解析几何常用知识点总结

“解析几何”一网打尽
（一）直线
1.[)⎪⎭
⎫
⎝⎛≠≠--==∈2112122tan 0x x x x y y k l ，，，直线的倾斜角πααπα 2.直线的方程
（1）点斜式
11()
y y k x x -=- (直线l 过点111(,)
P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
特别的：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或；已知直线横截距，常设其方程为
(直线斜率k 存在时，为k 的倒数)或.知直线过点，常设其方程为
或
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点； 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为或直线过原点.
(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 3、几个距离公式
（1）两点间距离公式：
1122(,)(,)A x y B x y AB =点点 (2)00(,)x y P 到直线0Ax By C ++=
的距离为d =
特别地，当直线L: 0x x =时，点P (00,x y )到L 的距离0d x x =-； 当直线L: 0y y =时，点P (00,x y )到L 的距离0d y y =-.
(3).
两平行线间的距离公式：设1122:0,:0,l Ax By C l Ax By C d ++=++==则
4.两直线的位置关系：；
；重合
5.三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心
b y kx b =+0x =0x
x my x =+m 0y =00(,)
x y 00()y k x x y =-+0
x x =⇔⇔⇔1±12121212121()0l l k k k k A A B B ⊥⇔=-⇔+=、都存在时{{1
2
1
2
2
1121
2
1
2
1
2
2
1
//()k k A B A B
l l k k b b AC A C
==⇔
⇔≠≠、都存在时
的坐标是123123
(
,)33
x x x y y y G ++++.
（二）圆
1. 圆的三种方程
（1）圆的标准方程 222
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 22
0x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).
（3）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ) 注意：
（1）.圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。

（2）.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）求圆心到直线的距离与圆的半径比较；（2）直线方程与圆的方程联立，看判别式。

2.点P(00,x y )和圆222
()()x a y b r -+-=的位置关系：
（1）当222
00()()x a y b r -+->时，点P 在圆外; (2)当222
00()()x a y b r -+-=时，点P 在圆上； (3)当222
00()()x a y b r -+-<时，点P 在圆.
3.直线和圆的位置关系：
直线与圆相交⇔∆>0 ⇔ d<r(d 为圆心到直线的距离)
直线与圆相切⇔∆=0 ⇔ d=r 直线与圆相离⇔∆<0 ⇔ d>r.
4.圆与圆的位置关系：设圆1o 的半径为1r ，圆2o 的半径为2r ，两圆的圆心距为d, 当12d r r >+时，两圆相离；当12d r r =+时，两圆外切； 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r -=d 时，两圆切; 当12r r +<d 时，两圆外离；当12r r ->d 时，两圆含。

注意：
（1）若两圆相交时，把两圆的方程作差消去2x 和2
y 就得到两圆的公共弦所在直线的方程。

（2）圆的弦长公式l d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径）
（3）求圆外一点P 到圆O 上任一点距离的最小值为PO r -，最大值为PO r +（其中r 为圆的半径） （三）圆锥曲线 1、椭圆：
（1）定义：平面与两个定点
1
F ，
2
F 的距离之和等于常数（大于
12
F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点
称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
（2）椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a >b >0) 图形
性质
围
－a ≤x ≤a
－b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b
－a ≤y ≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)
B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )
B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)
轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c
离心率
e ＝c
a ∈(0，1) a ，
b ，
c 的关系
c 2＝a 2－b 2
注意：
(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值，且最大距离为a c +，最小距离为a c -。

(2)过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为2
2b a
.把这个弦叫椭圆的通经.
(3)求椭圆离心率e 时，只要求出a,b,c 的一个齐次方程，在结合222b a c =-就可求出e （01e <<）. 2、双曲线
（1）.双曲线的定义：平面与两个定点
1
F ，
2
F 的距离之差的绝对值等于常数（小于
12
F F ）的点的轨迹称
为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． （2）. 双曲线的标准方程和几何性质：
标准方程
x 2a 2－y 2
b 2
＝1 (a >0，b >0)
y 2a 2－x 2
b 2
＝1 (a >0，b >0)
x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
注意：(1)直线和双曲线交于一点时，不一定相切，例如，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
(2)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近
线方程，即
22
22
x y
a b
-=就是双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的两条渐近线方程.
(3)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不纯在的情况.
3、抛物线
（1）抛物线的定义：平面与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
（2）
注意：(1)过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即
2p
AB =．
(2)焦半径公式：
若点
()00,x y P 在抛物线
()
220y px p =>上，焦点为F ，则
02p
F x P =+
； 若点()00,x y P 在抛物线
()2
20y px p =->上，焦点为F ，则
02p F x P =-+
；
若点()00,x y P 在抛物线
()
220x py p =>上，焦点为F ，则
02p F y P =+
； 若点()
00,x y P 在抛物线
()
2
20x py p =->上，焦点为F ，则
02p F y P =-+
．
(3)焦点弦问题：
设AB 是过抛物线2
2y px =焦点的弦.1122(,),(,),A x y B x y
则2124
p x x =；2
12y y p =-；12AB x x p =++
4. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。

）
(
)()[
]弦长公式P P k x x x x 12
2
12212
14=
++-()[]
=+⎛
⎝ ⎫⎭⎪+-11421
2212k y y y y。