二项分布
一、二项分布的背景以及概率计算的简单介绍。
例：用淋菌培养方法，检查患者是否患有淋病。该检查方法没有假阳性，只有假阴性。对于淋病患者，若用该方法检查一次的检出率为
0.8，问：
1)重复检查3次，检查结果均为阴性的概率是多少？
P=(1-0.8)3=0.008
2)重复检查3次，检查结果中最少是阳性的概率是多少？
P＝1-(1-0.8)3=0.992
4) 检查4个患者，每人检查一次，第一个患者和第二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？
P=0.820.22=0.0256
5) 检查4个患者，每人检查一次，其中二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？
其中2
C为4个患者中有2个阳性的各种不同情况总数。
4
在医学上，经常需要研究或观察这样一类现象：其结果只有两种可能：如：抢救急性心肌梗塞患者，其结果可分为：抢救成功或失败
如：检查幽门螺杆菌(HP)：＋或－。
上述类似研究中，我们把观察或治疗一个研究对象统称为一次试验(在上例中，把检查一个患者是否阳性视为一次试验)。 如果研究背景满足下列条件：
1)每次试验的可能结果(Outcome)仅为两种(视为成功或失败，在上例中阳性或阴性)。
2)定义试验中其中一个可能的结果成功，另一种可能的结果为失败(在上例中把检查结果为阳性可视为成功，检查结果为阴性为失败)。
3)每次试验的条件相同。每次试验成功的概率为π，失败的概率为
π-1(在上例中把检出阳性的概率为π＝0.8，检查阴性的概率为π-1=0.2)。
3)试验次数为n(上例中n=4)。
则在n 次试验中，有X 次成功的概率(在上例中，4个患者检查，即：n=4;有x 个患者为阳性的)为
X n X X n X
x n
)1()!
x n (!x !
n )1(C )x (P --π-π-=π-π=。n ,,2,1,0x =。
并记为X ～B(n,π)
例：英语测试时，每道题有4个答案选择，随机选择答案，每道题正确的概率为0.25，问(1)做8道题，正好有2道题正确的概率是多少？(2)做20道题，正好有5道题正确的概率是多少? 解：(1)n=8，π＝0.25，311462.075.025.02
7
8)2X (P 62=?=
= (2)n=20，π=0.25，202331.075.025.05
432116
17181920)5X (P 155=????????=
= 二、二项分布的图形。(见P190)
三、服从二项分布的变量X 的均数和标准差。
变量X 所对应的总体均数为n π，总体的标准差为)1(n π-π。 四、平均发生率P 的均数和标准差。
对于统计研究中，往往需要了解发生率π。由于π往往是未知的，通常计算平均发生率n
X
p =
估计总体发生率π，平均发生率对应的总体均数为πμ＝p 以及标准误为n
)
1(p π-πσ＝
。对应的样本标准误为n
)
p 1(p S p -=
。 例：某医院治疗了50个HP ＋的患者，35个患者转阴，请计算样本转阴率和样本标准误(把治疗一个HP ＋患者视为一次试验，治疗50个患者，视为50次试验，把患者通过治疗后转阴的结果视为试验成功)。
解：转阴率7.050
35
P ==
, 转阴率的标准误0648.050
)
7.01(7.0S p =-=。 五、大样本时，二项分布的总体发生率π的95%可信区间计算。
性质：设X 服从二项分布B(n,π)，n π>5以及n(1-π)>5，当n 充分大时，则π≈P 且P 近似服从正态分布，因此
p s n
)P 1(P n )1(=-≈π-π=σπ
则π的95％可信区间(95%CI)为p 1.96S P ± 即： π的95%CI 为)1.96S P ,1.96S (P P P +-
例：调查了1000名男性，检查出10名男性是色盲的，试求色盲患病率的95％可信区间。 解：色盲样本患病率01.01000
10
P ==
，n=1000。因此nP 与n(1-P)均大于5以及n 也充分大，003146
.01000
)
01.01(01.0=-?=P S ，所以95％CI 为：
(0.01-196×0.003146，0.01+1.96×0.003146)=(0.003834，0.016166)。 六、样本量较小时，计算比较复杂，因此建议查本书附表7(百分率的
可信区间)
例：治疗25个HP ＋患者，12个患者转阴，求转阴率的95％可信区间:
解：n=25，X ＝12，查附表7，95%CI=(0.28，0.69)
例：某医院抢救20个AMI 患者，14个抢救成功，求抢救成功率的95%CI 。
解：由于X 仅列出n/2的可信区间，不能直接查表求95％CI 。本例n=20，6个抢救未成功，故可查未成功率1-π的95%CI 为： 0.12<1-π<0.54，因此-0.12>π-1>-0.54，所以
0.88=1-0.12>π>1-0.54=0.46，即：95％CI 为(0.46，0.88)。 七、二项分布的正态近似问题。大样本时 样本发生率X
P n
=
