2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测8--不等式、数列

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2014高考数学一轮汇总训练《数列的综合问题-》理-新人教A版

第五节数列的综合问题[备考方向要明了]考什么怎么考能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年T16，T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年T19等.[归纳·知识整合]1．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学容，在每个数学容中，各是什么问题．(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图：2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．[探究] 银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋rn)，属于等差数列模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和a n＝a(1＋r)n，属于等比数列模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析：选B 由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为( )解析：选A 由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝34；第一行第四个数为5，第二行第四个数为52，故y＝54，从而x＋y＋z＝3.4．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析：设数列{a n}的公比为q，∵4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.答案：152 41 2x yz5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________．解析：由S n ＝23a n －13得当n ≥2时，S n ＝23(S n －S n －1)－13，即S n ＝－2S n －1－1. 令S n ＋p ＝－2(S n －1＋p )得S n ＝－2S n －1－3p ，可知p ＝13.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋13是以－23为首项，以－2为公比的等比数列．则S n ＋13＝－23×(－2)n －1，即S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9，k ∈N *得k ＝4.答案：4等差数列、等比数列的综合问题[例1] 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . [自主解答] (1)证明：∵b n ＝log 2a n ， ∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n n －12×(－1)＝9n －n 22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n(n ∈N *)．在本例(2)的条件下，试比较a n 与S n 的大小．解：显然a n ＝25－n>0，当n ≥9时，S n ＝n 9－n2≤0，∴n ≥9时，a n >S n .∵a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7， S 8＝4，∴当n ＝3，4，5，6，7，8时，a n <S n ；当n ＝1，2或n ≥9时，a n >S n . ——————————————————— 解答数列综合问题的注意事项(1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来．(2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n 项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．1．(2013·模拟)已知等差数列{a n }的公差大于零，且a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足b 3＝a 3，S 3＝13.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n ≤5，b n ，n >5，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .由x 2－18x ＋65＝0，解得x ＝5或x ＝13. 因为d >0，所以a 2<a 4，则a 2＝5，a 4＝13，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.因为⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝b 1q 2＝9，b 1＋b 1q ＋b 1q 2＝13，又q >0，解得b 1＝1，q ＝3. 所以b n ＝3n －1.(2)当n ≤5时，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n ＋n n －12×4＝2n 2－n ；当n >5时，T n ＝T 5＋(b 6＋b 7＋b 8＋…b n ) ＝(2×52－5)＋351－3n －51－3＝3n－1532.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－n ，n ≤5，3n－1532，n >5.数列与函数的综合应用[例2] (2012·高考)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}x n .(1)求数列{}x n 的通项公式；(2)设{}x n 的前n 项和为S n ，求sin S n .[自主解答] (1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，即cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n＝－sin2nπ3.当n ＝3m －2(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－43π＝－32；当n＝3m－1(m∈N*)时，sin S n＝－sin⎝⎛⎭⎪⎫2mπ－23π＝32；当n＝3m(m∈N*)时，sin S n＝－sin 2mπ＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n＝3m－2m∈N*，32，n＝3m－1m∈N*，0，n＝3m m∈N*.———————————————————解决函数与数列的综合问题应该注意的事项(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化．2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，a n＋1＝a n－f a nf′a n(n＝1,2，…)．(1)求α，β的值；(2)已知对任意的正整数n，都有a n>α，记b n＝lna n－βa n－α(n＝1,2，…)，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为x1＝－1＋52，x2＝－1－52，又∵α，β是方程的两个实根，且α>β，∴α＝－1＋52，β＝－1－52.(2)∵f ′(x )＝2x ＋1，∴a n ＋1＝a n －f a n f ′a n ＝a n －a 2n ＋a n －12a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋1.∵a n >α>β(n ＝1,2,3，…)，且a 1＝1， ∴b 1＝ln 1－β1－α＝ln β2α2＝4ln 5＋12.或b 1＝ln 1－β1－α＝ln1－－1－521－－1＋52＝ln3＋524＝2ln3＋52＝2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522＝4ln5＋12b n ＋1＝ln a n ＋1－βa n ＋1－α＝ln a 2n －2βαn －β＋1a 2n －2αa n －α＋1＝lna n －β2－β2－β＋1a n －α2－α2－α＋1＝ln a n －β2a n －α2＝2lna n －βa n －α＝2b n . 即{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列．故数列{b n }的前n 项和S n ＝b 11－2n1－2＝(2n－1)·4ln 5＋12＝(2n ＋2－4)ln5＋12. 数列与不等式的综合应用[例3] (2012·高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[自主解答] (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1.(2)由题设条件可知n≥2时，2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，④2S n－1＝a n－2n＋1.⑤④－⑤得2a n＝a n＋1－a n－2n＋1＋2n，即a n＋1＝3a n＋2n，整理得a n＋1＋2n＋1＝3(a n＋2n)，则{a n＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列．所以a n＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n，即a n＝3n－2n(n>1)．又a1＝1满足上式，故a n＝3n－2n.(3)证明：∵1a n＝13n－2n＝13n·11－⎝⎛⎭⎪⎫23n≤13n·11－23＝3·13n，∴1a1＋1a2＋…＋1a n≤3⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n＝3×13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n<32.———————————————————数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法，穿根法等．总之这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．3．等比数列{a n}为递增数列，且a4＝23，a3＋a5＝209，数列b n＝log3a n2(n∈N*)．(1)求数列{b n}的前n项和S n；(2)T n＝b1＋b2＋b22＋…＋b2n－1，求使T n>0成立的最小值n.解：(1)∵{a n}是等比数列，设其公比为q，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝23，a1q2＋a1q4＝209，两式相除得，q 1＋q 2＝310，q ＝3或q ＝13， ∵{a n }为递增数列，∴q ＝3，a 1＝281.∴a n ＝a 1qn －1＝281·3n －1＝2·3n －5， ∴b n ＝log 3a n2＝n －5，数列{b n }的前n 项和S n ＝n －4＋n －52＝12(n 2－9n )． (2)T n ＝b 1＋b 2＋b 22＋…b 2n －1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n －1－5)＝1－2n1－2－5n >0，即2n>5n ＋1.∵24<5×4＋1,25>5×5＋1，∴n min ＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用[例4] (2012·高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[自主解答] (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m －2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．——————————————————— 解决数列实际应用问题的方法解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力．4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解：(1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n n －12×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，解得n ≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n}，由题意可知{b n}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则b n＝400×(1.08)n－1.由题意可知a n>0.85b n，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.当n＝5时，a5<0.85b5，当n＝6时，a6>0.85b6，即满足上述不等式的最小正整数n为6.故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1个问题——分期付款问题等比数列中处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)．(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．3个注意——递推、放缩与函数思想的考查(1)数列与解析几何结合时注意递推．(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．(3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性).创新交汇——数列的新定义问题1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题．2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题．[典例] (2011·高考)若数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足|a k＋1－a k|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称A n为E数列．记S(A n)＝a1＋a2＋…＋a n.(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；(2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2 011；(3)对任意给定的整数n(n≥2), 是否存在首项为0的E数列A n，使得S(A n)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．[解] (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E 数列A 5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E 数列A 5) (2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列，所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1 999)．所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列．所以a 2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a 2 000－a 1 999≤1，a 1 999－a 1 998≤1，…a 2－a 1≤1，所以a 2 000－a 1≤1 999，即a 2 000≤a 1＋1 999. 又因为a 1＝12，a 2 000＝2 011，所以a 2 000＝a 1＋1 999.故a k ＋1－a k ＝1＞0(k ＝1,2，…，1 999)，即A n 是递增数列．综上，结论得证．(3)令c k ＝a k ＋1－a k (k ＝1,2，…，n －1)，则c k ＝±1. 因为a 2＝a 1＋c 1，a 3＝a 1＋c 1＋c 2，…a n ＝a 1＋c 1＋c 2＋…＋c n －1，所以S (A n )＝na 1＋(n －1)c 1＋(n －2)c 2＋(n －3)c 3＋…＋c n －1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]＝n n －12－[(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)]．因为c k ＝±1，所以1－c k 为偶数(k ＝1，…，n －1)．所以(1－c 1)(n －1)＋(1－c 2)(n －2)＋…＋(1－c n －1)为偶数，所以要使S (A n )＝0，必须使n n －12为偶数，即4整除n (n －1)，亦即n ＝4m 或n ＝4m ＋1(m ∈N *)．当n ＝4m (m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋1(m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )，a 4m ＋1＝0时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋2或n ＝4m ＋3(m ∈N *)时，n (n －1)不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得a1＝0，S(A n)＝0.[名师点评]1．本题具有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景新颖．(2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合．2．解决本题要注意以下几个问题：对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口．[变式训练]1．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…b n满足b1＝a n，b k ＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为______；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是______．解析：由b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{a n}为2,1,4,5.由已知，b1＝a1－(a1－a n)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－a n)，….因为n是偶数，所以b n ＝a n＋(－1)n(a1－a n)＝a1.设{b n}的“衍生数列”为{c n}，则c i＝b i＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i·(a1－a n)＋(－1)i(b1－b n)＝a i＋(－1)i(a1－a n)＋(－1)i·(a n－a1)＝a i，其中i＝1,2,3，…，n.则{b n}的“衍生数列”是{a n}．答案：2,1,4,5 {a n}2．(2012·高考改编)对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)．解：(1)数列{a n}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.(2)证明：因为b k＝max{a1，a2，…，a k}，b k＋1＝max{a1，a2，…，a k，a k＋1}，所以b k＋1≥b k.因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ，所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1. 等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选D ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2D.12解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.3．(2013·模拟)满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月累积的需求量S n (万件)近似地满足关系式S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月解析：选C 由S n 解出a n ＝130(－n 2＋15n －9)，再解不等式130(－n 2＋15n －9)>1.5，得6<n <9.5．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470.6．(2013·模拟)在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选D 若k ＝0时，则a n ＋2－a n ＋1＝0，因为a n ＋2－a n ＋1可能为分母，故无意义，故k 不可能为0，①正确；若等差、等比数列为常数列，则②③错误；由定义知④正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2013·模拟)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此知a n ＝2n . 故S 100＝1002＋2002＝10 100.答案：10 1008．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：依题意得，函数y ＝x 2(x >0)的图象在点( a k ，a 2k )处的切线方程是y －a 2k ＝2a k (x－a k )．令y ＝0得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1＝25－k，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：219．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．由题意知使用n 天的平均耗资为3.2×104＋⎝⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n 2n＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n20时取得最小值，此时n ＝800. 答案：800三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≥b n ＋1；②b n ≤M (n ∈N *，M 是常数)的无穷数列{b n }叫“嘉文”数列．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝aa －1(a n －1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S na n＋1，若数列{b n }为等比数列，求a 的值，并证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．解：(1)因为S 1＝aa －1(a 1－1)＝a 1，所以a 1＝a .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a －1(a n －a n －1)，整理得a na n －1＝a ，即数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．所以a n ＝a · a n －1＝a n .(2)由(1)知，b n ＝2×aa －1a n －1a n ＋1＝3a －1a n －2aa －1a n，(*)由数列{b n }是等比数列，则b 22＝b 1·b 3，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2a 2＝3·3a 2＋2a ＋2a 2，解得a ＝13，再将a ＝13代入(*)式得b n ＝3n，故数列{b n }为等比数列，所以a ＝13.由于1b n ＋1b n ＋22＝13n ＋13n ＋22>213n ·13n ＋22＝13n ＋1＝1b n ＋1，满足条件①；由于1b n ＝13n ≤13，故存在M ≥13满足条件②.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“嘉文”数列．11．已知正项数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322，∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列． ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ＋12(n ∈N *)．(2)由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，从而有1a n＝2n ＋1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2. ∴2S n ＝2－4n ＋2.又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8n ＋2n ＋3. ∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2kn a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N *}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式．解：(1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2. ∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ， ∴k n ＝2n ＋2.∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n.∴ T n ＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n.① 由①×4，得4T n ＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n ＋1)×4n ＋1.②①－②得－3T n ＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n )－(2n ＋1)×4n ＋1]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4＋2×421－4n －11－4－()2n ＋1×4n ＋1， ∴T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169.(3)∵Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N *}，∴Q ∩R ＝R . 又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6. ∵{c n }的公差是4的倍数，∴c 10＝4m ＋6(m ∈N *)．又∵110<c 10<115，∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115，m ∈N *，解得m ＝27.∴c 10＝114. 设等差数列的公差为d ，则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n＝6＋(n－1)×12＝12n－6.∴{c n}的通项公式为c n＝12n－6.1．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为S n，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式及S n；(2)设A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n，B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较A n与B n 的大小．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由⎝⎛⎭⎪⎫1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a.所以a n＝na，S n＝an n＋12.(2)因为1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，所以A n＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以B n＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1＝1a·1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2a⎝⎛⎭⎪⎫1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n>n＋1，即1－1n＋1<1－12n，所以，当a>0时，A nB n.2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6)解：(1)第1年末的住房面积为a ·1110－b ＝1.1a －b (m 2)，第2年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝1.21a －2.1b (m 2)． (2)第3年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102(m 2)，第4年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103(m 2)，第5年末的住房面积为a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ≈1.6a －6b (m 2)．依题意可知，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，且a 1＝2，a 2＝1. (1)求k 的值和S n 的表达式； (2)是否存在正整数m ，n ，使得S n －m S n ＋1－m <12成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件S n ＋1＝kS n ＋2(n ∈N *)，得S 2＝kS 1＋2，即a 1＋a 2＝ka 1＋2，∵a 1＝2，a 2＝1，∴2＋1＝2k ＋2，得k ＝12.于是，S n ＋1＝12S n ＋2，设S n ＋1＋x ＝12(S n ＋x )，即S n ＋1＝12S n －12x ，令－12x ＝2，得x ＝－4，∴S n ＋1－4＝12(S n －4)，即数列{S n －4}是首项为－2，公比为12的等比数列．∴S n －4＝(－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (n ∈N *)．(2)由不等式S n －m S n ＋1－m <12，得4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －m 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－m <12，即2n4－m －42n4－m －2<12.令t ＝2n(4－m )，则不等式变为t －4t －2<12，解得2<t <6，即2<2n(4－m )<6.假设存在正整数m ，n ，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m 为整数，则只能是2n(4－m )＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n＝2，4－m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧2n＝4，4－m ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.于是，存在正整数m ＝2，n ＝1或m ＝3，n ＝2，使得S n －m S n ＋1－m <12成立．由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的4类探索性问题一、由递推公式求通项的7种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)．[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n .[解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以a n －a 1＝1－1n.因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n .2．a n ＋1＝f (n )a n 型把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n .[解] 由a n ＋1＝n n ＋1·a n ，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝23n. 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝qp －1，可令a n ＋1＋t ＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .[解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.4．a n ＋1＝pa n ＋q n(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 (1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n qn ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q，再用待定系数法解决； (2)也可以在原递推公式两边同除以pn ＋1，得a n ＋1p n ＋1＝a n p n ＋1p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫q p n，引入辅助数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n p n ，得b n ＋1－b n ＝1p ⎝ ⎛⎭⎪⎫q pn ，再利用叠加法(逐差相加法)求解． [例4] 已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n .[解] 法一：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以2n ＋1，得2n ＋1·a n ＋1＝23(2n ·a n )＋1.令b n ＝2n·a n ，则b n ＋1＝23b n ＋1，根据待定系数法，得b n ＋1－3＝23(b n －3)．所以数列{b n －3}是以b 1－3＝2×56－3＝－43为首项，以23为公比的等比数列．所以b n －3＝－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.于是，a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.法二：在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1两边乘以3n ＋1，得3n ＋1a n ＋1＝3n a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1. 令b n ＝3n·a n ，则b n ＋1＝b n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1.所以b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，b n －1－b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，…，b 2－b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322. 将以上各式叠加，得b n －b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n.又b 1＝3a 1＝3×56＝52＝1＋32，所以b n ＝1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2，即b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－2.故a n ＝b n 3n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.5．a n ＋1＝pa n ＋an ＋b (p ≠1，p ≠0，a ≠0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a n ＋1＋x (n ＋1)＋y ＝p (a n ＋xn ＋y )，与已知递推式比较，解出x ，y ，从而转化为{a n ＋xn ＋y }是公比为p 的等比数列．[例5] 设数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)，求a n . [解] 设递推公式可以转化为a n ＋An ＋B ＝3[a n －1＋A (n －1)＋B ]，化简后与原递推式比较，得⎩⎪⎨⎪⎧2A ＝2，2B －3A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝1.令b n ＝a n ＋n ＋1.(*)则b n ＝3b n －1，又b 1＝6，故b n ＝6·3n －1＝2·3n，代入(*)式，得a n ＝2·3n－n －1. 6．a n ＋1＝pa rn (p >0，a n >0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n ＋1＝pa n ＋q 型数列，再利用待定系数法求解．[例6] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1a·a 2n (a >0)，求数列{a n }的通项公式．[解] 对a n ＋1＝1a·a 2n 的两边取对数，得lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 1a.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 1a.由此得b n ＋1＋lg 1a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋lg 1a ，记c n ＝b n ＋lg 1a，则c n ＋1＝2c n ，所以数列{c n }是以c 1＝b 1＋lg 1a ＝lg 1a为首项，2为公比的等比数列．所以c n ＝2n －1·lg 1a.所以b n ＝c n －lg 1a ＝2n －1·lg 1a －lg 1a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2n －1＝lg a 1－2n，即lg a n ＝lg a 1－2n，所以a n ＝a1－2n.7．a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)型对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式[例7] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2,3，…，求{a n }的通项公式．[解] ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝23＋13a n，∴1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1.又1a 1－1＝23， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以23为首项，13为公比的等比数列，∴1a n －1＝23·13n －1＝23n ， ∴a n ＝3n3n ＋2.二、破解数列中的4类探索性问题 1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋1(n ∈N *)；数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝4b n ＋6(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[解] (1)由已知得S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )＝1，所以a n ＋2－a n ＋1＝1(n ≥1)．又a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n ＋1.因为b n ＋1＝4b n ＋6，即b n ＋1＋2＝4(b n ＋2)，又b 1＋2＝a 1＋2＝4，所以数列{b 2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列．所以b n ＝4n－2.(2)因为a n ＝n ＋1，b n ＝4n－2，所以c n ＝4n＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1>c n 成立，需c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n＋(－1)nλ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1>0恒成立，化简得3·4n －3λ(－1)n －12n ＋1>0恒成立，即(－1)n －1λ<2n －1恒成立，①当n 为奇数时，即λ<2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n －1有最小值1，所以λ<1；②当n 为偶数时，即λ>－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n －1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[点评] 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到S n 要注意利用S n 与a n 的关系将其转化为a n ，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n 为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n 的奇偶性的讨论而致误．2．结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．[例2] 已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n2n ＋12n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由；(3)令c n ＝1＋n a n，记数列{c n }的前n 项积为T n ，其中n ∈N *，试比较T n 与9的大小，并加以证明．[解] (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n2n ＋12n＝n2n ＋1，所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.。

