面积为S ,间距为d ,板间有两层 介质，第一层介质的介电常量为1，电导率为 1，厚度为d1 ; 第二层 介质的介电常量为 2，电导率为 2，厚度为d 2；d1 +d 2 =d , 外加电压为U。 求：（）介质 1 1、中的电场；（ 2 2）通过介质的电流密度；（3）介质交 界面的总电荷密度；（4）介质交界面的自由电荷密度。
2.焦耳定律 如果一段电路只包含电阻，那么电场所做的功全部转化成热 Q A UIt , 单位是焦耳（J) U U IR或I R Q I Rt或Q U t ——焦耳定律 R
2 2
电流通过电阻时发热的功率称为热功率 P I R或P U ，单位是瓦(W) R P UI 适合于任何一段电路
路里，通过各截面的电流强度必定相等。
3.1.3
欧姆定律
电阻
电阻率
1.欧姆定律(Ohm law )、电阻和电导 电场是形成电流的必要条件。要使导体内有电流 通过，两端必须有一定的电压(voltage)。在恒定 条件下，通过一段导体的电流和导体两端的电压 U 成正比，即I U ,叫做欧姆定律I 或U IR R R叫做导体的电阻(resistance)。
提供非静电力的装置称为电源(power source)
静电力
电 路
A
B
电
静电力
非静电力
源
用K表示作用在单位正电荷上的非静电力。普遍的欧姆定律 的微分形式应是j =(K +E )
电源有两个电极，电势高的叫做正极，电势低的叫做负极， 非静电力由负极指向正极。
3.2.2电动势(electromotive force, e. m. f.) 一个电源的电动势 定义为把单位正电荷从负极 通过电源内部移到正极时，非静电力做的功， K dl , 它与外电路的性质以及是否接通
S
在恒定条件下，通过S 面一侧流入的电荷量等于从 另一侧流出的电荷量，电流线连续地穿过闭合曲面 所包围的体积。恒定电流的电流线不可能在任何地 方中断，它们永远是闭合曲线。
由一束电流线围成的管状区叫做电流管(tube of current )， 恒定条件下 jdS jdS j dS j dS 0 (S ) j2 侧面 S 1 S 2 2 侧面上 j与外法线垂直， j的通量为0， en 2 S 2 j S 1 j S 2 0 1 2 j1 这说明通过同一电流管各截面的电流 S1 强度(即j的通量)都相等。 1 在恒定电路中，在一段没有分支的电 en1
电流线是终止或发出于电荷发生变化的地方。其含义是，如果 闭合面S内正电荷积累起来，则流入S 面内的电荷量必大于从S 面 内流出的电荷量，也就是说，进入S 面的电流线多于从S 面出来 的电流线，所多余的电流线便终止于正电荷积累的地方
2.电流的恒定条件 恒定电流：电流场不随时间变化
dq 在恒定条件下，对于任意闭合曲面S， 0, dt 此时 j d S 0,叫做电流的恒定条件
U 8 aU I 2aU j 2 2 R 4 r r j 2aU 3 E j 2
2 I
a
2a

