八年级数学特殊四边形中的动点问题(教师版)

合集下载

华东师大版数学八年级下册专题课堂特殊四边形与动点问题课件

[对应训练] 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝8 cm，点 P 从点 A 出发，
沿 AB 方向以每秒 2 cm 的速度向终点 B 运动．同时动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1 cm 的速度向终点 C 运动，将△PQC 沿 BC 翻折，点 P 的对应点为点 P ′.设点 Q 运动的时间为 t 秒，则 t 的值为_83_____时，四边形 QPCP′为菱形．
分别从 0≤x≤1，1<x≤2，2<x≤2.5 时，y＝13 ，去求解．
[对应训练] 4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的动点，且AE⊥EF于点E. 延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由．
AE＝EP.理由：在AB上截取BN＝BE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B ＝90°，∴AN＝EC，∠1＝∠2＝45°，∴∠4＝135°，∵CP为正方形ABCD的外角平分线， ∴∠PCE ＝ 135° ， ∴∠PCE ＝ ∠4 ， ∵∠AEP ＝ 90° ， ∴∠BEA ＋ ∠3 ＝ 90°，∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠3＝∠BAE，∴△ANE≌△ECP(ASA).∴AE＝ EP
二、矩形与动点【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝12 cm.点P沿AB边从A开始向点 B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤12). (1)当t＝__4__时，△QAP为等腰直角三角形； (2)求四边形QAPC的面积．分析：(1)由题意得，当AP＝AQ时，△QAP为等腰直角三角形，得出关于t的方程，即可解得t的值；(2)根据S＝S△AQC＋S△APC，即可求得．

特殊四边形中的动点问题

====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====人教版八年级特殊四边形中的动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图，在四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、边上的中点，阅读下列材料，回答问题：⑴连结AC BD 、，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH 是 . ⑵对角线AC BD 、满足条件时，四边形EFGH 是矩形. ⑶对角线AC BD 、满足条件时，四边形EFGH 是菱形. ⑷对角线AC BD 、满足条件时，四边形EFGH 是正方形.N OHGFEABCD2、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ︒∠=，14,18,21AB cm AD cm BC cm ===，点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果,P Q 分别从,A C 同时出发，设移动时间为t t = 时，四边形是平行四边形；当t = 时，四边形是等腰梯形.3、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且1DM =，N 为对角线AC 上任意一点，则DN MN +的最小值为4、在△ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E .CB A E D图1N M AB CD E M N 图2 A CB ED N M 图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE AD BE =+； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE AD BE 、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．6、在矩形ABCD 中，204AB cm BC cm ==，，点P 从A 开始沿折线A B C D →→→以4/cm s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边以1/cm s 的速度移动，如果点P Q 、分别从A C 、同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为()t s ，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？C7、如图，梯形OABC 中, O 为直角坐标系的原点, A B C 、、的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）点P Q 、同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC CB 、以每秒2个单位向终点B 运动。

初二数学特殊四边形中地动点问题(教师版)

