初二数学-特殊四边形中的动点问题(教师版)
特殊四边形中的动点问题讲义
四边形之存在性问题（一）（讲义）一、知识点睛存在性问题处理框架： 1. 理解题意，整合信息． 2. 根据不变特征，确定分类标准．不变特征举例：（1）平行四边形存在性问题以定线段作边或对角线，确定分类．常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．（2）特殊平行四边形存在性问题①菱形存在性问题，转化为等腰三角形存在性问题； ②正方形存在性问题，转化为等腰直角三角形存在性问题． 3. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． 4. 结果验证．二、精讲精练1.在坐标平面上的点D 处，则在坐标平面内是否存在点P，使得以A ，O ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 的坐标为(0，2-)．若点D 在直线AB 上运动，点E 在直线AC上运动，当以O ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形时，求点D 的坐标．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是直角梯形，BC ∥OA ，∠112y x =-+经过点A ，且与y 轴交于点D ．若M 是直线AD 上的一个动点，则在x 轴上是否存在点N ，使得以O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 的坐标为(3，4)，点E 在OC 边上，点F 的坐标为(2，4)．将矩形OABC 沿直线EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，若点N 在x 轴上，则直线EF 上是否存在点M ，使得以M ，N ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与24y x =-+交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点．直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．三、回顾与思考【参考答案】1．存在，点P的坐标为(-3)，(3)或(3-)．2．点D的坐标为(125，65)或(285，65-)．3．存在，点N的坐标为(3-，0)，(7，0)或(3，0)．4．存在，点M的坐标为(93-，(33-，或(33+，8)．5．存在，点E的坐标为(13-，23)或(73，103)．四边形之存在性问题（一）（随堂测试）1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=+与x轴、y轴分别交于点A，B，直线BC与x轴交于点C，且∠ABC=60°．若D为直线AB上一点，E为直线BC上一点，且以O，B，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．【参考答案】1．点D 的坐标为(2，2，四边形之存在性问题（一）（作业）2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线23y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且1OB =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 边上，点E 在OC 边上，将矩形OABC 沿直线DE 折43=．已知OC =8，BC =12，OD =10，请解答下列问题． （1）求直线DE 的解析式．（2）若M 为直线DF 上一点，则在直线DE 上是否存在点N ，使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】3)．四边形之存在性问题（二）（讲义）1.如图，在平面直角坐标系xOy中，□ABCD的顶点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(，0)，顶点C在x轴正半轴上，顶点D在第一象限，且2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C的坐标为(18-，0)，A B∥O C，∠OCB=45°，且BC=（1）求点B的坐标．（2）直线BE与线段OA交于点E，且OE=6．若P是直线BE上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以O，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A(9-，0)，B(16，0)，C(0，12)，D是线段BC上的一动点（不与点B，C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为点E．若M为坐标平面内一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以C，B，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(8，6)．若点D在第一象限内的直线l：=-上，点P在AB边上，AP=m，Q为坐标平面内一点，且以C，P，y x26D，Q为顶点的四边形是正方形，求m的值．三、回顾与思考【参考答案】1．存在，12(F F 2．（1）B (-6，12)；（2）存在，1234(66)((33)Q Q Q Q ---，或或或，3．存在，1234(1228)(416)(1414)(22)N N N N --，或，或，或， 4．存在，142633m m m ===，或四边形之存在性问题（二）（随堂测试）1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，直线l 2与直线l 1交于点C ，已知B (0，6)，C (4，2)，若P 为坐标平面内一点，则在直线l 1上是否存在一点Q ，使以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【参考答案】1．存在，1234(60)((33)Q Q Q Q --+，或或或，四边形之存在性问题（二）（作业）1. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线AC =12，AO =6，把矩形沿直线DE 对折使点C 落在点A 处，DE 与AC 相交于点F ，若M 为坐标平面内一点，则在直线DE 上是否存在点N ，使以O ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y 1=2x 与直线y 2=-6x +48交于点A ，另有一直线平行于x 轴，分别交线段OA ，AB 于M ，N 两点，点R 在x 轴上，在坐标平面内，是否存在这样的点Q ，使得以R ，M ，N ，Q 为顶点的四边形是正1．存在，123433(06)(3N N N N ---++，或，或 2．存在，12336129(0)(0)(6)552Q Q Q ，或，或，四边形之动点问题（讲义）一、知识点睛1.动点问题处理框架．①研究基本图形；②分析运动过程，分段，定范围；③分析几何特征、表达、设计方案求解．2.分析运动过程常借助运动状态分析图，需关注四要素．①起点、终点——确定时间范围；②速度（注意速度是否变化）；③状态转折点——确定分段，常见状态转折点有拐点、碰撞点等；④所求目标——明确方向．二、精讲精练1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=C=30°．点D从点C出发，沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，点E从点A同时出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点D，E运动的时间为t秒（0t ），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF．（2）四边形AEFD能成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．EACB2.如图，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，E是BC边的中点，且AB=AD=BE=2cm．动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→E的方向匀速运动，动点Q从点B同时出发，以相同的速度沿B→E→C→E的方向匀速运动．过点P作PF⊥BC于点F，设△PFQ的面积为S，点P运动的时间为t（s）（06t<<）．（1）当点P在AB上运动时，直接判断△PFQ的形状．（2）在运动过程中，四边形PQCD能成为哪些特殊的四边形？请写出相应的t的取值范围．（直接回答，无需证明）（3）求S与t之间的函数关系式．3.已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O．（1）如图1，连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形，并求出AF的长．（2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE的各边匀速运动一周．即点P沿A→F→B→A的方向运动，点Q沿C→D→E→C的方向运动．①若点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P，Q运动的路程分别为a，b（单位：cm，0ab≠），当以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b之间的数量关系．O F E DCBAQ4.如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°．点Q从点D出发，沿折线DC-CA-AB以每秒3个单位长度的速度匀速运动；点P从点B同时出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点Q到达点B时，P，Q两点同时停止运动．过点P作射线PK⊥BC，交折线BA-AC于点E，交直线AD于点F，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，BP=AF？（2）当t为何值时，QE⊥AB？（3）设直线PK扫过菱形ABCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式．D三、回顾与思考【参考答案】1.（1）（略）；（2）103t =；（3）542t t ==或2.（1）△PFQ 是等腰直角三角形（2）当0<t <2时，四边形PQCD 是梯形；当2≤t ≤4时，四边形PQCD 是平行四边形；当4<t <6时，四边形PQCD 是等腰梯形（3）221(02)22(24)1618(46)2tt S t t t t ⎧<⎪⎪=<⎨⎪⎪-+<<⎩≤≤3.（1）AF =5；（2）①43t =；②a +b =12 4.（1）52t =；（2）1532t t ==或；（3）2(05)(510)t S t =⎨⎪<⎪⎩≤≤≤四边形之动点问题（随堂测试）1． 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，BC =21，AD =16．