r
4 P U
2
R
U
2
8 a
8 aU
2

3.2
3.2.1非静电力
电源及其电动势
仅有静电场不可能实现恒定电流。要维持恒定电流，必须 有非静电力。非静电力做功，将其他形式的能量补充给电 路，使电荷能够逆着电场力的方向运动，返回电势能较高 的原来位置，从而维持电流线的闭合性。
j d S j S
1
j S 0 0
2 1
en
1
S
j1
1
2
j2
en
S
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
U U 1 1 , j E 2 j E d d d d
2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2
l
E
S
j
U I R I jS U El l R S
E l j S j E , j 和E方向一致 l S j E , 该式叫做欧姆定律的微分形式
dl (积分形式：I j dS ,U E dl ,R ) S (S )
3.1.4
1.电功率
电功率
焦耳定律
若电路两端的电压为U , 当q单位的电荷通过这段电路时， 电场力所做的功为A qU q It A UIt 电场在单位时间内所做的功叫做电功率 A P UI t 电功的单位是焦耳，记作J
电功率的单位是瓦特，记作W 工程上：用千瓦（kW）作电功率的单位， 用千瓦 小时（kW h）作电功的单位，就是1度电 1度电=1kW h 1000W 3600s 3.6MJ
电子的总速度 热运动速度 因电场产生的附加定向速度 前者为0，后者的平均u叫做漂移速度 正是宏观上的漂移运动形成了宏观电流
电子在两次碰撞之间的平均自由飞行时间为 , 平均自由程为 e 两次碰撞之间的定向速度u 1 a E m
一个平均自由程内电子的漂移速度 u u 1 e e 0 1 u 0 E E 2 2 m 2m
2 0 自 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1
4 D d S D1S D 2S 0 自 S
en
例2.同心导体球壳U 内 U 外 U，电阻率 均为已知 求 1 R 2 j 3 E 4 P
2 a dr dr 1 dR R dR a 2 S 8 a 4 r
1
电阻率的倒数叫电导率(conductivity)，用 表示,
纯金属的电阻率与温度的关系 1 t
0

, 单位：S/m
其中叫做电阻的温度系数，单位： 1/ o C
金属导体R R 0 1 t , 利用这种性质制成电阻温度计 来测量温度
3.欧姆定律的微分形式(differential form of Ohm law)
3.1
3.1.1 电流
电流的恒定条件和导电规律
电流密度矢量
1.电流(current)：电荷的定向流动形成电流
2.产生电流的条件：
1 存在可以自由移动的电荷(自由电荷) 2 存在电场
3.电流的方向：正电荷流动的方向 导体中电流的方向总是沿着电场方向， 从高电势处指向低电势处。
q
S
4.电流 : 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量 q dq I lim , dt t 0 t 电流是MKSA单位制中的四个基本量之一， 它的单位叫做安培，简称安(A) 1mA 10 A,1μA 10 A
1
U E E d d
0 1 2 0 总 0 2 1 1 2 2 1
1 3 E d S E 1S E 2S 0
总
S
en
1
S
E
1
2
E
2D 0E 0E d d
以电压U 为横坐标，电流I 为纵坐标画出的曲线， 叫做该导体的伏安特性(volt -ampere characteristics)。
金属导体的伏安特性是
I
(安)
一条通过原点的直线， 其斜率等于电阻R的倒数，
20010W 线绕电阻
0.15 0.10 0.05
具有这种性质的电学元件 叫做线性元件，其电阻叫
3 6
5.电流密度(current density)矢量
电流密度是一个矢量，这矢量在导体中各点的方向 代表该点电流的方向，其数值等于通过该点单位垂 直截面的电流。
通过dS的电流dI与该点电流密度 j的关系是 dI jdS
dI n
电流
dS
en
如果截面元dS的发现en与电流 则dI jdS cos j dS 方向成倾斜角，
p E
2
j2

3.1.5金属导电的经典微观解释
当导体内没有电场时,自由电子的无规热运动没有 集体定向的效果，因此并不形成电流
E
如果在金属导体中加上电场， 那么每个电子在热运动上附加 了一个匀加速运动， eE 加速度a m 电子在做热运动与定向运动的
同时不断地与晶格点阵上的原 子实碰撞，对大量电子平均而 言，电子定向速度u 0 0
电流密度的单位： A
S S
m
2
3.1.2
电流的连续方程
en
恒定条件
1.电流的连续方程(equation of continuity)
en

S

j
在导体内取任一闭合曲面S , 单位时间里 由S 面流出的电荷量为 j d S , 设时间dt里
S
包含在S 面内的电荷量增量为dq, 单位时间 dq 里S 面内的电荷量减少为 dt dq j d S , 这便是电流连续方程 dt S
1020 30
U (伏)
做线性电阻(linear resistance)。