适用标准文案特别四边形中的动点问题及解题方法1 、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从 A 开始沿 AD边向 D 以 1cm/s的速度运动；动点Q 从点 C 开始沿CB 边向 B 以 3cm/s的速度运动．P 、 Q 分别从点 A 、 C 同时出发，当此中一点抵达端点时，此外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ．〔 1 〕当t 为什么值时，四边形PQCD为平行四边形？〔 2 〕当t 为什么值时，四边形PQCD为等腰梯形？〔 3 〕当t 为什么值时，四边形PQCD为直角梯形？剖析：〔 1 〕四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．〔 2 〕四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3 〕四边形 PQCD 为直角梯形时QC-PD=EC ．全部的关系式都可用含有t 的方程来表示，即本题只需解三个方程即可．解答：解：〔 1 〕∵四边形 PQCD 平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得： t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．文档大全适用标准文案（2〕过 D 作 DE⊥BC 于 E那么四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即 3t- 〔 24-t 〕 =4解得： t=7 〔 s〕即当t=7 〔 s〕时，四边形PQCD为等腰梯形．（3 〕由题意知： QC-PD=EC 时，四边形PQCD为直角梯形即3t- 〔 24-t 〕 =2解得：〔s〕即当〔s〕时，四边形PQCD为直角梯形．评论：本题主要考察了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判断，难易程度适中．2 、如图，△ ABC中，点O 为 AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN交∠BCA的外角均分线CF 于点F，交∠ ACB 内角均分线CE 于 E．文档大全适用标准文案（1 〕试说明 EO=FO ；〔 2〕当点 O 运动到哪处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；〔 3〕假定 AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ ABC 的形状并证明你的结论．剖析：〔 1 〕依据 CE 均分∠ ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠ OEC=∠ECB，再依据等边平等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2 〕利用矩形的判断解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3 〕利用条件及正方形的性质解答．解答：解：〔 1 〕∵ CE 均分∠ ACB ，∴∠ACE= ∠BCE ，∵MN ∥BC ，∴∠OEC= ∠ECB ，∴∠OEC= ∠OCE ，∴OE=OC，同理， OC=OF，∴OE=OF．〔 2 〕当点O 运动到AC 中点处时，四边形AECF 是矩形．文档大全适用标准文案如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF 为平行四边形，∵CE 均分∠ ACB ，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ ACF=∠ACG，∴∠ECF= ∠ACE+ ∠ACF=〔∠ACB+∠ACG〕=×180°=90°，∴四边形AECF 是矩形．（3 〕△ABC 是直角三角形∵四边形 AECF 是正方形，∴AC ⊥ EN ，故∠ AOM=90°，∵MN ∥BC ，∴∠BCA= ∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．评论：本题主要考察利用平行线的性质“等角平等边〞证明出结论〔 1 〕，再利用结论〔 1 〕和矩形的判断证明结论〔 2 〕，再对〔 3 〕进行判断．解答时不单要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题供给思路，有相像的思虑方法．是矩形的判断和正方形的性质等的综合运用．3 、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=3，BC=4，动点P 从 B 点出发，沿线段BC 向点 C 作匀速运动；动点Q 从点 D 出发，沿线段DA 向点 A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交 BC 于点N ． P、 Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度．当Q 点运动到 A 点， P 、文档大全适用标准文案Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．〔 1 〕求NC ， MC的长〔用t 的代数式表示〕；〔 2 〕当t 为什么值时，四边形PCDQ组成平行四边形；〔 3 〕能否存在某一时辰，使射线QN恰巧将△ ABC的面积和周长同时均分？假定存在，求出此时t 的值；假定不存在，请说明原因；〔 4 〕研究：t 为什么值时，△PMC为等腰三角形．剖析：〔 1 〕依照题意易知四边形ABNQ是矩形∴ NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD，DQ就是t，即解；∵AB ∥QN ，∴△CMN ∽△CAB ，∴CM ： CA=CN：CB，〔2〕CB、CN，依据勾股定理可求CA=5，即可表示CM ；四边形PCDQ组成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；〔 3 〕可先依据QN均分△ ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t 的值．而后依据得出的t 的值，求出△ MNC的面积，即可判断出△MNC的面积能否为△ABC面积的一半，由此可得出能否存在切合条件的t 值．（4 〕因为等腰三角形的两腰不确立，所以分三种状况进行议论：①当 MP=MC 时，那么 PC=2NC ，据此可求出 t 的值．②当 CM=CP时，可依据CM和 CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t 的值．③当 MP=PC时，在直角三角形MNP 中，先用t 表示出三边的长，而后依据勾股定理即可得出t 的值．综上所述可得出切合条件的t的值．解答 :文档大全适用标准文案解：〔 1 〕∵ AQ=3-t∴CN=4-〔3-t〕=1+t在 Rt △ABC 中， AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在 Rt △MNC中，cos∠NCM==，CM=．（2 〕因为四边形 PCDQ 组成平行四边形∴PC=QD ，即 4-t=t解得t=2 ．〔 3 〕假如射线QN将△ABC的周长均分，那么有：MN+NC=AM+BN+AB即：〔 1+t 〕 +1+t=〔3+4+5〕解得： t=〔5 分〕而 MN=NC=〔1+t〕∴S△MNC=〔 1+t〕 2=〔 1+t〕 2当 t=时，S△MNC=〔1+t〕2=≠×4×3∴不存在某一时辰t ，使射线QN 恰巧将△ ABC 的面积和周长同时均分．