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年江苏省高考数学试题及答案(理科)

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江苏数学高考真题(含答案)

江苏数学高考真题(含答案)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕数学I考前须知考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题〔第1题 ~ 第20题，共20题〕.本卷总分值为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，假设A B ={1}那么实数a 的值为________2.复数z=〔1+i 〕〔1+2i 〕,其中i 是虚数单位，那么z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，假设输入x 的值为116，那么输出的y 的值是 .5.假设tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，那么12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，那么x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,那么四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，36763，44S S ==， 那么8a =10.某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，那么x 的值是11.函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，假设()()2a-1+2a ≤f f 0，那么实数a 的取值范围是 。

2022年江苏省高考数学真题及参考答案

2022年江苏省高考数学真题及参考答案

2022年江苏省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（）A.{}20＜x x ≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤231＜x xC.{}163＜x x ≤ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1631＜x x2.已知()11=-z i ，则=+z z（）A.2- B.1- C.1 D.23.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C=，n D C=，则=B C（）A.nm23- B.nm32+- C.nm23+ D.nm32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为()65.27≈（）A.39100.1m⨯ B.39102.1m⨯ C.39104.1m⨯ D.39106.1m⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.61 B.31 C.21 D.326.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的最小正周期为T .若ππ223＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf （）A.1B.23 C.25 D.37.设1.01.0ea =，91=b ，9.0ln -=c ，则（）A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.bc a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡48118， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡481427， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡364427， D.[]27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考试题―数学理(江苏卷)解析版

高考试题―数学理(江苏卷)解析版

高考试题―数学理(江苏卷)解析版绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：1n1n2样本数据x1,x2,,xn的方差s (xi ),其中xini 1ni 12一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. ．．．．．．．．．1.若复数z1 4 29i,z2 6 9i,其中i是虚数单位，则复数(z1 z2)i的实部为▲ . [解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念. -20.2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a| 2,|b|a和向量b的数量积a b=[解析] 考查数量积的运算.a b 2o3. 23.函数f(x) x3 15x2 33x 6的单调减区间为[解析]考查利用导数判断函数的单调性.f (x) 3x2 30x 33 3(x 11)(x 1)，由(x 11)(x 1) 0得单调减区间为( 1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 4.函数y Asin( x )（A, , 为常数,A 0, 0）在闭区间[ ,0]上的图象如图所示，则= ▲ . [解析] 考查三角函数的周期知识.32T ，T ，所以3. 235.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲ .[解析] 考查等可能事件的概率知识.从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2. 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：2则以上两组数据的方差中较小的一个为s. [解析] 考查统计中的平均值与方差的运算. 甲班的方差较小，数据的平均值为7，(6 7)2 02 02 (8 7)2 022. 故方差s5527.右图是一个算法的流程图，最后输出的W[解析] 考查读懂算法的流程图的能力.22..8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4.类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲ . [解析] 考查类比的方法.体积比为1：8.9.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C:y x 10x 33上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为▲ .[解析] 考查导数的几何意义和计算能力.y 3x2 10 2 x 2，又点P在第二象限内，x 2,点P的坐标为（-2，15）.10.已知a1x，函数f(x) a，若实数m、n满足f(m) f(n)，则m、n的大小关2系为▲ .[解析] 考查指数函数的单调性.a(0,1)，函数f(x) ax在R上递减.由f(m) f(n)得：mn. 11.已知集合A xlog2x 2,B ( ,a)，若A B，则实数a的取值范围是(c, )，其中c= ▲ .[解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式. 由log2x 2得0x 4，A (0,4]；由A B知a 4，所以c 4.12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号是▲ （写出所有真命题的序号）．．．[解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理.真命题的序号是(1)(2). ．．．x2y213.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2 2 1(a b 0)的四个顶点，abF为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为▲ .[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等.以及直线的方程. 直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：xy1；abxy 1.二者联立解得：c bT(2acb(a c),)，a ca cx2y2acb(a c),)在椭圆2 2 1(a b 0)上，则M(aba c2(a c)c2(a c)22221,c 10ac 3a 0,e 10e 3 0，22(a c)4(a c)解得：e 5.14．设an 是公比为q的等比数列，|q| 1，令bn an 1(n 1,2,四项在集合53, 23,19,37,82 中，则6q= ▲ . [解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力.等比数列的通项.)，若数列bn 有连续an 有连续四项在集合54, 24,18,36,81 ，四项24,36, 54,81成等比数列，公比为3q ，6q= -9.2二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）设向量a (4cos ,sin ),b (sin ,4cos ),c (cos , 4sin ). （1）若a与b 2c垂直，求tan( )的值；（2）求|b c|的最大值；（3）若tan tan 16，求证：a∥b.[解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，E、F分别D在B1C1上，A1D B1C. 是A1B、AC1的中点，点求证：（1）EF∥平面ABC；平面BB1C1C. （2）平面A1FD[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力.17．（本小题满分14分）设an 是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2 a3 a4 a5,S7 7.2222（1）求数列an 的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得amam 1为数列an 中的项. am 2[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解能力. （1）设公差为d，则a22222，由性质得3d(a4 a3) d(a4 a3)，因为a5 a4 a3d 0，所以a4 a3 0，即2a1 5d 0，又由S7 7得7a17 6d 7，解得2a1 5，d 2,(2)（方法一）amam 1(2m 7)(2m 5)=,2m 3am 28amam 1(t 4)(t 2)t 6,所以t为8的约数. =ttam 2设2m 3 t,则（方法二）因为amam 1(am 2 4)(am 2 2)8为数列an 中的项，am 2 6am 2am 2am 2故8 am+2为整数,又由（1）知am 2为奇数,所以am 2 2m 3 1,即m 1,2.经检验,符合题意的正整数只有m 2. 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x 3)2 (y 1)2 4和圆C2:(x 4)2 (y 5)2 4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力.(1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为：y k(x 4)，即kx y 4k由垂径定理得圆心C1到直线l的距离d1，1,化简得：24k 7k 0,k 0或k 求直线l的方程为：y 0或y27 247(x 4)，即y 0或7x 24y 28 0 24(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：1y n k(x m)(k 0),y n (x m)，k即kx y n km 0,11x y n m 0 kk因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等, 所以圆心C1到直线l1与圆心C2直线l2的距离相等.41| 5 n m|化简得(2 m n)k m n 3,或(m n 8)k m n 52 m n 0, m-n+8=0,k关于的方程有无穷多解，有或m n 3 0,m+n-5=0.解之得点P坐标为(__-__51,)或(, ).经检验点( ,)或(, )满足题目条件. __-__19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为ma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.n am a如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元.设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.3(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA mB时，求证：h甲=h乙；5(2)设mA3mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综5合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.[解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力. 设mA x,mB y.(1)h甲，h乙当x3y时，可得h甲h乙53y时，h甲=h乙5（2）当x23等号成立当且仅当y 10.因此当mA 6,mB 10时，甲乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为（3）2. 320．(本小题满分16分) 设a为实数，函数(1)若(2)求f(x) 2x2 (x a)|x a|.f(0) 1，求a的取值范围；f(x)的最小值；(3)设函数h(x)(不需给出演算步骤)不等式h(x) 1的解集. f(x),x (a, )，直接写出．．．．[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.a 0,（1）若f(0) 1，则a|a| 1 2 a 1a 1（2）当x a时，f(x) 3x2 2ax a2,f(x)min2f(a),a 0, 2a,a 0, a 2a2f(),a 0 ,a 0 3 3当x a时，f(x) x 2ax a,f(x)min222f( a),a 0, 2a,a 0, 2f(a),a 0 2a,a 0综上f(x)min2a2,a 0,2a2,a 0. 322（3）x (a, )时,h(x) 1得3x 2ax a 1 0, 4a2 12(a2 1) 12 8a2 当a时，0,x (a, )；a22(__ 0,当时，△0，得ax a讨论得：当a ( , )时，解集为(a, )；2aa当a (时，解集为(a, [, )；2233当a [时，解集为).注：a22a2,x a, 3(x )（2）或：f(x) 分a 0,a 0讨论33(x a)2 2a2,x a.（3）可令K(x) 3x 2ax a 1，根据图象可分以下三种情况讨论：22K(a) 0；K(a) 0，再比较x1,x2,a；K(a) 0，再分a 0,a 0.数学Ⅱ（附加题）参考公式：1 2 3222n(n 1)(2n 1).621.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指．．．．．．．．．．定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．A.选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD.[解析] 本题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力.证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D 四点共圆，从而∠CAB=∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA.因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD. B.选修4 - 2：矩阵与变换32求矩阵A 的逆矩阵.21[解析] 本题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力. 解：设矩阵A的逆矩阵为xy 32 xy 10zw 21 zw 01即3x 2z3y 2w 10 3x 2z 1, 3y 2w 0,,故2x z2y w 01 2x z 0, 2y w 1,12.2 3解得x 1,z 2,y 2,w 3,从而A的逆矩阵为A 1 C.选修4 - 4：坐标系与参数方程x （为参数，t 0）.求曲线C的普通方程.已知曲线C的参数方程为ty 3(t 1) t[解析] 本题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力. 解：因为x t 2,所以x 2 t 故曲线C的普通方程为：3x y 6 0. D.选修4 - 5：不等式选讲设a≥b＞0,求证：3a2b≥3ab 2ab.[解析] 本题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力.满分10分.332221t21ty, 32证明：3a3 2b3 (3a2b 2ab2) 3a2(a b) 2b2(b a) (3a2 2b2)(a b). 因为a≥b＞0,所以a b≥0，3a 2b＞0，从而(3a2 2b2)(a b)≥0，即3a 2b≥3ab 2ab.[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上. （1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点M(m,0)(m 0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式.[解析] 本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力.33222223.（本题满分10分）对于正整数n≥2，用Tn表示关于x的一元二次方程x 2ax b 0有实数根的有序数组2(a,b)的组数，其中a,b 1,2,,n （a和b可以相等）；对于随机选取的a,b 1,2,2,n（a和b可以相等），记Pn为关于x的一元二次方程x 2ax b 0有实数根的概率. （1）求Tn2和Pn2；（2）求证：对任意正整数n≥2，有Pn 1. [解析]本题主要考查概率的基本知识和计数原理，考查探究能力。