2014高考数学(理)一轮复习学案选考系列：不等式选讲

不等式选讲
考纲解读考向预测课前热身
考点突破
即时巩固课后拔高
考点六考点五考点四考点三考点二考点一
真题再现误区警示规律探究
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2014届高考人教A版数学(理)一轮复习单元训练数列(二)

数列（二）(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )．A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1±2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案 C2．设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则 ( )．A.a 4S 4＝a 6S 6 B.a 4S 4>a 6S 6C.a 4S 4<a 6S 6D.a 4S 4≤a 6S 6解析由题意得q >0，当q ＝1时，有a 4S 4－a 6S 6＝14－16>0，即a 4S 4>a 6S 6；当q ≠1时，有a 4S 4－a 6S 6＝a 1q 3(1－q )a 1(1－q 4)－a 1q 5(1－q )a 1(1－q 6)＝q 3(1－q )·1－q 2(1－q 4)(1－q 6)＝q 31＋q 2·1－q1－q 6>0，所以a 4S 4>a 6S 6.综上所述，应选B.答案 B3．(2013·广东六校联考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )．A ．2B ．4C ．8D ．16解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.答案 D4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的取值为( )．A ．5B ．6C ．4D ．7解析由S 10>0，S 11<0，知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5，选A. 答案 A5．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是( )．A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 13解析若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .由a 2＋a 6＋a 10＝3a 6为常数，则a 6为常数，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11a 6为常数．答案 B6．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项等于( )．A ．145B ．203C ．109D ．29解析因为等差数列共有奇数项，项数为2n ＋1，所以S 奇＝(n ＋1)a 中，S 偶＝na 中，中间项a 中＝S 奇－S 偶＝319－290＝29. 答案 D7．已知数列{a n }的首项a 1＝1，并且对任意n ∈N *都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N *)为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( )．A ．a n ＝n 2＋1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n解析由题意，得S n ＝12a n (a n ＋1)， ∴S n －1＝12a n －1(a n －1＋1)(n ≥2)．作差，得a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0. ∵a n >0(n ∈N *)，∴a n －a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1(n ≥2)．∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝n (n ∈N *)．答案 D8．在等差数列{a n }中，若3a 5＝8a 12>0，S n 是等差数列{a n }的前n 项之和，则S n取得最大值时，n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析因为在等差数列中，3a 5＝8a 12，所以5a 5＋56d ＝0，又因为a 5>0，所以a 1>0，d <0且d ＝－576a 1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝a 1152(157n －5n 2)，当n ＝15.7时，S n 取得最大值，因为n ∈N *，所以S n 取得最大值时n ＝16. 答案 C9．如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝( )．A ．4 016B ．1 004C ．2 008D ．2 012解析由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，所以f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2×1 006＝2 012. 答案 D10．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为 ( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列．答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13. 答案 1312．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析由a n ＝2n －7≤0，得n ≤72，即a i ≤0(i ＝1,2,3)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，易得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n －7n ＝n 2－6n .所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝－2S 3＋S 15＝－2×(－9)＋135＝153. 答案 153 13．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________．解析数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9. 答案－914．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________. 解析 ∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2)．两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒a n ＋1a n ＝43(n ≥2)⇒n ≥2时，数列{a n }是以43为公比，以a 2为首项的等比数列，∴n ≥2时，a n ＝a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2. 令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝13， ∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2(n ≥2)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝113⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥215．(2013·南通模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．答案 ①②③。