文档大全适用标准文案（4 〕①当 MP=MC 时〔如图 1 〕那么有： NP=NC即 PC=2NC ∴4-t=2 〔 1+t 〕解得： t=②当CM=CP时〔如图 2 〕那么有：（1+t 〕 =4-t解得： t=③当PM=PC时〔如图 3 〕那么有：在 Rt △MNP 中， PM2=MN2+PN2而 MN=NC=〔1+t〕PN=NC-PC=〔1+t〕-〔4-t〕=2t-3∴[〔1+t〕]2+〔2t-3〕2=〔4-t〕2解得： t1=，t2=-1〔舍去〕∴当 t=，t=，t=时，△ PMC为等腰三角形评论：本题繁琐，难度中等，考察平行四边形性质及等腰三角形性质．考察学生疏类议论和数形联合的数学思想方法．4 、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于 A 、 B 两点，动点P 、 Q 同时从O 点出发，同时抵达 A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点P 沿路线O ? B? A 运动．〔 1 〕直接写出 A 、 B 两点的坐标；〔 2 〕设点Q 的运动时间为t 〔秒〕，△OPQ的面积为S，求出S 与 t 之间的函数关系式；〔 3 〕当S= 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、 P 、 Q 为极点的平行四边形的第四个极点M 的坐标．文档大全适用标准文案剖析：〔 1 〕分别令y=0 ， x=0 ，即可求出 A 、 B 的坐标；〔 2 〕〕因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，从而可求出点Q 由 O 到 A 的时间是8 秒，点P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段OB 上运动〔或 0 ≤t ≤3 〕时， OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA 上运动〔或 3 ＜ t ≤8 〕时， OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD ⊥ OA 于点 D ，由相像三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；〔 3 〕令S= 485 ，求出t 的值，从而求出OD 、 PD ，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标．解答：解：〔 1 〕 y=0 ， x=0 ，求得 A 〔 8 ， 0 〕 B 〔 0 ， 6〕，（2 〕∵OA=8 ， OB=6 ，∴AB=10 ．∵点Q由O到A的时间是81=8 〔秒〕，∴点 P 的速度是6+108=2〔单位长度 / 秒〕．当 P 在线段 OB 上运动〔或O ≤t ≤3 〕时，OQ=t， OP=2t， S=t2 ．当 P在线段 BA 上运动〔或 3 ＜ t ≤8 〕时，OQ=t， AP=6+10-2t=16-2t，文档大全适用标准文案如图，做PD ⊥OA 于点D，由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ ?PD=- 35t2+245t．〔 3〕当S= 485时，∵485 ＞ 12 ×3×6∴点 P 在 AB 上当 S= 485 时， - 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P〔85 ，245 〕M1 〔285 ，245 〕，M2 〔-125，245 〕，M3 〔125 ，-245〕评论：本题主要考察梯形的性质及勾股定理．在解题〔 2 〕时，应注意分状况进行议论，防备在解题过程中出现漏解现象．5. ：如图，在直角梯形COAB 中， OC ∥ AB ，以 O 为原点成立平面直角坐标系，A， B，C 三点的坐标分别为 A(8，0)， B (810)，， C (0，4) ，点D为线段BC 的中点，动点P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线OABD的路线挪动，挪动的时间为t 秒．〔 1〕求直线BC 的分析式；〔 2P 在线段 OA 上挪动，当 t 为什么值时，四边形OPDC 的面积是梯形2〕假定动点COAB 面积的？7〔 3〕动点P从点 O 出发，沿折线OABD 的路线挪动过程中，设△OPD 的面积为S ，请直接写出S 与 t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；ByD文档大全CO P A x适用标准文案6. 如图，△ ABC中，AB AC 10 厘米，BC 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．〔 1 〕假如点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段CA 上由 C 点向 A 点运动．①假定点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△ BPD与△CQP能否全等，请说明原因；②假定点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，可以使△ BPD与△CQP全等？〔 2 〕假定点Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点P 以本来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在△ ABC的哪条边上相遇？ADQB CP文档大全适用标准文案四边形中的动点问题课后作业1.如图，AD 与 BC 订交于E，∠1 ＝∠ 2 ＝∠3， BD ＝ CD ，∠ADB ＝ 90 °，CH ⊥ AB 于 H ， CH 交 AD 于 F.（1 〕求证： CD ∥AB ；（2 〕求证：△ BDE ≌△ACE ；1〔 3 〕假定O 为 AB 中点，求证： OF ＝BE.22 、如图1―4 ―2l ，在边长为足 A E ＋ CF=a ，说明：不论a 的菱形 ABCD 中，∠ E、F 如何挪动，三角形DAB ＝ 60 °，E 是异于BEF 老是正三角形．A 、 D两点的动点， F 是CD上的动点，满3 、在平行四边形ABCD 中， E 为 BC 的中点，连结AE 并延伸交DC 的延伸线于点F．(1) 求证：AB CF ；(2) 当BC与AF知足什么数目关系时，四边形ABFC是矩形，并说明原因．DA文档大全CB EF适用标准文案4 、如图l－ 4 － 80 ，正方形ABCD的对角线AC 、 BD 订交于点O ， E 是 AC 上一点，过点 A 作 AG ⊥ EB，垂足为 G， AG 交 BD 于 F，那么 OE=OF ．〔 1 〕请证明 0E=OF〔 2 〕解答〔1〕题后，某同学产生了以下猜想：对上述命题，假定点 E 在 AC 的延伸线上，AG ⊥ EB ， AG 交EB 的延长线于G， AG 的延伸线交DB 的延伸线于点 F ，其余条件不变，那么仍有OE=OF．问：猜想所得结论能否成立？假定成立，请给出证明；假定不可立，请说明原因．5 、如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC， AD3， DC5， AB 4 2，∠B45 ．M 从 B 点出发沿线段动点BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从 C 点出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒．（1 〕求BC的长．（2 〕当MN∥AB时，求t的值．A D〔 3 〕尝试究：t 为什么值时，△ MNC为等腰三角形．文档大全NB C适用标准文案6. 以下列图，有四个动点P、 Q 、 E、 F 分别从正方形ABCD 的四个极点出发，沿着AB、 BC、CD 、DA以相同的A FD速度向 B、C、 D、A 各点挪动。