近似服从正态分布(5>πn 且5)1(>π-n ，且n>40)。
X Z π-==近似服从标准正态分布N(0,1) 其中样本发生率n
X
P =
。 例：用传统的治疗方案治疗HP ＋患者的治愈率为0.8。某研究用一种新的治疗方案治疗了100个HP ＋患者，治愈了90个，问：用新的治疗方案的治愈率是否高于传统的治疗方案？ 解：用新的治疗方案的样本治愈率9.0100
90
==
P H 0：新的治疗方案的总体治愈率8.0=π vs H 1:8.0≠π
5808.0100>=?=πn 且5202.0100)1(>=?=π-n 且
n=100>40，故可用
正态分布进行近似。
5.204.01
.0100
2
.08.08.09.01002.08.08.0==?-=?-=
P U ，对于05.0=α，U 0.025=1.96
U> U 0.025，差别有统计意义，P<0.05。
结论：新的治疗方案的治愈率高于传统治疗方案的治愈率，差别有统计意义，P<0.05。
八、小样本时，样本率P 与总体率π的比较。 直接计算：
例：根据以往经验，一般的溃疡病患者的人群HP ＋的患病率为30%。某医院在某社区随机检查了10名25岁以下的溃疡病患者，
有1个溃疡病患者的HP ＋。问：该地溃疡病患者的HP ＋率是否为30％？
解：n=10，用X 表示10个中有HP ＋的患者个数。则X 服从二项分布。若π0＝0.30为真，则X 的总体均数n π0=10×0.3=3。 H 0：π=0.3 vs H 1:π≠0.3。
样本值X 0=1，若H 0：π=0.30 为真，则
对应的概率为121061
.0)7.0(3.0)1(91
10===C X P 若X ＝1属于小概率事件，概率小于0.121061的事件均属于小概率事件，并属于拒绝域。因此
P 值＝所有那些概率1)P(X =≤的事件的概率之和。 由下列计算可知：
那些概率1)P(X =≤的事件有X=0，10，9，8，7，6，5；反之那些概率1)P(X =>的事件有X=2，3，4。因此
P 值=P 0+P 1+P 10+P 9+P 8+P 7+P 6+P 5
=0.028248+0.121061+0.00000595+0.000138+0.001447+0.009002+0.036757+0.102919
=0.299578
也可以这样计算：
P 值=1-(那些概率1)P(X =>的事件的概率) =1-(P 2+P 3+P 4)=1-0.233474-0.266827-0.200121=0.299578 九、两个样本率比较的U 检验问题。
当n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，n 1和n 2较大时，可以应用U 检验。
)n 1n 1)(
p 1(p p p u 2
1c c 2
1+--=
其中p c 为合并阳性率，即：2
12
1c n n X X p ++=
若n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，但n 1和n 2不是足够大时，用校正公式：
)n 1n 1)(
p 1(p 2
/)n /1n /1(|p p |u 2
1c c 2121+-+--=
例：现有二种治疗方案治疗高血脂症：用A 方案治疗120个高血脂患者，其中30个患者治疗有效；用B 方案治疗110个高血脂患者，其中45个患者治疗有效。问这两种治疗方案何种更好？ 解：H 0:π1=π2 vs H 1:π1≠π2
25.04030p ,120n 11==
=，409.011045p ,110n 22===,326.0110
12045
30p c =++= 因为n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，且n 1和n 2也较大，故用u 检验：
57.211011201
674.0326.0|409.025.0|u =?
?
? ??+?-=
，查附表2：t 检验表(v=∞)，
U 0.05=1.96，p<0.05
故可以认为B 方案的治疗有效率显著地高于A 方案的治疗有效率。
十、Poisson 分布的背景及其简单计算。
在医学上研究中，经常需要研究某一事件在一定的时间内发生的次数。如：24小时内发生早搏的次数；如：哮喘病患者在一年中发病的次数。在医院管理中，要考虑前来门诊的患者个数(把有一个患者前来门诊视为一个事件发生)。又如：无菌的水放在露天10分钟，细菌落到水里的个数等一些个体计数资料。这些现象可以用Poisson 分布的变量进行描述。
变量X 表示某一个事件在固定的一段时间内随机发生的次数。如果X 的总体平均发生次数为λ，则该事件发生k 次的概率为：
λ
-λ==e !
k )k X (P k ，x=0，1，2，3…。
例：某市平均交通事故3起/天。问：一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率是多少？
解：总体均数λ＝3，因此一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率为
4232.0e !