2014届高考数学一轮复习第六章《数列》精编配套试题(含解析)理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第六章数列单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1、（2013年高考某某卷理）等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.242、（2013年高考新课标Ⅱ卷理）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a (A)31 (B)31- (C)91(D)91-3、（某某省江门某某两市2013届高三4月检测）已知数列}{n a 是等差数列,若3,244113==+a a a ,则数列}{n a 的公差等于（）A ．1B ．3C ．5D ．64、【某某市新华中学2013届高三第三次月考理】设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a 的值为( ) A.16 B. 13 C. 35 D. 565、【市昌平区2013届高三上学期期末理】设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 46、【某某省六校联盟2013届高三第一次联考理】等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（）A ．8B ．12C ．16D ．247、【某某省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理】已知各项均为正数的等比数列{n a }中,1237895,10,a a a a a a ==则456a a a =( )A.8、（某某某某2013高三三模）在正项等比数列}{n a 中，3lg lg lg 963=++a a a ,则111a a 的值是 ( )A. 10000B. 1000C. 100D. 109、（某某某某2013高三5月模拟）已知等比数列{}n a 的公比2=q ，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为 A.127B.255C.511D.102310．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为( )A.12B.22C.32D.3311、已知n n a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A = A.9331）（ B.9231）（ C. 9431）（ D.11231）（ 12 ．【某某省某某一中2013届高三1月调研理】已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《基本不等式》

C.最大值为－4 D.最小值为－4 1 1 (2)已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则1＋a1＋b的最小值为________．
【例 2】►已知 a＞0，b＞0，c＞0， bc ca ab 求证：＋＋ ≥a＋b＋c. a b c 正明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
≥3＋2＋2＋2＝9，
1 当且仅当 a＝b＝c＝时，取等号 3
【审题视点】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．【方法锦囊】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
考向一利用基本不等式求最值
≥2
即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3，则一般是利用函数即 a＝3. 单调性求解．
1 1 (3)若可用基本不等 x－2× ＋2＝4，当且仅当 x－2＝ (x>2)， x－2 x－2 式，但等号不成立，
1 【训练 1】 (2013· 福州模拟)已知 f(x)＝x＋x－2(x<0)，则 f(x)有( A.最大值为 0 B.最小值为 0
【方法锦囊】【例 3】►(2012· 江苏卷)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 【审题视点】 (1)问题的背景轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮 (1)令 y＝0，解 1 位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ (1 是人们关心的 20k 20 社会热点问题， 2 2 ＋k )x (k>0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射得 x＝1＋k2，题目往往较长，程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；解题时需认真通过变形利用阅读，从中提炼 (2)设在第一象限有一飞行物基本不等式确出有用信息，建 (忽略其大小)，其飞行高度为立数学模型，转定其最大值； 3.2 千米，试问它的横坐标 a 化为数学问题不超过多少时，炮弹可以击中求解．过二次 (2) 通它？请说明理由． (2)当运用基本 1 不等式的求解 2 2 解 (1)令 y＝0，得 kx－ (1＋k )x ＝0，不等式求最值 20 20k 20 20 来确定对应的时，若等号成立故 x＝ ≤ ＝10，自变量不在 2＝由实际意义和题设条件知 x>0，k>0，的 1 2 1＋k 横坐标的取值 k＋定义域内时，就 k 范围．当且仅当 k＝1 时取等号．所以炮的最大射程为 10 千米．不能使用基本不等式求解，此 (2)因为 a>0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在 k>0，使 3.2＝ka 时可根据变量 1 2 2 2 2 2 － (1＋k )a 成立⇔关于 k 的方程 a k －20ak＋a ＋64＝0 有正根的范围用对应 20 ⇔判别式 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当 a 不超过 6 千函数的单调性求解．米时，可击中目标．

东南大学附中2014届高考数学一轮单元复习精品练习：数列 Word版含答案

东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n，则该数列的前( )项之和等于9。

A ．98 B ．99C ．96D ．97【答案】B2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若135a =，543a =，则3S =( )A ．110B ．111C ．112D ．113【答案】B3．已知{}n a 是等比数列，3a ，8a 是关于x 的方程22sin 0x x αα-=的两根，且23829()26a a a a +=+，则锐角α的值为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】C 4．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =( )A ．2744n n + B ．2533n n+ C ．2324n n+ D ．2n n +【答案】A5．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14,23010==S S ，则S 40等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16【答案】B 6．等差数列{}n a 中，a 1＞0，d ≠0，S 3=S11，则S n 中的最大值是( )A ．S 7B ．S 7或S 8C ．S 14D ．S 8【答案】A7．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )A ． a n =n 2－(n －1) B ．a n =n 2－1 C ．n n(n 1)a 2+=D ．n n(n 1)a 2-= 【答案】C8．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =( )A ．1B ．2C ．14D ． 12【答案】A9．设等比数列的公比，前项和为，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 10．已知数列{}n a 满足3211n a n =-,前n 项的为n S ,关于,n n a S 叙述正确的是( )A ． ,n n a S 都有最小值B ． ,n n a S 都没有最小值C ． ,n n a S 都有最大值D ． ,n n a S 都没有最大值【答案】A11．数列1，1+2，1+2+4，...，1+2+4+ (2)各项和为( )A ．2n+1－2－n B ．2n－n －1 C ．2n+2－n －3 D ．2n+2－n －2【答案】C12．两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比'5327n n S n S n +=+，则55b a 的值是( ) A ．2817B ．2315 C ．5327D ．4825【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．等比数列}{n a 中a n >0,且243879236a a a a a a ++=,则38a a +=____________【答案】614．已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=ni i a 01的值是____________【答案】3322--+n n15．设,s t 为正整数，两直线12:0:022t tl x y t l x y s s+-=-=与的交点是11(,)x y ，对于正整数(2)n n ≥，过点1(0,)(,0)n t x -和的直线与直线2l 的交点记为(,)n n x y .则数列{}n x 通项公式n x ＝____________. 【答案】21n s x n =+16．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则该数列的通项公式n a = ．【答案】1321n -⋅-三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知数列(1）证明(2）求数列的通项公式a n .【答案】（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k 时有则而又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切(2）下面来求数列的通项：所以,又b n=－1，所以.18．已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ) 求证：数列是等比数列；(Ⅲ) 记，求的前n项和．【答案】 (Ⅰ)设的公差为，则：，，∵，，∴，∴．∴．(Ⅱ）当时，，由，得．当时，，，∴，即．∴．∴是以为首项，为公比的等比数列．(Ⅲ）由（2）可知：．∴．∴．∴．∴．∴．19．已知等差数列{}n a 的首项11=a ，公差1=d ，前n 项和为n S ，nnS b 1=， (1）求数列{}n b 的通项公式；(2）求证：221<+++n b b b【答案】（1）等差数列{}n a 中11=a ，公差1=d()22121nn d n n na S n +=-+=∴ nn b n +=∴22(2） ()1222+=+=n n n n b n()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=++++∴114313212112321n n b b b b n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413131212112n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1112n0>n 1110<+<∴n 211120<⎪⎭⎫⎝⎛+-<∴n 221<+++∴n b b b ．20．设数列前项和为，且(1）求的通项公式；(2）若数列满足且，求数列的通项公式。

2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习小题专项集训8

小题专项集训(八) 不等式(建议用时：40分钟分值：75分)1．若b <a <0，则下列结论不正确的是 ( )．A ．a 22解析取a ＝－1，b ＝－2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4>⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.答案 C2．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的 ( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 “a ＋c ＞b ＋d ”/⇒“a ＞b 且c ＞d ”，∴“充分性不成立”，“a ＞b 且c ＞d ”⇒“a ＋c ＞b ＋d ”． ∴必要性成立．答案 A3．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 解析首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质，原不等式可以化为x ＋5≥2(x －1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]．答案 D4．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )．A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析由a ＋b ＝2可得2≥2ab ，即ab ≤1；对于选项C ：a 2＋b 2≥2，即(a ＋b )2－2ab ≥2，可得ab ≤1.故选项C 正确．答案 C5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 经过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3，故选B. 答案 B6．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )． A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A. 答案 A7．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是 ( )．A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8解析 2a ＋2b ≥22a ＋b ＝42，当且仅当2a ＝2b ，即a ＝b 时等号成立．故选B. 答案 B8．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( )．A.12B.π4 C ．1D.π2解析由题意可得，当x ＝0时，by ≤1恒成立，b ＝0时，by ≤1显然恒成立；b ≠0时，可得y ≤1b 恒成立，解得0<b ≤1，所以0≤b ≤1；同理可得0≤a ≤1.所以点P (a ，b )确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1. 答案 C9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )．A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元解析设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为⎩⎨⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0过点(4,2)时，z 取得最小值2 200，故选B.答案 B10．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的最大值为( )．A ．1 B.12 C.32D ．2解析不等式组⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0所表示的可行域如图所示，当平行直线系ax ＋by ＝z 过点A (4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值，z 最大值＝4a ＋6b ＝12，∵4a ＋6b ＝12≥24a ×6b ，∴ab ≤32. 答案 C11．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．解析由不等式的解集知1,2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根，将2代入可得m ＝2. 答案 212．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析因为正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，所以由基本不等式得xy ≥22·xy ＋6(当且仅当x ＝3，y ＝6时等号成立)，令xy ＝t ，得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或t ≥32，故xy 的最小值为18. 答案 1813．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解析根据已知条件画出可行域(如下图所示)．平移直线3y －2x ＝0，当经过A 点时，z ＝2x －3y 取得最大值；当平移到C 点时，z ＝2x －3y 取得最小值，A 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＝3，x ＋y ＝－1，解得A (1，－2)．C 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，解得C (3,1)，代入直线z ＝2x －3y 中求得z 的最大值为8，最小值为3，所以取值范围为(3,8)．答案 (3,8)14．设常数a >0，若对任意正实数x ，y 不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9恒成立，则a 的最小值为________．解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当y ＝a x时取等号．所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9，所以a ≥4，故a 的最小值为4.答案 415．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 答案 1。