八年级数学第8讲.四边形中的动点问题.尖子班.教师版.docx

8四边形中的动点问题满分晋级阶梯四边形 8 级四边形7级四边形中的动点问题四边形 6 级特殊图形的旋转与正方形弦图平移和几何最值问题春季班春季班春季班第六讲第七讲第八讲漫画释义如法炮制知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题由动点产生的特殊图例 1，例 2，例 3，练习 1，练习 2，练习3；型目例 4，例 5，例 6，例 7，练习4，练习 5．标由动点产生的函数关系编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．题型一：由动点产生的特殊图形思路导航我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．典题精练【例 1】已知如图：在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点 D 是OA的中点，点 P 在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三yCP B角形时，点P 的坐标为．(101 中学初三月考)【解析】 3 ，4 、2，4 或 8 ，4O DAx【例 2】在平行四边形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，若 E、F 是 AC 上两动点，分别从A、C 两点以相同的速度1cm/s 向 C、 A 运动．⑴四边形 DEBF 是平行四边形吗 ?请说明理由．⑵若 BD =12cm， AC=16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形 ?D C D CFEO OEFA B BADCD CFEOOE FAB A B 【解析】⑴四边形 DEBF 是平行四边形理由：∵ E， F 两动点，分别从A，C 两点以相同的速度向C，A 运动∴AE＝CF∴OE＝OF∴BD、EF 互相平分∴四边形 DEBF 是平行四边形⑵ ∵四边形 DEBF 是平行四边形∴当 BD ＝EF 时，平行四边形DEBF 是矩形∵BD＝ 12cm，∴ EF＝ 12cm∴OE＝ OF ＝6cm∵AC＝ 16cm∴OA＝ OC＝8cm∴AE＝ 2cm 或 AE＝ 14cm∵动点的速度是 1cm/s∴t＝ 2s 或 t＝ 14s【例 3】如图所示，在直角坐标系中，四边形 OABC 为直角梯形， OA∥ BC，BC=14cm ，A 点坐标为（ 16，0）， C 点坐标为（ 0， 2）．点 P、 Q 分别从 C、 A 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，点 Q 以 4cm/s 的速度由 A 向 O 运动，当点 Q 停止运动时，点 P 也停止运动，设运动时间为ts 0 ≤ t ≤ 4 ．⑴求当 t 为多少时，四边形 PQAB 为平行四边形？⑵求当 t 为多少时， PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．【解析】⑴ ∵ t s 后， BP= 14 2t cm，AQ =4t cm．由y7BP= AQ ，得 142t(s)．4t ， t=73P B∴当 t= s 时， BP= AQ ，又 OA∥ BC，C 3∴四边形 PQAB 为平行四边形．O Qx A⑵∵ C 点坐标为（0， 2）， A 点坐标为（ 16， 0），∴ OC=2 cm ， OA=16 cm ．∴S梯形 OABC =1(OA+BC ) ·OC=1×(16+14)×2=30(cm 2) ．22∵ t s后，PC= 2t cm，OQ= 164t cm，∴S四边形 PQOC =116 4t2162t ．2t2由题意可得 S四边形PQOC=10，∴162t10，解得 t=3s．此时直线 PQ 的函数关系式为 y x 4 ．【探究】四边形中的动态问题【变式 1】如图，在矩形OABC 中，已知点 B 的坐标为 (9， 4)，点 P 是矩形边上的一个动点，若点 E 的坐标为 (5， 0)，且△POE 是等腰三角形，求点P 的坐标？yA P2P1By P3P4A BO E C xO E C x【解析】如图， 3 4，P22,4，P3 2.5,4，P49,3 .P1 ,【探究 2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；【变式 2】如图，矩形ABCD 中， B 的坐标为 ( 4 3，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，从点O 出发沿 OA 向终点 A 运动，同时动点Q 以每秒 2 个单位的速度从点O出发沿OB向终点B运动 . 过点Q作QE⊥ OB，交AB于点E，连接PE PQ. 设运动时间为t、秒 . 求t为何值时，PE OB.∥yA E BP QO C x16【解析】 PQ=BE 时， PE∥ OB，此时t.7【探究 3】线动问题，线动问题转化为点动问题；【变式 3】如图，矩形 ABCO 中， B 的坐标为 ( 4 3 ，4) ，一动点 P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度，从点 O 出发沿 OA 向终点 A 运动，过点 P 作直线 PF ⊥ OB ，交 OB 于点 F ；同时将直线 PF 以每秒3 个单位向右平移，分别交 AB 、 OB 于点 E 、Q ，连接 PE. 设运动时间为 t 秒 . 求 t 为何值时， PE ∥ OB.yAEBPFQOC x【解析】同上，此时 t16 .7【探究 4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；【变式 4】如图，直角 Rt △ ABO 中， A 的坐标为 (15， 53 )，斜边中线 AC 将这个直角三角形分成了2 2两个等腰三角形△ AOC 与△ ABC （如图所示），将△ AOC 沿直线 x 轴正方向平移得到△ A 1O 1C 1 ，当点 O 1 与点 C 重合时，停止平移。