23e
3e
)2X (P )1X (P )0X (P )2X (P 3
23
3
=++==+=+==≤--- 十一、Poisson 分布的图形(见p199)
十二、Poisson 分布的总体均数和方差。可以证明：Poisson 分布的总
体均数为λ＝总体方差.
十三、Poisson 分布的可加性(再生性)。如果变量X 服从总体均数为
λ1的Poisson 分布，变量Y 服从总体均数为λ2的Poisson 分布，且X 与Y 独立，则X ＋Y 服从总体均数为λ1＋λ2的Poisson 分布 十四、二项分布与Poisson 分布的关系:
当二项分布资料中n 较大时，而且发生的次数非常稀少时(发生率π很小)，二项分布的概率计算可以用Poisson 分布公式近似。一般而言，稀有病例的发病例数在相同的时段内可以近似认为服从Poisson 分布。
例：已知饮用井水人群的肝癌的患病率为0.003。请问现在某地调查了20000个饮用井水的人，患肝癌的人数为9人的概率是多少？
60003.020000=?=λ，则P(X=9)的概率＝166********.2!
960--?=e 。
十五、Poisson 分布的正态近似计算。λ较大时，Poisson 分布迅速逼
近正态分布。见图
十六、Poisson 总体均数的估计及其95%可信区间计算。 若只有一个样本点，则X 可视为λ的点估计(即：样本均数) 区间估计：λ较小时，可查附表8：如：X=12，95％CI=(6.2，21)。 当λ>50时，可以用近似正态的方法计算可信区间:
X u X X u X αα+<λ<-
如：X=80，944.880=，80-1.96×8.944=62.470，80+1.96×8.944=97.53, 即：95%CI=(62.470，97.530) 十七、Poisson 分布的样本均数与总体均数的比较。 直接计算P 值：
例：已知接种某疫苗的严重反应率为0.001，现接种150个人，有2个人发生严重反应。问：该疫苗的严重反应率是否高于一般的疫苗严重反应率？
解：n=150，π0=0.001，n π0=μ=0.15，X －μ0＝2－0.15=1.85，由于X ≥0，
(用t 检验的图重复解释一下)所以|X-0.15|≥1.85，只有X －0.15≥1.85的解，即：X ≥2，因此做单侧检验：
H 0：μ=0.15 vs H 1：μ≥0.15，因此P 值为P(X ≥2)=1－P(0)－P(1)=1－e 0.15－0.15e 0.15=0.0102，所以拒绝H 0，并可以认为本批疫苗的严重反应率高于一般。 正态近似法：
当μ0≥20时，H 0成立时，0
X u μμ-=服从标准正态分布，故可以上
式进行总体均数检验。
例：已知人群的肝癌的患病率为0.03%，调查了10万个饮用灌溉沟水的人，共有50人患肝癌，问：饮用灌溉沟水的人的肝癌患病率是否高于0.1%？
解：X=50，n=100000，π0=0.0003，则μ0=n π0=100000×0.0006=30>20，所以可以用正态近似的方法进行检验：(由于饮用灌溉沟水一般不可能减少患肝癌的机会，故采用单侧检验。 H 0:μ=30 vs H 1: μ>30
652.330
3050u =-=
，查附表2(t 检验表，v=∞)，u>1.65，故可以认为：
饮用灌溉沟水的人肝癌患病率高于一般。
十八、Poisson 分布的两个样本均数比较的U 检验。
若两个样本均数X 1和X 2均大于20，可以用正态近似的方法进行检验对应两个总体均数是否相等。 观察单位相等的情况下：2
121X X X X u +-=
观察动物不相等的情况下，用除法将化大单位为小单位(因为：若X 服从Poisson 分布，则2×X 就不可能服从Poisson 分布。因为2×X 只能取到偶数)。
2
21121n /X n /X X X u +-=
例：调查100000个饮用灌溉沟水的人，患肝癌50人，调查150000个饮用河水的人，患肝癌65人，问饮用河水与饮用灌溉沟水的人的肝癌患病率是否不同。
解：因为单位不同，故选用5000人为单位，因此n 1=2，252/50X 1==，
n 2=3，67.213/65X 2==，即：样本均数均大于20，可以正态近似进行检验： H 0:μ1=μ2 vs H 1： μ1≠μ2
7498.03
/67.212/2567.2125u =+-=
，查附表2，P>0.05，故可以认为：饮
用河水和饮用灌溉沟水的人患肝癌患病率无显著性差异。
二项分布概念与图表和查表方法
二项分布概念及图表 二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。 目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例
）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述： 二项分布公式 二项分布公式 P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
二项分布
以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。
正面向上的平均次数为5次(μ= np=)，正面向上的散布程度为√10×（1/2）×（1/2)= 1.58(次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1.58。 图形特点 （1）当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； （2）当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。 注：[x]为不超过x的最大整数。 应用条件 1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。 2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。 二项分布公式 3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。 应用实例 二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。下面给出一个例子。 已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素?