2020年江苏省高考数学试卷(包括附加题)【含详答】

2020年江苏省高考数学试卷(包括附加题)【含详答】

2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF//平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3，c=√2，B=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−4，求tan∠DAC的值．519. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共16小题，共100.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．【答案】{0,2}【解析】解：集合B={0,2，3}，A={−1,0，1，2}，则A∩B={0,2}，故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．【答案】3【解析】解：复数z=(1+i)(2−i)=3+i，所以复数z=(1+i)(2−i)的实部是：3．故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．【答案】2【解析】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为P=436=19．故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，则该双曲线的离心率是______． 【答案】32【解析】解：双曲线x 2a2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，可得√5a=√52，所以a =2，所以双曲线的离心率为：e =c a =√4+52=32， 故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7. 已知y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是______． 【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．【答案】x =−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x −π6)，求g(x)的所有对称轴x =7π24+kπ2，k ∈Z ，从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程， 【解答】解：因为函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度可得 g(x)=f(x −π6)=3sin(2x −π3+π4)=3sin(2x −π12)， 则y =g(x)的对称轴为2x −π12=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =7π24+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，x =7π24，当k =−1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24．11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是______． 【答案】4【解析】解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，因为{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，所以{a n }的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，所以其前n 项和S a n =n[a 1+a 1+(n−1)d]2=d 2n 2+(a 1−d2)n ，当{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S b n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为S b n =b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1+b 1q−1，所以S n =S a n +S b n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______． 【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧， 并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2，可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5． 故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？【答案】解：(1)ℎ2=−1800b3+6b，点B到OO′的距离为40米，可令b=40，可得ℎ2=−1800×403+6×40=160，即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160，由140a2=160，解得a=80，则|AB|=80+40=120米；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，由{0<x<400<80−x<80，可得0<x<40，总造价为y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]=k800(x3−30x2+160×800)，y′=k800(3x2−60x)=3k800x(x−20)，由k>0，当0<x<20时，y′<0，函数y递减；当20<x<40时，y′>0，函数y递增，所以当x=20时，y取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b=40，求得ℎ2，即O′O的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a，可得|AB|=a+b；(2)可设O′E=x，则CO′=80−x，0<x<40，求得总造价y=32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x−1800x3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值．本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t 1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95， 由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以|m−3|√9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：x =4，得点Q 为(4,32⋅4−t1−t )，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB 与△MAB 的面积时，AB 可以最为同底，所以若S 2=3S 1，则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2，之间的关系为d 2=3d 1，根据点到直线距离公式可得d 1=35，d 2=95，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m =−6或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．二、解答题（本大题共9小题，共112.0分）17. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值； (2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x4−2x2，g(x)=4x2−8，ℎ(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2(0<|t|≤√2)，D=[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n−m≤√7．【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0，又f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x，符合任意，(2)ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+1≤0时，即k≤−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当k+1>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．423所以函数y=f(x)的图象在x=x0处的切线为：y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x03)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t2−8)=√t6−5t4+3t2+8，t2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√7，即n−m≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x=0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x=k+1≤0时，当k+1>0时进行讨论，进而得出答案．(3)因为f(x)=x4−2x2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y=f(x)的图象在x=x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论．本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )，从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n2+(1−t)p n +1=0有两解α，β，设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n ={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件．对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则Sn+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．【答案】解：(1)由题意，知[a 1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn pq ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线1：ρcosθ=2上， ∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4．∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上， ∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π]，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可．本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23. 设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x|<4． 【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23， ∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．24. 在三棱锥A −BCD 中，已知CB =CD =√5，BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F −DE −C 的大小为θ，求sinθ的值．【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2．∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)，∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α，则cosα=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+2|√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515； (2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)． 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)；设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n ⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913． 【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．(1)求p 1，q 1和p 2，q 2；(2)求2p n +q n 与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n 的数学期望E(X n )(用n 表示)．【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727； q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627． (2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ，q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23，则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23，所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列， 所以2p n +q n −1=(13)n ，即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。

2020年高考卷理科数学（江苏卷）附答案

2020年高考卷理科数学（江苏卷）附答案

2. 3. 4.已知集合如｛一顷封如｛M3｝则刀口=已知i是虚数单位，贝愎数z=（E）（2t）的实部是已知一组数据4,2a.3・a ,5,6的平均数为4,则a的值是.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次观察向上的点数，则点数和为5的概率是o4. S.右图是一个算法流程图,若输出y的值为2则输入x的值为ago6.2在平面宜角坐标系xOy中若以仙线/5=l(a>0)的一条渐近线方w程为'一2二则该双曲线的离心率是—o27.已知y=f（x>是奇函数，当x>0时，/⑴二F，则，（一8）的值是。

sin2（—+«）=—.8.已知43,则sm2a的值是_。

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，己知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm\* = 3sin 2x + —10.将函数 I 4的图像向右平移M 个单位长度，则T 移后的图像与*轴最近的对称轴方程是—0U.设｛■｝是公差为〃的等差数列，｛如｝是公比为q 的等比数列，己知数列 ｛"心的前项和&顼-"1*^),则d+g 的值是—。

12.已知5xy +/=l(W e/e)t 则x 2+/的最小值是。

13.在△此中，t !B = 4, 4C=3.匕助C=90。

，。

在边AC 延长血坦炉，使得如=9,若是一 O后=血而专_』无(S 为常数),则co 的於度«㈣■14 .在平面直角坐标系H 夕中尸修。

已知I z 4、B 是圆 2)=36上的两个动点，满足PA=PB ,则△ "8的面积的最大值是15.在三棱柱如C —44G 中，ABLAC. B X CL 平面"分别是AC> %7的中点<1)求证：£少〃平面"MG ：< 2)求证：平面^C±平面“时16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=3,c=旧,B=45。

2020年江苏省高考数学试卷(理科)-普通用卷

2020年江苏省高考数学试卷(理科)-普通用卷

2020年江苏省高考数学试卷（理科）副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm 3．10. 将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是______． 12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R)，则x 2+y 2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 二、解答题（本大题共11小题，共140.0分）15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1； (2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=3，c=√2，B=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−4，求tan∠DAC的值．517.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上).经测量，左侧曲线AO上任a2；右一点D到MN的距离ℎ1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式b3+6b.已知点B到OO′的距离为40米．ℎ2=−1800(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，Ek(万元)(k>在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价320)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． (1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k =λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21.平面上的点A(2,−1)在矩阵M=[a1−1b]对应的变换作用下得到点B(3,−4)．(1)求实数a，b的值；(2)求矩阵M的逆矩阵M−1．22.在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线l：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)．(1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．答案和解析1.【答案】{0,2}【解析】解：集合B={0,2，3}，A={−1,0，1，2}，则A∩B={0,2}，故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】3【解析】解：复数z=(1+i)(2−i)=3+i，所以复数z=(1+i)(2−i)的实部是：3．故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.【答案】2【解析】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6= 36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则点数和为5的概率为P=436=19．故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3， 故答案为：−3．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】32【解析】解：双曲线x 2a2−y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，可得√5a=√52，所以a =2，所以双曲线的离心率为：e =c a=√4+52=32，故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.【答案】−4【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)． 【解答】解：y =f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)， 当x ≥0时，f(x)=x 23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.【答案】x=−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x−π6)，求g(x)的所有对称轴x=7π24+kπ2，k∈Z，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程，【解答】解：因为函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度可得 g(x)=f(x −π6)=3sin(2x −π3+π4)=3sin(2x −π12)，则y =g(x)的对称轴为2x −π12=π2+kπ，k ∈Z ， 即x =7π24+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，x =7π24，当k =−1时，x =−5π24，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x =−5π24， 故答案为：x =−5π24．11.【答案】4【解析】解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，因为{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1， 所以{a n }的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，所以其前n 项和：n[a 1+a 1+(n−1)d]2=d2n 2+(a 1−d 2)n ，{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为：b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1−b1q−1，所以S n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12.【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13.【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0． 当m =0时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14.【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧，并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2，可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5． 故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1， 所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1； (2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．16.【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55， 所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值；(2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)ℎ2=−1800b 3+6b ，点B 到OO′的距离为40米，可令b =40， 可得ℎ2=−1800×403+6×40=160， 即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160， 由140a 2=160，解得a =80， 则|AB|=80+40=120米；(2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，由{0<x <400<80−x <80，可得0<x <40，总造价为y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)] =k800(x 3−30x 2+160×800)， y′=k 800(3x 2−60x)=3k 800x(x −20)，由k >0，当0<x <20时，y′<0，函数y 递减； 当20<x <40时，y′>0，函数y 递增， 所以当x =20时，y 取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥AB 长为120米；(2)O′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b =40，求得ℎ2，即O′O 的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a ，可得|AB|=a +b ；(2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，0<x <40，求得总造价y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1，所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t 1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：x =4，得点Q 为(4,32⋅4−t1−t )，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB 与△MAB 的面积时，AB 可以最为同底，所以若S 2=3S 1，则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2，之间的关系为d 2=3d 1，根据点到直线距离公式可得d 1=35，d 2=95，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m =−6或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可． 本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x =0，又f′(x)=2x +2，g′(x)=−2x +2，所以f′(0)=g′(0)=2， 所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x ， 经检验：ℎ(x)=2x ，符合任意， (2)ℎ(x)−g(x)=k(x −1−lnx)， 设φ(x)=x −1−lnx ，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，≤0时，即k≤−1时，p(x)在(0,+∞)上单调递增，当x=k+12所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，>0时，即k>−1时，当 k+12△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．(3)因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图象在x=x0处的切线为：y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t2−8)=√t6−5t4+3t2+8，t2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√7，即n−m≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x =0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x ，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x −1−lnx)，设φ(x)=x −1−lnx ，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k ≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x =k +1≤0时，当k +1>0时进行讨论，进而得出答案．(3)因为f(x)=x 4−2x 2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y =f(x)的图象在x =x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论． 本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0， λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0， ①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }； ②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β， 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1Sn=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件． 对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0， 综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则S n+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21.【答案】解：(1)由题意，知[a1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn pq ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[m n p q ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[m n pq ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 22.【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线l ：ρcosθ=2上，∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4． ∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上，∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π)，∴2θ=π2，∴θ=π4．∴ρ=4×sin π4=2√2． 故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可．本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1⩽x ⩽0或−2<x <−1，∴−2<x <23，∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题． 24.【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2．∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)， ∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α，则cosα=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515； (2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)． 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)； 设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n ⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913． 【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727； q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627． (2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ，q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23，则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23，所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，所以2p n +q n −1=(13)n ，即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。

高考数学试卷(含答案解析)

高考数学试卷(含答案解析)

江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n ∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点E 处, 另一端置于侧棱GG 1上, 求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y 的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==,故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=,=, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m, n∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50,=（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF ⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, ∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）,由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=, ∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或,无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）,=2a n+2a n+2a n,=2×3a n,∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n, ①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n, ②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1, ③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1,整理得：2a n=a n﹣1+a n+1,∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E （X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）,D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。

