高等电磁理论第三章答案3

第三章 稳恒电流场的边值问题
3-1 在电导率为σ的均匀半空间表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以I +和I -向媒质中供电。

试根据电场的叠加原理，求出A 和B 两个点电流源在表面上M 点形成的电位。

解：易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I R
Φπσ=
，同理可得点电流源
B 在介质中任意一点产生的电位为2B I
R
Φπσ=-
，则叠加后介质中任意一点的总电位为
22A B
I I
R R Φπσπσ=-
对于表面上一点M （设其坐标为(0)x ,）而言，||A R x L =+，||B R x L =-，则有
22||||
2||2||2||
I I I x L x L x L x L x L Φπσπσπσ--+=
-=+--
3-2 当地表水平、地下为均匀各向同性岩石时，在地层表面布以相距2L 的电极A 和B ，
并分别以电流强度I +和I -向地下供电，在地下建立稳定电流场。

试解答如下问题：（1）求A 和B 连线中垂线上h 处电流密度h j 的表达式；（2）计算并绘图说明深度为h 处的电流密度h j 随AB 的变化规律；（3）确定使h j 为最大时，供电电极距AB 与h 的关系式。

解：（1）易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I
R
Φπσ=
，则
3
1()()()=22A I I E R R
σσΦσπσπ==⋅-∇=⋅-⋅∇R
j 同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电流密度为3
2B I R
π=-R
j ，叠加后得介质中任意一点的电流密度为
33
22A B
A B
I I R R ππ=
-R R j 在A 、B 连线的中垂线上，A B R =R ，A B =2L ρ-R R e ，则有
3322222()I I L L R L h ρ
ρ
ππ=
⋅=⋅+j e e （2）
（3）设32
22()()
f L L L h -=⋅+，对其求导可得
35'
2
222
22
2
()()3()
f L L h L L h --=+-+
令其等于0，得22230L h L +-=
，解得L = 故h j 为最大时电极距AB 与h 的关系为
22AB L ===
3-3 在习题3-2
中，电极距AB 时，均匀各向同性半空间中h 深度处的电流密度最大。

如果在h 深度以下存在高阻或低阻岩层，在这种层状介质空间中，为保持h 深度电流密度不变，AB 将如何变化？为什么？
3-4 如习题3-4图所示，在三层均匀地层表面布以相距为2L 的电极A 和B ，并分别以I + 和I -向地层媒质中供电。

试求出在地表M 点和N 点之间形成的电位差MN Φ，并讨论（1）MN Φ与1Z 和2Z 的关系；（2）MN Φ与1σ和2σ的关系。

Z Z Z 习题3-4图
解：由题意知131u Au s =-，其中12A PP = 对矩阵1P 有12112212P P σσσ+==，1
212121
2z
P e λσσσ-=，1
21221
12z P e λσσσ--= 对矩阵2P 有23112222P P σσσ+==
，2
2231222z P e λσσσ-=，2
22321
2
2z
P e λσσσ--= 则由12A PP =计算后可得
122()
23231112()()()()=
4z z e A λσσσσσσσσσσ-+++--1212 21
2223231212()()()()=
4z z e e A λλσσσσσσσσσσ+-+-+1212 12
2223232112()()()()=
4z z e e A λλσσσσσσσσσσ---+++-1212 212()23232212
()()()()
=
4z z e A λσσσσσσσσσσ---+++1212
设
12
112
k σσσσ-=+，2
3223k σσσσ-=+，则有 12
1212
2212112()2212121z z z z z z k e k e B A k k e k e k e
λλλλλ-----+==+-- 则点电源在地表任意一点的电位为
010101
10
(,0)[()2()][12()]22I I J d A J d A J d Φρλρλλρλρλρλπσπσρ
∞∞
∞
=
+=
+⎰⎰⎰
所以M 点的电位为
10101010
[12()[()]]2()[12()[()]]
2()m A B
M M M M M M I
L L A J L L d L L I L L A J L L d L L ΦΦΦλλπσλλπσ∞
∞=+=+++-++---⎰⎰
同理可得N 点电位为
10101010
[12()[()]]2()[12()[()]]
2()N N N N N N N I L L A J L L d L L I
L L A J L L d L L Φλλπσλλπσ∞
∞
=+++-
++---⎰⎰
所以M 点和N 点之间形成的电位差MN M N ΦΦΦ=- （1） （2）
3-5 （1）设在均匀各向同性无限大导电岩石中有一半径为a 的球形矿体，围岩电导率为1σ（电阻率为1ρ），球体电导率为2σ（电阻率为2ρ），导电岩石中流着均匀电流场，其电流密度为0J ，如习题3-5(a)图所示。