二项分布
【模块标题】二项分布 【模块目标】★★★★★☆ 迁移 【模块讲解】 知识回顾： 1.定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n ???， 并且()() 1n k k k n P k C p p ξ?==?（其中0,1,2,,k n =???），即分布列为 ()n p B ，2.二项分布的期望与方差：若()n p B ξ ，，则()=E np ξ，()()1D np p ξ=? 【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星) <讲解指南> 一.题型分类： 1.二项分布基本概念题型； 2.根据二项分布求某一事件的概率；
3.根据二项分布求某一范围的概率； 4.根据二项分布求EX 、DX 及其变形； 5.根据EX 求概率 p 及某一事件的概率 6.根据EX 和DX 求np 二.方法步骤： 1.根据条件判断是否服从二项分布； 2.根据二项分布的性质列出相应的分布列 3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差； 三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。 <题目讲解> 例1. 下列随机变量ξ服从二项分布的是（ ）。 （1）随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； （2）某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； （3）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数 ()M N ＜； （4）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜ A. ()2 ()3 B. ()1 ()4 C. ()3 ()4 D. ()1 ()3 练1. 下面随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A 、据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65，设 在这一周内，某电脑从该网站下载数据n 次中被感染这种病毒的次数为 X B 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次
随机变量及其分布考点总结
第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(Λ=i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
二项分布概念及图表和查表方法
目录 1 定义 ?统计学定义 ?医学定义 2 概念 3 性质 4 图形特点 5 应用条件 6 应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望：
二项分布
二项分布 科技名词定义 中文名称：二项分布 英文名称：binomial distribution 定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。 所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科） 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片 二项分布 二项分布即重复n次的伯努里试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的,与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。 目录 概念 医学定义 二项分布的应用条件 二项分布的性质 与两点分布区别 编辑本段概念 二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努力试验（Bernoulli Experiment）, 用ξ表示随机试验的结果. 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重
复试验中发生K次的概率是 P(ξ=K)=Cn(k)P(k)q(n-k) 注意!:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布.. 其中P称为成功概率。 记作ξ~B(n,p) 期望:Eξ=np 方差:Dξ=npq 如果 1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的; 2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关; 3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验. 在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可 二项分布 以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率. 若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率 为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数. 编辑本段医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。 考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的
实验十三 二项分布的计算与中心极限定.