动点P 从点B出发，沿线段BC 的方向以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒． （1）当t 为何值时，以点P ，C ，D ，Q 为顶点的四边形是平行 四边形？（2）当t 为何值时，PD =PQ ？DCBAP QAB CD【参考答案】1. （1）5t =；（2）163t =四边形之动点问题（作业）1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =4，DC =6，BC =7，梯形的高为M 从B 点出发沿BC 以每秒1个单位长的速度向终点C 运动，动点N 从C 点出发沿C —D —A 以每秒2个单位长的速度向终点A 运动．若M ，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t >0）． （1）用t 表示△CMN 的面积S ；（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？ （3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？BCDA2. 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，且AD =4 cm ，BC =9 cm ，DC =10 cm ．若动点P 从A 点出发，以每秒2 cm 的速度沿线段AD ，DC 向C 点运动；动点Q 从C 点出发以每秒1 cm 的速度沿CB 向B 点运动．当P 点到达C 点时，动点Q 同时停止运动．设点P ，Q 同时出发，运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形PQCD是平行四边形？ （2）当t 为何值时，PQ ⊥DC ？3. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°， BC =21，AD =10．动点P 从点C 出发，沿线段CB 的方向以每秒2个单位长的速度向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （2）当t 为何值时，PD =PQ ？DCB A【参考答案】1. （1）2(03)5)t S t ⎧+<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩≤≤ （2）103t =（3）133t =2.（1）43t =；（2）285t =3.（1）103t =；（2）325t =或t =10四边形综合训练（每日一题）1.（5月19日）如图，在平面直角坐标系中，直线1y x=+交于点=-+与3y xA，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，则直线AB上是否存在一动点E，使得以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2.（5月20日）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+12的图象分别交x轴、y轴于A，B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．C是直线AB上一动点，则在直线AM上是否存在一点D，使以A，O，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C的坐标；若P从点A出发，沿AB以每秒2 cm的速度向点B运动，点Q从点C出发，沿CA以每秒1 cm的速度向点A运动．设点P，Q同时出发，运动时间为t秒（0<t<6）．（1）直接写出线段AP，AQ的长（用含t的代数式表示）：AP=_________，AQ=________；（2）连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．3. （5月22日）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC 于E ，且DE=AD =18，∠C =60°． （1）BC =_____；（2）若动点P 从点D 出发，速度为2个单位/秒，沿DA 向点A 运动，同时，动点Q 从点B 出发，速度为3个单位/秒，沿BC 向点C 运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒． ①当t =_____秒时，四边形PQED 是矩形；②当t 为何值时，线段PQ 与梯形ABCD 的边构成平行四 边形？③是否存在t 值，使②中的平行四边形是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．Q PEDCBAAB CDE4. （5月23日）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =6，BC =16，E 是BC的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当t 为何值时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形？【参考答案】1.121157()()2222E E -，或，2.12(012)(1212)C C --，或， 3.（1）AP =2t ，AQ =6-t ；（2）t =44.（1）26；（2）①225t =；②182655t t ==或；③不存在5.1423t t ==或。
华东师大版数学八年级下册专题课堂特殊四边形与动点问题课件
[对应训练] 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝8 cm，点 P 从点 A 出发，
沿 AB 方向以每秒 2 cm 的速度向终点 B 运动．同时动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方 向以每秒 1 cm 的速度向终点 C 运动，将△PQC 沿 BC 翻折，点 P 的对应点为点 P ′.设点 Q 运动的时间为 t 秒，则 t 的值为_83_____时，四边形 QPCP′为菱形．
分别从 0≤x≤1，1<x≤2，2<x≤2.5 时，y＝13 ，去求解．
[对应训练] 4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的动点，且AE⊥EF于点E. 延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明 理由．
AE＝EP.理由：在AB上截取BN＝BE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B ＝90°，∴AN＝EC，∠1＝∠2＝45°，∴∠4＝135°，∵CP为正方形ABCD的外角 平 分 线 ， ∴∠PCE ＝ 135° ， ∴∠PCE ＝ ∠4 ， ∵∠AEP ＝ 90° ， ∴∠BEA ＋ ∠3 ＝ 90°，∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠3＝∠BAE，∴△ANE≌△ECP(ASA).∴AE＝ EP
二、矩形与动点 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝12 cm.点P沿AB边从A开始向点 B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同 时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤12). (1)当t＝__4__时，△QAP为等腰直角三角形； (2)求四边形QAPC的面积． 分析：(1)由题意得，当AP＝AQ时，△QAP为等腰直角三角形，得出关于t的方程， 即可解得t的值；(2)根据S＝S△AQC＋S△APC，即可求得．
特殊四边形中的动点问题
特殊四边形中的动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图，在四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、边上的中点，阅读下列材料，回答问题：⑴连结AC BD 、，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH 是 . ⑵对角线AC BD 、满足条件 时，四边形EFGH 是矩形. ⑶对角线AC BD 、满足条件 时，四边形EFGH 是菱形. ⑷对角线AC BD 、满足条件 时，四边形EFGH 是正方形.B2、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ︒∠=，14,18,21AB cm AD cm BC cm ===，点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果,P Q 分别从,A C 同时出发，设移动时间为t 秒.当t = 时，四边形是平行四边形；当t = 时，四边形是等腰梯形.3、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且1DM =，N 为对角线AC 上任意一点，则DN MN +的最小值为4、在△ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E .CB E D图1N M AB CD E MN 图2 A C B ED N M 图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE AD BE =+； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE AD BE 、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．6、在矩形ABCD 中，204AB cm BC cm ==，，点P 从A 开始沿折线A B C D →→→以4/cm s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边以1/cm s 的速度移动，如果点P Q 、分别从A C 、同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为()t s ，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？7、如图，梯形OABC 中, O 为直角坐标系的原点, A B C 、、的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）C点P Q 、同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC CB 、以每秒2个单位向终点B 运动。
特殊四边形的动点问题
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4、当堂检测
11
小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？
（动点型问题的解题策略）
1：以静制动,把动态问题化为静态 问题解决 2：构建方程模型 3：运用数学思想：
（1）AP=___t__;PD=___1_2__-t____.