人教版八年级数学下册课件：专题(十二) 特殊四边形中的动点问题(共10张PPT)

人教版
专题(十二) 特殊四边形中的动点问题
利用特殊四边形的性质解决动点问题时，一般是将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直移动到点B停止，点 Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也停止移动，则经过几秒时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?
解：设经过 t 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2，则 AP＝
3t cm，CQ＝2t cm，BP＝(16－3t)cm，∴12×6×(16－3t＋2t)＝33，解得 t＝5，故经过 5 s 后，四边形 PBCQ 的面积是 33 cm2
2. 如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE＝4 cm，如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．设运动时间为t s．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒后，△BPE与△CQP全等？请说明理由．
解：(1)∵在矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，∴BC＝AD＝16 cm， AB＝CD＝8 cm，由已知可得，BQ＝DP＝t cm，AP＝CQ＝(16－t)cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16－t，得t＝8，故当t＝8 s时，四边形ABQB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点D出发向点A 运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形； (3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．

特殊平行四边形、矩形、菱形、正方形动点问题

八年级下平行四边形、矩形、菱形正方形---动点问题教案简阳市解放九年义务教育学校马信明教学目标：（一）知识与技能目标：1、了解动点问题关键：化动为静，确定图形2、掌握数学思想：数形结合思想、方程思想、分类讨论思想（二）情感目标：1、通过积极参与数学学习的活动，初步形成乐于探究的态度和团队合作的精神。

2．形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

教学重点和难点：教学重点：能抓住瞬间，化动为静，确定出图形。

教学难点：进行分类讨论教学过程：一、问题情景1、如图：梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=9cm,BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿着AD 的方向向终点D 以每秒一个单位的速度运动，当点P 在AD 上运动时，设运动时间为t ，求当t 为何值时，四边形APCB 为平行四边形 BP A[思路点拨]：抓住瞬间，确定图形AP二、问题变式训练小组合作交流讨论PCDB C D[数学思想1]：数形结合,方程思想变式1：如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，梯形的高为5cm.点P从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动，当点P在CD上运动时，设运动时间为t，求当t为何值时，三角形PCD的面积为梯形ABCD面积的一半变式2、如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s 的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。