2020年江苏省高考数学试卷(理科)-解析版

2020年江苏省高考数学试卷(理科)-解析版

2020年江苏省高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={0,2，3}，则A∩B=______．2.已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是______．3.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是______．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是______．5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为−2，则输入x的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是______．7.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(−8)的值是______．8.已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是______．9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是______cm3．10.将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．11.设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，则d+q的值是______．12.已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是______．13. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，∠BAC =90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m 为常数)，则CD 的长度是______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P(√32,0)，A 、B 是圆C ：x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______． 二、解答题（本大题共11小题，共140.0分）15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证：EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =3，c =√2，B =45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos∠ADC =−45，求tan∠DAC 的值．17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO′为铅垂线(O′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离ℎ1(米)与D 到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离ℎ2(米)与F 到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800b 3+6b.已知点B 到OO′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k(万元)，桥墩CD 每米造价32k(万元)(k >0)，问O′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f(x)，y =g(x)与ℎ(x)=kx +b(k,b ∈R)在区间D 上恒有f(x)≥ℎ(x)≥g(x)．(1)若f(x)=x 2+2x ，g(x)=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x)的表达式； (2)若f(x)=x 2−x +1，g(x)=klnx ，ℎ(x)=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f(x)=x 4−2x 2，g(x)=4x 2−8，ℎ(x)=4(t 3−t)x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7．20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k −S n 1k =λa n+11k 成立，则称此数列为“λ−k ”数列．(1)若等差数列{a n }是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．21. 平面上的点A(2,−1)在矩阵M =[a 1−1b]对应的变换作用下得到点B (3,−4)． (1)求实数a ，b 的值；(2)求矩阵M 的逆矩阵M −1．22. 在极坐标系中，已知A(ρ1,π3)在直线l ：ρcosθ=2上，点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上(其中ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求ρ1，ρ2的值；(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．23.设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|<4．24.在三棱锥A−BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；BC，设二面角F−DE−C的大小为θ，求sinθ的(2)若点F在BC上，满足BF=14值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．(1)求p1，q1和p2，q2；(2)求2p n+q n与2p n−1+q n−1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示)．答案和解析1.【答案】{0,2}【解析】解：集合B ={0,2，3}，A ={−1,0，1，2}， 则A ∩B ={0,2}， 故答案为：{0,2}．运用集合的交集运算，可得所求集合．本题考查集合的交集运算，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】3【解析】解：复数z =(1+i)(2−i)=3+i ， 所以复数z =(1+i)(2−i)的实部是：3． 故答案为：3．利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，是基本知识的考查．3.【答案】2【解析】解：一组数据4，2a ，3−a ，5，6的平均数为4， 则4+2a +(3−a)+5+6=4×5， 解得a =2． 故答案为：2．运用平均数的定义，解方程可得a 的值．本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】19【解析】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种， 则点数和为5的概率为P =436=19． 故答案为：19．分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值． 本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】−3【解析】解：由题意可得程序框图表达式为分段函数y ={2x ,x >0x +1,x ≤0，若输出y 值为−2时，由于2x >0， 所以解x +1=−2， 即x =−3，故答案为：−3．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用程序框图表达式为分段函数计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】32【解析】解：双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，可得√5a=√52，所以a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√4+52=32，故答案为：32．利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.【答案】−4【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(−8)．【解答】解：y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，当x≥0时，f(x)=x23，可得f(8)=823=4，则f(−8)=−f(8)=−4，故答案为：−4．8.【答案】13【解析】解：因为sin2(π4+α)=23，则sin2(π4+α)=1−cos(π2+2α)2=1+sin2α2=23，解得sin2α=13，故答案为：13根据二倍角公式即可求出．本题考查了二倍角公式，属于基础题．9.【答案】12√3−π2【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：6×12×2×2×sin60°×2=12√3，圆柱的体积为：π×(0.5)2×2=π2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(12√3−π2)cm3，故答案为：12√3−π2．10.【答案】x=−5π24【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．利用三角函数的平移可得新函数g(x)=f(x−π6)，求g(x)的所有对称轴x=7π24+kπ2，k∈Z，从而可判断平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程，【解答】解：因为函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度可得g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ，k∈Z，即x=7π24+kπ2，k∈Z，当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=−5π24，故答案为：x=−5π24．11.【答案】4【解析】解：因为{a n+b n}的前n项和S n=n2−n+2n−1(n∈N∗)，因为{a n}是公差为d的等差数列，设首项为a1；{b n}是公比为q的等比数列，设首项为b1，所以{a n}的通项公式a n=a1+(n−1)d，所以其前n项和：n[a1+a1+(n−1)d]2=d2n2+(a1−d2)n，{b n }中，当公比q =1时，其前n 项和S n =nb 1，所以{a n +b n }的前n 项和S n =d2n 2+(a 1−d2)n +nb 1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，显然没有出现2n ，所以q ≠1， 则{b n }的前n 项和为：b 1(q n −1)q−1=b 1q n q−1−b 1q−1，所以S n =d2n 2+(a 1−d2)n +b 1q n q−1−b1q−1=n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由两边对应项相等可得：{d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d =2，a 1=0，q =2，b 1=1，所以d +q =4， 故答案为：4．由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，由{a n }是公差为d 的等差数列，设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列，设首项为b 1，讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式，由题意可得q ≠1，由对应项的系数相等可得d ，q 的值，进而求出d +q 的值．本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质，属于中档题．12.【答案】45【解析】解：方法一、由5x 2y 2+y 4=1，可得x 2=1−y 45y 2，由x 2≥0，可得y 2∈(0,1]， 则x 2+y 2=1−y 45y 2+y 2=1+4y 45y 2=15(4y 2+1y 2)≥15⋅2√4y 2⋅1y 2=45，当且仅当y 2=12，x 2=310， 可得x 2+y 2的最小值为45； 方法二、4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤(5x 2+y 2+4y 22)2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2，即y 2=12，x 2=310时取得等号， 可得x 2+y 2的最小值为45． 故答案为：45．方法一、由已知求得x 2，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 方法二、由4=(5x 2+y 2)⋅4y 2，运用基本不等式，计算可得所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题．13.【答案】0或185【解析】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B(4,0)，C(0,3)，由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(32−m)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 整理得：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m(4,0)+(2m −3)(0,3)=(−8m,6m −9)．由AP =9，得64m 2+(6m −9)2=81，解得m =2725或m =0．当m =0时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−9)，此时C 与D 重合，|CD|=0； 当m =2725时，直线PA 的方程为y =9−6m 8mx ，直线BC 的方程为x4+y3=1，联立两直线方程可得x =83m ，y =3−2m ． 即D(7225,2125)，∴|CD|=√(7225)2+(2125−3)2=185．∴CD 的长度是0或185． 故答案为：0或185．以A 为坐标原点，分别以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，求得B 与C 的坐标，再把PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP =9列式求得m 值，然后分类求得D 的坐标，则CD 的长度可求．本题考查向量的概念与向量的模，考查运算求解能力，利用坐标法求解是关键，是中档题．14.【答案】10√5【解析】解：圆C ：x 2+(y −12)2=36的圆心C(0,12)，半径为6，如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，因为PA =PB ，CA =CB =R =6，所以PC ⊥AB ，EF 为垂径，要使面积S △PAB 最大，则P ，D 位于C 的两侧，并设CD =x ，可得PC =√14+34=1，故PD =1+x ，AB =2BD =2√36−x 2， 可令x =6cosθ，S △PAB =12|AB|⋅|PD|=(1+x)√36−x 2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2，设函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，0<θ≤π2， f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos 2θ+cosθ−6)，由f′(θ)=6(12cos 2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23(cosθ=−34<0舍去)， 显然，当0≤cosθ<23，f′(θ)<0，f(θ)递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)递增，结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos 2θ=√53，故f(θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5，则△PAB 面积的最大值为10√5．故答案为：10√5．求得圆的圆心C 和半径，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值．本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题．15.【答案】证明：(1)E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点． 所以EF//AB 1，因为EF ⊄平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EF//平面AB 1C 1；(2)因为B 1C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABB 1， 所以B 1C ⊥AB ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩B 1C =C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以AB ⊥平面AB 1C ， 因为AB ⊂平面ABB 1，所以平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【解析】(1)证明EF//AB 1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF//平面AB 1C 1；(2)证明B 1C ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，证明AB ⊥平面AB 1C ，然后证明平面AB 1C ⊥平面ABB 1． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．16.【答案】解：(1)因为a =3，c =√2，B =45°.，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC =bsinB ，所以sinC =cb ⋅sin45°=√2√5⋅√22=√55，所以sinC =√55；(2)因为cos∠ADC =−45，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cosC =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)=sin∠ADCcos∠C +cos∠ADCsin∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0,π2)，所以cos∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525，所以tan∠DAC =sin∠DAC cos∠DAC =211．【解析】(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sin C 的值；(2)三角形的内角和为180°，cos∠ADC =−45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC +∠C 互为补角，所以sin∠DAC =sin(∠ADC +∠C)展开可得sin∠DAC 及cos∠DAC ，进而求出tan∠DAC 的值．本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)ℎ2=−1800b 3+6b ，点B 到OO′的距离为40米，可令b =40， 可得ℎ2=−1800×403+6×40=160， 即为|O′O|=160，由题意可设ℎ1=160， 由140a 2=160，解得a =80， 则|AB|=80+40=120米； (2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，由{0<x <400<80−x <80，可得0<x <40，总造价为y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)] =k800(x 3−30x 2+160×800)，y′=k800(3x 2−60x)=3k800x(x −20)，由k >0，当0<x <20时，y′<0，函数y 递减； 当20<x <40时，y′>0，函数y 递增，所以当x =20时，y 取得最小值，即总造价最低．答：(1)桥|AB|长为120米；(2)O′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低．【解析】(1)由题意可令b =40，求得ℎ2，即O′O 的长，再令ℎ1=|OO′|，求得a ，可得|AB|=a +b ；(2)可设O′E =x ，则CO′=80−x ，0<x <40，求得总造价y =32k[160−140(80−x)2]+k[160−(6x −1800x 3)]，化简整理，应用导数，求得单调区间，可得最小值． 本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2−b 2=1， 所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q(4,32⋅4−t1−t )，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,0)⋅(t −4,0−32⋅4−t1−t)=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4，当t =2时，(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =−4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3，即d 2=3d 1，A(1,32)，F 1(−1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点， 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以9+16=95，即m =−6或12，当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2)，联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127， 所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4)，联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24=0，△=9×(36−56)<0，所以无解，综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【解析】(1)由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a +2c ，代入计算即可．(2)由椭圆方程得A(1,32)，设P(t,0)，进而由点斜式写出直线AP方程，再结合椭圆的右准线为：x=4，得点Q为(4,32⋅4−t1−t)，再由向量数量积计算最小值即可．(3)在计算△OAB与△MAB的面积时，AB可以最为同底，所以若S2=3S1，则O到直线AB距离d1与M到直线AB距离d2，之间的关系为d2=3d1，根据点到直线距离公式可得d1=35，d2=95，所以题意可以转化为M点应为与直线AB平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线l为3x−4y+m=0，与直线AB的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，m=−6或12，然后在分两种情况算出M点的坐标即可．本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0，又f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x，符合任意，(2)ℎ(x)−g(x)=k(x−1−lnx)，设φ(x)=x−1−lnx，设φ′(x)=1−1x =x−1x，在(1,+∞)上，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，在(0,1)上，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0，令p(x)=f(x)−ℎ(x)所以p(x)=x2−x+1−(kx−k)=x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得，当x=k+12≤0时，即k≤−1时，p(x)在(0,+∞)上单调递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，k≥−1，所以k=−1，当 k+12>0时，即k>−1时，△≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，解得−1<k≤3，综上，k∈[0,3]．42，所以f′(x)=4x31)(x−1)，y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图象在x=t(0<|t|≤√2)处的切线．由函数y=f(x)的图象可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2]，又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0，设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1，x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(t 3−t)2−(3t 4−2t 2−8)=√t 6−5t 4+3t 2+8，t 2=λ，则λ∈[1,2]，由图象可知，n −m =|x 1−x 2|=√λ3−5λ2+3λ+8， 设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)， 所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减， 所以φ(λ)max =φ(1)=7，故(n −m)max =|x 1−x 2|max =√7，即n −m ≤√7．【解析】(1)由f(x)=g(x)得x =0，求导可得f′(0)=g′(0)=2，能推出函数ℎ(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，进而可得ℎ(x)=2x ，再进行检验即可．(2)由题可知ℎ(x)−g(x)=k(x −1−lnx)，设φ(x)=x −1−lnx ，求导分析单调性可得，φ(x)≥φ(1)=0，那么要使的ℎ(x)−g(x)≥0，则k ≥0；令p(x)=f(x)−ℎ(x)为二次函数，则要使得p(x)≥0，分两种情况，当x =k +1≤0时，当k +1>0时进行讨论，进而得出答案． (3)因为f(x)=x 4−2x 2，求导，分析f(x)单调性及图象得函数y =f(x)的图象在x =x 0处的切线为：y =(4x 03−4x 0)x −3x 04+2x 02，可推出直线y =ℎ(x)为函数y =f(x)的图象在x =t(0<|t|≤√2)处的切线．进而f(x)≥ℎ(x)在区间D 上恒成立；在分析g(x)−ℎ(x)=0，设4x 2−4(t 3−t)x +3t 4−2t 2−8=0，两根为x 1，x 2，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，所以n −m =|x 1−x 2|=√t 6−5t 4+3t 2+8，再求最值即可得出结论． 本题考查恒成立问题，参数的取值范围，导数的综合应用，解题过程中注意数形结合思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1，由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0，可得λ=1； (2)√S n+1−√S n =√33√a n+1，则a n+1=S n+1−S n =(√S n+1−√S n )⋅(√S n+1+√S n )=√33⋅√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3⋅√a n+1，即√S n+1=23√3a n+1，S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 从而S n+1=4S n ，又S 1=a 1=1，可得S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2， 综上可得a n ={1,n =13⋅4n−2,n ≥2，n ∈N ∗；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n )， 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0，令p n =(S n+1S n)13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0，可得p n =1，则S n+1=S n ， 即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }，λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }； ②1<t <3时，△=(1−t)2−4<0，p n2+(1−t)p n +1=0无解， 则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③t =3时，(p n −1)3=0，则p n =1，同上分析不存在三个不同的数列{a n }.④t >3时，即0<λ<1时，△=(1−t)2−4>0，p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β， 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0，则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1Sn=1或S n+1S n=α3或S n+1S n=β3，此时S n =1，S n ={1,n =1β3,n ≥2，S n={1,n =1,2β3,n ≥3均符合条件． 对应a n ={1,n =10,n ≥2，a n ={1,n =1β3−1,n =20,n ≥3，a n ={1,n =1β3−1,n =30,n =2,n ≥4，则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0，综上可得0<λ<1．【解析】(1)由“λ−1”数列可得k =1，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得λ的值；(2)运用“√33−2”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；(3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，则S n+113−S n 13=λa n+113，由两边立方，结合数列的递推式，以及t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在λ，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．21.【答案】解：(1)由题意，知[a1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．【解析】(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵A(ρ1,π3)在直线l ：ρcosθ=2上，∴ρ1cos π3=2，解得ρ1=4． ∵点B(ρ2,π6)在圆C ：ρ=4sinθ上， ∴ρ2=4sin π6，解得ρ2=2．(2)由直线l 与圆C 得，方程组{ρcosθ=2ρ=4sinθ，则sin2θ=1．∵θ∈[0,2π)，∴2θ=π2，∴θ=π4． ∴ρ=4×sin π4=2√2．故公共点的极坐标为(2√2,π4).【解析】(1)直接根据点A 在直线l 上，列方程求出ρ1的值，点B 在圆C 上，列方程求出ρ2的值；(2)联立直线l 与圆C 的方程，然后求出其公共点的极坐标即可． 本题考查的知识要点：极坐标与极坐标方程的关系和根据简单曲线极坐标方程求交点坐标，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：2|x +1|+|x|={3x +2,x >0x +2,−1≤x ≤0−3x −2,x <−1．∵2|x +1|+|x|<4，∴{3x +2<4x >0或{x +2<4−1≤x ≤0或{−3x −2<4x <−1，∴0<x <23或−1<x <0或−2<x <−1，∴−2<x <23， ∴不等式的解集为{x|−2<x <23}.【解析】先将2|x +1|+|x|写为分段函数的形式，然后根据2|x +1|+|x|<4，利用零点分段法解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题．24.【答案】解：(1)如图，连接OC ，∵CB =CD ，O 为BD 的中点，∴CO ⊥BD ．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD =2，∴OB =OD =1，则OC =√BC 2−OB 2=√5−1=2． ∴B(1,0，0)，A(0,0，2)，C(0,2，0)，D(−1,0，0)， ∵E 是AC 的中点，∴E(0,1，1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)． 设直线AB 与DE 所成角为α， 则cosα=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4⋅√1+1+1=√1515， 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515；(2)∵BF =14BC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设F(x,y ，z)，则(x −1,y ，z)=(−14，12，0)，∴F(34,12,0)．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74,12,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)．设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0，取x 1=−2，得m ⃗⃗⃗ =(−2,7,−5)； 设平面DEC 的一个法向量为n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0，取x 2=−2，得n⃗ =(−2,1,1)． ∴|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4+49+25⋅√4+1+1=√1313． ∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913．【解析】(1)由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO ⊥BD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)由BF =14BC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗=14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设F(x,y ，z)，由向量等式求得F(34,12,0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cosθ，再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．本题考查利用空间向量求空间角，考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)由题意可知：p 1=13，q 1=23，则p 2=13p 1+23×13q 1=727；q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627．(2)由题意可知：p n+1=13p n +23×13q n =13p n +29q n ， q n+1=23p n +(23×23+13×13)q n +23(1−p n −q n )=−19q n +23， 两式相加可得2p n+1+q n+1=23p n +13q n +23=13(2p n +q n )+23， 则：2p n +q n =13(2p n−1+q n−1)+23， 所以，2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，因为2p 1+q 1−1=13，数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列， 所以2p n +q n −1=(13)n ， 即2p n +q n =(13)n +1，所以E(X n )=2p n +q n +0×(1−p n −q n )=(13)n +1．【解析】(1)利用已知条件求出p 1=13，q 1=23，推出p 2；q 2即可．(2)推出p n+1=13p n +29q n ，q n+1=−19q n +23，得到2p n+1+q n+1=13(2p n +q n )+23，推出2p n +q n −1=13(2p n−1+q n−1−1)，说明数列{2p n +q n −1}是首项为13，公比为13的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即可．本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是难题．。