A
P
CQ=_1_._5_t_;BQ=__2_1__-_1_._5_t_.
（用含t的代数式表示）
（2）若四边形PQCD是平行四边形，
只需条件：__P__D_=__C_Q____
B
因此可列方程：___1_2_-_t=__1_.5__t __
6
AB=12cm,CD=15cm.在P在BC边上、Q在AD上时，问是否存在以点P、
D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若
不存在，请说明理由.
A
P
D
A
QD
B
Q
C
B
PC
图①
图②
探究动点关键：化动为静，8 分类讨论，关注全过程
合作交流，探索新知
解： （3）存在.
∵tp=(12+15+21) ÷1=48(秒)， tQ=(21+12+12) ÷1.5=30(秒)
2
学习目标
1、学会动点问题中的化动为静，以 静制动的解题策略。 2、经历列方程解决实际问题的过程， 体会数学建模、数形结合、分类讨论 等数学思想。
3
复习提问
1.平行四边形的判定有哪些？ 2.菱形的判定有哪些？ 3.矩形的判定呢？
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题(带答案)四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD 的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC 边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ 的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E 运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF ⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. （1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，（1）求证：△ADE≌△CDF；：（2）当t为______s时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC 上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B 分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm／s。
八年级数学第8讲.四边形中的动点问题.尖子班.教师版.docx
8四边形中的动点问题满分晋级阶梯四边形 8 级四边形7级四边形中的动点问题四边形 6 级特殊图形的旋转与正方形弦图平移和几何最值问题春季班春季班春季班第六讲第七讲第八讲漫画释义如法炮制知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题由动点产生的特殊图例 1，例 2，例 3，练习 1，练习 2，练习3；型目例 4，例 5，例 6，例 7，练习4，练习 5．标由动点产生的函数关系编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．题型一：由动点产生的特殊图形思路导航我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．典题精练【例 1】已知如图：在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点 D 是OA的中点，点 P 在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三yCP B角形时，点P 的坐标为．(101 中学初三月考)【解析】 3 ，4 、2，4 或 8 ，4O DAx【例 2】在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，若 E、F 是 AC 上两动点，分别从A、C 两点以相同的速度1cm/s 向 C、 A 运动．⑴四边形 DEBF 是平行四边形吗 ?请说明理由．⑵若 BD =12cm， AC=16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形 ?D C D CFEO OEFA B BADCD CFEOOE FAB A B 【解析】⑴四边形 DEBF 是平行四边形理由：∵ E， F 两动点，分别从A，C 两点以相同的速度向C，A 运动∴AE＝CF∴OE＝OF∴BD、EF 互相平分∴四边形 DEBF 是平行四边形⑵ ∵四边形 DEBF 是平行四边形∴当 BD ＝EF 时，平行四边形DEBF 是矩形∵BD＝ 12cm，∴ EF＝ 12cm∴OE＝ OF ＝6cm∵AC＝ 16cm∴OA＝ OC＝8cm∴AE＝ 2cm 或 AE＝ 14cm∵动点的速度是 1cm/s∴t＝ 2s 或 t＝ 14s【例 3】如图所示，在直角坐标系中，四边形 OABC 为直角梯形， OA∥ BC，BC=14cm ，A 点坐标为（ 16，0）， C 点坐标为（ 0， 2）．点 P、 Q 分别从 C、 A 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，点 Q 以 4cm/s 的速度由 A 向 O 运动，当点 Q 停止运动时，点 P 也停止运动，设运动时间为ts 0 ≤ t ≤ 4 ．⑴求当 t 为多少时，四边形 PQAB 为平行四边形？⑵求当 t 为多少时， PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．【解析】⑴ ∵ t s 后， BP= 14 2t cm，AQ =4t cm．由y7BP= AQ ，得 142t(s)．4t ， t=73P B∴当 t= s 时， BP= AQ ，又 OA∥ BC，C 3∴四边形 PQAB 为平行四边形．O Qx A⑵∵ C 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（ 16， 0），∴ OC=2 cm ， OA=16 cm ．∴S梯形 OABC =1(OA+BC ) ·OC=1×(16+14)×2=30(cm 2) ．22∵ t s后，PC= 2t cm，OQ= 164t cm，∴S四边形 PQOC =116 4t2162t ．2t2由题意可得 S四边形PQOC=10，∴162t10，解得 t=3s．此时直线 PQ 的函数关系式为 y x 4 ．【探究】四边形中的动态问题【变式 1】如图，在矩形OABC 中，已知点 B 的坐标为 (9， 4)，点 P 是矩形边上的一个动点，若点 E 的坐标为 (5， 0)，且△POE 是等腰三角形，求点P 的坐标？yA P2P1By P3P4A BO E C xO E C x【解析】如图， 3 4，P22,4，P3 2.5,4，P49,3 .P1 ,【探究 2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；【变式 2】如图，矩形ABCD 中， B 的坐标为 ( 4 3，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，从点O 出发沿 OA 向终点 A 运动，同时动点Q 以每秒 2 个单位的速度从点O出发沿OB向终点B运动 . 过点Q作QE⊥ OB，交AB于点E，连接PE PQ. 设运动时间为t、秒 . 求t为何值时，PE OB.∥yA E BP QO C x16【解析】 PQ=BE 时， PE∥ OB，此时t.7【探究 3】线动问题，线动问题转化为点动问题；【变式 3】如图，矩形 ABCO 中， B 的坐标为 ( 4 3 ，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度，从点 O 出发沿 OA 向终点 A 运动，过点 P 作直线 PF ⊥ OB ，交 OB 于点 F ；同时将直线 PF 以每秒3 个单位向右平移，分别交 AB 、 OB 于点 E 、Q ，连接 PE. 设运动时间为 t 秒 . 求 t 为何值时， PE ∥ OB.yAEBPFQOC x【解析】同上，此时 t16 .7【探究 4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；【变式 4】如图，直角 Rt △ ABO 中， A 的坐标为 (15， 53 )，斜边中线 AC 将这个直角三角形分成了2 2两个等腰三角形△ AOC 与△ ABC （如图所示） ，将△ AOC 沿直线 x 轴正方向平移得到△ A 1O 1C 1 ，当点 O 1 与点 C 重合时，停止平移。
八年级数学下册(华师版)课件：专题训练(八)特殊四边形与动点问题
2．如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴正半轴上，∠COA＝ 60°，OA＝10 cm，OC＝4 cm，点 P 从点 C 出发沿 CB 方向，以 1 cm/s 的速度向点 B 运动； 点 Q 从点 A 同时出发沿 AO 方向，以 3 cm/s 的速度向原点运动，其中一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止运动．
证明：(1)连结AC.∵菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD， ∠BCD＝180°－∠B＝120°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中 点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°， ∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°， ∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF. (2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC ＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60° ，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是 等边三角形．
(3)OC ＝ AC ＋ AD. 证 明 ： ∵ 四 边 形 ADFE 是 菱 形 ， ∴∠AEO ＝ ∠FEO.∵∠AOE ＝ ∠FOE，∴∠EFO＝∠EAO＝90°，∴EF⊥OC，∴∠EFO＝90°.∵∠AEO＝∠FEO ， OA⊥EA ， OF⊥EF ， ∴OA ＝ OF.∵∠MON ＝ 45° ， ∴∠ACO ＝ ∠AOC ＝ 45° ， ∴OA＝AC，∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF，∴CF＝AE，∴OC＝OF＋FC＝OA＋AE ＝AC＋AD.