求稳恒时的电位分布与电流分布。

（2）由于地面电法勘探的供电和测量均在地面进行,如习题3-5(b)图所示，球心距地面距离为0h 。

求地下空间电流分布及地面电位分布。

(a)全空间均匀电流场中的导电球体 (b)半空间均匀电流场中的导电球体
习题3-5图
解：（a ）有球体存在时，球内球外电位有两部分电位（正常电位和异常电位）叠加而成。

这里将叠加后得电位称为一次场电位，而将异常部分称为一次场异常电位，并表示为
(2)(2)101a U U U =+(1)(1)
101a U U U =+
其中0U 为均匀电流场的电位，(2)1a U 为球内一次场的异常电位，(1)
1a U 为球外一次场的异常电
位。

取球心电位为零，可以写出均匀电流场的正常电位解为001cos U j r ρθ=-。

易知球内外的电位具有轴对称性即与ϕ无关，于是满足以下形式的拉普拉斯方程
21()(sin )0sin u U
r r r θθθθ
∂∂∂∂+=∂∂∂∂ 采用分离变量法求解，并结合球内球外电位有限的条件可得得其通解形式为
(2)
10
(,)(cos )n a
n n n U
r A r P θθ∞
==∑
(1)(1)10
(,)(cos )n a
n n n U r B r P θθ∞
-+==∑
于是球内与球外一次电位的一般解为
(2)1
010cos (cos )n n n n U j r A r P ρθθ∞
==-+∑
(1)(1)1
010
cos (cos )n n n n U
j r B r P ρθθ∞
-+==-+∑
根据球体与围岩的分界面上电位连续的边界条件可得
(1)010001000
cos (cos )cos (cos )n
n n n n n n n j r A r P j r B r P ρθθρθθ∞∞
-+==-+=-+∑∑
根据球体与围岩的分界面上电流密度法线分量的连续性边界条件可得
00
(1)(2)111211||r r r r U U r r ρρ==∂∂-=-∂∂ 即
(2)
(1)
100
100
1
1
2
2
1
1
1
1
cos (1)(cos )cos (cos )
n n n n n n n n j n B r
P j nA r
P ρθθρθθρρρρ∞
∞
-+-==-
-
+=-
+
∑∑
联立以上二式解得
21
10121
2A j ρρρρρ-=-+
321
101021
2B j r ρρρρρ-=-
+
0(1)n n A B n ==≠
所以球内与球外的一次电位表达式为：
(2)21
10121
[1]cos 2U j r ρρρθρρ-=-++
(1)3
02110121[1()]cos 2r U j r r
ρρρθρρ-=-+
+
由公式()A E σσΦ==⋅-∇j 即可求得空间的电流分布。

(b)地面的影响可以用一个镜像球体代替，如球心深度相对球体半径较大，即球体埋藏较深时可以忽略球体与地面以上镜像的相互作用。

这时采用将球外(1)1U 表达式的异常部分加倍的方法可以求得地下一次电位的一级近似解答。

3
02110121[12
()]cos 2r U j r r
ρρρθρρ-=-++ （1）
由公式()A E σσΦ==⋅-∇j 即可求得地下空间的电流分布。

若以球心在地面投影点o 为原点，z 轴垂直向下。

地面观察点坐标为(0)M x y ，， ，球心坐标为0(0 0 )h ，，，于是
r =cos θ=
代入式（1）中即可得到地面的电位分布。

3-6 球面偶电层产生的电流场。

如习题3-6图所示，有一半径为a ，电导率为2σ的均匀球形矿体，位于电导率为1σ的无限均匀媒质中。

设矿体处于氧化与还原的环境之中，因而在球面上产生一偶电层，其电位跃变为
0cos ΦΦθ∆=∆
其中0Φ∆为球面电位的最大跃变值，θ为极轴Oz 和球心至观测点P 的矢径之间的夹角。