2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)质量检测8

质量检测(八)测试内容：算法初步、复数、推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数11＋2i(i 是虚数单位)的实部是 ( )A.15 B ．－25 C.25D ．－15解析：复数11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝1－2i 5＝15－25i ，∴这个复数的实部是15. 答案：A2．(2012年黑龙江哈尔滨六中一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．－12B ．－2 C.12 D ．2解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i ，a 为实数，由此复数为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－a5＝0，2a ＋15≠0，解得a ＝2.答案：D3．(2012年四川成都七中一模)若复数z 满足z1＋i＝2i ，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z1＋i＝2i ，得z ＝2i(1＋i)＝2i ＋2i 2＝－2＋2i ， ∴z 对应的点位于复平面上的第二象限．答案：B4．(2012年北京海淀4月模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k 值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：开始将n ＝5代进框图，5为奇数，∴代入n ＝3n ＋1，得n ＝16，此时k ＝1.此后n 为偶数，则代入n ＝n 2中，因输出时的n ＝1,1＝1624，k ＝k ＋1，∴当n ＝1时，k ＝1＋1＋1＋1＋1＝5，故选B.答案：B5．(2012年河南郑州三模)某算法的程序框图如图所示，则输出的S 的值为A.2 0112 012B.2 0124 025C.2 0134 024D.2 0134 025解析：本题主要考查程序框图及裂项相消法求和，体现了算法思想与数列求和问题的交汇．由算法流程图可知，循环体共执行了2 012次．输出结果为 S ＝11×3＋13×5＋…＋1(2×2 012－1)(2×2 012＋1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14 023－14 025＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14 025＝2 0124 025，选B. 答案：B6．(2012年浙江杭州3月模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0112 012，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是()A．n≤2 011? B．n≤2 012?C．n>2 011? D．n>2 012?解析：由题意得f′(x)＝3ax2＋x，由f′(－1)＝0得a＝13，∴f′(x)＝x2＋x，即g(x)＝1x2＋x＝1x(x＋1)＝1x－1x＋1.由程序框图可知S＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n－1 n＋1＝1－1n＋1>2 0112 012得n>2 011.故选B.答案：B7．如果下面的程序执行后输出的结果是11 880，那么在程序UNTIL后面的条件应为()A．i<10 B．i<＝10C．i<＝9 D．i<9解析：由于12×11×10×9＝11 880，所以执行循环的条件应是i≥9，循环直到i<9时停止，因此选D.答案：D8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖的块数是() A．4n B．4n＋1C．4n＋2 D．4n－1解析：第1～3个图案中白色地面砖的块数依次是6,10,14，由此猜测白色地面砖的块数构成以6为首项，4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)．答案：C9．在数列{a n }中，若存在非零整数T ，使得a m ＋T ＝a m 对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．若数列{x n }满足x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )，且x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，当数列{x n }的正周期最小时，该数列的前2 012项的和是( )A ．671B ．670C ．1 341D ．1 342解析：x 1＝1，x 2＝a ，x 3＝|a －1|＝1－a ， x 4＝|1－a －a |＝|1－2a |，依题意知周期为3，∴|1－2a |＝1，得a ＝1，a ＝0(舍去)． ∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝0，从而S 2 012＝1 342. 答案：D10．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1×3×…·(2n －1)”，则n ＝k ＋1与n ＝k 时相比左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时等式的左端为：(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k ) 当n ＝k ＋1时，等式的左端为：(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )·2(2k ＋1)因此从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为2(2k ＋1)，故选B. 答案：B11．定义在R 上的函数 f (x )满足 f (－x )＝－ f (x ＋2)，当x >1时， f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则 f (x 1)＋ f (x 2)的值 ( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负解析：由 f (－x )＝－ f (x ＋2)知函数y ＝ f (x )关于点(1,0)对称，因此由x >1时 f (x )单调递增可知当x <1时函数 f (x )单调递增．由(x 1－1)(x 2－1)<0知x 1－1，x 2－1异号，不妨设x 1>1，则x 2<1.∵x 1＋x 2>2，∴x 1>2－x 2.由x 2<1知2－x 2>1，故x 1>2－x 2>1. ∴ f (x 1)> f (2－x 2)．∵ f (2－x 2)＝－ f (x 2)．∴ f (x 1)>－ f (x 2)，即 f (x 1)＋ f (x 2)>0. 答案：B12．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (ⅰ)1]( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1] 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2012年山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于________．解析：∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：214．(2012年江苏)下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．解析：∵k 2－5k ＋4>0，∴k >4或k <1，则当k ＝5时，循环终止， ∴k ＝5. 答案：515．设直角三角形的两直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a ＋b <c ＋h 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a 2＋b 2>c 2＋h 2；②a 3＋b 3<c 3＋h 3；③a 4＋b 4<c 4＋h 4；④a 5＋b 5>c 5＋h 5.其中正确结论的序号是________；进一步类比得到的一般结论是：______. 解析：可以证明②③正确，观察②a 3＋b 3<c 3＋h 3，③a 4＋b 4<c 4＋h 4可得：a n ＋b n <c n ＋h n (n ∈N *)．答案：②③ a n ＋b n <c n ＋h n (n ∈N *)16．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…其中T n ＝________.解析：由归纳推理得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≥2且n 为偶数12n －13n ，n ≥2且n 为奇数.答案：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≥2且n 为偶数12n －13n ，n ≥2且n 为奇数三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 013. 解：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 013＝1(2)2 013[(1＋i)2 012·(1＋i)＋(1－i)2 012·(1－i)] ＝1(2)2 013[(2i)1 006·(1＋i)＋(－2i)1 006·(1－i)] ＝12[i 2·(1＋i)＋(－i)2·(1－i)]＝－ 2.18．先阅读框图，再解答有关问题：(1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？ (2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之； ②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程．解：(1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(2)①法一：记输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1. 法二：猜想a n ＝14n 2－1.证明：(ⅰ)当n ＝1时，结论成立． (ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *), 即a k ＝14k 2－1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2(k ＋1)－32(k ＋1)＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝1(2k ＋3)(2k ＋1)＝14(k ＋1)2－1，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立．即输出a 的结果为14n 2－1. ②因为a n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 即输出S 的结果为n2n ＋1. 19．(2012年江西盟校二联)将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵： a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，该数列第1列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．(1)求第i 行第j 列的数a ij ； (2)求这n 2个数的和．解：(1)由a 11＝2，a 13＝a 61＋1，得2m 2＝2＋5m ＋1，解得m ＝3或m ＝－12(舍去)，a ij ＝a i 1·3j －1＝[2＋(i －1)×3]3j －1＝(3i －1)·3j －1.(2)S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a 11(1－3n )1－3＋a 21(1－3n )1－3＋…＋a n 1(1－3n )1－3＝12(3n －1)·(2＋3n －1)n 2＝14n (3n ＋1)(3n －1)．20．(2013年河北省衡水二模)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角；(3)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：(1)证明：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，则DF ＝3，FC ＝3，由DF ⊥FC 得DC ＝23，则BC 2＝DB 2＋DC 2，∴BD ⊥DC ，∵PD ⊥面ABCD ，∴BD ⊥PD ，而PD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥面PDC .∵PC 在面PDC 内，∴BD ⊥PC . (2)∵PD ⊥平面ABCD∴平面PDC ⊥平面ABCD .过点F 作FG ⊥CD 交CD 于G ，∵DF ∥AB ，∴AB 与面PDC 所成的角即DF 与面PDC 所成的角，即∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角．在Rt △DFC 中，∠DFC ＝90°，DF ＝3，CF ＝3，∴tan ∠FDG ＝3，∴∠FDG ＝60°.即直线AB 与平面PDC 所成角为60°.(3)连接EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面P AB . 又∵DE ∥平面P AB ，∴平面DEF ∥平面P AB ，∴EF ∥PB . 又∵AD ＝1，BC ＝4，BF ＝1， ∴PE PC ＝BF BC ＝14，∴PE→＝14PC →，即λ＝14.21．(2012年天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：证法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.证法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3. 22．给出下面的数表序列：其中表n (n ＝1,2,3，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，…，记此数列为{b n }．求和：b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1(n ∈N *)．解：(1)表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．(2)表n 的第1行是1,3,5，…，2n －1，其平均数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)n＝n .由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列(从而它的第k 行中的数的平均数是n ·2k －1)，于是，表n 中最后一行的惟一一个数为b n ＝n ·2n －1.因此b k ＋2b k b k ＋1＝(k ＋2)2k ＋1k ·2k －1·(k ＋1)·2k＝k ＋2k (k ＋1)·2k －2＝2(k ＋1)－k k (k ＋1)·2k －2 ＝1k ·2k －3－1(k ＋1)·2k －2(k ＝1,2,3，…，n )，故b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2－2－12×2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2－1－13×20＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ×2n －3－1(n ＋1)×2n －2＝11×2－2－1(n ＋1)×2n －2＝4－1(n ＋1)×2n －2.。

2014届高考数学一轮复习第八章数列第十章不等式综合检测

届高考数学一轮复习第八章数列第十章不等式综合检测（人教新课标）(时间：分钟，满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．等差数列{}中，＋＝，＝，则的值为()．．．．．．已知实数列－，，，，－成等比数列，则等于()．．－．±．－．±．已知不等式－－≥的解集是，则不等式－－＜的解集是()．．()．(－∞，)∪(，＋∞)．．∪(·宿州模拟)．已知，均为正数，且≠，则下列四个数中最小的一个是()．．．．．．等比数列{}的首项＝，公比＝，记＝···…·，则达到最大值时，的值为()．．．．．．已知不等式组(\\(＋≤，－≥－，≥))表示的平面区域为，若直线＝－与平面区域有公共点，则的取值范围是()．．．．．．若直线－＋＝(＞，＞)被圆＋＋－＋＝截得的弦长为，则＋的最小值为()．．．．．．已知各项均不为的等差数列{}，满足2a－＋2a＝，数列{}是等比数列，且＝，则等于()．．．．．．(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为和(＜)，其全程的平均时速为，则()．．＜＜．＝．＜＜．＝．在上定义运算⊗：⊗＝(－)，若不等式(－)⊗(＋)＜对任意实数成立，则()．．－＜＜．＜＜．－＜＜．－＜＜二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．将答案填在题中横线上)．已知＞，＞，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最小值是．．已知数列{}是等比数列，＝，＝，则1a＋2a＋…＋＋＝.．在平面直角坐标系中，若不等式组(\\(＋－≥，－≤，－＋≥))(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为．(·山西三市联考)．在数列{}中，若－＝(≥，∈*，为常数)，则称{}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{}是等方差数列，则{}是等差数列；②{(－)}是等方差数列；③若{}是等方差数列，则{}(∈*，为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为(将所有真命题的序号填在横线上)．．若不等式＋＋≥对于一切∈恒成立，则的最小值是．．数列{}的通项＝，其前项和为，则为．．在数列{}中，＋＝，已知{}既是等差数列，又是等比数列，则{}的前项的和为．三、解答题(本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ．(分)已知，，∈＋，且＋＋＝，求证：≥.．(分)设为数列{}的前项和，＝＋，∈*，其中是常数．()求及；()若对于任意的∈*，，2m，4m成等比数列，求的值．．(分)已知：≥，：－≤－，若⌝是⌝的充分条件，求实数的取值范围．．(分)已知数列{}满足＝，＝－，＋－＋＋＝－.()设＝＋－，求数列{}的通项公式；()求当为何值时，的值最小．．(分)数列{}中，＝，当≥时，其前项和满足＝(－)．()求证：数列是等差数列；()设＝，数列{}的前项和为，求满足≥的最小正整数.参考答案．．解析：∵＝(－)×(－)＝，＝，∴＝－(＝不合题意)．∴＝－.．解析：由题意知－，－是方程－－＝的根，所以由根与系数的关系得＋＝，×＝－，解得＝－，＝，不等式－－＜即为－＋＜，解集为()．．解析：∵＝＞＝，∴不能选.又∵＜＜，∴不能选，下面比较和.令＝，＝，则中的式子等于，中的式子等于.∴选项中的式子的值最小．．解析：＝×－＜⇒＞，即等比数列{}前项均不小于，从第项起小于，故最大．．解析：如图所示，画出可行域，直线＝－过定点()，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为＝，最小值为＝＝－.．解析：圆的标准方程为(＋)＋(－)＝，所以圆的直径为，而直线被圆截得的弦长为，则直线应过圆心(－)，所以有－2a－＋＝，即＋＝.所以＋＝(＋)＝＋＋＋≥＋＝.．因为{}为等差数列，所以＋＝2a，所以已知等式可化为4a－＝，解得＝或＝(舍去)，又{}为等比数列，所以＝＝＝.．解析：＝＝＜＝.因为－＝＝＞＝，所以＞，即＞.故选.．解析：(－) (＋)＜⇔(－)[－(＋)]＜⇔－＋＋－－＜⇔－－＋＋＞.∵不等式对任意实数成立，∴Δ＜，即－(－＋)＜，4a－4a－＜，解得－＜＜.．解析：由题知＋＝＋，＝，＞，＞，则＝≥＝，当且仅当＝时取等号．．(－－)解析：由＝，＝，得＝，＝.则＝·－＝－，＋＝－＝·－.所以1a，2a，…，＋是以为公比，以为首项的等比数列．故1a＋2a＋…＋＋＝(－－)．．解析：不等式组(\\(＋－≥，－≤))表示的区域为甲图中阴影部分．甲又因为－＋＝恒过定点()，当＝时，不等式组(\\(＋－≥，－≤，－＋≥))所表示的平面区域的面积为，不合题意；当＜时，所围成的区域面积小于，所以＞，此时所围成的区域为三角形，如图乙所示，由其面积为＝××(＋)＝，解得＝.乙．①②③解析：①正确，因为－＝，所以－＝－，于是数列{}为等差数列．②正确，因为(－)－(－)(＋)＝为常数，于是数列{(－)}为等方差数列．③正确，因为－＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝，则{}(∈*，为常数)也是等方差数列．．－解析：设()＝＋＋，则对称轴为＝－.若－≥，即≤－时，()在，上是减函数，应有≥⇒－≤≤－；若－≤，即≥时，则()在上是增函数，应有()＝＞恒成立，故≥；若≤－≤，即－≤≤，则应有＝－＋＝－≥恒成立，故－≤≤.综上可得，有≥－.．解析：注意到＝，且函数＝的最小正周期是，因此当是正整数时，＋＋＋＋＝－－(＋)＋(＋)＝＋，其中＝，，…，＝(＋＋)＋(＋＋)＋…＋(＋＋)＝＋＋…＋＝×＋×＝.．．证明：∵，，∈＋，且＋＋＝，∴＝＝≥＝，当且仅当＝＝＝时取等号．．解：()当＝时，＝＝＋，当≥时，＝－－＝＋－[(－)＋(－)]＝－＋.(*)经验证，知当＝时(*)式成立，∴＝－＋.()∵，2m，4m成等比数列，∴＝·，即(4km－＋)＝(2km－＋)·(8km－＋)．整理得(－)＝，因其对任意的∈*成立，∴＝或＝.．解：由≥，得≤，∴≤＜.由－≤－，得(－)(－)≤.()当＜时，解得≤≤；()当＝时，解得＝；()当＞时，解得≤≤.∵⌝是⌝的充分条件，∴是的充分条件．设对应集合，对应集合，则＝{≤＜}且⊆.当＜时，＝{≤≤}，，不符合题意；当＝时，＝{＝}，⊆，符合题意；当＞时，＝{≤≤}，若⊆，需＜＜.综上，得≤＜.∴实数的取值范围是[)．．解：()由＋－＋＋＝－得，(＋－＋)－(＋－)＝－，即＋－＝－＝－＝－.当≥时，＝＋(－)＋(－)＋…＋(－－)＝－＋(×－)＋(×－)＋…＋[(－)－]＝－＋×－(－)＝－－.经验证，当＝时，上式也成立．∴数列{}的通项公式为＝－－.()由()可知，＋－＝－－＝(＋)(－)．当＜时，＋＜，即＞＞＞…＞；。