(2)存在，过点D作DM⊥AE交AB于点M，则此时点M使得四边形DMEP是 平行四边形．证明如下：∵DM⊥AE，∴∠ADM＝90°－∠DAE.∵四边形 ABCD 为 正 方 形 ， ∴AB ＝ AD ， ∠B ＝ ∠BAD ＝ 90° ， ∴∠BAE ＝ 90° － ∠DAE，∴∠BAE＝∠ADM，∴△BAE≌△ADM，∴AE＝DM.由(1)知AE ＝EP，∴DM＝EP.∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥EP，∴四边形DMEP是 平行四边形．
人教版八年级数学下册课件：专题(十二) 特殊四边形中的动点问题(共10张PPT)
专题(十二) 特殊四边形中的动点问题
利用特殊四边形的性质解决动点问题时，一般是将动点看成特殊点解决问 题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从 点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直移动到点B停止，点 Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也停止移动，则经过 几秒时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?
解：设经过 t 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2，则 AP＝
3t cm，CQ＝2t cm，BP＝(16－3t)cm，∴12×6×(16－3t＋2t)＝33， 解得 t＝5，故经过 5 s 后，四边形 PBCQ 的面积是 33 cm2
2. 如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE＝4 cm，如 果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．设运动时间为t s．若点Q的运动速度与点P的运动速 度相等，经过几秒后，△BPE与△CQP全等？请说明理由．
解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，∴BC＝AD＝16 cm， AB＝CD＝8 cm，由已知可得，BQ＝DP＝t cm，AP＝CQ＝(16－t)cm， 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为 矩形，∴t＝16－t，得t＝8，故当t＝8 s时，四边形ABQB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点D出发向点A 运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即 停止，点P，Q的速度都是1 cm/s.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间 为t s. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形； (3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．
特殊平行四边形、矩形、菱形、正方形动点问题
八年级下平行四边形、矩形、菱形正方形---动点问题教案简阳市解放九年义务教育学校 马信明教学目标：（一）知识与技能目标：1、了解动点问题关键：化动为静，确定图形2、掌握数学思想：数形结合思想、方程思想、分类讨论思想（二）情感目标：1、通过积极参与数学学习的活动，初步形成乐于探究的态度和团队合作的精神。
2．形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
教学重点和难点：教学重点：能抓住瞬间，化动为静，确定出图形。
教学难点：进行分类讨论教学过程：一、问题情景1、如图：梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=9cm,BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿着AD 的方向向终点D 以每秒一个单位的速度运动，当点P 在AD 上运动时，设运动时间为t ，求当t 为何值时，四边形APCB 为平行四边形 BP A[思路点拨]：抓住瞬间，确定图形AP二、问题变式训练 小组合作交流讨论PCDB C D[数学思想1]：数形结合,方程思想变式1：如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，梯形的高为5cm.点P从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动，当点P在CD上运动时，设运动时间为t，求当t为何值时，三角形PCD的面积为梯形ABCD面积的一半变式2、如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s 的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。
运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形?变式3、如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，梯形的高为5cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。
运动多少秒时，四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等?[思路点拨]：1、先确定特定图形中动点的位置2、利用已知条件，将动点的移动距离表示出来。
人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题
难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
新冀教版初中数学八年级下册专训1 利用特殊四边形的性质巧解动点问题
专训1利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到．．．．一般的思想．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．(第1题)菱形中的动点问题2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第2题)矩形中的动点问题3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)答案1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD ＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．3．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.∵点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，∴PC ＝5t cm ，QA ＝(12－4t)cm .∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43. ∴以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.(第3题)(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴BE ＝CF ＝DG ＝AH.∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .∴EH ＝EF ＝FG ＝GH ，∠1＝∠2.∴四边形EFGH 为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF ＝90°.∵四边形EFGH 为菱形，∴四边形EFGH 是正方形．(2)解：直线EG 经过一个定点．理由如下：如图，连接BD ，DE ，BG .设EG 与BD 交于O 点．∵BE DG ，∴四边形BGDE 为平行四边形．∴BD ，EG 互相平分．∴BO ＝OD.∴点O 为正方形ABCD 的对角线的交点．∴直线EG 必过正方形ABCD 的对角线的交点．。
第十八章平行四边形四边形中的动点问题(教案)人教版八年级数学下册
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形中动点问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对动点问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对平行四边形内动点问题的探究表现得非常积极。他们对于动点的运动规律和性质有了初步的认识，也尝试着将这些知识应用到实际问题中。我觉得这是一个很好的开始，但也发现了一些需要改进的地方。
首先，理论讲授部分，我发现有些同学对动点问题的基本概念掌握不够扎实。可能是我讲解得不够细致，也可能是同学们对这些概念还不够熟悉。在以后的教学中，我需要更加注意这一点，尽量用简单易懂的语言和丰富的例子来帮助他们理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调动点的运动规律和利用平行四边形性质解题这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与动点问题相关的实际问题。
2.实行四边形中的运动规律和性质。
-难点二：在实际问题中，学生可能不知道如何选择合适的定理和性质来解决动点问题。教师应指导学生通过分析问题结构，识别关键信息，进而选择恰当的几何定理进行求解。
-难点三：针对不同动点问题，如路径最短、面积最大等，学生可能不知如何下手。教师应教授学生分类讨论和优化的方法，帮助学生理清思路，找到解题突破口。
4.培养合作意识和团队精神，在小组讨论和探究过程中，学会倾听、交流、表达和协作，共同解决问题。
浙教版八年级数学下册第5章专题十二 特殊四边形中的动点问题
专题
∴△ADE≌△CDG. ∴AE＝CG. ∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE. ∵AC＝ 2AB， ∴CE＋CG＝ 2AB.