〖苏科版〗高考数学试卷理科参考答案与试题解析1

〖苏科版〗高考数学试卷理科参考答案与试题解析1

〖苏科版〗高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里航拍创作日期：2021.04.01审核人：北堂中国创作单位：北京市智语学校一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（•江西）在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数的几何意义作出相应判断．【解答】解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D．【点评】本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．2．（5分）（•江西）定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．【解答】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．3．（5分）（•江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式．【解答】解：令t=f（x），则，则y=t+≥=2当且仅当t=即t=1时取“=”，所以y的最小值为2故选项为B【点评】做选择题时，求得最小值通过排除法得值域；考查用基本不等式求最值4．（5分）（•江西）=（）A．B．0 C．D．不存在【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】把原式进行分母有理化，得：，消除零因子简化为，由此可求出的值．【解答】解：==，故选A．【点评】本题考查池函数的极限，解题时要注意计算能力的培养．5．（5分）（•江西）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵，，…∴=故选：A．【点评】数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n 换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．6．（5分）（•江西）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数值的符号；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．【解答】解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选D．【点评】准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”7．（5分）（•江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，） D．[，1）【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．8．（5分）（•江西）展开式中的常数项为（）A．1 B．46 C．4245 D．4246【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0得常数项．【解答】解：的展开式的通项为，其中r=0，1，2 (6)的展开式的通项为=，其中k=0，1，2， (10)的通项为=当时，展开式中的项为常数项∴，，时，展开式中的项为常数项∴展开式中的常数项为1+C63C104+C66C108=4246故选项为D【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决展开式的特定项问题的工具．9．（5分）（•江西）若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1+a2=b1+b2=1，则下列代数式中值最大的是（）A．a1b1+a2b2B．a1a2+b1b2C．a1b2+a2b1D．【考点】基本不等式．【分析】本题为比较一些式子的大小问题，可利用做差法和基本不等式比较，较复杂；也可取特值比较．【解答】解：又∵a1b1+a2b2﹣（a1b2+a2b1）=（a1﹣a2）b1﹣（a1﹣a2）b2=（a2﹣a1）（b2﹣b1）＞0∴a1b1+a2b2＞（a1b2+a2b1）而1=（a1+a2）（b1+b2）=a1b1+a2b1+a1b2+a2b2＜2（a1b1+a2b2）∴解法二：取，，，即可．故选A【点评】本题主要考查比较大小问题，注意选择题的特殊做法，切勿“小题大做”10．（5分）（•江西）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；综合题．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．【点评】本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．11．（5分）（•江西）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题是一个古典概型，解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为23事件数，前者可以根据生活经验推出，后者需要列举得到事件数．【解答】解：一天显示的时间总共有24×60=1440种，和为23有09：59，19：58，18：59，19：49总共有4种，故所求概率为P==．故选C【点评】本题考查的是古典概型，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是解题的关键．12．（5分）（•江西）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，8）C．（2，8）D．（﹣∞，0）【考点】一元二次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，因为f（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．【解答】解：当m≤0时，当x接近+∞时，函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1与g（x）=mx均为负值，显然不成立当x=0时，因f（0）=1＞0当m＞0时，若，即0＜m≤4时结论显然成立；若，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8则0＜m＜8故选B．【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（•江西）直角坐标平面上三点A（1，2）、B（3，﹣2）、C（9，7），若E、F为线段BC的三等分点，则=22．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】本题首先要用等比分点的公式计算出E和F两点的坐标，根据所求的坐标得到向量的坐标，把向量的坐标代入向量的数量积公式，求出结果．【解答】解：根据三等分点的坐标公式，得E（5，1），F（7，4）；=（4，﹣1），=（6，2）=4×6﹣2=22，故答案为：22【点评】看清问题的实质，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．14．（4分）（•江西）不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【考点】指数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】≤0⇒x ∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]【解答】解：∵，∴，∴，∴∴x∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]答案：（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【点评】本题考查指数函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．15．（4分）（•江西）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x B2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x B2（x B2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＞﹣1，∴=﹣=﹣（﹣）=．故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．16．（4分）（•江西）如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：BD（写出所有真命题的代号）．【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题；压轴题；探究型．【分析】设出图（1）的水高，和几何体的高，计算水的体积，容易判断A、D的正误；对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，根据体积判断它是正确的．根据当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，计算水的体积和实际不符，是错误的．【解答】解：设图（1）水的高度h2几何体的高为h1图（2）中水的体积为b2h1﹣b2h2=b2（h1﹣h2），所以b2h2=b2（h1﹣h2），所以h1=h2，故A错误，D正确．对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2＞b2h2，矛盾，故C不正确．故选BD【点评】本题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，是难题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（•江西）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】由可求得得，把切转化成弦化简整理可求得sinC=，进而求得C，对2sinBcosC=sinA化简可得sin（B﹣C）=0，进而求得B，最后由正弦定理即可求得b，c．【解答】解：由得∴∴∴，又C∈（0，π）∴，或由2sinBcosC=sinA得2sinBcosC=sin（B+C）即sin（B﹣C）=0∴由正弦定理得【点评】本题主要考查三角形中的几何计算．常涉及正弦定理、余弦定理和面积公式及三角函数公式等常用公式．18．（12分）（•江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令ξi（i=1，2）表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）．写出ξ1、ξ2的分布列；（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；应用题．【分析】（1）根据题意得到两个变量的可能取值，根据条件中所给的方案一和方案二的两年柑桔产量的变化有关数据写出两个变量的分布列．（2）根据两种方案对应的数据，做出方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率，得到结论：方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．（3）根据两年后柑桔产量和灾前产量的比较，做出达不到灾前产量，达到灾前产量，超过灾前产量的概率，列出柑橘带来效益的分布列，做出期望．【解答】解：（1）ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，ξ1、ξ2的分布列分别为：（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P（A）=0.15+0.15=0.3，P（B）=0.24+0.08=0.32∴方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大（3）令ηi表示方案i所带来的效益，则∴Eη1=14.75，Eη2=14.1∴方案一所带来的平均效益更大．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查解决实际问题的能力，考查对题干较长的应用题的理解，是一个综合题．19．（12分）（•江西）数列{a n}为等差数列，a n为正整数，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a 1=3，b1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．（1）求a n，b n；（2）求证．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n﹣1，依题意有，由此可导出a n与b n．（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），所以，然后用裂项求和法进行求解．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，解①得d=2，q=8故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴==．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的应用．20．（12分）（•江西）如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知．（1）求证：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（1）要证B1C1⊥平面OAH，直线证明直线垂直平面OAH内的两条相交直线：AH、OA即可；（2）作出二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角，然后求解即可；或者建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解．【解答】解：（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，则EF∥平面OBC，所以EF∥B1C1．又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B1C1．因为OA⊥OB，OA⊥OC，所以OA⊥面OBC，则OA⊥B1C1，因此B1C1⊥面OAH．（2）作ON⊥A1B1于N，连C1N．因为OC1⊥平面OA1B1，根据三垂线定理知，C1N⊥A1B1，∠ONC1就是二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角．作EM⊥OB1于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．设OB1=x，由得，，解得x=3，在Rt△OA1B1中，，则，．所以，故二面角O﹣A1B1﹣C1为．解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，O﹣xyz则所以所以所以BC⊥平面OAH，由EF∥BC得B1C1∥BC，故：B1C1⊥平面OAH（2）由已知，设B1（0，0，z）则由与共线得：存在λ∈R有得同理：C1（0，3，0），∴设是平面A1B1C1的一个法向量，则令x=2，得y=z=1，∴．又是平面OA1B1的一个法量∴所以二面角的大小为（3）由（2）知，，B（0，0，2），平面A1B1C1的一个法向量为．则．则点B到平面A1B1C1的距离为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）（•江西）设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2﹣y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点．（1）求证：三点A、M、B共线．（2）过点A作直线x﹣y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（1）先根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2），将切线PA的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式等于0即可表示出切线的斜率，因此PA的方程和PB的方程都可以利用A，B两点的坐标表示，又P在PA、PB上，得到点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y=mx﹣1上，从而证得三点A、M、B共线，从而解决问题．（2）设重心G（x，y），欲求△AMN的重心G所在曲线方程，即求出其坐标x，y的关系式，利用点A在双曲线上即可得重心G所在曲线方程．【解答】证明：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得到y1y2≠0，且x12﹣y12=1，x22﹣y22=1，设切线PA的方程为：y﹣y1=k（x﹣x1）由得（1﹣k2）x2﹣2k（y1﹣kx1）x﹣（y1﹣kx1）2﹣1=0从而△=4k2（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）=0，解得因此PA的方程为：y1y=x1x﹣1同理PB的方程为：y2y=x2x﹣1又P（m，y0）在PA、PB上，所以y1y0=mx1﹣1，y2y0=mx2﹣1即点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y=mx﹣1上又也在直线y0y=mx﹣1上，所以三点A、M、B共线（2）垂线AN的方程为：y﹣y1=﹣x+x1，由得垂足，设重心G（x，y）所以解得由x12﹣y12=1可得即为重心G所在曲线方程【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、三角形重心、双曲线的标准方程的问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．22．（14分）（•江西）已知函数f（x）=++，x∈（0，+∞）（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）把a=8代入函数解析式，求出函数的导数，并判断导数的符号，得到函数的单调区间．（2）令，则abx=8①，②，将f（x）解析式进行放缩，使用基本不等式，可证f（x）＞1，由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b．则0＜b≤2，当a+b≥7，将f（x）解析式进行放缩，可证f（x）＜2；当a+b＜7③，将f（x）解析式进行放缩，再使用基本不等式证明f（x）＜2，结论得证．【解答】解：（1）当a=8时，，求得，于是当x∈（0，1]时，f'（x）≥0；而当x∈[1，+∞）时，f'（x）≤0．即f（x）在（0，1]中单调递增，而在[1，+∞）中单调递减．（2）对任意给定的a＞0，x＞0，由，若令，则abx=8①，且②．（一）先证f（x）＞1：因为，，，又由，得a+b+x≥6．所以==．（二）再证f（x）＜2：由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0＜b≤2．（ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5，因为，，此时，．（ⅱ）当a+b＜7③，由①得，，，因为，所以④，同理得⑤．于是⑥．今证明⑦：因为，故只要证，即证ab+8＞（1+a）（1+b），即证a+b＜7．据③可得此式显然成立，因此⑦得证．再由⑥可得得f（x）＜2．综上所述，对任何正数a，x，皆有1＜f（x）＜2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法、基本不等式法证明不等式，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．创作人：百里航拍创作日期：2021.04.01审核人：北堂中国创作单位：北京市智语学校。