数学-兴化市安丰高级中学2014届高三数学一轮复习数列测试题

兴化市安丰高级中学2014届高三一轮复习数学试题（数列）姓名_________________ 学号__________ 成绩___________一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填在答题纸的相应题号中的横线上．1．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -=．2．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ．3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = ． 4．在等差数列{}n a 中，12753=++a a a ，则其前9项和为=9S ． 5．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：①数列{}n a 是递增数列； ②数列{}n na 是递增数列； ③数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是递增数列； ④数列{}nd a n 3+是递增数列．其中是真命题的序号为．6．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a = ． 7．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=+n n a S 2 ． 8．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则前n 项n S = ．9．已知等比数列}{n a 的公比q 为正数，且23952a a a ⋅=，则q = .10．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为．11．已知数列{}n a 中，已知31=a ，22=a ，当2≥n 时，1+n a 是n n a a ⋅-1的个位数，则=2013a ．12．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是其前n 项和，31,a a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S ．13．已知数列{}n a 的前n 项和为13+=n n S ，则数列{}n a 的通项公式为． 14．已知在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足不等式n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-． (1) 求{}n a 的通项n a ； (2) 求{}n a 前n 项和S n 的最大值． 16．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． (1) 求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(2) 已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ． 17．（本小题满分15分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=．(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ； (2) 令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分15分）在等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若数列{}n b 满足：()n nn n a a b ln 1-+=，求数列{}n b 的前n 2项和n S 2．19．（本小题满分16分）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ⋅=-11，∈n N *．(1) 求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； (2) 求数列{}n na 的前n 项和．20．（本小题满分16分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+． (1) 求234,,a a a 的值； (2) 求数列{}n a 的通项n a ； (3) 设数列{}n b 满足21111,2n n n kb b b b a +==+，求证：当n k ≤时有1n b <．兴化市安丰高级中学2014届高三一轮复习数学试题（数列）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填在答题纸的相应题号中的横线上．1．若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -=72． 2．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=15．3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =6-．188333636978()442226a a S a a a a a a d a a d +=⇒=⇒+=∴==-=+=-【考点定位】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.．4．在等差数列{}n a 中，12753=++a a a ，则其前9项和为=9S 36． 5．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：①数列{}n a 是递增数列； ②数列{}n na 是递增数列；③数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是递增数列； ④数列{}nd a n 3+是递增数列．其中是真命题的序号为①④．[解析]设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以①正确；如果312n a n =-则但2312n na n n =-并非递增所以②错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以③错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，④正确．6．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =2． 7．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=+n n a S 23． 8．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则前n 项n S =221-+n ．9．已知等比数列}{n a 的公比q 为正数，且23952a a a ⋅=，则q =2.10．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为21．答案：由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+1361d a ⇒=-，由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--≥6412133n ⇒≤=,所以数列{}n a 前21项都是正数，以后各项都是负数，故n S 取最大值时，n 的值为2111．已知数列{}n a 中，已知31=a ，22=a ，当2≥n 时，1+n a ，是n n a a ⋅-1的个位数，则=2013a 6．12．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是其前n 项和，31,a a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S 63．[解析]13135,4a a a a +==由递增，131,4a a ==，所以2314a q a ==，2q =代入等比求和公式得663S =．13．已知数列{}n a 的前n 项和为13+=n n S ，则数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,41n n a n n ． 14．已知在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足不等式n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为12．【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：a 1＝132 ，q ＝2，a n ＝26－n．记521212-=+++=n n n a a a T ，2)1(2 12nnnnaaa-==∏ ．nnT∏>，则2)1(52212nnn->-，化简得：5211212212+->-nnn，当5211212+->nnn时，12212113≈+=n．当n＝12时，1212∏>T，当n＝13时，1313∏<T，故n max＝12．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知{}n a是一个等差数列，且21a=，55a=-．(1) 求{}n a的通项n a；(2) 求{}n a前n项和S n的最大值．解：（1）设{}n a的公差为d，由已知条件，11145a da d+=⎧⎨+=-⎩，解出13a=，2d=-．所以1(1)25na a n d n=+-=-+．（2）21(1)42nn nS na d n n-=+=-+24(2)n=--．所以2n=时，nS取到最大值4．16．（本小题满分14分）设数列{}n a满足：11a=，13n na a+=，n N+∈．(1) 求{}n a的通项公式及前n项和n S；(2) 已知{}n b是等差数列，n T为前n项和，且12b a=，3123b a a a=++，求20T．【答案】17．（本小题满分15分）正项数列{}n a满足2(21)20n na n a n---=．(1) 求数列{}n a的通项公式n a；(2) 令1(1)nnbn a=+，求数列{}n b的前n项和n T．[解析]：(21)20n n---=2n n n n解：（1）由a a得（a-2n)(a+1）=0由于｛a n ｝是正项数列，则2n =n a 。

2014届高考数学(理)一轮复习单元测试(配最新高考模拟)第七章不等式

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第七章不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．（2013广东深圳二模）设01a b <<<，则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b < C ．1b a > D ．lg 0b a -<()2、（2013年上海市春季高考数学）如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（）A ．11a b2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x5、（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是（） A ．5-2 B ．0C ．53D ．526、【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =-的最小值是（）A. 7B. -5C. 4D. -77、【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 A ．25B ．5C ．4D ．18、已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则n m 42+的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．89、某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元 10、（2013届上海静安、杨浦、青浦、宝山区二模）若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ，则 …………………………（）（A ） 422≤+b a ．（B ） 422≥+b a ．（C ）41122≤+b a ．（D ）41122≥+b a ． 11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m12．设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++ （）A ．14B ．13C ．12D ．34二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13、（2013年高考广东省数学理）不等式220x x +-<的解集为___________. 14．【北京市通州区2013届高三上学期期末理】若10x +>，则11x x ++的最小值为． 15、（2013届上海虹口区二模）对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是．16（2013湖南）已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分) 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】已知函数f （x ）=x 2+2x+a （共10分）（1）当a=21时，求不等式f （x ）>1的解集；（4分）（2）若对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）>0恒成立，求实数a 的取值范围；（6分）18、(本小题满分10分) （2013届上海徐汇、松江、金山区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.19．(本小题满分12分) （2013年高考上海卷（理））甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.20．(本小题满分12分) 【2012唐山市高三上学期期末统一考试】已知()|1||1|,()4f x x x f x =++-<不等式的解集为M 。

2013—2014学年度上学期高三第八次月考--数学理

2013—2014学年度上学期高三一轮复习数学（理）单元验收试题（8）【新课标】命题范围：不等式说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（） A ．18B ．6C ．23D ．2432．不等式102x x -<+ 的解集是为（） A ．(1,)+∞ B ．(,2)-∞- C ．（―2，1） D ．(,2)-∞-∪(1,)+∞ 3．（2013年上海市春季高考数学试卷）如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（）A ．11a b2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x5．当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为A ．2B ．32C ．4D ．346．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a7．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为A ．2B ．23C ．223 D ．28．设关于x 、y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0),满足x 0-2y 0=2，求得m 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 9．对于满足0≤p≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围（） A ．13-<>x x 或 B ．13-≤≥x x 或 C ．31<<-x D ．31≤≤-x10．（2013年高考湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是（）A ．125ln5+B ．11825ln3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+11．（2013年高考陕西卷（理））设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x 、y ，有（）A ．[-x ] =- [x ]B ．[2x ] = 2[x ]C ．[x +y ]≤[x ]+[y ]D ．[x -y ]≤[x ] - [y ] 12．设,,,,,abcxyz是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（） A ．14 B ．13C ．12D ．34第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