运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形?变式3、如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，梯形的高为5cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动。

运动多少秒时，四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等?[思路点拨]：1、先确定特定图形中动点的位置2、利用已知条件，将动点的移动距离表示出来。

2024八年级数学下册练册第7招特殊平行四边形的性质在动点问题中的巧用习题课件新版湘教版

B.当t＝5时，四边形CDPM为平行四边形
C.当CD＝PM时，t＝4
D.当CD＝PM时，t＝4或6
分类训练
【点拨】
由题意得PD＝t cm，AP＝AD－PD＝(10－t)cm，BM＝t
cm，CM＝(8－t)cm，∠A＝∠B＝90°.
当t＝4时，AP＝10－4＝6(cm)，BM＝4 cm，AP≠BM，
又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形.
∵OE＝OC，∴AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形.
分类训练
巧用平行四边形的性质解决动点问题
1.[2023·娄底三中期中]如图所示，在平行四边形ABCD中，
AD∥BC，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AB＝13 cm，BC
＝21 cm，AE＝5 cm.动点P从点C出发，在线段CB上以每
值最大，最大值的路径长为2×(12－
6 )＝24－12 (cm).
分类训练
5.如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是
AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
分类训练
BE＝ − ＝12 cm.

由题意得 ×(21－2t)×12＝60，

解得t＝，

∴当t＝时，△QDP的面积为60

cm2.
分类训练
(3)当t为何值时，PD＝PQ？
【解】如图，过点P作PH⊥DQ于点
H，过点D作DG⊥BC于点G，则四
边形HPGD为矩形，∴PG＝HD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
分类训练
【点拨】
由题意得∠DEC＝45°，DE＝12 cm，易知CD＝CE＝6

2024八年级数学下册第2章四边形专题三特殊四边形的动点问题习题课件新版湘教版

5．[中考·锦州]如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( )
B
6．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t s，当以点A，B，P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为( ) A．3或5 B．5或7 C．7 D．3或7
第2章四边形
专题强化训练(三)
训练2 特殊四边形的动点问题
1．如图，在▱ABCD中，AB＝10 cm，F是AB的中点，E为边CD上一点，DE＝4 cm.点M从点D出发，沿D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C；同时点N从点B出发，沿B→A以2 cm/s的速度匀速运动到点A.一个点停止运动后，另一个点也随之停止运动．当点M运动时间是________s时，以点M，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．
B
3．如图，在矩形ABCD中ห้องสมุดไป่ตู้AD＝2AB＝6，E为边BC上一点，且CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着BC→CD→DA运动，到达点A立即停止，运动时间记为t s，当以点A，B，P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为( ) A．2 B．3 C．3或13 D．2或13
1或3
2．[中考·绍兴]如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( ) A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

人教版八年级下第十八章平行四边形专题5 特殊平行四边形中的动点问题(word无答案)

人教版八年级下第十八章平行四边形专题5 特殊平行四边形中的动点问题(word无答案)一、单选题(★) 1 . 如图，在矩形中，点是的中点，点是上的一动点．若，，则的值可能是（）A．3.2B．3.5C．3.6D．3.8二、解答题(★★) 2 . 如图所示，在矩形中，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间（）．（1）当为何值时，为等腰三角形？（2）求四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．(★★) 3 . 已知点分别在菱形的边上滑动（点不与重合），且．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由；（3）如图3，若，请直接写出四边形的面积．(★★) 4 . 如图所示，四边形是正方形，是延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点，且直角顶点在边上滑动（点不与点重合），另一条直角边与的平分线相交于点．（1）如图1所示，当点在边的中点时：①通过测量的长度，猜想与满足的数量关系是________________；②连接点与边的中点，猜想与满足的数量关系是________________；③请证明上述你的两个猜想．（2）如图2所示，当点在边上的任意位置时，请你在边上找到一点，使得，进而猜想此时与的数量关系．(★) 5 . 如图，四个小球分别从正方形的四个顶点处出发（小球的大小忽略不计），以同样的速度分别沿方向滚动，其终点分别是点，顺次连接四个小球所在的位置，得到四边形．（1）不论小球滚动多长时间，求证；四边形总是正方形；（2）这个四边形在什么时候面积最大？（3）在什么时侯四边形的面积为正方形面积的一半？请说明理由．。