专题
∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠EMC＝∠ENC＝90°， ∴∠NEC＝45°，∴NE＝NC， ∴四边形EMCN是正方形． ∴EM＝EN，∠NEM＝90°. ∴∠MEF＋∠FEN＝90°. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°. ∴∠DEN＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.
专题
在△DEN 和△FEM 中， ∠ END＝NEEM＝，∠FME， ∠DEN＝∠FEM， ∴△DEN≌△FEM. ∴ED＝EF， ∴矩形 DEFG 是正方形．
专题
又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形． ∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2 ＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.
专题
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发 ，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止， 点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的 速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s， 当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 时，求t的值．
专题
若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形， 则PC＝QA. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝4 cm，AD＝BC＝8 cm. ∵AF＝CF＝5 cm，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度 为4 cm/s，运动时间为t s，
专题
∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA ＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得 t＝43. 故当以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边 形是平行四边形时，t 的值为43.
初二数学-特殊四边形中的动点问题(教师版)
特殊四边形中的动点问题及解题方法1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ⇒B ⇒A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A 、B 的坐标； （2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q 由O 到A 的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出，当P 在线段OB 上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2，当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ，作PD ⊥OA 于点D ，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案； （3）令S= 485，求出t 的值，进而求出OD 、PD ，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标． 解答： 解：（1）y=0，x=0，求得A （8，0）B （0，6）， （2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q 由O 到A 的时间是 81=8（秒）， ∴点P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）． 当P 在线段OB 上运动（或O≤t≤3）时， OQ=t ，OP=2t ，S=t2．当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时， OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ， 如图，做PD ⊥OA 于点D ，由 PDBO=APAB ，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t ．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在AB 上 当S= 485时，- 35t2+245t= 485 ∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8- 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245） 点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；6.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？四边形中的动点问题课后作业1. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.（1）求证：CD ∥AB ；（2）求证：△BDE ≌△ACE ；（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝12BE.2、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．3、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．4、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ． （1）请证明0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．5、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．FEDCBACE6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。
人教版八下数学第十八章专题4特殊平行四边形中的动点问题
人教版八下数学第十八章专题4特殊平行四边形中的动点问题1.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B，C两点之间往返运动，两点同时出发，点P 到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是矩形．2.如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，点P到达C点时，运动停止．设点P的运动时间为t s．(1) 如图（1），S△DCP=．（用代数式表示）(2) 如图（2），当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在v值使得在某一时刻阴影部分的两个直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．3.已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上滑动（点P不与B，C重合），且∠PAQ=∠B．(1) 如图（1），若AP⊥BC，求证：AP=AQ；(2) 如图（2），若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由；(3) 如图（3），若AB=4，∠B=60∘，请直接写出四边形APCQ的面积．4.如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为．5.如图，正方形ABCD的边长为4，点M为DC边上一动点，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点Cʹ处，连接DCʹ并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN= DM时，CM的长为．6.如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D处同时出发（小球的大小忽略不计），以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA方向滚动，其终点分别是点B，C，D，A，顺次连接四个小球所在的位置，得到四边形PQRS．(1) 不论小球滚动多长时间，求证：四边形PQRS总是正方形．(2) 这个四边形在什么时候面积最大？(3) 在什么时候四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半？请说明理由．7.已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C，D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG=∠DAH．(1) 若点F在边CD上，如图所示．①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．(2) 取DF中点M，连接MG．若MG=3，正方形ABCD的边长为4，则BE=．答案1. 【答案】2.4s或4s或7.2s【解析】设运动时间为t s．根据题意可知，当点P从点A向点D运动时，点Q将由C−B−C−B−C运动．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D=90∘，∴PD∥CQ．若PD=CQ，则四边形PQCD是矩形．由题意得DP=12−t．