高等电磁理论第三章答案3

第三章 稳恒电流场的边值问题

3-1 在电导率为σ的均匀半空间表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以I +和I -向媒质中供电。试根据电场的叠加原理，求出A 和B 两个点电流源在表面上M 点形成的电位。

解：易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I R

Φπσ=

，同理可得点电流源

B 在介质中任意一点产生的电位为2B I

R

Φπσ=-

，则叠加后介质中任意一点的总电位为

22A B

I I

R R Φπσπσ=-

对于表面上一点M （设其坐标为(0)x ,）而言，||A R x L =+，||B R x L =-，则有

22||||

2||2||2||

I I I x L x L x L x L x L Φπσπσπσ--+=

-=+--

3-2 当地表水平、地下为均匀各向同性岩石时，在地层表面布以相距2L 的电极A 和B ，

并分别以电流强度I +和I -向地下供电，在地下建立稳定电流场。试解答如下问题：（1）求A 和B 连线中垂线上h 处电流密度h j 的表达式；（2）计算并绘图说明深度为h 处的电流密度h j 随AB 的变化规律；（3）确定使h j 为最大时，供电电极距AB 与h 的关系式。

解：（1）易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I

R

Φπσ=

，则

3

1()()()=22A I I E R R

σσΦσπσπ==⋅-∇=⋅-⋅∇R

j 同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电流密度为3

2B I R

π=-R

j ，叠加后得介质中任意一点的电流密度为

33

22A B

A B

I I R R ππ=

-R R j 在A 、B 连线的中垂线上，A B R =R ，A B =2L ρ-R R e ，则有

3322222()I I L L R L h ρ

ρ

ππ=

⋅=⋅+j e e （2）

（3）设32

22()()

f L L L h -=⋅+，对其求导可得

35'

2

222

22

2

()()3()

f L L h L L h --=+-+

令其等于0，得22230L h L +-=

，解得L = 故h j 为最大时电极距AB 与h 的关系为

22AB L ===

3-3 在习题3-2

中，电极距AB 时，均匀各向同性半空间中h 深度处的电流密度最大。如果在h 深度以下存在高阻或低阻岩层，在这种层状介质空间中，为保持h 深度电流密度不变，AB 将如何变化？为什么？

3-4 如习题3-4图所示，在三层均匀地层表面布以相距为2L 的电极A 和B ，并分别以I + 和I -向地层媒质中供电。试求出在地表M 点和N 点之间形成的电位差MN Φ，并讨论（1）MN Φ与1Z 和2Z 的关系；（2）MN Φ与1σ和2σ的关系。

Z Z Z 习题3-4图

解：由题意知131u Au s =-，其中12A PP = 对矩阵1P 有12112212P P σσσ+==，1

212121

2z

P e λσσσ-=，1

21221

12z P e λσσσ--= 对矩阵2P 有23112222P P σσσ+==

，2

2231222z P e λσσσ-=，2

22321

2

2z

P e λσσσ--= 则由12A PP =计算后可得

122()

23231112()()()()=

4z z e A λσσσσσσσσσσ-+++--1212 21

2223231212()()()()=

4z z e e A λλσσσσσσσσσσ+-+-+1212 12

2223232112()()()()=

4z z e e A λλσσσσσσσσσσ---+++-1212 212()23232212

()()()()

=

4z z e A λσσσσσσσσσσ---+++1212

设

12

112

k σσσσ-=+，2

3223k σσσσ-=+，则有 12

1212

2212112()2212121z z z z z z k e k e B A k k e k e k e

λλλλλ-----+==+-- 则点电源在地表任意一点的电位为

010101

10

(,0)[()2()][12()]22I I J d A J d A J d Φρλρλλρλρλρλπσπσρ

∞∞

∞

=

+=

+⎰⎰⎰

所以M 点的电位为

10101010

[12()[()]]2()[12()[()]]

2()m A B

M M M M M M I

L L A J L L d L L I L L A J L L d L L ΦΦΦλλπσλλπσ∞

∞=+=+++-++---⎰⎰

同理可得N 点电位为

10101010

[12()[()]]2()[12()[()]]

2()N N N N N N N I L L A J L L d L L I

L L A J L L d L L Φλλπσλλπσ∞

∞

=+++-

++---⎰⎰

所以M 点和N 点之间形成的电位差MN M N ΦΦΦ=- （1） （2）

3-5 （1）设在均匀各向同性无限大导电岩石中有一半径为a 的球形矿体，围岩电导率为1σ（电阻率为1ρ），球体电导率为2σ（电阻率为2ρ），导电岩石中流着均匀电流场，其电流密度为0J ，如习题3-5(a)图所示。求稳恒时的电位分布与电流分布。

（2）由于地面电法勘探的供电和测量均在地面进行,如习题3-5(b)图所示，球心距地面距离为0h 。求地下空间电流分布及地面电位分布。

(a)全空间均匀电流场中的导电球体 (b)半空间均匀电流场中的导电球体

习题3-5图