【山东专用】2014届高考数学(理)一轮复习专题集训《数列的综合应用》Word版含解析

数列的综合应用一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·聊城模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8＝( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)162.2011年11月1日5时58分10秒“神八”顺利升空，若运载“神八”的改进型“长征二号”系列火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km ，此后每秒钟通过的路程增加2 km ，若从这一秒钟起通过240 km 的高度，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )(A)10秒钟 (B)13秒钟 (C)15秒钟 (D)20秒钟3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P(n ，a n )和Q(n ＋2，a n ＋2)(n∈N ＋)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )(A)(2,4)(B)(－13，－43) (C)(－12，－1) (D)(－1，－1)4.(2012·德州模拟)已知命题p ：数列log 3n ，log 3(n ＋1)，log 3(n ＋3)(n∈N ＋)成等差数列；命题q ：数列(13)n ，33n ，3n (n∈N ＋)成等比数列.命题p 是命题q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1>b 1，a 1、b 1∈N ＋(n∈N ＋)，则数列{ }的前10项的和等于( )(A)65 (B)75 (C)85 (D)956. (2012·合肥模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＜0的n 的最小值为( )(A)11 (B)19 (C)20 (D)21二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·临沂模拟)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝，则{b n }的通项公式为 .8.设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n∈N ＋)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”.若数列{}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n } (填“是”或“不是”)“和等比数列”.9.(易错题)某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出万元资金进行奖励.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·潍坊模拟)已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列.(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.11.已知等差数列{a n }满足：a n ＋1＞a n (n∈N ＋)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1, 1,3后顺次成为等比数列{b n }的前三项.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式a n ，b n .(2)设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n (n∈N ＋)，若T n ＋2n ＋32n －1n＜c(c∈Z)恒成立，求c 的最小值. 【探究创新】(16分)设数列{a n }(n ＝1,2，…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a 1＝4，d ＝2，求证：该数列是“封闭数列”.(2)若a n ＝2n －7(n∈N ＋)，试判断数列{a n }是否是“封闭数列”，为什么？(3)设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d ＝1，a 1＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使137150＜1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＜119.若存在，求{a n }的通项公式；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选D.∵数列{a n }是等差数列，∴a 3＋a 11＝2a 7，由2a 3－a 27＋2a 11＝0，得4a 7－a 27＝0，又a n ≠0，∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝42＝16.2.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x 秒钟，通过240 km 的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x ＋x(x －1)2×2＝240，即x 2＋x －240＝0.解得x ＝15或x ＝－16(舍去).3.【解题指南】解决本题首先明确方向向量的概念，然后通过已知求得数列的首项和公差，再求得直线的一个方向向量与选项对比即可.【解析】选B.由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有(－13，－43)与(1,4)平行，故选B.4.【解析】选C.一方面由数列log 3n ，log 3(n ＋1)，log 3(n ＋3)(n ∈N ＋)成等差数列，可得n ＝1，则数列(13)n ，33n ，3n 显然成等比数列；另一方面，由数列(13)n ，33n ，3n (n ∈N ＋)成等比数列，可得n ＝1，则数列log 3n ，log 3(n ＋1)，log 3(n ＋3)显然成等差数列.故选C.5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1，∴＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，∴数列{}也是等差数列，且前10项和为10×(4＋13)2＝85. 【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.(1)由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式a n ＋1＝2a n ＋3·2n ＋1的特点是除以2n ＋1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列{a n 2n }. (2)由前n 项和S n 构造等差数列.(3)由并项、拆项构造等差数列.6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“a 11a 10＜－1”及“S n 有最大值”如何使用，从而列出关于a 1，d 的不等式组，求出a 1d的取值范围，进而求出使得S n ＜0的n 的最小值. 【解析】选C.由题意知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，a 10＋a 11＜0，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＞0a 1＋10d ＜02a 1＋19d ＜0d ＜0得－192＜a 1d＜－9. ∵S n ＝na 1＋n(n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，由S n ＝0得n ＝0或n ＝1－2a 1d. ∵19＜1－2a 1d＜20， ∴S n ＜0的解集为{n ∈N ＋|n ＞1－2a 1d}，故使得S n ＜0的n 的最小值为20.7.【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝3a 1＋4d ＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＋1＝＝2b n －1，∴b n ＋1－1＝2(b n －1)，∴b n ＋1－1b n －1＝2，又∵b 1＝3，∴b 1－1＝2， ∴b n －1＝2·2n －1＝2n， ∴b n ＝2n ＋1. 答案：b n ＝2n ＋18.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列{}是首项为2，公比为4的等比数列，所以＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2n T n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”. 答案：是9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝(12S n ＋1)－(12S n －1＋1)＝12(S n －S n －1)＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2 046. 答案：2 04610.【解析】 (1)由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12. (2)若q ＝1，则S n ＝2n ＋n(n －1)2·1＝n 2＋3n 2. 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝(n －1)(n ＋2)2＞0. 故S n ＞b n .若q ＝－12，则S n ＝2n ＋n(n －1)2 (－12)＝－n 2＋9n 4当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝－(n －1)(n －10)4，故对于n ∈N ＋，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n .11.【解析】(1)设d 、q 分别为数列{a n }、数列{b n }的公差与公比.由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1,1,3后得2,2＋d,4＋2d 是等比数列{b n }的前三项，∴(2＋d)2＝2(4＋2d)⇒d ＝±2.∵a n ＋1＞a n ，∴d ＞0.∴d ＝2，∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋).由此可得b 1＝2，b 2＝4，q ＝2，∴b n ＝2n (n ∈N ＋).(2)T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ① 当n ＝1时，T 1＝12；当n ≥2时，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1② ①－②，得12T n ＝12＋2×(122＋123＋…＋12n )－2n －12n ＋1.∴T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . ∴T n ＋2n ＋32n －1n ＝3－1n＜3. ∵(3－1n)∈[2,3)， ∴满足条件T n ＋2n ＋32n －1n＜c(c ∈Z)恒成立的c 的最小整数值为3. 【探究创新】【解析】(1)a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2，对任意的m ，n ∈N ＋，有a m ＋a n ＝(2m ＋2)＋(2n ＋2)＝2(m ＋n ＋1)＋2，∵m ＋n ＋1∈N ＋于是，令p ＝m ＋n ＋1，则有a p ＝2p ＋2∈{a n }.(2)∵a 1＝－5，a 2＝－3，∴a 1＋a 2＝－8，令a n ＝a 1＋a 2＝－8，即2n －7＝－8解得n ＝－12N ＋，所以数列{a n }不是封闭数列.(3)由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ＋，必存在p ∈N ＋使a 1＋(n －1)＋a 1＋(m －1)＝a 1＋(p －1)成立，于是有a 1＝p －m －n ＋1为整数，又∵a 1＞0，∴a 1是正整数.若a 1＝1，则S n ＝n(n ＋1)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝2(1－12 012)＞119，不符合题意，若a 1＝2，则S n ＝n(n ＋3)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝23(1＋12＋13－12 012－12 013－12 014) ＝119－23×(12 012＋12 013＋12 014)＜119，而119－23×(12 012＋12 013＋12 014)＞119－23×32 012＝119－11 006＞137150，所以符合题意，若a 1＝3，则S n ＝n(n ＋5)2，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 2 011＝25(1＋12＋13＋14＋15－12 012－12 013－12 014－12 015－12 016) ＝137150－25(12 012＋12 013＋12 014＋12 015＋12 016)＜137150，综上所述，a 1＝2时存在数列{a n }是“封闭数列”，此时a n ＝n ＋1(n ∈N ＋).。

2014届高三数列测试试题(经典)(含答案)

2014届高三数学一轮复习数列1 姓名1．记等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N *)”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2 C ．a n ＝n (n ＋1)2 D ．a n ＝n (n ＋2)23．(辽宁高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )A ．2 B.73 C.83D ．34．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于 ( )A ．－54 B.54 C.516 D.25165．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝ ( )A ．7B ．8C ．15D ．16 6.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是 A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n ( )7．等差数列{a n }的通项公式a n ＝1－2n ，前n 项和为S n ，数列{S nn }的前11项和为 ( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66 8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝ ( )A ．0 B.12 C.23D ．29．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 29a 11的值为 ( )A ．4B ．2C ．－2D ．－410．已知数列{a n}满足a n＋1＝12＋a n－a2n，且a1＝12，则该数列的前2 008项的和等于A．1 506 B．3 012 C．1 004 D．2 008 () 二，填空题11．在等差数列{a n}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{a n}的前13项的和S13＝________.12．已知数列{a n}满足a1＝12，a n＝a n－1＋1n2－1(n≥2)，则{a n}的通项公式为________．13．(浙江高考)设等比数列{a n}的公比q＝12，前n项和为S n，则S4a4＝________.14．已知数列{a n}中，a1＝2，点(a n－1，a n)(n>1，且n∈N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝________.三、解答题15．已知数列{a n}的前n项和S n＝－n2＋24n(n∈N)．(1)求{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，S n达到最大？最大值是多少？16．在数列{a n}中，a n＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1，又b n＝2a n·a n＋1，求数列{b n}的前n项的和．17．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1，证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.18．(昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.19．(本小题满分12分)已知数列{a n}中，其前n项和为S n，且n，a n，S n成等差数列(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n>57时n的取值范围．20．(本小题满分12分)已知各项都不相等的等差数例{a n}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公a n及前n项和S n；(2)若数列{b n}满足b n＋1－b n＝a n(n∈N*)，且b1＝3，求数列{1b n}的前n项和T n.21．(文)(本小题满分14分)已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，且f(x)＝x2－x ＋b，数列{a n}的前n项和S n＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n＋log3n＝log3b n，求数列{b n}的前n项和T n；(3)设P n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，Q n＝a10＋a12＋a14＋…＋a2n＋8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2014届高三数学一轮复习数列答案：1—5、DCBDC ，6—10、ADBBA11、52 12、答案：a n ＝54－2n ＋12n (n ＋1) 13、15 14、103315、解：(1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋25. 经验证，a 1＝23符合a n ＝－2n ＋25， ∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N )．(2)法一：∵S n ＝－n 2＋24n ＝－(n －12)2＋144， ∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二：∵a n ＝－2n ＋25， ∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252， ∴a 12＞0，a 13＜0，故S 12最大，最大值为144. 16、解：由已知得：a n ＝1n ＋1(1＋2＋3＋…＋n )＝n 2，b n ＝2n 2·n ＋12＝8(1n －1n ＋1)，∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝8[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝8(1－1n ＋1)＝8n n ＋1.17、解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a n2n－1＝n，即a n＝n·2n－1.S n＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，两边乘以2得，2S n＝2＋2×22＋…＋n×2n. 两式相减得S n＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n＝－(2n－1)＋n·2n＝(n－1)2n＋1.18、解：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n 3，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－1 3.②①－②得3n－1a n＝13，a n＝13n.在①中，令n＝1，得a1＝13，适合a n＝13n，∴a n＝1 3n.(2)∵b n＝na n，∴b n＝n3n.∴S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3n，③∴3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n3n＋1.④④－③得2S n＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2S n＝n3n＋1－3(1－3n) 1－3，∴S n＝(2n－1)3n＋14＋34.19、解：(1)∵n，a n，S n成等差数列，∴S n＝2a n－n，S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2)，∴a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1－1(n≥2)，∴a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)，两边加1得a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2 (n ≥2)．又由S n ＝2a n －n 得a 1＝1.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝2a n －n ＝2n ＋1－2－n ， ∴S n ＋1－S n ＝2n ＋2－2－(n ＋1)－(2n ＋1－2－n ) ＝2n ＋1－1>0，∴S n ＋1>S n ，{S n }为递增数列．由题设，S n >57，即2n ＋1－n >59. 又当n ＝5时，26－5＝59，∴n >5.∴当S n >57时，n 的取值范围为n ≥6(n ∈N *)． 20、解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 1＋15d ＝60，a 1(a 1＋20d )＝(a 1＋5d )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝5. ∴a n ＝2n ＋3.S n ＝n (5＋2n ＋3)2＝n (n ＋4)．(2)由b n ＋1－b n ＝a n ，∴b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)．当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1 ＝(n －1)(n －1＋4)＋3＝n (n ＋2)．对b 1＝3也适合， ∴b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)． ∴1b n＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)．T n ＝12(1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2)＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2). 21、解：(1)因为y ＝f (x )的图象过原点，所以f (x )＝x 2－x . 所以S n ＝n 2－n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n －(n －1)2＋(n －1)＝2n －2，又因为a 1＝S 1＝0适合a n ＝2n －2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －2(n ∈N *)． (2)由a n ＋log 3n ＝log 3b n 得：b n ＝n ·3a n ＝n ·32n －2(n ∈N *)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝30＋2·32＋3·34＋…＋n ·32n －2，9T n ＝32＋2·34＋3·36＋…＋n ·32n .两式相减得：8T n ＝n ·32n －(1＋32＋34＋36＋…＋32n －2)＝n ·32n －32n －18，所以T n ＝n ·32n 8－32n －164＝(8n －1)32n ＋164.(3)a 1，a 4，a 7，…，a 3n －2组成以0为首项，6为公差的等差数列，所以P n ＝n (n －1)2×6＝3n 2－3n ；a 10，a 12，a 14，…，a 2n ＋8组成以18为首项，4为公差的等差数列，所以Q n ＝18n ＋n (n －1)2×4＝2n 2＋16n .故P n －Q n ＝3n 2－3n －2n 2－16n ＝n 2－19n ＝n (n －19)，所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n >Q n ；当n ＝19时，P n ＝Q n ；当n <19时，P n <Q n .。