高考数学试卷(含答案解析)

高考数学试卷(含答案解析)

江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD 上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x ∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”, 又是“P（3）数列”, 证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A ∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==, 故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=, =, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m, n ∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50, =（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n ∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面, 所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）,∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）, 由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=,∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F 1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l 1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或, 无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N 作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）,=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：由数列{a n }是“P （2）数列”则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , ① 数列{a n }是“P （3）数列”a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , ②由①可知：a n ﹣3+a n ﹣2+a n +a n +1=4a n ﹣1, ③a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n =6a n ﹣4a n ﹣1﹣4a n +1,整理得：2a n =a n ﹣1+a n +1,∴数列{a n }是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0, b ∈R ）有极值, 且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P （A 2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=,k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）, D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。

江苏省高考理科数学试题及答案

江苏省高考理科数学试题及答案

数学Ⅰ试题参照公式圆柱的体积公式： V 圆柱 =Sh ，此中 S 是圆柱的底面积， h 为高 .圆锥的体积公式：V圆锥1Sh ，此中 S 是圆锥的底面积， h 为高 .3一、 填空题：本大题共 14 个小题 , 每题 5 分 , 共 70 分 . 请把答案写在答题卡相应地点上。

1. 已知会合 A { 1,2,3,6}, B { x| 2 x 3}, 则 A B= ________▲________.2. 复数 z (12i)(3i),此中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 ________▲_______ _.223. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线xy 1的焦距是 ________ ▲ _______.7 34. 已知一组数据 ,,,, ，则该组数据的方差是 ________▲_______ _.5.函数 y = 3 - 2x - x 2的定义域是 ▲.6. 如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是▲.7. 将一颗质地平均的骰子（一种各个面上分别标有1， 2，3， 4， 5， 6 个点的正方体玩具）先后投掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 ▲.8. nn是其前 n 项和 122-59▲.已知 { a } 是等差数列， S . 若 a +a = 3， S =10，则 a 的值是9. 定义在区间 [0,3 π] 上的函数 y =sin2 x 的图象与 y =cos x 的图象的交点个数是 ▲.10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2y 2的右焦点，直线b 与椭圆交于 ，1(a ＞ b ＞ 0)ya 2b 22C 两点，且 BFC 90, 则该椭圆的离心率是▲.(第 10 题)x a,1x0,11.设 f （x）是定义在R上且周期为 2 的函数，在区间 [ - 1,1) 上，f (x)2x此中 a R.x ,01,5若59f ()5.f ( )，则 f▲22（ a）的值是x 2 y4012.已知实数 x， y 知足2x y20，则 x2+y2的取值范围是▲.3x y3013.如图，在△中，是的中点，，是上的两个三均分点，BC CA4，BFCF1，则ABC D BC E F AD BECE的值是▲.14. 在锐角三角形中，若 sin=2sin sin，则 tan tan tanC 的最小值是▲.ABC A B C A B二、解答题（本大题共 6小题，共 90分 . 请在答题卡拟订地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）15. （本小题满分14 分）在△ABC 中， AC=6，cos B 4π， C.54（ 1）求的长；AB （ 2）求 cos( A π)的值. 616.( 本小题满分14 分 )如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， D，E分别为 AB，BC的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且BD AF，AC AB.11 1 1 1 1求证：（ 1）直线DE∥平面A1C1F；（ 2）平面B1DE⊥平面A1C1F.现需要设计一个库房，它由上下两部分构成，上部分的形状是正四棱锥P A1 B1C1 D1，下部分的形状是正四棱柱 ABCD A1 B1C1D1(如下图)，并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高 PO1的四倍.(1) 若AB 6 m, PO1 2 m,则库房的容积是多少(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m, 则当PO1为多少时，库房的容积最大18.（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以 M为圆心的圆 M:22x y 12x 14 y 60 0及其上一点(2，4) A(1)设圆 N与 x 轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线 x=6上，求圆 N的标准方程；(2)设平行于 OA的直线 l 与圆 M订交于 B、C两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；(3)设点 T（ t ,0）知足：存在圆 M上的两点 P 和 Q,使得TA TP TQ,,务实数 t 的取值范围。

全国高考理科数学考试试卷(江苏)参考答案

全国高考理科数学考试试卷(江苏)参考答案

高考理科数学考试真题（江苏卷）参考答案1．{}1,3-【解析】=B A {}1,3-2．21【解析】2(52)z i =+=2120i +，z 的实部为213．5【解析】该流程图共运行5次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32,所以输出的n 的值是5． 4．13【解析】从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，共有6种不同取法，其中所取2个数的乘积为6得有1,6和2,3，共2种，故所求概率为2163=． 5．6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．6．24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm 的频率是(0.025 +0.015)×10=0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60=24．7．4【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．8．32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是12,r r ，母线长分别是12,l l ．则由1294S S =，可得1232r r =．又两个圆柱的侧面积相等，即112222rl r l ππ=，则112223l r l r ==， 所以111222923432V S l V S l ==⨯=． 9．【解析】圆心(2,1)-到直线032=-+y x的距离d ==．直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x截得的弦长为=5． 10．(【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得02m -<<．11．-3【解析】由题意可得542b a -=+①又2()2bf x ax x'=-，过点)5,2(-P 的切线的斜率7442b a -=- ②，由①②解得1,2a b =-=-，所以3a b +=-． 12．22【解析】∵14AP AD DP AD AB =+=+，34BP BC CP AD AB =+=-，13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2231||||2162AD AB AD AB =--⋅=，可解得22AD AB ⋅=．13．1(0,)2【解析】函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有互不相同的10个零点，即函数()y f x =与y a =的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数()y f x =在一个周期内的图象，可知102a <<．14．624【解析】由正弦定理可得22a b c +=， 又2222221(2)4cos 22a b a b a b c C ab ab+-++-== 223222262262a b ab ab ab +---==．15．【解析】（1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，，∴225cos 1sin αα=--= ()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=．16．【解析】（1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A（第16题）PDCEFBA∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF（2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC ==∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵ACEF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17．【解析】（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x+=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b c b c --，∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b --+=，化简得225c a =，∴5c a =, 518． 【解析】（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=--k AB =603,04b a -=-解得a =80，b=120.所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m ，(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803.CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60). 因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．【解析】（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．【解析】（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.A.【证明】：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC .故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【答案】222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，， 解得142x y =-=，C.【解析】直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【证明】：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0>，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy.22．【解析】（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X === 3131453639C C C C 13(3)C 63P X +=== 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==∴X 的概率分布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=23．【解析】(1)由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+=n ∈*N ).。

2024年江苏高考数学真题(含答案)

2024年江苏高考数学真题(含答案)

2024年江苏高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m -B. 3m -C.3m D. 3m5.（ ）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >> B. (2)0.5P X ><的的C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数的字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；为（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，的的从而sin C===又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.小问2详解】由（1）可得π3B=，cos C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin12462A⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin22ABCS ab C===，由已知ABC面积为323=+，所以c=16. 已知(0,3)A和33,2P⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．【答案】（1）12（2）直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.【的【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设()00,B x y22001129x y ⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PABd = ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k xk k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析 （3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。