当0≤t≤3时，CQ=4t，∴12−t=4t，∴t=2.4；当3<t≤6时，CQ=24−4t，∴12−t=24−4t，∴t=4；当6<t≤9时，CQ=4t−24，∴12−t=4t−24，∴t=7.2；当9<t≤12时，CQ=48−4t，∴12−t=48−4t，∴t=12，此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去.故答案为2.4s或4s或7.2s.2. 【答案】(1) (12−2t)cm2(2) 存在．①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB=4cm，∴PC=4cm，∴BP=6−4=2(cm)，即t=2，又∵CQ=BP=2m，∴v×2=2，解得v=1；②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，∵PB=PC，BC=3cm，即t=3，∴BP=PC=12又∵CQ=BA=4cm，．∴v×3=4，解得v=43综上所述，当v=1或43时，△ABP与△PQC全等．【解析】(1) 点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t s时，BP=t cm，则PC=(6−t)cm，∴S△DCP=12PC⋅CD=12(6−t)×4=(12−2t)cm2．故答案为(12−2t)cm2．3. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠C=180∘，∠B=∠D，AB=AD．∵∠PAQ=∠B，∴∠PAQ+∠C=180∘，∴∠APC+∠AQC=180∘．∵AP⊥BC，∴∠APC=90∘，∴∠AQC=90∘．在△APB和△AQD中，{∠APB=∠AQD=90∘,∠B=∠D,AB=AD,∴△APB≌△AQD(AAS)，∴AP=AQ．(2) 若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立．证明如下：如图（1），作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F．由（1）可得∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ．在△AEP和△AFQ中，{∠AEP=∠AFQ=90∘, AE=AF,∠EAP=∠FAQ,∴△AEP≌△AFQ(ASA)，∴AP=AQ．(3) 四边形APCQ的面积为4√3．【解析】(3) 理由：如图（2），连接AC，BD交于点O，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．∵∠ABC=60∘，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD，∴四边形AECF的面积=12×四边形ABCD的面积，由（2）得四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积．∵AB=4，∠B=60∘，AB=2，OB=√AB2−OA2=2√3，∴OA=12×2√3×4×2=8√3，∴四边形ABCD的面积为12∴四边形APCQ的面积为4√3．或24. 【答案】4√55【解析】如图，过C作CG⊥DE于G．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90∘，∵DE⊥AF，∴∠AED=90∘，∴AD>DE，∴CD>DE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，只能有CD=CE，∵CG⊥DE，DE，∴EG=DG=12∵∠ADE+∠CDG=∠ADE+∠DAE=90∘，∴∠CDG=∠DAE，∵∠AED=∠CGD=90∘，∴△AED≌△DGC(AAS)，DE，∴AE=DG=12设AE=x，则DE=2x，在Rt△AED中，由勾股定理得AE2+DE2=AD2，∵AD=2，∴x2+(2x)2=22，解得x=±2√5，5∵x>0，，∴x=2√55，∴DE=2x=4√55当F与B重合，则E与A重合，△CDE是以CD为腰的等腰直角三角形，此时DE=AD= 2．故答案为4√55或2．5. 【答案】2或8−4√3【解析】如图（1），当BN=DM时，连接CCʹ交BM于J，∵BN=DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM∥DN，∵CJ=JCʹ，∴CM=DM=12CD=2．如图（2），当BN=DM时，连接CCʹ，过点Cʹ作CʹT⊥CD于T，∵CB=CD，BN=DM，∴CN=CM=MCʹ．在△BCM和△DCN中，{CB=CD,∠BCM=∠DCN, CM=CN,∴△BCM≌△DCN(SAS)，∴∠CDN=∠CBM．∵∠CBM+∠BCCʹ=90∘，∠BCCʹ+∠CʹCD=90∘，∴∠CBM=∠CʹCD，∴∠CʹCD=∠CDN，∴CʹD=CʹC．∵CʹT⊥CD，∴DT=TC=2．∵CʹT∥CN，∴DCʹ=CʹN，∴CʹT=12CN．设CʹT=x，则CN=CM=MCʹ=2x，TM=√3x，∴2x+√3x=2，∴x=4−2√3，∴CM=8−4√3．综上所述，CM的值为2或8−4√3．6. 【答案】(1) 根据题意得AP=BQ=CR=DS．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，∴BP=CQ=DR=AS，∴易得△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS(SAS)，∴SP=PQ=QR=RS，∠APS=∠BQP，∴四边形PQRS为菱形，∴∠APS+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90∘，∴∠SPQ=90∘，∴四边形PQRS为正方形．=(2) 根据题意得当P，Q，R，S在即将出发或到达终点时面积最大，此时S正方形PQRS S．正方形ABCD(3) 当P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA的中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半，理由如下：设正方形ABCD的边长为a，a2．则根据题意知PS2=12在Rt△APS中，AS=a−SD=a−AP．由勾股定理，得AP2+AS2=PS2，a2，即AP2+(a−AP)2=12a．解得AP=12a．同理可得BQ=CR=SD=12∴当P，Q，R，S四个小球分别在正方形ABCD各边的中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半．7. 【答案】(1) ① ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDB=45∘，DA=DC，在△DAH和△DCH中，{DA=DC,∠ADH=∠CDH, DH=DH,∴△DAH≌△DCH(SAS)，∴∠DAH=∠DCH，∵∠ECG=∠DAH，∴∠ECG=∠DCH，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90∘，∴∠DCH+∠FCG=∠HCG=90∘，∴CH⊥CG．② ∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF=90∘，由①得∠DCH+∠FCG=90∘，∠DAH=∠DCH，∴∠DFA=∠FCG，又∵∠DFA=∠CFG，∴∠CFG=∠FCG，∴GF=GC，∴△GFC是等腰三角形．(2) 4+2√5【解析】(2) ①如图（1），当点F在线段CD上时，连接DE，∵∠GFC=∠GCF，∠GEC+∠GFC=90∘，∠GCF+∠GCE=90∘，∴∠GCE=∠GEC，∴EG=GC=FG，∵FG=GE，FM=MD，∴DE=2MG=6，在Rt△DCE中，CE=√DE2−DC2=√62−42=2√5，∴BE=BC+CE=4+2√5．②如图（2），当点F在线段DC的延长线上时，连接DE，同法可知GM是△DEF的中位线，∴DE=2GM=6，在Rt△DCE中，CE=√DE2−DC2=√62−42=2√5，∴BE=BC−CE=4−2√5<0，不存在，舍去．综上所述，BE的长为4+2√5．。
沪科版八年级数学下册专题：特殊四边形动点问题课件
D. 3 2
11
引导探究
9.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在y 轴的正半轴上，∠ABO=30°,矩形CODE的顶点D，E，C分 别在OA，AB，OB上,OD=2.将矩形CODE沿x轴向右平移,当 矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为 6 3 时,矩形CODE向
右平移的距离为 2 .
ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最
大值是（ B ）
A．10
B．8 C．6
D．5
15
引导探究
类型四：动点求最值---中位线
13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动 点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接 GH．若∠B=45°，BC=2 3 ，则GH的最小值为_______．
D
C
F
O
E A
B
5
引导探究
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，∠C=30°．点D从点C出发 沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A 出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一 个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时 间是t秒（t>0）．过点D作DF⊥BC交AC于点F，连接DE、EF． （1）求证AE=DF； （2）四边形AEDF能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果 不能，说明理由． （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
EC+GC的最小值为
.
