初二数学-特殊四边形中的动点问题(教师版)

特殊四边形中的动点问题及解题方法1、如图，在直角梯形中，∥，∠90°，24，8，26，动点P从A开始沿边向D以1的速度运动；动点Q从点C开始沿边向B以3的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为．（1）当t为何值时，四边形为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形为直角梯形？分析：（1）四边形为平行四边形时．（2）四边形为等腰梯形时2．（3）四边形为直角梯形时．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形平行为四边形∴∴243t解得：6即当6时，四边形平行为四边形．（2）过D作⊥于E则四边形为矩形∴24∴2∵四边形为等腰梯形∴2即3（24）=4解得：7（s）即当7（s）时，四边形为等腰梯形．（3）由题意知：时，四边形为直角梯形即3（24）=2解得：6.5（s）即当6.5（s）时，四边形为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2、如图，△中，点O为边上的一个动点，过点O作直线∥，设交∠的外角平分线于点F，交∠内角平分线于E．（1）试说明；（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论；（3）若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想△的形状并证明你的结论．分析：（1）根据平分∠，∥，找到相等的角，即∠∠，再根据等边对等角得，同理，可得．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵平分∠，∴∠∠，∵∥，∴∠∠，∴∠∠，∴，同理，，∴．（2）当点O运动到中点处时，四边形是矩形．如图，，∴四边形为平行四边形，∵平分∠，∴∠∠，同理，∠∠，∴∠∠∠（∠∠）= ×180°=90°，∴四边形是矩形．（3）△是直角三角形∵四边形是正方形，∴⊥，故∠90°，∵∥，∴∠∠，∴∠90°，∴△是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3、如图，直角梯形中，∥，∠90°，已知3，4，动点P从B点出发，沿线段向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段向点A作匀速运动．过Q点垂直于的射线交于点M，交于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求，的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线恰好将△的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形是矩形∴，、已知，就是t，即解；∵∥，∴△∽△，∴：：，（2）、已知，根据勾股定理可求5，即可表示；四边形构成平行四边形就是，列方程4即解；（3）可先根据平分△的周长，得出，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△的面积，即可判断出△的面积是否为△面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当时，那么2，据此可求出t的值．②当时，可根据和的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当时，在直角三角形中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵3∴4-（3）=1在△中，222=32+42∴5在△中，∠= ，．（2）由于四边形构成平行四边形∴，即4解得2．（3）如果射线将△的周长平分，则有：即：（1）+1 （3+4+5）解得：（5分）而（1）∴S△（1）2= （1）2当时，S△（1）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线恰好将△的面积和周长同时平分．（4）①当时（如图1）则有：即2∴42（1）解得：②当时（如图2）则有：（1）=4解得：③当时（如图3）则有：在△中，222而（1）（1）-（4）=23∴[ （1）]2+（23）2=（4）2解得：t1= ，t21（舍去）∴当，，时，△为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4、直线 346与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．分析：（1）分别令0，0，即可求出A 、B 的坐标； （2））因为8，6，利用勾股定理可得10，进而可求出点Q 由O 到A 的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出， 当P 在线段上运动（或0≤t≤3）时，，2t ，2，当P 在线段上运动（或3＜t≤8）时，，6+10-216-2t ，作⊥于点D ，由相似三角形的性质，得 48-6t5，利用 12×，即可求出答案； （3）令 485，求出t 的值，进而求出、，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标． 解答： 解：（1）0，0，求得A （8，0）B （0，6）， （2）∵8，6，∴10．∵点Q 由O 到A 的时间是 81=8（秒）， ∴点P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）． 当P 在线段上运动（或O≤t≤3）时， ，2t ，2．当P 在线段上运动（或3＜t≤8）时， ，6+10-216-2t ， 如图，做⊥于点D ， 由 ，得 48-6t5． ∴ 12• 35t2+245t．（3）当 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在上 当 485时，- 35t2+245 485 ∴4∴ 48-6×45= 245，16-2×4=8 82-(245)2= 325 ∴8- 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245） 点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；6.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？四边形中的动点问题课后作业1. 如图，已知与相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，＝，∠＝90°，⊥于H ，交于F.（1）求证：∥； （2）求证：△≌△；（3）若O 为中点，求证：＝12.2、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形中，∠＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是上的动点，满足A E ＋，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形总是正三角形．A B D C O P x yAQ CDB3、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．4、如图l －4－80，已知正方形的对角线、相交于点O ，E 是上一点，过点A 作⊥，垂足为G ，交于F ，则． （1）请证明0（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在的延长线上，⊥，交 的延长线于 G ，的延长线交的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．5、如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．FEDCBAA D CNE 6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形的四个顶点出发，沿着、、、以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。

（1）试判断四边形是正方形并证明。

（2）是否总过某一定点，并说明理由。

（3）四边形的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？7、已知：如图，△是边长3的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是1，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△是直角三角形?（2）设四边形的面积为y （2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形的面积是△面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；。