八年级数学四边形之动点问题(隐含点建等式)(北师版)(含答案)

四边形之动点问题（隐含点建等式）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，．动点P从点A出发以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（），解答下列问题：（1）当t=( )时，PQ∥AC.A. B.2C. D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当t=( )时，PQ=PC．A.1B.C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，点D在BC边上，且CD=4．动点P从点A 出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点B出发沿BC 方向以每秒1.5个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设点P，Q运动的时间为t秒，（1）△EDQ的面积S与t的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当△EDQ为直角三角形时，t的值为( )A. B.3 C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=15，∠ABC=60°．点P从点B出发沿B→A→D以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动；同时点Q从点C出发沿C→B以每秒3个单位长度的速度向点B匀速运动，当点Q到达点B时，P，Q同时停止运动．设P，Q的运动时间为t秒．（1）点P在AD上运动过程中，当t=( )秒时，PQ∥AB．A.3B.4C.2D.2.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第5题）（2）如图，过点Q作QE⊥BC交线段DA或AB于点E，设△BQE的面积为S，则S与t的函数关系式为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

第十八章平行四边形四边形中的动点问题(教案)人教版八年级数学下册

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形中动点问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对动点问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对平行四边形内动点问题的探究表现得非常积极。他们对于动点的运动规律和性质有了初步的认识，也尝试着将这些知识应用到实际问题中。我觉得这是一个很好的开始，但也发现了一些需要改进的地方。
首先，理论讲授部分，我发现有些同学对动点问题的基本概念掌握不够扎实。可能是我讲解得不够细致，也可能是同学们对这些概念还不够熟悉。在以后的教学中，我需要更加注意这一点，尽量用简单易懂的语言和丰富的例子来帮助他们理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调动点的运动规律和利用平行四边形性质解题这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与动点问题相关的实际问题。
2.实行四边形中的运动规律和性质。
-难点二：在实际问题中，学生可能不知道如何选择合适的定理和性质来解决动点问题。教师应指导学生通过分析问题结构，识别关键信息，进而选择恰当的几何定理进行求解。
-难点三：针对不同动点问题，如路径最短、面积最大等，学生可能不知如何下手。教师应教授学生分类讨论和优化的方法，帮助学生理清思路，找到解题突破口。
4.培养合作意识和团队精神，在小组讨论和探究过程中，学会倾听、交流、表达和协作，共同解决问题。

四边形中的动点问题(示范课例) 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思人教版

四边形中的动点问题——教学设计哈密市第四中学杨文君题目：人教版八年级下册第68页复习题第13题的变式与应用如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?一、审题分析1.本课的地位和作用：本题可以加强学生对平行四边形这一章中平行四边形的判定、矩形的性质和判定、菱形及正方形的判定等知识点的融会贯通，在巩固学生使用分类思想的同时让学生学会利用化动为静的策略，考虑动点在符合要求的某一时刻所具有的特性，把它当做已知条件加以应用。

2.本课考点：平行四边形的判定、矩形的性质和判定、菱形及正方形的判定及勾股定理3.题目背景与教材的关系：本题源自人教版八年级下册第68页复习题第13题的变式与应用.它紧扣教材中特殊四边形的性质和判定的应用.4.题目与数学核心素养的关系：本课在进行课堂教学时，通过解决动点问题培养学生数学思维和分类讨论思想，从而达到提高学生分析问题解决问题的能力。

5.解题的路径：根据特殊四边形的判定让学生使用分类思想的同时让学生学会利用化动为静的策略，考虑动点在符合要求的某一时刻所具有的特性，把它当做已知条件加以应用。

6.本题的数学思想和方法：本课的教学中我采用了启发式教学与小组合作探究相结合的教学方法，突出体现了数学中常见的分类思想、数形结合思想及化归思想，让学生体会到猜想在数学探索中的意义。

7.学情分析：本课的教学对象是八年级的学生，他们已经具备一定的发现问题、分析问题和解决问题的能力.学生在本题的解答过程中可能遇到的困难：(1)学生不易找出动点在符合要求的某一时刻所具有的特性(2)学生不能把学过的知识点与动点问题有效的结合起来运用，找不到问题的突破点.8.教学方法：让学生先阅读先思考先分析再小组合作探究，最后教师引导。