(word版)江苏省高考理科数学试题及答案,文档

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数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式： V圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高.圆锥的体积公式：V圆锥1 Sh S 是圆锥的底面积，h 为高 .3，其中一、填空题：本大题共 14个小题,每题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.集合A{1,2,3,6},B{x|2x 3}, 那么AIB=________▲_______.2.复数z(12i)(3 i),其中i 为虚数单位，那么 z 的实部是________▲________.2 23.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线xy 1的焦距是________▲________.7 3 4.一组数据 ，那么该组数据的方差是________▲________. 5.函数y=3- 2x-x 2的定义域是 ▲. 6.如图是一个算法的流程图，那么输出的 a 的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子〔一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具〕先后抛掷 2次， 那么出现向上的点数之和小于 10的概率是▲.n n 2- 3，S5=10，那么a9的值是 ▲.8.{a}是等差数列，S 是其前n 项和.假设a1+a2= 9.定义在区间[0,3 π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 ▲.xOy 中，F 是椭圆x2 y 2 b 10.如图，在平面直角坐标系 1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y与椭圆交于B ，a 2b 2 2C 两点，且 BFC90o,那么该椭圆的离心率是▲.(第10题)xa,1 x0,11.设f 〔x 〕是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1)上，f(x)2x其中a R.假设x,01,5f(5) f(9)，那么f 〔5a 〕的值是▲.22x2y4 012.实数 x ，y 满足 2x y 23x y 3 0，那么x 2+y 2的取值范围是▲ .uuur uuu ruuuruuur1，13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BC CA4，BFCFuuuruuur那么BECE 的值是 ▲.14.在锐角三角形 ABC 中，假设sinA=2sinBsinC ，那么tanAtanBtanC 的最小值是▲. 二、解答题〔本大题共6小题，共 90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕15.〔本小题总分值14分〕在△ABC 中，AC=6，cosB=4π ，C=.54〔1〕求AB 的长；π〔2〕求cos(A-)的值.616.(本小题总分值 14分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B上，且B 1DA 1F ，AC 11A 1B 1.求证：〔1〕直线DE ∥平面A 1C 1F ；〔2〕平面B 1 DE ⊥平面A 1C1F.17.〔本小题总分值14分〕现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下局部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如下图)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍.(1)假设AB6m,PO12m,那么仓库的容积是多少？假设正四棱锥的侧棱长为6m,那么当PO1为多少时，仓库的容积最大？(1)〔本小题总分值16分〕(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为圆心的圆M:x2y212x 14y 60 0及其上一点A(2，(3)4)(4)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(5)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)T t,0M P uur uur uuurt设点〔〕满足：存在圆上的两点和Q,TP,的取值范围。

江苏省高考数学试题及标准答案(理科)解析版(DOC)

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2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．解答：解：=+=++++=++=++，∴（a k•a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0=．故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g （t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k•a k+1）的值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．。

2019年高考理科数学江苏卷真题及答案详解

2019年高考理科数学江苏卷真题及答案详解

2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．函数y＝的定义域是．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P 到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g （x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB ＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小．．于．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．时，都有ck21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V＝E﹣BCD＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF 2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x，0），2则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x+x2＝，x1x2＝，1可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）1＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；}的公比为q，②设{cn存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c成立，k+1即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x ＞1或x ∈∅或x ＜﹣，∴不等式的解集为{x |x ＜﹣或x ＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．【解答】解：（1）由（1+x ）n ＝C +C x +C x 2+…+C x n ，n ≥4， 可得a 2＝C ＝，a 3＝C ＝，a 4＝C ＝，a 32＝2a 2a 4，可得（）2＝2••，解得n ＝5；（2）方法一、（1+）5＝C +C +C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a +b ，由于a ，b ∈N *，可得a ＝C +3C +9C ＝1+30+45＝76，b ＝C +3C +9C ＝44， 可得a 2﹣3b 2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C +C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a +b ，（1﹣）5＝C +C （﹣）+C （﹣）2+C （﹣）3+C （﹣）4+C （﹣）5＝C ﹣C+C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a ，b ∈N *，可得（1﹣）5＝a ﹣b ， 可得a 2﹣3b 2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32． 23．【解答】解：（1）当n ＝1时，X 的所有可能取值为1，，2，，X 的概率分布为P （X ＝1）＝＝；P （X ＝）＝＝；P （X ＝2）＝＝；P （X ＝）＝＝；（2）设A （a ，b ）和B （c ，d ）是从M n 中取出的两个点， 因为P （X ≤n ）＝1﹣P （X ＞n ），所以只需考虑X ＞n 的情况， ①若b ＝d ，则AB ≤n ，不存在X ＞n 的取法； ②若b ＝0，d ＝1，则AB ＝≤，所以X ＞n 当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．。