20
引导探究
类型四：动点求最值---垂线段最短
18.如图,在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若M,N分别 是线段BD,AB上的两个动点,则AM+MN的最小值
人教版初中数学讲义八年级下册第08讲 专题3 平行四边形(特殊的平行四边形)中的动点问题(解析版)
第08讲专题3平行（特殊平行）四边形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题类型二：矩形中的动点问题类型三：菱形中的动点问题类型四：正方形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B 运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝2或6时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？【解答】解：由题意知，可分两种情况：①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴6﹣2t＝t，解得t＝2；②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴2t﹣6＝t，解得t＝6，综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．故答案为：2或6．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，∴10﹣t＝10﹣2.5t，1.5t＝0，∴t＝0（舍去）；当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，∴10﹣t＝2.5t﹣10，解得：t＝；当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，∴10﹣t＝30﹣2.5t，解得：t＝（舍去）；综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．故选：B．3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A 出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A．B．3C．3或D．或【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B 运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形A．1B．1.5C．1或3.5D．1.5或2【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，∴3t﹣8＝6﹣t，解得：t＝3.5；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，∴8﹣3t＝6﹣t，解得：t＝1，∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故选：C．6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF＝DE；（2）试说明：△ABE≌△CDF；（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，在△OBF和△ODE中，，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE；（2）∵四边新ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，∵BF＝DE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），（3）解：∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，∵△ABE≌△CDF，∴DF＝BE，AE＝CF，∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，△ABE的周长也是15，①当P在AB上，Q在CD上，∵AB∥CD，∴∠BPO＝∠DQO，∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，∴△BPO≌△DQO，∴BP＝DQ，∴m+n＝BP+DF+CF+CQ＝DF+CF+CQ+DQ＝DF+CF+CD＝15②当P在AE上，Q在CF上，∵AD∥BC，∴∠PEO＝∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE＝OF，∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，∴PE＝QF，∵AE＝CF，∴CQ＝AP，m+n＝AB+AP+DF+PQ＝CD+CQ+DF+FQ＝DF+CF+CD＝15；③当P在BE上，Q在DF上，∵AD＝BC，AE＝CF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠PEO＝∠FQO，∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，∴△PEO≌△FQO，∴PE＝FQ，∴m+n＝AB+AE+PE+DQ＝CD+CF+QF+DQ＝DF+CF+CD＝15．类型二：矩形中的动点问题7．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t（s）．下列说法错误的是（）A．点P运动路程为2tcmB．CQ＝（16﹣4t）cmC．当时，PB＝BQD．运动中，点P可以追上点Q【解答】解：A．由点P的速度为2cm/s，时间为t（s），得点P运动路程为2tcm，正确，故本选项不符合题意；B．由点Q的速度为4cm/s，时间为t（s），得点Q运动路程为4tcm，则CQ＝（16﹣4t）cm，正确，故本选项不符合题意；C．当t＝时，PB＝8﹣2t＝8﹣2×＝，BQ＝4t＝4×＝，则PB＝BQ正确，故本选项不符合题意；D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t﹣4＝4t，解得：t＝﹣2，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意；故选：D．8．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【解答】解：如图，∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，设BC与y轴交于E，当DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．【解答】解：连接OP，如图所示：∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S矩形ABCD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴S△AOD∴PE+PF＝，故答案为：．10．如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ＝BC，连接AQ．设点P的运动时间为t s，则当t＝1或2或7s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ 全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【解答】解：当t＝1s时，AP＝1cm，则BP＝2cm，如图1，在△AQD和△CPB中，，∴△AQD≌△CPB（SAS）；当t＝2时，AP＝2cm，如图2，∴AP＝DQ，在△AQD和△DPA中，，∴△AQD≌△DPA（SAS）；当t＝7时，AB+BC+CP＝7cm，如图3，∴CP＝2cm，∴DQ＝CP，在△AQD和△BPC中，，∴△AQD≌△BPC（SAS）；故答案为：1或2或7．11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB 于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为2．其中正确结论的有①②③④．（填序号）【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为2，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．12．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．类型三：菱形中动点问题13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（）A．B．2C．D．4【解答】解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，连接AE，＝S△ABE+S△ADE，∴S△ABD∴，∴EF+EG＝2，故选：A．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝3s时，四边形DEBF为正方形．【解答】解：由题意得OE＝OF＝t cm，∴EF＝2t cm，∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形，∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，故答案为：3．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t＝，故选：D．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（）A．8B．6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×16＝8，OB＝OD＝BD＝×12＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，，∵AB•OH＝OA•OB＝S△AOB∴×10OH＝×8×6，解得OH＝4.8，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D 向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．类型四：正方形中动点问题18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE 全等时，t的值为2或7．【解答】解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC为直角三角形，∴点P只能在AB上或者CD上，当点P在AB上时，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案为：2或7．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为90°；连接CP，线段CP的最小值为﹣1．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于G，连结AH．以下四个结论中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④△CEH的周长为12．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∵FH⊥AE，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①错误；∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正确；∵F是动点，∴FG的长度不是定值，不可能，故③错误；④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图2，则四边形LHCI为平行四边形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∴CE＝IM，∵E，F，H共圆，∠HFE＝90°，∴HE为直径，∵∠HCF＝90°，∴点C在以HE为直径的圆上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周长为12，④正确．