实验十三二项分布的计算与中心极限定 [实验目的] 1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件 2.检验中心极限定理 §1 引言 二项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概 率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k ,k=0,1,2,……..n.二项分布的 值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。 在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。 §2 实验内容与练习 1．1二项分布的Poisson逼近 用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。 联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。 我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。1）： LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k), {k,0,20}],PlotJoined->True] 图13.1 b(k;20,0.1) b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图 练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图 根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。 定理13。1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关. 如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,p k k e 。 由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有 b k;n.p c k n p k1p n k k k e
二项分布概念及图表和查表方法
目录 1定义 ?统计学定义 ?医学定义 2概念 3性质 4图形特点 5应用条件 6应用实例 定义 统计学定义 在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。 医学定义 在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。如果进行次伯努利试验，取得成功次数为 的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X) 二项分布公式 式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。 所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。 概念 二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。 二项分布公式 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p 证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。 设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n). 因X(k)相互独立，所以期望：
二项分布表
附录2 附表 附表1 二项分布表 0{}(1)x k n k n P X x p p k k ?=?? ≤=????? ∑ p n x 0.001 0.002 0.0030.005 0.01 0.02 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 2 0 0.9980 0.9960 0.99400.9900 0.9801 0.96040.94090.90250.81000.72250.6400 0.5625 0.4900 2 1 1.0000 1.0000 1.00001.0000 0.9999 0.99960.99910.99750.99000.97750.9600 0.9375 0.9100 3 0 0.9970 0.9940 0.99100.9851 0.9703 0.94120.91270.85740.72900.61410.5120 0.4219 0.3430 3 1 1.0000 1.0000 1.00000.9999 0.9997 0.99880.99740.99280.97200.93930.8960 0.8438 0.7840 3 2 1.0000 1.0000 1.00001.00000.99990.99900.99660.9920 0.9844 0.9730 4 0 0.9960 0.9920 0.98810.9801 0.9606 0.92240.88530.81450.65610.52200.4096 0.3164 0.2401 4 1 1.0000 1.0000 0.99990.9999 0.9994 0.99770.99480.98600.94770.89050.8192 0.7383 0.6517 4 2 1.00001.0000 1.0000 1.00000.99990.99950.99630.98800.9728 0.9492 0.9163 4 3 1.00001.00000.99990.99950.9984 0.9961 0.9919 5 0 0.9950 0.9900 0.98510.9752 0.9510 0.90390.85870.77380.59050.44370.3277 0.2373 0.1681 5 1 1.0000 1.0000 0.99990.9998 0.9990 0.99620.99150.97740.91850.83520.7373 0.6328 0.5282 5 2 1.00001.0000 1.0000 0.99990.99970.99880.99140.97340.9421 0.8965 0.8369 5 3 1.00001.00001.00000.99950.99780.9933 0.9844 0.9692 5 4 1.00000.99990.9997 0.9990 0.9976 6 0 0.9940 0.9881 0.98210.9704 0.9415 0.88580.83300.73510.53140.37710.2621 0.1780 0.1176 6 1 1.0000 0.9999 0.99990.9996 0.9985 0.99430.98750.96720.88570.77650.6554 0.5339 0.4202 6 2 1.0000 1.00001.0000 1.0000 0.99980.99950.99780.98420.95270.9011 0.8306 0.7443 6 3 1.00001.00000.99990.99870.99410.9830 0.9624 0.9295 6 4 1.00000.99990.99960.9984 0.9954 0.9891 6 5 1.00001.00000.9999 0.9998 0.9993 7 0 0.9930 0.9861 0.97920.9655 0.9321 0.86810.80800.69830.47830.32060.2097 0.1335 0.0824 7 1 1.0000 0.9999 0.99980.9995 0.9980 0.99210.98290.95560.85030.71660.5767 0.4449 0.3294 7 2 1.0000 1.00001.0000 1.0000 0.99970.99910.99620.97430.92620.8520 0.7564 0.6471 7 3 1.00001.00000.99980.99730.98790.9667 0.9294 0.8740 7 4 1.00000.99980.99880.9953 0.9871 0.9712 7 5 1.00000.99990.9996 0.9987 0.9962 7 6 1.00001.0000 0.9999 0.9998 8 0 0.9920 0.9841 0.97630.9607 0.9227 0.85080.78370.66340.43050.27250.1678 0.1001 0.0576 8 1 1.0000 0.9999 0.99980.9993 0.9973 0.98970.97770.94280.81310.65720.5033 0.3671 0.2553 8 2 1.0000 1.00001.0000 0.9999 0.99960.99870.99420.96190.89480.7969 0.6785 0.5518 8 3 1.0000 1.00000.99990.99960.99500.97860.9437 0.8862 0.8059 - 262 -
高中数学人教版 选修2-3(理科) 第二章 随机变量及其分布 2.2.3独立重复试验与二项分布D卷
高中数学人教版选修2-3（理科）第二章随机变量及其分布 2.2.3独立重复试验与 二项分布D卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共19分) 1. （2分） (2016高一下·兰州期中) 从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85）g范围内的概率是（） A . 0.62 B . 0.38 C . 0.7 D . 0.68 2. （2分）已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=7，D（ξ）=6，则p等于（） A . B . C . D . 3. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 设随机变量X～B（2，p），Y～B（4，p），若P（X≥1）= ，则P（Y≥1）为（） A . B . C .
D . 1 4. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）= ，则D（ Y+1）=（） A . 2 B . 3 C . 6 D . 7 5. （2分）设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则D（3Y+1）=（） A . 2 B . 3 C . 6 D . 7 6. （2分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（） A . B . 0 C . 1 D . 7. （2分）某人射击一次击中目标的概率为0.6，此人射击3次恰有两次击中目标的概率为（） A . B .