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20１5年江苏省高考数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分,共计7０分)1．(5分）（201５•江苏）已知集合A=｛1,2，3},B＝{2,4,5},则集合A∪Ｂ中元素的个数为5 .考点: 并集及其运算.专题：集合．分析:求出A∪B,再明确元素个数解答:解：集合A={1,2,３}，Ｂ={２，4,5｝,则A∪B={1，2,3，4，5}；所以Ａ∪Ｂ中元素的个数为５；故答案为:５点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可，属于基础题2．(５分）（20１5•江苏)已知一组数据4，６，5，8，7，6,那么这组数据的平均数为6 ．考点：众数、中位数、平均数.专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据４，6，5，8,７,6，那么这组数据的平均数为：＝6.故答案为:6.点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.3.(５分）(２０1５•江苏）设复数ｚ满足z2＝3+４ｉ(ｉ是虚数单位),则ｚ的模为.考点：复数求模.专题: 数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解:复数z满足z２＝3+４i,可得｜z||z|＝|3+４i｜==５,∴|ｚ|=.故答案为：.点评:本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力. ４．(5分)（2015•江苏）根据如图所示的伪代码,可知输出的结果Ｓ为7 .考点：伪代码．专题: 图表型;算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当Ｉ=10时不满足条件I＜8，退出循环,输出S的值为7.解答:解：模拟执行程序,可得S=1,I=1满足条件Ｉ＜8,S=３,I=4满足条件I＜８，S=５，Ｉ＝7满足条件Ｉ＜８，S=7,I＝10不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为７．故答案为:7.点评:本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5.（5分）（201５•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式.专题: 概率与统计．分析：根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可.解答:解：根据题意，记白球为A，红球为B,黄球为C1、C2，则一次取出2只球,基本事件为ＡB、ＡC1、AC2、BC1、BC２、C１C２共6种，其中２只球的颜色不同的是AB、AＣ１、AＣ2、BＣ1、BC2共5种;所以所求的概率是Ｐ=．故答案为:.点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目.６．（５分)（20１5•江苏)已知向量＝(2，１)，=(1,﹣2），若m+n=（９，﹣8）（ｍ，n∈R)，则m﹣n的值为﹣3.考点: 平面向量的基本定理及其意义.专题: 平面向量及应用.分析：直接利用向量的坐标运算,求解即可．解答：解:向量=(２，1）,=（1，﹣2），若m+n=(9，﹣8)可得,解得ｍ=2，n=5，∴ｍ﹣ｎ=﹣3．故答案为：﹣3．点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用，考查计算能力．７．(5分）(２0１5•江苏)不等式2<4的解集为(﹣１,2) ．考点: 指、对数不等式的解法．专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答:解；∵2＜4，∴x2﹣x<２，即ｘ2﹣ｘ﹣2＜0,解得：﹣１＜x＜2故答案为：(﹣1,2)点评:本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.8.(5分)（２０15•江苏)已知tanα＝﹣2,tan（α+β）=，则taｎβ的值为3.考点: 两角和与差的正切函数.专题：三角函数的求值．分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可．解答：解:tanα＝﹣2,tan(α+β）=,可知tan(α+β）==,即=,解得tanβ=3．故答案为：3.点评:本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.９.（5分)（2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径ｒ，求出体积，由前后体积相等列式求得ｒ.解答:解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得:．故答案为:．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题．10.（５分）（20１5•江苏)在平面直角坐标系xOy中，以点（1,0)为圆心且与直线mx﹣ｙ﹣2ｍ﹣1=0(ｍ∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(ｘ﹣1)2+y2＝２．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题: 计算题；直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离ｄ的最大值，即可求出所求圆的标准方程.解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2．故答案为：（ｘ﹣1)2+y2=2.点评:本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础．11．（5分)(2０１5•江苏）设数列{ａn}满足a1=1，且a n＋1﹣ａn=ｎ＋1（n∈N*),则数列｛}的前10项的和为.考点: 数列的求和；数列递推式.专题: 等差数列与等比数列.分析:数列{ａn}满足a1=1，且a n＋１﹣ａｎ=n+1（ｎ∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=１,且a n+1﹣a n＝n+1(n∈N*),∴当n≥2时,aｎ=（ａn﹣a n﹣1)+…+(ａ2﹣a1）+ａ1＝+n+…＋2+1=.当n＝1时，上式也成立,∴a n=.∴=2．∴数列｛}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为.故答案为：.点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.１２.（5分)(2０15•江苏）在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣ｙ２=１右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于ｃ恒成立，则实数c的最大值为.考点：双曲线的简单性质．专题: 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：双曲线x2﹣y2＝１的渐近线方程为x±y＝0，c的最大值为直线x﹣y+1=０与直线x﹣ｙ=0的距离．解答:解：由题意,双曲线ｘ2﹣ｙ2=１的渐近线方程为x±y＝0,因为点P到直线ｘ﹣y+1=０的距离大于ｃ恒成立,所以c的最大值为直线ｘ﹣y＋1=０与直线x﹣y=0的距离，即.故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础．13．(5分)(2015•江苏）已知函数f（ｘ）=|lｎｘ|,ｇ(x)=,则方程|f（ｘ)+g(x）｜=1实根的个数为4.考点：根的存在性及根的个数判断．专题: 综合题;函数的性质及应用.分析:：由|f(x)+ｇ(x)｜=1可得g（x)＝﹣f（ｘ)±1,分别作出函数的图象，即可得出结论. 解答：解：由|f（x)+g(x）|=１可得ｇ(x)=﹣f（x)±1．g(x）与h(x)=﹣f(x）＋１的图象如图所示，图象有两个交点;g(x)与φ（ｘ)＝﹣f（x）﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f(x)+g(ｘ)|＝1实根的个数为4．故答案为：4．点评：本题考查求方程｜f(x)+g(x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.1４.（５分)(２０１5•江苏)设向量=（cos，ｓｉn＋ｃｏs)（k=０,１，2，…，1２)，则(a k•a k+１）的值为．考点: 数列的求和.专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用.分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.解答:解:=+=++++=++=++，∴（aｋ•ａk+1）=＋＋+＋+++…＋+＋＋+＋+…+＝＋0+0=.故答案为：9．点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(1４分）（2015•江苏)在△ABC中,已知AB＝2，AC=３,Ａ=60°.(1）求BC的长;（２）求siｎ2C的值．考点: 余弦定理的应用;二倍角的正弦．专题：解三角形．分析：(1)直接利用余弦定理求解即可．（2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答：解:（1）由余弦定理可得：BＣ2=AB２+AC２﹣2AB•ACｃｏsA=4+８﹣2×２×3×=7，所以BC=.(2）由正弦定理可得：,则ｓinＣ=＝=,∵AB<BC，∴C为锐角，则ｃoｓＣ＝=＝．因此sｉｎ2Ｃ=2ｓinCcosC=2×=.点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．1６.(14分）(2015•江苏）如图，在直三棱柱AＢC﹣A1B１C1中,已知AC⊥BC，BＣ=ＣC１，设AB1的中点为Ｄ,B１C∩ＢＣ１＝E．求证:（1)DE∥平面AA1Ｃ1C;(2)BＣ１⊥AＢ１．考点: 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.专题：证明题;空间位置关系与距离．分析：(1)根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AＡ1Ｃ１C;（2)先由直三棱柱得出CC１⊥平面AＢC,即证ＡC⊥ＣC１；再证明ＡC⊥平面BCＣ1B1,即证ＢC1⊥ＡC；最后证明ＢC1⊥平面B1AC，即可证出ＢC1⊥AB1．解答：证明:（1）根据题意,得;Ｅ为B1C的中点,Ｄ为AB1的中点，所以ＤE∥AC;又因为ＤE⊄平面ＡＡ1C1C,AC⊂平面AＡ1Ｃ1C，所以DＥ∥平面AA1C1C;(2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC,所以AＣ⊥ＣC1；又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1Ｂ１,BC⊂平面ＢCC1B1,BC∩CＣ1=C,所以ＡC⊥平面ＢＣC1B１；又因为ＢC1⊂平面平面BＣC1B1,所以BC１⊥ＡC;因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形，所以ＢC1⊥平面B1AＣ;又因为AＢ1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评:本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.17.（14分)(２015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l１,ｌ2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l，如图所示，M，Ｎ为C的两个端点，测得点M到ｌ1，l２的距离分别为5千米和４0千米，点N到ｌ1,l2的距离分别为20千米和２．5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xＯy，假设曲线Ｃ符合函数y=（其中a，ｂ为常数）模型.(１）求ａ,ｂ的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域;②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度.考点: 函数与方程的综合运用．专题: 综合题;导数的综合应用．分析：(1）由题意知,点M，N的坐标分别为(5，40）,（20,2.５),将其分别代入y＝，建立方程组，即可求ａ,b的值;(2)①求出切线l的方程，可得A，B的坐标,即可写出公路ｌ长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②设g(t）=，利用导数，确定单调性,即可求出当t为何值时，公路ｌ的长度最短,并求出最短长度.解答：解：（1)由题意知，点M,N的坐标分别为（5,40)，(2０,2.5),将其分别代入y＝,得,解得，（２）①由（1)y=（５≤x≤2０),P（t,),∴y′＝﹣,∴切线l的方程为y﹣＝﹣（x﹣t)设在点Ｐ处的切线l交x，ｙ轴分别于A,B点，则A(,0),B（0,),∴f(t）==，t∈［5，2０];②设ｇ（ｔ)=，则g′(t)=2t﹣＝０，解得t=１０,ｔ∈（5，10)时,ｇ′（ｔ)＜０,g(t)是减函数；ｔ∈(10,20)时,g′（t）>0,ｇ（ｔ）是增函数，从而ｔ=１０时，函数g(t）有极小值也是最小值,∴g（t）ｍin＝３0０,∴f(t)min=１5，答：t＝10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用,确定函数关系，正确求导是关键.1８.(16分）（201５•江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1（ａ>b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为３.(1）求椭圆的标准方程；（2）过Ｆ的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AＢ于点P，C,若ＰＣ=２AB,求直线ＡB的方程．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：(１）运用离心率公式和准线方程，可得a，ｃ的方程,解得a，c，再由a,b，c的关系，可得b,进而得到椭圆方程;(２)讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程．解答:解：（1)由题意可得,ｅ==,且c+=3，解得c=1,a=,则b=1，即有椭圆方程为＋ｙ２=１；（2）当ＡB⊥x轴,AB＝，CP＝3，不合题意；当AB与x轴不垂直,设直线AＢ：y=ｋ(ｘ﹣1)，A（x1,ｙ1),B（x２，y２），将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2）x2﹣４ｋ2x+2（k2﹣1)＝0,则x１+x2＝,ｘ１x２=，则C（,),且|AB|=•=，若k=0,则AB的垂直平分线为ｙ轴，与左准线平行,不合题意;则k≠0,故ＰC:y+＝﹣(x﹣），P（﹣2,),从而|PC｜=,由｜PＣ|=2｜AB|,可得=,解得k=±1，此时AB的方程为y＝x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.19.(１６分)(201５•江苏)已知函数f(x）=x3+aｘ2+b(ａ，b∈R）．（１）试讨论f(x)的单调性；（2)若b=ｃ﹣a（实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,ａ的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1，)∪（,＋∞)，求c的值．考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理．专题: 综合题;导数的综合应用.分析：(１)求导数，分类讨论，利用导数的正负,即可得出ｆ(x）的单调性；（2）由（1）知,函数f(x）的两个极值为f（0）=b，ｆ(﹣）=+ｂ,则函数f（x）有三个不同的零点等价于f(０)f(﹣）=b（+b)＜0,进一步转化为a>0时,﹣ａ＋c＞0或a<0时,﹣ａ+c＜０．设g(a)＝﹣a＋c,利用条件即可求c的值. 解答:解:(1）∵f(x)=x3+ａx2+b,∴f′（x)=3x2+2ax，令f′（x)=0，可得x＝0或﹣.a=０时,f′（x)＞0,∴f（x)在（﹣∞，+∞）上单调递增；a>0时,x∈（﹣∞，﹣）∪(０，+∞)时，ｆ′（x)>0,x∈（﹣，０)时,ｆ′（ｘ）<0,∴函数f(x）在(﹣∞，﹣）,（０，+∞）上单调递增,在(﹣，0）上单调递减;a＜0时,x∈(﹣∞，0）∪（﹣,+∞）时，f′（ｘ）＞0,x∈(0，﹣)时，f′（x)＜０，∴函数f(ｘ)在（﹣∞，０），（﹣,＋∞)上单调递增,在(０，﹣)上单调递减;(2）由（1)知,函数f（x）的两个极值为f(0)=b,f(﹣）＝+b,则函数f（x)有三个不同的零点等价于ｆ(０）f(﹣）=b（+b）＜0,∵b=c﹣ａ,∴a>０时,﹣a+ｃ>0或a<0时,﹣a＋c<０．设g（a）=﹣a+c,∵函数f（x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1,）∪(,+∞)，∴在(﹣∞，﹣３）上，ｇ（a)<0且在(1,）∪（，+∞)上ｇ(a）＞0均恒成立，∴g（﹣３)＝c﹣１≤０,且g（）=c﹣1≥０，∴c=1,此时ｆ（x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+（a﹣1）ｘ+１﹣a]，∵函数有三个零点,∴x２+（a﹣１）x+1﹣ａ=0有两个异于﹣１的不等实根，∴△＝(a﹣1）２﹣４(１﹣a）>０，且（﹣1）2﹣(a﹣１）＋1﹣a≠0,解得ａ∈（﹣∞,﹣３）∪(1，)∪(,+∞）,综上c＝1．点评：本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性，考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.20.(１6分）（2０1５•江苏）设a1，ａ2,a3.a4是各项为正数且公差为d(ｄ≠0)的等差数列．（１)证明:2，2，２,2依次构成等比数列；（2)是否存在ａ1,d，使得a１,ａ22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由；(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2ｎ+k，a3n＋2k，a4ｎ＋3k依次构成等比数列?并说明理由.考点: 等比关系的确定;等比数列的性质.专题：等差数列与等比数列．