求此球面偶电层在球内外所产生的电位分布。

习题3-6图
解：用分离变量法求解。

设球外电势为1Φ，球内电势为2Φ，因1Φ和2Φ均满足拉普拉斯方程，且具有轴对称性，故1Φ和2Φ仅为θ、r 的函数，与方位角ϕ无关，其通解为
1
()(cos )n n
n n n n B A r P r Φθ∞
+==+
∑ 定解过程如下：
∞→r 时，10Φ→，故1Φ中无n
r 项，即110(cos )n
n
n n B P r
Φθ∞
+==
∑ 0→r 时，2Φ有限，故2Φ中无)
1(+-n r
项，即20
(cos )n
n
n n A r
P Φθ∞
==
∑
球面两侧电势跃变120()cos r a u u ΦΦ∆∆θ=-==，则有
θθcos )(cos )(
00
1
u P a A a B n n n n n n ∆=-∑
∞
=+
球面两侧n J 连续，即 212
1
r a
r a
r
r
ΦΦγγ==∂∂=∂∂，则有
∑
∑∞
=+∞
=-+-=0
2
1
1
2)(cos )
1()(cos n n n n n n n n P a
B n P a
nA θγθγ
比较以上两式两端的)(cos θn P 系数，当1=n 时，得到
012
1u a A a
B ∆=-， 3
11
122a
B A γγ-=
联立求解以上两式，得
a u A 0121122∆+-
=γγγ， 021
22
12u a B ∆+=
γγγ 当1≠n 时，0==n n B A 。

将所求出的各系数代入通解，得
22
1021()cos 2a
u r
γΦ∆θγγ=
+
120212()cos 2r
u a
γΦ∆θγγ=-
+
3-7 球形矿体在点电源中的场如习题3-7图所示，在电导率为2σ的无限大均匀媒质中有一半径为a 、电导率为1σ的均匀球形矿体，在距球心为d 的A 点处有一点电流源，其电流强度为I ，并取A 在oz 轴上。

（1）求球内和球外的电位分布；（2）设球形矿体和点电源均在地表下，求地表下的电位分布。

习题3-7图
解：易知球内和球外一次场的电位由两部分组成
(2)(2)101a
U U U =+(1)(1)101a U U U =+ 其中0U 为均匀电流场的电位，(2)1a U 为球内一次场的异常电位，(1)
1a U 为球外一次场的异常电
位，且1
04I U R
ρπ=。

易知球内外的电位具有轴对称性即与ϕ无关，于是满足以下形式的拉普拉斯方程
21()(sin )0sin u U r r r θθθθ
∂∂∂∂+=∂∂∂∂ 采用分离变量法求解，并结合球内球外电位有限的条件可得得其通解形式为
(2)
10(,)(cos )n a
n n n U
r A r P θθ∞
==∑
(1)(1)10
(,)(cos )n a
n n n U r B r P θθ∞
-+==∑
将
1
R
用展开，得球内与球外一次电位的一般解为 (2)1
10
[](cos )n
n n n n n r U q A r P d θ∞+==+∑
(1)
(1)1
10
[](cos )n
n n n n n r U
q B r P d θ∞
-++==+∑
根据球体与围岩分解面上电位连续的边界条件，可得
(1)00001100[](cos )[](cos )n n n
n n n n n n n n n r r q A r P q B r P d d θθ∞
∞
-+++==+=+∑∑ 根据电流密度的法线分量在球体与围岩分界面上连续的边界条件可得
111
(2)00001100211
1[](cos )[(1)](cos )n n n n n n n n n n n n nr nr q nA r P q n B r P d d θθρρ--∞
∞--+++==+=-+∑∑ 联立以上二式解得
211
12()1
(1)n n n A q
n n d ρρρρ+-=++
21
0211
12()(1)n n n r n B q n n d
ρρρρ++-=++ 所以球内和球外一次场的电位表达式为：
(2)1211
1012()1[(cos )]4(1)n n
n n I n r U P R n n d
ρρρθπρρ∞+=-=+++∑ 21(1)01211
11012()1[(cos )]4(1)n n
n n n r I n
U
P R n n d r
ρρρθπρρ+∞++=-=+++∑ （2）采用异常电位加倍的近似方法，又供电电源A 位于地面，电源是以2π的立体角流出，故电位公式前的
14I ρπ应改为12I ρ
π。