综上所述，②④正确．故选：B．21．如图，正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，连接PA、PE，当点P移动到使∠BPA＝∠DPE时，AP+PE的值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点F．∵正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，∴∠ADB＝∠CDB，DE＝DF＝1cm，∵DP＝DP，∴△DPE≌△DPF，∴∠DPF＝∠DPE，PE＝PF，∴AP+PE＝AP+PF．∵∠BPA＝∠DPE，∴∠DPF＝∠BPA．∵∠BPA+∠APE+∠DPE＝180°，∴∠DPE+∠APE+∠DPE＝180°，∴A，P，F共线，∴AP+PE＝AP+PF＝AF．∵，∴．故选：B．22．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD，∴AC＝BD＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°，∴OB＝OC＝OD＝OA＝，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，∵OF⊥OE，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（SAS），＝S△COF，∴S△BOE＝S△COF+S△DOF＝S△DOC，∴S四边形EBFO∵AB＝2，＝4，∴S正方形ABCD＝1，∴S S正方形ABCD∴四边形EBFO的面积为1．故选：A．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts．（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm2；（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△CPD，∵S△PDQ∴16﹣•4•t﹣•（4﹣t）•2t﹣•4•（4﹣2t）＝11，整理得t2﹣2t﹣3＝0，解得t1＝﹣1，t2＝3，都不合题意舍去；当点P在CD上时，即2＜t≤4，AQ＝t，DP＝8﹣2t，＝BC•DP，∵S△PDQ∴•4（8﹣2t）＝11，解得t＝（不合题意舍去），∴不存在t的值，使△PQD的面积为11cm2；（2）存在．如图2，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t（0≤t≤2），当DP＝DQ时，∵DC＝DA∴Rt△DPC≌Rt△DAQ，∴PC＝AQ，即4﹣2t＝t，解得t＝；当PD＝PQ时，在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2+BQ2＝（2t）2+（4﹣t）2，在Rt△PBCD中，PD2＝PC2+CD2＝（4﹣2t）2+42，∴（2t）2+（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+42，整理得t2+8t﹣16＝0，解得t1＝﹣4﹣4（舍去），t2＝4﹣4，∴t＝或4﹣4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．。
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特殊四边形中的动点问题及解题方法1、如图，在直角梯形中，∥，∠90°，24，8，26，动点P从A开始沿边向D以1的速度运动；动点Q从点C开始沿边向B以3的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为．（1）当t为何值时，四边形为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形为直角梯形？分析：（1）四边形为平行四边形时．（2）四边形为等腰梯形时2．（3）四边形为直角梯形时．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形平行为四边形∴∴243t解得：6即当6时，四边形平行为四边形．（2）过D作⊥于E则四边形为矩形∴24∴2∵四边形为等腰梯形∴2即3（24）=4解得：7（s）即当7（s）时，四边形为等腰梯形．（3）由题意知：时，四边形为直角梯形即3（24）=2解得：6.5（s）即当6.5（s）时，四边形为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2、如图，△中，点O为边上的一个动点，过点O作直线∥，设交∠的外角平分线于点F，交∠内角平分线于E．（1）试说明；（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论；（3）若边上存在点O，使四边形是正方形，猜想△的形状并证明你的结论．分析：（1）根据平分∠，∥，找到相等的角，即∠∠，再根据等边对等角得，同理，可得．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵平分∠，∴∠∠，∵∥，∴∠∠，∴∠∠，∴，同理，，∴．（2）当点O运动到中点处时，四边形是矩形．如图，，∴四边形为平行四边形，∵平分∠，∴∠∠，同理，∠∠，∴∠∠∠（∠∠）= ×180°=90°，∴四边形是矩形．（3）△是直角三角形∵四边形是正方形，∴⊥，故∠90°，∵∥，∴∠∠，∴∠90°，∴△是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3、如图，直角梯形中，∥，∠90°，已知3，4，动点P从B点出发，沿线段向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段向点A作匀速运动．过Q点垂直于的射线交于点M，交于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求，的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线恰好将△的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形是矩形∴，、已知，就是t，即解；∵∥，∴△∽△，∴：：，（2）、已知，根据勾股定理可求5，即可表示；四边形构成平行四边形就是，列方程4即解；（3）可先根据平分△的周长，得出，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△的面积，即可判断出△的面积是否为△面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当时，那么2，据此可求出t的值．②当时，可根据和的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当时，在直角三角形中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵3∴4-（3）=1在△中，222=32+42∴5在△中，∠= ，．（2）由于四边形构成平行四边形∴，即4解得2．（3）如果射线将△的周长平分，则有：即：（1）+1 （3+4+5）解得：（5分）而（1）∴S△（1）2= （1）2当时，S△（1）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线恰好将△的面积和周长同时平分．（4）①当时（如图1）则有：即2∴42（1）解得：②当时（如图2）则有：（1）=4解得：③当时（如图3）则有：在△中，222而（1）（1）-（4）=23∴[ （1）]2+（23）2=（4）2解得：t1= ，t21（舍去）∴当，，时，△为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4、直线 346与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．分析：（1）分别令0，0，即可求出A 、B 的坐标； （2））因为8，6，利用勾股定理可得10，进而可求出点Q 由O 到A 的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出， 当P 在线段上运动（或0≤t≤3）时，，2t ，2，当P 在线段上运动（或3＜t≤8）时，，6+10-216-2t ，作⊥于点D ，由相似三角形的性质，得 48-6t5，利用 12×，即可求出答案； （3）令 485，求出t 的值，进而求出、，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标． 解答： 解：（1）0，0，求得A （8，0）B （0，6）， （2）∵8，6，∴10．∵点Q 由O 到A 的时间是 81=8（秒）， ∴点P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）． 当P 在线段上运动（或O≤t≤3）时， ，2t ，2．当P 在线段上运动（或3＜t≤8）时， ，6+10-216-2t ， 如图，做⊥于点D ， 由 ，得 48-6t5． ∴ 12• 35t2+245t．（3）当 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在上 当 485时，- 35t2+245 485 ∴4∴ 48-6×45= 245，16-2×4=8 82-(245)2= 325 ∴8- 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245） 点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；6.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？四边形中的动点问题课后作业1. 如图，已知与相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，＝，∠＝90°，⊥于H ，交于F.（1）求证：∥； （2）求证：△≌△；（3）若O 为中点，求证：＝12.2、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形中，∠＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是上的动点，满足A E ＋，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形总是正三角形．A B D C O P x yAQ CDB3、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．4、如图l －4－80，已知正方形的对角线、相交于点O ，E 是上一点，过点A 作⊥，垂足为G ，交于F ，则． （1）请证明0（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在的延长线上，⊥，交 的延长线于 G ，的延长线交的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．5、如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．FEDCBAA D CNE 6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形的四个顶点出发，沿着、、、以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。
（1）试判断四边形是正方形并证明。
（2）是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？7、已知：如图，△是边长3的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是1，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△是直角三角形?（2）设四边形的面积为y （2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形的面积是△面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；。