分析：(１)根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2)利用反证法，假设存在a1,d使得a1，ａ22，a3３,a４４依次构成等比数列，推出矛盾,否定假设，得到结论；（３）利用反证法，假设存在a１,ｄ及正整数n,k,使得a1n,a2n+k，a3n+2k,ａ4ｎ+３k依次构成等比数列,得到ａ1n(ａ１＋2ｄ)n+2k=(a1+２d）2（n+k）,且（a1＋ｄ)n+k(a1+3ｄ)n+3k=（a1+2ｄ）2(n+2k）,利用等式以及对数的性质化简整理得到ｌn（1+3t)ｌn(１+２t)＋3lｎ（1+２t)lｎ(1+t）＝4lｎ（1＋3ｔ）ln（１+ｔ),（**)，多次构造函数,多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立.解答:解:(1）证明:∵==2d，（n=1,2，３,）是同一个常数,∴2，2，2,2依次构成等比数列;（2）令a1+d=a，则a1，a2,a3,ａ４分别为a﹣d，ａ，a+d，ａ+２d（a＞d,a＞﹣2d，d≠0）假设存在ａ1,d使得a1,ａ2２，ａ3３,ａ44依次构成等比数列,则a4＝(a﹣d)(a+d)3,且(ａ+ｄ)6=a2(a+2d)4,令t=,则１=(1﹣t)（１+t)3，且(1+t）6=（１+2ｔ)4,(﹣<t＜１,t≠０),化简得t3+２t2﹣2=0(*）,且ｔ2=ｔ+1，将t2=t+1代入(*）式,t(t+1)+２（ｔ+1)﹣2=t２＋3t=t＋１+３ｔ＝４ｔ＋1＝0，则t=﹣,显然t＝﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1,d，使得a1,a22，a３3,a4４依次构成等比数列.（３）假设存在ａ１，d及正整数ｎ，k,使得a１n,ａ２n+ｋ，a3n+2ｋ,a４n+3k依次构成等比数列，则ａ1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d)2(ｎ+k),且（a1+ｄ）n＋k（ａ１+３ｄ)n＋3k=(a1＋２d）2(n＋２k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+ｋ),a12（ｎ＋2k)，并令t=，(t＞,ｔ≠0）,则(１+２t）n+２k=(１＋t)２(n+k），且(1+t)n+k（1+３t）n＋３k=(1+２t)2(n+2k)，将上述两个等式取对数,得(n+2ｋ)lｎ（1＋2t)=2(n＋k）ｌｎ（１+t）,且(ｎ+k)ln（１＋t）＋（n+３k)ln（1+3t）＝2（n+2ｋ）ln（1+2ｔ），化简得，２ｋ［ln(１+２t）﹣ln(1+t)]=n［2ｌn（1＋ｔ）﹣ln(1+2t）]，且３ｋ[ln（1+３t）﹣ｌn(1+t)]＝n［3ln（1+t）﹣lｎ（１+3t)］,再将这两式相除,化简得,ln(1＋３t）ln(１+2t)+3ｌn(1+2t）ln(1+ｔ)=4ｌn（1+３t)ｌn（1+t)，（**)令g（t)=4ln（1+3ｔ)ln(１+t）﹣ｌn(１+3t)ln(1+2t)+3ln（1+2t）ln(1+ｔ）,则g′(t)＝[(1+3t）2ln（1+３t)﹣3(1+2ｔ）2ln(1+2t）+３(1+t）2ｌｎ（１+t）］,令φ(ｔ）=（1+3t）2ｌｎ（1＋3t)﹣3(1+2ｔ）2ln(1+2t)+3(1＋ｔ）２ln（1+t),则φ′（ｔ)=６[（1+3ｔ）ln（1+3t)﹣2（1+２t）lｎ（1+2t)＋3（1+t）ｌn（1＋t）］，令φ１（t）=φ′(t），则φ1′（t)＝6[3ｌn(１+3t）﹣4lｎ(1+2ｔ）+ln（1+ｔ）],令φ2（ｔ)＝φ1′(t），则φ２′(t）=>0，由g（0)＝φ（0）＝φ1（0)＝φ2(0）=0,φ2′（t)＞0,知g(t),φ(t）,φ1(t）,φ2（t）在（﹣，0)和（0,+∞）上均单调，故g(t)只有唯一的零点t=0，即方程(＊*）只有唯一解t=0,故假设不成立,所以不存在a1，d及正整数ｎ,ｋ，使得ａ1ｎ，ａ2ｎ＋ｋ,a３ｎ+2k,a4n+３k依次构成等比数列. 点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-２4题,请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】２1.（10分）（２0１5•江苏)如图,在△ABＣ中,AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交B Ｃ于点Ｄ．求证：△AＢD∽△AEB．考点：相似三角形的判定.专题: 推理和证明．分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似.解答:证明:∵AB＝ＡC，∴∠ABD=∠Ｃ，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠ＢAE是公共角，可知：△ABD∽△AEＢ.点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2：矩阵与变换】２2.(1０分）（2０１5•江苏)已知x,ｙ∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题: 矩阵和变换.分析:利用Ａ=﹣2,可得A＝，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.解答：解：由已知,可得A=﹣2,即=＝，则，即，∴矩阵A=,从而矩阵Ａ的特征多项式f(λ)＝（λ+2)(λ﹣1)，∴矩阵A的另一个特征值为1.点评:本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】２3．(2０15•江苏）已知圆Ｃ的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4＝0,求圆C的半径.考点：简单曲线的极坐标方程.专题: 计算题；坐标系和参数方程.分析：先根据x=ρｃoｓθ,y＝ρsinθ,求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2＋２ρsin(θ﹣）﹣4=0,可得ρ2﹣２ρcoｓθ+2ρsｉnθ﹣4=０，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＋２y﹣4=0,化为标准方程为(ｘ﹣1）２＋（y+1)2=6，圆的半径r＝．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcｏsθ,y=ρsinθ,比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（201５•江苏）解不等式x+|2x+３|≥2．考点: 绝对值不等式的解法.专题: 不等式．分析：思路１(公式法）:利用|f(x)｜≥ｇ(ｘ）⇔ｆ(x）≥ｇ(x），或f(x）≤﹣g（ｘ)；思路2（零点分段法)：对ｘ的值分“ｘ≥”“x＜”进行讨论求解.解答:解法１：x+|2x+3|≥2变形为｜2x＋3|≥２﹣x,得2x+３≥2﹣x,或2x＋3≥﹣(2﹣x),即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法２：令|2ｘ+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x＋（２x+3)≥2,即x≥,所以ｘ≥；②x＜时，原不等式化为x﹣(2x+３）≥2,即x≤﹣５，所以x≤﹣5.综上，原不等式的解集为{x｜x≥，或x≤﹣5｝.点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：｜f（ｘ）｜≥g（x）⇔f（ｘ）≥g（x)，或f(ｘ)≤﹣g(ｘ）;|f（x）|≤ｇ（x）⇔﹣g（ｘ)≤f(ｘ)≤g（x).可简记为：大于号取两边,小于号取中间．使用零点分段法时,应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题１0分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤2５．（10分）(２01５•江苏）如图,在四棱锥P﹣ＡBCＤ中，已知PA⊥平面ＡBＣＤ，且四边形AＢCD为直角梯形，∠ABC＝∠ＢAD=,ＰA=AD＝2,AB=BＣ=1．(1)求平面PＡB与平面PＣＤ所成二面角的余弦值；(2）点Ｑ是线段ＢP上的动点,当直线ＣQ与DＰ所成的角最小时,求线段BQ的长.考点: 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题: 空间位置关系与距离;空间角.分析:以Ａ为坐标原点,以ＡＢ、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（１)所求值即为平面ＰAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可；(2)利用换元法可得cos2<，>≤,结合函数y=cｏsx在(0,)上的单调性,计算即得结论．解答:解：以Ａ为坐标原点，以AＢ、ＡD、AＰ所在直线分别为x、y、z轴建系Ａ﹣ｘyz如图,由题可知B（１，０，0),C(１，1，0)，Ｄ（０，2,０)，P(0,0,２).(1）∵AD⊥平面PＡB,∴=（0,2,０），是平面PAＢ的一个法向量,∵=(1,1,﹣２),=(０，2，﹣2）,设平面PCD的法向量为=（x,y，z),由,得,取y=1,得=（1，１,1）,∴ｃoｓ<,＞=＝，∴平面PAB与平面PＣＤ所成两面角的余弦值为；(２）∵=（﹣１,０,２)，设=λ＝(﹣λ,0，2λ)(0≤λ≤1),又＝（０,﹣1，０)，则=+＝(﹣λ,﹣1,２λ)，又＝(0,﹣２，2),从而cos＜,＞==，设1+2λ＝t,t∈[１，3],则coｓ２＜,＞=＝≤，当且仅当t=，即λ＝时，|cos<，＞|的最大值为,因为y=coｓx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=.点评:本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累，属于中档题．２6．（1０分）（20１5•江苏）已知集合X=｛１,2,3},Y n={1,2,３，…,ｎ)(ｎ∈N*)，设S n＝{(a，b)｜a整除ｂ或整除a，ａ∈X,B∈Y n}，令f(n)表示集合Sｎ所含元素的个数.（１)写出f（6)的值;（2)当n≥6时,写出ｆ（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点: 数学归纳法.专题：综合题;点列、递归数列与数学归纳法．分析:（1）ｆ(6）=６+2＋+=１3;（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答:解:(１）ｆ（６）＝6+2++=1３；(２）当ｎ≥6时,ｆ（n）＝．下面用数学归纳法证明：①n＝6时，f（６）=6+2++＝13,结论成立；②假设n=k（k≥6）时,结论成立，那么n=k+1时,S k+1在Sｋ的基础上新增加的元素在（1,k+1),（２，k+1)，(3，k+1）中产生,分以下情形讨论:1）若k+1＝6t，则k=6（t﹣1)＋５，此时有f(k+1）=f(ｋ)+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+１=6t+1，则ｋ=６t＋1,此时有ｆ（ｋ＋1）=ｆ（ｋ）+1=ｋ＋２+＋＋１=（k+1）+2＋+，结论成立;3)若k＋1=６ｔ＋２，则k＝6t+１，此时有ｆ(ｋ+1)=f(k）+２＝k+２＋+＋2＝（ｋ＋1)+2＋＋，结论成立；4）若k+1=6t+3，则ｋ=6t+2，此时有f(k＋１)=ｆ（k）+2=k+２＋+＋2=（k+1）+２+＋，结论成立；５）若k+１=6t+4,则k=6t+３,此时有f（ｋ＋1)=f（k）+2=k+2++＋2=(k+１）＋2++，结论成立；６）若ｋ＋１=６t+５，则ｋ=6t+4，此时有f（k+1)=f（k）+２=k+2＋++２=(k+1)+2+＋,结论成立.综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评:本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键.ﻬ2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共1４小题，每小题5分,共计7０分）１．(5分）（2０１5•江苏)已知集合Ａ={１,２,３｝，B=｛２，4,5}，则集合Ａ∪B中元素的个数为.２.（5分)（2015•江苏）已知一组数据４,6,5，8，７,6,那么这组数据的平均数为．3．（５分)（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位)，则z的模为. ４．(5分）(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.5．(５分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球,其中１只白球、１只红球、２只黄球，从中一次随机摸出２只球,则这2只球颜色不同的概率为．6.(５分)（2０１5•江苏）已知向量＝(2,1)，=（1，﹣２）,若m+n=（9，﹣８）（m,n∈R），则m﹣ｎ的值为．７．（5分)(201５•江苏)不等式2＜4的解集为.8.（5分)（2015•江苏）已知tanα=﹣2,tan（α+β)＝，则taｎβ的值为.9.（5分)(2０15•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.10.（5分）（2０１5•江苏）在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mｘ﹣ｙ﹣２m﹣1＝０(m∈Ｒ)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.1１.（5分)(２01５•江苏）设数列{aｎ}满足a1=１,且aｎ+1﹣a n=n+1（n∈N＊)，则数列{}的前10项的和为．12．(５分)（2015•江苏）在平面直角坐标系ｘOy中，P为双曲线ｘ2﹣y2=１右支上的一个动点,若点Ｐ到直线x﹣y＋１＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.13．（5分)(２015•江苏）已知函数f(ｘ）=|lｎx|，ｇ（x)=，则方程|ｆ（x)＋g(x）｜=1实根的个数为.14．(５分）(２015•江苏)设向量=（cos，sin+cｏs)(k=0,１，2，…,12），则(ａk•ａk+1)的值为.二、解答题(本大题共6小题,共计９0分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(14分）（2015•江苏)在△ABC中，已知AＢ=2，ＡＣ=3,Ａ=60°.(１）求BＣ的长；（2）求sｉn２C的值．16.(14分)（２0１5•江苏)如图，在直三棱柱AＢC﹣A１B1C1中,已知AC⊥BC,ＢC=CＣ1，设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(１)DE∥平面AA1C１C；（２）BC1⊥ＡＢ1．1７．（14分)（２０１5•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为ｌ1，ｌ２,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示，M，Ｎ为C的两个端点，测得点M到ｌ1，l2的距离分别为5千米和４0千米,点N到l1，l2的距离分别为20千米和2．5千米，以l2，l1在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系xOｙ，假设曲线C符合函数ｙ=(其中a,ｂ为常数）模型.（1）求a，b的值;(2）设公路l与曲线Ｃ相切于Ｐ点，Ｐ的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f(ｔ）,并写出其定义域；②当ｔ为何值时,公路ｌ的长度最短?求出最短长度.１8.（16分）（20１5•江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆＋=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.（1)求椭圆的标准方程;（2)过Ｆ的直线与椭圆交于Ａ，Ｂ两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点Ｐ,C,若PC＝2ＡB,求直线AB的方程．19．（1６分)（20１５•江苏）已知函数f（ｘ）=x3+ax2+b（a,b∈Ｒ)．（1）试讨论f（ｘ)的单调性;(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x）有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是（﹣∞,﹣3)∪（1，)∪(,+∞）,求ｃ的值．20．（16分）（20１５•江苏）设a1,ａ２，a3.a４是各项为正数且公差为ｄ（ｄ≠0)的等差数列．（1）证明：2，２,２,2依次构成等比数列；（２）是否存在ａ1，ｄ，使得a1，a2２,a33，a４4依次构成等比数列？并说明理由；(3）是否存在ａ1,d及正整数n，k,使得ａ1n,a2ｎ+k,a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括2１－２4题,请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修４-1：几何证明选讲】2１.（10分)(2０1５•江苏)如图，在△AＢＣ中，AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△AＢＤ∽△AEB.【选修4－２：矩阵与变换】２2.(10分)（２015•江苏)已知ｘ,y∈Ｒ，向量=是矩阵的属于特征值﹣２的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.【选修4-4：坐标系与参数方程】２３.（201５•江苏)已知圆Ｃ的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣)﹣4=０,求圆C的半径．［选修4－５：不等式选讲】24.（20１5•江苏）解不等式ｘ+|2x+3|≥2．【必做题】每题1０分,共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（２０15•江苏)如图，在四棱锥P﹣AＢCD中，已知PＡ⊥平面ABＣＤ,且四边形AＢＣD为直角梯形，∠AＢC=∠ＢＡD＝,PＡ=ＡD=2,AB＝BC=１.（1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;（2)点Ｑ是线段ＢP上的动点,当直线CＱ与DP所成的角最小时,求线段ＢＱ的长．２6.(１0分）(2015•江苏)已知集合X＝{1，2，３}，Ｙｎ={1，２，３,…，n）(n∈N＊）,设S n={（a，b）｜a整除b或整除a，ａ∈X，Ｂ∈Yｎ},令f(n)表示集合Sｎ所含元素的个数.(1）写出f(6)的值；（2）当ｎ≥６时,写出f(n）的表达式，并用数学归纳法证明.。

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