C . D . 8. （2分） (2017高二下·南阳期末) 设随机变量ξ～B（2，p），随机变量η～B（3，p），若，则Eη=（） A . B . C . 1 D . 9. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 若随机变量X服从二项分布,且 ,则 =________ , =________. 10. （1分） (2018高二下·枣庄期末) 已知随机变量，且，则 ________． 二、填空题 (共2题；共6分) 11. （1分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=40，D（X）=30，则p=________ 12. （5分）(2019·天津) 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 三、解答题 (共2题；共20分) 13. （10分）(2019·大连模拟) 随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9
统计分布临界值表
附录 附表一：随机数表 _________________________________________________________________________ 2附表二：标准正态分布表 ___________________________________________________________________ 3附表三：t分布临界值表____________________________________________________________________ 4 附表四： 2 分布临界值表 __________________________________________________________________ 5 附表五：F分布临界值表（α=0.05）________________________________________________________ 7附表六：单样本K-S检验统计量表___________________________________________________________ 9附表七：符号检验界域表 __________________________________________________________________ 10附表八：游程检验临界值表 _________________________________________________________________ 11附表九：相关系数临界值表 ________________________________________________________________ 12附表十：Spearman等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 13附表十一：Kendall等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 14附表十二：控制图系数表 __________________________________________________________________ 15
二项分布
2.4二项分布 教学目标： 1．理解n次独立的重复试验的模型（n重伯努利试验）及其意义．2．理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 教学重点：二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列． 教学难点：二项分布公式的发现与应用二项分布的分布列． 教学过程： 一、问题情境 1．情景：射击n次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p是不变的； 抛掷一颗质地均匀的筛子n次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能 不出现“5”，而且每次掷出“5”的概率p都是1 6 ；种植n粒棉花种子， 每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%． 2．问题：上述试验有什么共同特点？ 二、学生活动 由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，每次试验中P(A)＝p＞0． 三、建构数学 1．n次独立的重复试验． 一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p＞0．我们将这样的试验称为n次独立的重复试验，也称为伯努利试验．思考在n次独立的重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p，那么，在这n次试验中，事件A恰好发生k次的概率是多少？
我们先研究下面的问题：射击3次，每次射中目标的概率都为p ＞0．设随机变量X 是射中目标的次数，求随机变量X 的概率分布． 分析1 这是一个3次独立重复试验，设“射中目标”为事件A ，则P (A )＝p ，P (A )＝1－p （记为q ），用下面的树形图来表示该试验的过程和结果（图略）． 由树形图可见，随机变量X 的概率分布如下表所示． 分析2 在X ＝k 时，根据试验的独立性，事件A 在某指定的k 次发生时，其余的(3－k )次则不发生，其概率为p k q 3－ k ，而3次试验中发生k 次A 的方式有3C k 种，故有P (X ＝k )＝3C k p k q 3－ k ，k ＝0，1，2，3．因此，概率分布可以表示为下表 一般地，在n 次独立的重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为 p (0＜p ＜1)，即P (A )＝p ，P (A )＝1－p ＝q ．由于试验的独立性，n 次试验中，事件A 在某指定的k 次发生，而在其余n －k 次不发生的概率为p k q n － k ．又由于在n 次试验中，事件A 恰好发生k 次的方式有C k n 种，所以在n 次独立的重复试验中，事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率为P n (k ) ＝C k n p k q n － k ，k ＝0，1，2，…n ，它恰好是(q ＋p )n 的二项展开式中的第k ＋1项． 2．二项分布． 若随机变量X 的分布列为P n (X ＝k )＝C k n p k q n － k ，其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1， k ＝0，1，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，
二项分布的性质及其渐近性
引言 (2) 1.二项分布的初等性质： (3) 1.1 二项分布和二点分布 (3) 1.2 二项分布的数学期望和方差 (4) 1.3 二项分布其中的概率b(k;n,p)中k的研究 (6) 1.4 二项分布的图像 (6) 1.5 二项分布的可加性 (7) 1.6符合二项分布的情形 (7) 2.二项分布的渐进性 (8) 2.1二项分布与超几何分布 (8) 2.2 二项分布与Poisson分布 (8) 2.3 二项分布与正态分布 (14) 参考文献 (17)
二项分布的性质及其渐近性 苏州大学数学科学学院 05师范 顾琦 摘要： 本文主要是对二项分布的初等性质进行系统的整理归纳以及对二项分布的极限情 况进行研究总结． 关键词：随机变量，贝努利试验，二项分布，事件，极限，独立，分布函数 Abstract: This paper discusses systematically the primary properties of binomial distribution as well as its asymptotic behavior. Key words: random variables, Bernoulli tests, binomial distribution, events, limit, independence, distribution functions 引言 随机变量有千千万万个，但常用分布并不多.常用分布分为两类：离散分布和连续分布，我们要研究的就是离散分布中的二项分布.研究二项分布的性质及其渐进性. 二项分布是一个离散分布，且是常用的.研究二项分布之前，我们先来看看贝努利试验， 定义1.1 如果做一项试验，只观测其中的某一特定的现象是否出现，那么我们就把这种试验叫做贝努利试验. 定义 1.2 如果某次试验的结果恰好就是我们所关心的现象，我们就称该次试验是成功的．如果多次重复地进行这种试验，并且各次试验相互独立地进行，就称这种试验为多（n ）重贝努利试验. 如果记ξ为n 重贝努利试验中成功（记为事件A ）的次数，则ξ的可能取值为0，1，2，……，n .记p 为每次试验中A 发生的概率，即P （A ）=p ，则P （A ）=1-p.即q=1-p 因为n 重贝努利试验的基本结果可以记作 ),...,(21ωωωωn = 其中ωi 或者为A ，或者为A 这样的ω共有n 2个，这n 2个样本点ω组成了样本空间Ω.