此时球外一次场的电位表达式为 210121111012()1[2(cos )]2(1)n n
n n n r I n
U P R n n d
r ρρρθπρρ+∞
++=-=+++∑
3-8 设电流强度为I 的点源A 位于垂直分界面左边岩石的地面上，A 与分界面的距离为d ，左边岩石电导率为1σ（电阻率为1ρ），右边岩石电导率为2σ（电阻率为2ρ），如习题3-8图所示。

求地表面上电位分布与地下电流场的分布。

习题3-8图
解：采用镜像法。

为了满足电场分布的边界条件，当求与电源A 位于同一岩石中1M 点的点位时，应将2ρ岩石对地中电流场的作用用一个与A 相对分界面为镜像对称的“虚电源”1A 来代替，1A 的电流为1I 。

做了如上处理后此时地下半空间相当于充满了电阻率为1ρ的均匀岩石。

于是1M 点的电位为两个点电源产生的电位之和
111
11
22I I U r r ρρππ=
+ 其中r 和1r 为1M 点与A 和1A 点距离之和。

而当求无电源存在的2ρ岩石中2M 点之电位时，则1ρ岩石对地中电流场的作用也可以用一个“虚电源”来代替。

但此时该“虚电源”的位置将与实电源A 重合；我们将重合后的这个电源叫2A ，其点电流为2I 。

此时地下半空间又相当于充满了电阻率为2ρ的单一岩石，于是
2M 点的电位为
22
22
2I U r ρπ=
其中2r 为2M 点与2A 点之距离。

根据分界面上电位连续的条件可以得到11122
12
222I I I r r r ρρρπππ+=，因在分界面上12r r r ==，所以上式简化为
1122()I I I ρρ+= （1）
根据分界面上电流密度法线分量连续的条件可得
1111222
211111[]222I I r I r r x x x
ρρρρππρπ∂∂∂
+=
∂∂∂ 化简后得
12I I I -= （2）
联立（1）（2）两式可以解得
21
11221
I I K I ρρρρ-==+.
21
21221
1(1)I I K I ρρρρ-=-
=-+
所以两区域中电位为
112
111()2I K U r r ρπ=
+ 212
22
12I K U r ρπ-=
3-9 如习题3-9图所示，在地层表面O 点有一电流强度为I 的点电流源，1σ和3σ分别为顶层和底层各向同性媒质的电导率。