2014高考数学一轮汇总训练《基本不等式》理新人教A版2

第四节基本不等式[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 取等号，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 取等号，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .2．几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ) 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 42(简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y ＝x ＋1x在x ≥2时的最小值，利用单调性，易知x ＝2时y min ＝52.[自测·牛刀小试]1．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ． 3D ．4解析：选C f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2， ∵x >2 ∴x －2>0 ∴f (x )≥2 x －1x －2＋2＝4 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立，又f (x )在x ＝a 处取最小值，所以a ＝3.3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0则xz y2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18D ．最大值为18解析：选Dxz y 2＝xz x ＋2z 2＝xzx 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18.当且仅x z ＝4zx ，即x ＝2z 时取等号．4．函数y ＝x ＋1x的值域为________．解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x <0时，－x >0，－x ＋1－x≥2－x1－x ＝2，所以x ＋1x≤－2. 综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析：由题意知：P ，Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m >0，n >0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16(当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时，取等号)．故线段PQ 长的最小值为4.答案：4[例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[自主解答] 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时取“＝”．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab， ∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．保持例题条件不变，证明：a ＋12＋b ＋12≤2.证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴a ＋12＋b ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12×1≤a ＋12＋12＋b ＋12＋12＝a ＋b ＋32＝42＝2.当且仅当a ＋12＝1，b ＋12＝1，即a ＝b ＝12时“＝”成立．——————————————————— 利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．已知a >0，b >0，c >0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·cab＝2c ，bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc ＝2b ， ca b ＋ab c≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ca b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .[例2] (1)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C ．5D ．6(2)已知a >0，b >0，a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为________．[自主解答] (1)由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y＝5(x >0，y >0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y ＝15⎝⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x·3x y＝15(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3xy，即x ＝2y 时，“＝”成立，此时由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.(2)∵a >0， ∴a 1＋b 2＝a2＋b2＝ 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋b 22 ≤2·a 2＋12＋b 222＝324，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝12＋b 22，a 2＋b22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝22时取等号．∴a 1＋b 2的最大值为324.[答案] (1)C (2)324———————————————————应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．(1)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m ，n >0)上，求1m ＋1n的最小值；(2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．解：(1)∵y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，∴A (1,1)．又点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)上，∴m ＋n ＝1(m >0，n >0)．∴1m ＋1n＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立，∴1m ＋1n 的最小值为4. (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，又a ，b ∈(0，＋∞)， ∴ab ≥2ab ＋3.设ab ＝t >0，∴t 2－2t －3≥0.∴t ≥3或t ≤－1(舍去)． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [自主解答] (1)由题意有1＝4－k1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.故y ＝1.5×6＋12xx×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12.基本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6，当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时等号成立．故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12 ≤27.5－6＝21.5. 当且仅当9t ＋12＝t ＋12时，等号成立，即t ＝2.5时，y 有最大值21.5. 所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元． ———————————————————解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求.有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设每件定价为x 元，依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－x －251×0.2x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1000≤0，解得25≤x ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元． (2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．[典例] (2012·湖南高考)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434[解析] 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝2821m -+，x B ＝2m，x D ＝2821m +，所以b a＝8218212222mm mm +-+--＝821821221122mm m m ++--＝82182182122222?2mm mm m m +++--＝2821mm +＋，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故ba的最小值为272＝8 2.[答案] B [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力．2．解决本题的关键有以下几点 (1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；(2)正确理解a ，b 的几何意义，并能正确用A 、C 、B 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将m ＋82m ＋1(m >0)化成利用基本不等式求最值的形式．[变式训练]1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x >0，y >0，则a ＋b2cd＝x ＋y 2xy≥xy 2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．2．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 解析：选C 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号． 3．若x >0，y >0，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________．解析：由x ＋y ≤a x ＋y ，得a ≥x ＋yx ＋y，令f (x ，y )＝x ＋yx ＋y，则f (x ，y )＝x ＋yx ＋y＝x ＋y 2x ＋y＝1＋2xy x ＋y≤1＋2xy 2xy＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立．故a ≥ 2.答案： 2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析：选C 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D. 2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a 2ab2b＝a ，即a <v <ab . 3．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14 B ．1 C ．4D ．8解析：选C 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a >0，b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．4．(2013·淮北模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2· x －3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 5．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b2ab ，而a ＋b2ab＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.6．(2013·温州模拟)已知M 是△ABC 内的一点，且AB ·AC ＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19解析：选B 由AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 30°＝23得|AB |·|AC |＝4，S △ABC＝12|AB |·|AC |sin 30°＝1，由12＋x ＋y ＝1得x ＋y ＝12. 所以1x ＋4y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ·(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x＋4x y ≥2×(5＋2×2)＝18.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．答案：58．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1 ②a ＋b ≤ 2 ③a 2＋b 2≥2 ④a 3＋b 3≥3 ⑤1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤a ＋b24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥a ＋b24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．答案：①③⑤9．(2013·泰州模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋y ＋1＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4.答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知a >0，b >0，c >0，d >0.求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4. 证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ，c ＝d 时，取“＝”)，故ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，即xy ≥8xy ，∴xy ≥8，即xy ≥64. 当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当2x y ＝8yx，即x ＝2y ＝12时“＝”成立．∴x ＋y 的最小值为18.12．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ＜20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ＜20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )取得最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．1．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2ab .∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab ≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，∴3a ＋9b的最小值为18.答案：182．设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.证明：由于a 、b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a2·1b 2＝2ab，当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．3．已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．解：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010(2x ＋5x)＋4 160(x >1)．(2)8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．第五节合情推理与演绎推理[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C ①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选A 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①②不正确，③正确．4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．5．(教材习题改编)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想，在n 边形A 1A 2…A n 中，成立的不等式为________．解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n 边形A 1A 2…A n中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －π成立．答案：1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －π(n ≥3)[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[自主解答] (1)记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f (0)＋f (1)＝33，f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33，猜想f (x )＋f (1－x )＝33，证明：∵f (x )＝13x＋3，∴f (1－x )＝131－x ＋3＝3x3＋3·3x ＝3x33＋3x.∴f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋3x33＋3x＝3＋3x 33＋3x＝13＝33.[答案] (1)C利用本例(2)的结论计算f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)的值．解：∵f(x)＋f(1－x)＝33，∴f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)＝[f(－2 014)＋f(2 015)]＋[f(－2 013)＋f(2 014)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 015×33＝2 015 33.———————————————————归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝14n2(n＋1)2.答案：14n2(n＋1)2[例2] (2013·广州模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.[自主解答] 法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －an －m. 所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m. 类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m qn －m可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m dc，所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·n －m⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n ＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ，因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1qn －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m，所以b m ＋n＝n －m d n c m.[答案] n －m d nc m———————————————————类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．————————————————————————————————————————2．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D . 求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．证明：如图所示，∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴△ABD ∽△CAD ，△ABC ∽△DBA ， ∴AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.同理可得在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.故猜想正确．[例3] 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) 的值．[自主解答] (1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－a a x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)由(1)可知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.则f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3. ———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab 时，∵a >0，b >0， ∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b，ax 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x 2>x 1≥a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 20，b >0，x ∈(0，＋∞)， ∴令f ′(x )＝－a x 2＋b ＝0，得x ＝ a b，当0＜x ≤a b 时，－ax2≤－b ， ∴－ax2＋b ≤0，即f ′(x )≤0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数；当x ≥ a b 时，－ax2＋b ≥0，即f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．[典例] (2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] 法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. [名师点评] 1．本题的创新点(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式．(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式．2．解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来．(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明．[变式训练] 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2；(2)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C ，试判断△ABC 的形状． (提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解：(1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.(2)由二倍角公式，cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C 可化为1－2sin 2A －1＋2sin 2B ＝1－1＋2sin 2C ，所以sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B .设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由正弦定理可得a 2＋c 2＝b 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 由于f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋pxn ≥n ＋1，取值p 等于( )A ．n nB ．n 2C ．nD ．n ＋1解析：选 A ∵x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n 的指数次方，即p ＝n n.3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝ab ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．4．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测9--数列、不等式、数学归纳法

2014届高三数学理科单元过关自测(九)（数列、不等式、数学归纳法）一、选择题：1、不等式2210x x -->的解集是（）A ．），（121- B.），（∞+1 C ．），（），（∞+∞-21 D ．），（），（∞+-∞-121 2.下列命题中正确的是 ( )A.xx y 1+=的最小值是2 B.x x y x sin 2sin ),,0(+=∈π的最小值是22C.4522++=x x y 的最小值是2 D.+∈R x ,x x y 432--=的最大值是342-3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )．A ．1B ．－1C ．2D ．21 4.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =( )A. 9B. 8C. 7D. 65、对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D) k ≤-36、已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()2,1，则z OM OA =⋅的最大值为（）A ．3B ．4C ．32D ．427、已知),2(241321...2111N n n n n n ∈≥>+++++过程中，由"1"""+==k n k n 变到时，不等式左边的变化是（）A ．)1(21++k B ．11221121+-++++k k k C ．11221+-++k k D ．)1(21121++++k k 8、如果c bx x x f ++=2)(对于任意实数t 都有)3()3(t f t f -=+，那么（）A .)4()1()3(f f f <<B .)4()3()1(f f f <<C .)1()4()3(f f f <<D .)1()3()4(f f f <<班别：姓名：学号：成绩：一、选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题9. 不等式1|31|≥-+x x 的解集是 . 10. 已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =11、已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________。