二项分布临界值表
附表1 二项分布临界值表 在p=q=下，x或n–x（不论何者为大）的临界值 n 单侧检验（）双侧检验（）0.050.010.050.01 55———66—6—7777—8788—98989 10910910 119101011 1210111011 1310121112 1411121213 1512131213 1612141314 1713141315 1813151415 1914151516 2015161517 2115171617 2216171718 2316181719 2417191819
2518191820 2618201920 2719202021 2819212022 2920222122 3020222123
附表2 正态分布概率表 Z F(Z)Z F(Z)Z F(Z)Z F(Z) 0.000.00000.350.27370.700.5161 1.050.7063 0.010.00800.360.28120.710.5223 1.060.7109 0.020.01600.370.28860.720.5285 1.070.7154 0.030.02390.380.29610.730.5346 1.080.7199 0.040.03190.390.30350.740.5407 1.090.7243 0.050.03990.400.31080.750.5467 1.100.7287 0.060.04780.410.31820.760.5527 1.110.7330 0.070.05580.420.32550.770.5587 1.120.7373 0.080.06380.430.33280.780.5646 1.130.7415 0.090.07170.440.34010.790.5705 1.140.7457 0.100.07970.450.34730.800.5763 1.150.7499 0.110.08760.460.35450.810.5821 1.160.7540 0.120.09550.470.36160.820.5878 1.170.7580 0.130.10340.480.36880.830.5935 1.180.7620 0.140.11130.490.37590.840.5991 1.190.7660 0.150.11920.500.38290.850.6047 1.200.7699 0.160.12710.510.38990.860.6102 1.210.7737 0.170.13500.520.39690.870.6157 1.220.7775 0.180.14280.530.40390.880.6211 1.230.7813 0.190.15070.540.41080.890.6265 1.240.7850
4.1 二项分布的概念和特征
第四章 常用概率分布 一、二项分布的概念和特征
概念 分布：随机变量的取值规律 分布函数：描述分布的规律 变量类型 连续型变量 离散型变量 如：正态分布 如：二项分布，泊松分布
思考 例1.假设有5只实验小白鼠，要求它们同种属、同性别、体重 相近，且给小白鼠注射一定剂量的毒物时，他们有相同的死 亡率80%，存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡 的概率是多少？有一只白小鼠存活的概率是多少？2只小白 鼠存活的概率是多少？
例1.假设有5只实验小白鼠，要求它们同种属、同性别、体重相近， 且给小白鼠注射一定剂量的毒物时，他们有相同的死亡率80%， 存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少？ 有一只白小鼠存活的概率是多少？2只小白鼠存活的概率是多少？ P 死 =0.8 P 活 =0.2 P 1 =0.8×0.8×0.8×0.8×0.8 P 2 = P 3 = 1 5 C 2 5 C 0.2×0.8 4 =0.082 0.2 2 ×0.8 3 =0.020 =0.8 5 =0.328
该实验有三个特点： 1.各次实验是彼此独立的； 2.每次实验只有二种可能的结果，或死亡或生存； 3.每次实验小白鼠死亡和生存的概率是固定的。 具备以上三点，即从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布，记作B(n,p)。
概率分布函数 二项分布的概率函数P (X )可用公式 X n X X n C X P - - = ) 1 ( ) ( p p 其中 )! ( ! ! X n X n C X n - = 对于任何二项分布，总有 ( ) 1 = ? = n X X P
二项分布