2h σ和2v σ分别为均匀各向异性夹层媒质的径向和垂向电导率。

试求地层表面0z =处的电位分布。

z =
习题3-9图
3-10 有一二层地层模型，如习题3-10图所示。

二地层电导率分别为1σ和2σ（电阻率分别为1ρ和2ρ）。

现在坐标轴上A 处有一电流强度为I 的点电流源，在坐标轴上B 处有一
电流强度为I -的点电流源。

试讨论以下几种情况的中心轴线上的电位分布。

（1）A 和B 点均在地层Ⅰ中；（2）A 和B 点分别在地层Ⅱ和Ⅰ中；（3）A 和B 点均在地层Ⅱ中。

习题3-10图
解：（1）易知点电流源A 在Ⅰ、Ⅱ区产生的电位为分别为
'12
1''1112
1
1()()44A I I I I R R R R σσΦπσπσσσ-=+=++
''2
2
''2212
21
144A I I R R σΦπσπσσσ==⋅⋅
+ 同理点电流源B 在Ⅰ、Ⅱ区产生的电位为分别为
121'1
121(
)4B I I R R σσΦπσσσ-=-
++ 222
12
214B I R σΦπσσσ=-
⋅
⋅+ 则Ⅰ区中中心轴线上任意一点的电位为
11
1212
11211212
112
1111(
)()4||4||1111[
()]
4||||A B A A B B A B A B I I z z z z z z z z I z z z z z z z z ΦΦΦσσσσπσσσπσσσσσπσσσ=+--=+-+-++-++-=
-+---+++
同理可得Ⅱ区中中心轴线上任意一点的电位为
221211
(
)2()A B A B I
z z z z
ΦΦΦπσσ=+=
-+--
(2) 易知点电流源A 在Ⅰ、Ⅱ区产生的电位为分别为
11112
214A I R σΦπσσσ=
⋅
⋅+ 212'2
12
1
(
)4A I I R R σσΦπσσσ-=
++ 同理点电流源B 在Ⅰ、Ⅱ区产生的电位为分别为
121'1
121(
)4B I I R R σσΦπσσσ-=-
++ 222
12
214B I R σΦπσσσ=-
⋅
⋅+ 则Ⅰ区中中心轴线上任意一点的电位为
1121111212
2111(
)4||A B A B B I z z z z z z σσσΦΦΦπσσσσσ-=+=
⋅---+-++ 同理可得Ⅱ区中中心轴线上任意一点的电位为
212222
1212
2111
(
)4||||A B A A B I z z z z z z σσσΦΦΦπσσσσσ-=+=
+-⋅-++-+
（3）易知点电流源A 在Ⅰ、Ⅱ区产生的电位为分别为
11112
214A I R σΦπσσσ=
⋅
⋅+ 212'2
12
1(
)4A I I R R σσΦπσσσ-=
++ 同理点电流源B 在Ⅰ、Ⅱ区产生的电位为分别为
11112
214B I R σΦπσσσ=-⋅
⋅+ 212'2
12
1
(
)4B I I R R σσΦπσσσ-=-
++ 则Ⅰ区中中心轴线上任意一点的电位为
111211
(
)2()A B A B
I
z z z z ΦΦΦπσσ=+=
-+--
同理可得Ⅱ区中中心轴线上任意一点的电位为
21222
12
1111
[
()]4||||||||A B A B A B I z z z z z z z z σσΦΦΦπσσσ-=+=
-+---+++
3-11 有一个三层地层模型，如习题3-11图所示。

各地层电导率分别为1σ，2σ，3σ（电阻率分别为1ρ，2ρ，3ρ）。

地层Ⅱ的厚度为h 。

在坐标轴上A 处有一电流强度为I 的点电流源，在坐标轴上B 处有电流强度为I -的点电流源。

试讨论以下几种情况下中心轴线上的电位分布。

（1）A 和B 点均在地层Ⅰ中； （2）A 和B 点分别在地层Ⅱ和Ⅰ中；（3）A 和B 点均在地层Ⅱ中；（4）A 和B 点分别在地层Ⅲ和Ⅰ中；（5）A 和B 点分别在地层Ⅱ和Ⅲ中；（6）A 和B 点均在地层Ⅲ中。

习题3-11图
3-12 如习题3-12图所示，在一个电导率为t σ的无限大地层钻一半径为b 、泥浆电导率为m σ的无限长的井，在井轴上有一电流强度为I 的点电极。

求井内外的电位分布。

解：易知Ⅰ、Ⅱ区中的二次电位满足拉普拉斯方程，求解后可得
[()()]i z in
n
n
n AI BK e e d λϕΦλρλρλ+∞
+∞=-∞-∞
=
+∑⎰
由于Φ与ϕ无关，故上式可化简为0
0[()()]i z
AI BK e d λΦλρλρλ+∞-∞
=+⎰ 又Ⅰ区中的一次电位为002()4i z m
I k e d λΦλρλπσ+∞
-∞
=
⎰
，则Ⅰ、Ⅱ区中的电位分别为 10
2
[()()()]4i z
m
I K AI BK e
d λΦλρλρλρλπσ+∞
-∞
=
++⎰
2002[()()]4i z
m
I
CI DK e d λΦλρλρλπσ+∞
-∞
=
+⎰ 由0ρ=，ρ→∞时电位有限可得
0B C ==
由b ρ=时满足边值关系112
||||b b m b
t b ρρρρΦΦΦΦσσρρ=====⎧⎪
∂∂⎨=⎪∂∂⎩
2解得
101101()()
1()()
bQ K b K b A bQ K b I b λλλλλλ=+
1
10111()()
Q D bQ K b I b λλλ+=
+
其中m t
t
Q σσσ-=
则井内外的电位分布为
1011002101()()
[()()]41()()
i z m
bQ K b K b I K I e d bQ K b I b λλλλΦλρλρλπσλλλ+∞
-∞
=
+
+⎰
12021011[()]41()()i z
m Q I
K e d bQ K b I b λΦλρλπσλλλ+∞
-∞+=
+⎰。