安徽省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编11 数列

安徽省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编11：数列一、选择题1 ．（安徽省江南十校2014届新高三摸底联考数学理试题）数列排出如图所示的三角形数阵,设2013位于数阵中第s 行,第t 列,则s+t=（）A ．61B ．62C ．63D ．64【答案】B2 ．（安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学理试题）已知数列{n a }的前n 项和S n=n 2-n,正项等比数列{n b }中,则（）A ．n-1B ．2n-1C ．n-2D ．n 【答案】D 法一:因为3324a S S =-=,所以234b a ==,222log log 42b ==,验证可知A,B,C 均不符合,故答案为D ．3 ．（安徽省望江二中2014届高三复习班上学期第一次月考数学（理）试题）设n S 为等差数列}{n a 的前n项和,公差2-=d ,若1110S S =,则=1a （） A ．18B ．20C ．22D ．24【答案】B4 ．（安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学理试题）已知{}n a 为等差数列,若π8951=++a a a ,则)cos(73a a +的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】D 因为{}n a 为等差数列,若π8951=++a a a ,所以,583a π=, 375161cos()cos(2)cos32a a a π+===- 5 ．（安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）试题）等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,则22013log a =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】2()86f x x x '=-+.因为1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,所以1a 、4025a 是方程2860x x -+=的两实数根,则140258a a +=.而{}n a 为等差数列,所以140252013828a a a +===,即20134a =,从而22013log 2a =,选（）A ．6 ．（安徽省淮北一中2014届高三第三次月考数学理试题）等比数列{a n }中,a 3=6,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-【答案】C 7 ．（安徽省望江中学2014届高三第二次月考数学（理）试题）已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{n a }是等差数列,3a >0, 则()()()531a f a f a f ++的值（） A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可以为正数也可以为负数【答案】A 二、填空题8 ．（安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学理试题）数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2013S =_______. 【答案】1006 ()()()414141cos41cos022n n a n n ππ++=+=+=()()()()424242cos 42cos 422n n a n n n ππ++=+=+=-+ ()()()4343343cos43cos022n n a n n ππ++=+=+= ()()()444444cos44cos 2442n n a n n n ππ++=+=+=+所以414243442n n n n a a a a +++++++=,于是20132013201221006010064S a =⨯+=+=. 9 ．（安徽省淮北一中2014届高三第三次月考数学理试题）公差为d ,各项均为正整数的等差数列中,若11=a , 51=n a , 则d n +的最小值等于__________.【答案】1610．（安徽省寿县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷（实验A 班月考））设等差数列{}n a 的公差不为0,其前n 项和是n S .若23S S =,0k S =,则k =______. 【答案】5 三、解答题11．（安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学理试题）已知数列{n a }中,(I)证明数列是等比数列,并求数列{n a }的通项公式;(II)记,求数列的前n 项和Sn.2014届安徽省示范高中高三第一次联【答案】解:(Ⅰ)由题意知:212n n n a a a +=+,211(1)n n a a ++=+,∴1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+;又12a =,∴数列{}lg(1)n a +是以lg 3为首项,2为公比的等比数列 ∴1lg(1)2lg 3n n a -+=,即1213n n a -+=;∴数列{}n a 的通项公式为1231n n a -=-;(Ⅱ)由212n n n a a a +=+两边同取倒数可知,12112n n n a a a +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,即11122n n n a a a +=-+,所以1112n nn b a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()()2121211122n n n n n n n n a a b a a a a a +++=+==++=()211212[(2)]n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++-==1112()112()n n n n n n a a a a a a +++-=-;∴122311111112()2()2()n n n S a a a a a a +=-+-++- =11112n a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭=22131n-- 12．（安徽省寿县第一中学2014届高三上学期第二次月考数学（理）试卷（实验A 班月考））设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知*11,3,n n n a a a S n N +==+∈. (I)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若1n n a a +≥,*n N ∈,求a 的取值范围. 【答案】(1) a n+1=S n+1 - S n ,得S n+1 - S n = S n +3n,所以S n+1 = 2S n +3n , 有S n+1 - 3×3n =2S n -2×3n,所以S n+1 - 3n+1=2(S n -3n) 得b n+1=2b n又因S 1=a 1=a ,b 1=a -3 ,得b n 为以a -3为首项,2为公比的等比数列所以b n =(a -3)×2n-1(2) a (n+1)=S n +3n =b n +2×3na (n+1) - a n =b n +2×3n -[b n-1+2×3n-1]= b n - b n-1+2[3n -3n-1)]=(a -3)×[2n-1 - 2n-2]+2[3n -3n-1]=(a -3)×2n-2 + 4×3n-1≥ 0a - 3≥ - 4×3n-1/2n-2 =-12×(3/2)n-2a≥3-12×(3/2)n-2因为n-1≥1,所以n 最小为2(3/2)n-2最小=13-12×(3/2)n-2最大=3-12×1=-9 a≥ - 913．（安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）试题）数列{}n a 的前n 项和为n S ,2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈.(Ⅰ)设n n b a n =+,证明:数列{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求数列{}n nb 的前n 项和n T ;(Ⅲ)若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,22013211i i i i i c c P c c =++=+∑,求不超过P 的最大的整数值.【答案】(Ⅰ)因为213122n n a S n n +=--+,所以 ① 当1=n 时,121-=a ,则112a =-,② 当2n ≥时,21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+,所以121n n a a n --=--,即12()1n n a n a n -+=+-, 所以11(2)2n n b b n -=≥,而11112b a =+=, 所以数列{}n b 是首项为12,公比为12的等比数列,所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(Ⅱ)由(Ⅰ)得2n n n nb =. 所以 ①234112*********n n n n n T --=++++++L , ②232123412122222n n n n nT ---=++++++L ,②-①得:2111112222n n n nT -=++++-L ,n n nn n n T 2222211211+-=--⎪⎭⎫⎝⎛-=(Ⅲ)由(1)知12nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n c n =∴22211111111(1)1n n n n n n c c c c c c n n n n ++∴=+=+=+-++++,所以22013211i i i i ic c P c c =++=+∑ 111111111(1)(1)(1)(1)2014122334201320142014=+-++-++-+++-=-L , 故不超过P 的最大整数为201314．（安徽省江南十校2014届新高三摸底联考数学理试题）已知数列,满足(I)求证:数列均为等比数列;【答案】15．（安徽省望江二中2014届高三复习班上学期第一次月考数学（理）试题）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,na a a ⋅⋅⋅为n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:①1230n a a a a ++++= ;②1231n a a a a ++++= .(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;(2)若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; 【答案】23211,2k k k a a a ++++++=∴(1)11,22(1)k k kd d d k k -+==+即由10k a +=得11110,(1)1a k a k k k +⋅==-++即,∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n k k k k k k k *=-+-=-∈≤++++当d<0时, 同理可得(1)11,22(1)k k kd d d k k -+=-=-+即由10k a +=得11110,(1)1a k a k k k -⋅==++即,∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n n k k k k k k *=--=-+∈≤++++16．（安徽省淮北一中2014届高三第三次月考数学理试题）在等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n ,等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,公比为q ,且b 2+S 2=12,q =S 2b 2. (Ⅰ)求{a n }与{b n }的通项公式; (Ⅱ)证明:13≤1S 1+1S 2++1S n <23.【答案】解:(Ⅰ)设{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d q ．消去d ,得q 2+q -12=0,解得q =-4(舍去),或q =3,从而可得d =3.∴a n =3+(n -1)×3=3n ,b n =3n -1(Ⅱ)由(Ⅰ),得S n =n (3＋3n )2=3n (n ＋1)2,∴1S n =23n (n ＋1)=23(1n -1n ＋1). ∴1S 1+1S 2++1S n =23[(1-12)+(12-13)++(1n -1n ＋1)]=23(1-1n ＋1).∵n ≥1,∴0<1n ＋1≤12,∴12≤1-1n ＋1<1,∴13≤23(1-1n ＋1)<23.故13≤1S 1+1S 2++1S n <23。

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2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 8 )(数列与不等式)高三( )班学号_______ 姓名_____________ 成绩__________一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是( )A.22a b > B. 1ba< C.1lg()lg a b a b ->- D. 33a b --<2．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是( )A.(3)(1)0x x +->B.(4)(1)0x x +-<C.2230x x -+<D.22320x x -->3．条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的( )A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件 4、若数列{}n a 中，433n a n =-，则n S 最大值n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或15 5. 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切正整数n ，都有n n S T =231n n +，则55a b 等于( ) A.23 B. 914 C. 2031 D. 11176．设变量x 、y 满足约束条件236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则目标函数y x z +=2的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．97．设x y 、为正数, 则14()()x y x y++的最小值为( )A.6B.9C.12D.158．已知平面区域D 由以(1,3)(5,2)(3,1)A B C 、、为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于( )A. －2B. －1C. 1D.4二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上) 9．{}n a 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,则369a a a ++=_______. 10．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ _______. 11．不等式11axx <-的解集为{}1>2x x x <或,那么a 的值为__________. 12．动点(,)P a b 在不等式组20x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤0≥≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则21b a ω-=-的取值范围是_____________． 13. 设220,0,12b a b a +=≥≥,则_________. 14．设221x y +=, 则2x y +得最大值为__________.高三( )班学号_______ 姓名_____________ 成绩__________(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. (本小题满分12分)设全集为R ,集合A ={x ∣12log (3)2x -≥-},B ={x ∣512x +≥},求()R C A B ．16. (本小题满分12分)设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）. （1）求()f x ；（2）当函数()f x 的定义域是[0,1]时，求函数()f x 的值域.17. (本小题满分14分)定义一种运算: (,,0)mn m n a m n N a ∆∆=⋅∈≠ （1）若数列{}n a （*n N ∈）满足n a n m =∆,当2m =时,求证: 数列{}n a 为等差数列;（2）设数列{}n c （*n N ∈）的通项满足(1)n c n n =∆-,试求数列{}n c 的前n 项和n S .18. (本小题满分14分)已知函数2()2f x x x =+,数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足数列1{}0n b b t =>满足(t 为常数)且1()(*)n n b f b n N +=∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为n S ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围.附加题：给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2014届高三数学理科第一轮复习单元过关(8)答案及评分标准DCDB BBBC9、27 10、4951 11、2112、(,2][2,)-∞-+∞ 13、423 14、515. 解：A =[-1,3) , B=(-2,3]＝B A ⋂∴[-1,3) ),3[)1,()C R +∞--∞= B A （ 16. 解不等式()0f x >的解集是（－3，2）于是不等式()0f x =的解是－3，2 由(3)0f -=,(2)0f =解得3,5a b =-=,于是1833)(2+--=x x x f(2)当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时,故所求函数)(x f 的值域为[12，18]17、证明：由题意知当2m =时，2n a n m a n=∆=⋅，则有21(1)n a a n +=⋅+---------------------------------------2分故有21n n a a a +-=，（*n N ∈），其中2112a a =∆=，--------------3分所以数列{}n a 是以21a a =为首项，公差2d a =的等差数列。

-------4分（2）依题意有，1(1)n n c n n n a-=∆-=⋅，（*n N ∈），--------------5分所以，当1a =时，12(1)...123 (2)n n n n S c c c n +=+++=++++=；---7分当1a ≠时，012112...(1)n n n S a a n a n a --=⋅+⋅++-⋅+⋅，-----（1）所以12112...(1)n n n aS a a n a n a -=⋅+⋅++-⋅+⋅---------（2）---------8分由（2）-（1）得：0121(1)11...11n n nn a S a a a a na---=⋅+⋅++⋅+⋅--------9分得：12221(1)1(1)(1)(1)n n n n n n a n a a n a n a a S a a a +----+=-=--- ，（*n N ∈）--------11分综上所述，121(1)(1)(1)(1)2n nnn n a n a a a a S n n a +⎧--+≠⎪⎪-=⎨+⎪=⎪⎩-------------------------14分18、解：（I ）()22f x x '=+，………1分 122n n a a +∴=+ 122(2)n n a a +∴+=+11{2},2(2)2n n n a a a -+∴+=+为等比数列 1322n n a -∴=⋅-…………4分（Ⅱ）由已知得0n b >， 211(1),n n b b ++=+……1分1lg(1)2lg(1),n n b b +∴+=+ ∴又1lg(1)lg(1)0,b t +=+≠所以{lg(1)}n b +的公比为2的等比数列， ∴12(1)1n n b t -=+-。

………8分（Ⅲ）212,k k k b b b +=+12,k k kb b b +∴+=1111(2)111k k k k k k k b b c b b b b +++++-===-， n k ,,2,1 = 1212231111111()()()n n n n S c c c b b b b b b +∴=+++=-+-++-211,(1)1nt t =-+- 0,t >11,t ∴+>n S n ∴∈在[1,)+∞上是增函数1n S S ∴≥211(1)1t t =-+-21,2t t t+=+ 又不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，21.2t t tλ+∴<+附加题：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立， ()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+，即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++，若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立，综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a >，此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++，即8d c =+，故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++，即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意；若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--，此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--．。