一、二项分布的背景以及概率计算的简单介绍。 例：用淋菌培养方法，检查患者是否患有淋病。该检查方法没有假阳性，只有假阴性。对于淋病患者，若用该方法检查一次的检出率为 0.8，问： 1)重复检查3次，检查结果均为阴性的概率是多少？ P=(1-0.8)3=0.008 2)重复检查3次，检查结果中最少是阳性的概率是多少？ P＝1-(1-0.8)3=0.992 4) 检查4个患者，每人检查一次，第一个患者和第二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？ P=0.820.22=0.0256 5) 检查4个患者，每人检查一次，其中二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？ 其中2 C为4个患者中有2个阳性的各种不同情况总数。 4 在医学上，经常需要研究或观察这样一类现象：其结果只有两种可能：如：抢救急性心肌梗塞患者，其结果可分为：抢救成功或失败 如：检查幽门螺杆菌(HP)：＋或－。
上述类似研究中，我们把观察或治疗一个研究对象统称为一次试验(在上例中，把检查一个患者是否阳性视为一次试验)。 如果研究背景满足下列条件： 1)每次试验的可能结果(Outcome)仅为两种(视为成功或失败，在上例中阳性或阴性)。 2)定义试验中其中一个可能的结果成功，另一种可能的结果为失败(在上例中把检查结果为阳性可视为成功，检查结果为阴性为失败)。 3)每次试验的条件相同。每次试验成功的概率为π，失败的概率为 π-1(在上例中把检出阳性的概率为π＝0.8，检查阴性的概率为π-1=0.2)。 3)试验次数为n(上例中n=4)。 则在n 次试验中，有X 次成功的概率(在上例中，4个患者检查，即：n=4;有x 个患者为阳性的)为 X n X X n X x n )1()! x n (!x ! n )1(C )x (P --π-π-=π-π=。n ,,2,1,0x =。 并记为X ～B(n,π) 例：英语测试时，每道题有4个答案选择，随机选择答案，每道题正确的概率为0.25，问(1)做8道题，正好有2道题正确的概率是多少？(2)做20道题，正好有5道题正确的概率是多少? 解：(1)n=8，π＝0.25，311462.075.025.02 7 8)2X (P 62=?= = (2)n=20，π=0.25，202331.075.025.05 432116 17181920)5X (P 155=????????= = 二、二项分布的图形。(见P190)
二项分布图
#二项分布概率值比较图(n=10,p=0.2) par(mfcol=c(2,2)) plot(seq(0,8),dbinom(seq(0,8),8,0.918),xlab='X',ylab='P',type='h',l wd=4) points(seq(0,8),dbinom(seq(0,8),8,0.918),xlab='',ylab='',pch=16,co l='red') text(8, 0.25, "n=10,p=0.2") plot(seq(0,10),dbinom(seq(0,10),10,0.4),xlab='X',ylab='P',type='h', lwd=4) points(seq(0,10),dbinom(seq(0,10),10,0.4),xlab='',ylab='',pch=16,c ol='red') text(8, 0.25, "n=10,p=0.4") plot(seq(0,10),dbinom(seq(0,10),10,0.6),xlab='X',ylab='P',type='h', lwd=4) points(seq(0,10),dbinom(seq(0,10),10,0.6),xlab='',ylab='',pch=16,c ol='red') text(8, 0.25, "n=10,p=0.6") plot(seq(0,10),dbinom(seq(0,10),10,0.8),xlab='X',ylab='P',type='h', lwd=4) points(seq(0,10),dbinom(seq(0,10),10,0.8),xlab='',ylab='',pch=16,c ol='red') text(8, 0.25, "n=10,p=0.8") #二项分布分布函数值比较图(n=10,p=0.2:0.8) plot(seq(0,10),pbinom(seq(0,10),10,0.2),xlab='X',ylab='F',type='b', col=21) lines(seq(0,10),pbinom(seq(0,10),10,0.4),xlab='X',ylab='F',type='b' ,col=35) lines(seq(0,10),pbinom(seq(0,10),10,0.6),xlab='X',ylab='F',type='b' ,col='red') lines(seq(0,10),pbinom(seq(0,10),10,0.8),xlab='X',ylab='F',type='b' ,col=81) ##关于当n*p为小数时，在(n+1)*p处下取整概率值最大问题？