浙教版八年级数学下册第5章专题十二特殊四边形中的动点问题

专题
∴△ADE≌△CDG. ∴AE＝CG. ∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE. ∵AC＝ 2AB， ∴CE＋CG＝ 2AB.
专题
∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠EMC＝∠ENC＝90°， ∴∠NEC＝45°，∴NE＝NC， ∴四边形EMCN是正方形． ∴EM＝EN，∠NEM＝90°. ∴∠MEF＋∠FEN＝90°. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°. ∴∠DEN＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.
专题
在△DEN 和△FEM 中， ∠ END＝NEEM＝，∠FME， ∠DEN＝∠FEM， ∴△DEN≌△FEM. ∴ED＝EF， ∴矩形 DEFG 是正方形．
专题
又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形． ∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2 ＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.
专题
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
专题
若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝4 cm，AD＝BC＝8 cm. ∵AF＝CF＝5 cm，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，
专题
∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA ＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得 t＝43. 故当以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t 的值为43.

八年级数学四边形之动点问题(框架)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：动点问题的处理框架是什么？问题2：在分析运动过程时常借助运动状态分析图，需要关注哪几个要素？四边形之动点问题（框架）（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC 方向向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动；当P，Q两点中其中一点到达终点时，则停止运动．设运动时间为t秒，则当t为( )秒时，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B 运动.点P，Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ，DQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )秒时，△PDQ≌△CQD．A.4B.6C.8D.12答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9．动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．解答下列问题：（1）运动状态分析图如下空缺处依次所填正确的是( )A.①1/s；②B.①3/s；②C.①3/s；②D.①3/s；②答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当点P沿AB-BC-CA方向运动时，需要分_____种情况来考虑，时间段的划分为( )A.1；B.2；；C.3；；；D.3；；；答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第3，4题）（3）当P在BC上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.3tB.18-3tC.3t-9D.3t-18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第3，4，5题）（4）当点P在CA上运动时，线段PC的长可用含t的式子表示为( )A.18-3tB.3t-18C.27-3tD.3t-9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当运动终止时，线段BQ的长为( )A.105B.45C.35D.30答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）当点P运动到AD上时，若PQ∥DC，则t的值为( )A. B.25C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。

人教版八下数学第十八章专题4特殊平行四边形中的动点问题

人教版八下数学第十八章专题4特殊平行四边形中的动点问题1.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B，C两点之间往返运动，两点同时出发，点P 到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为时，以P，Q，C，D为顶点的四边形是矩形．2.如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，点P到达C点时，运动停止．设点P的运动时间为t s．(1) 如图（1），S△DCP=．（用代数式表示）(2) 如图（2），当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在v值使得在某一时刻阴影部分的两个直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．3.已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上滑动（点P不与B，C重合），且∠PAQ=∠B．(1) 如图（1），若AP⊥BC，求证：AP=AQ；(2) 如图（2），若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由；(3) 如图（3），若AB=4，∠B=60∘，请直接写出四边形APCQ的面积．4.如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为．5.如图，正方形ABCD的边长为4，点M为DC边上一动点，将△BCM沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点Cʹ处，连接DCʹ并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN= DM时，CM的长为．6.如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D处同时出发（小球的大小忽略不计），以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA方向滚动，其终点分别是点B，C，D，A，顺次连接四个小球所在的位置，得到四边形PQRS．(1) 不论小球滚动多长时间，求证：四边形PQRS总是正方形．(2) 这个四边形在什么时候面积最大？(3) 在什么时候四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半？请说明理由．7.已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C，D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG=∠DAH．(1) 若点F在边CD上，如图所示．①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．(2) 取DF中点M，连接MG．若MG=3，正方形ABCD的边长为4，则BE=．答案1. 【答案】2.4s或4s或7.2s【解析】设运动时间为t s．根据题意可知，当点P从点A向点D运动时，点Q将由C−B−C−B−C运动．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D=90∘，∴PD∥CQ．若PD=CQ，则四边形PQCD是矩形．由题意得DP=12−t．当0≤t≤3时，CQ=4t，∴12−t=4t，∴t=2.4；当3<t≤6时，CQ=24−4t，∴12−t=24−4t，∴t=4；当6<t≤9时，CQ=4t−24，∴12−t=4t−24，∴t=7.2；当9<t≤12时，CQ=48−4t，∴12−t=48−4t，∴t=12，此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去.故答案为2.4s或4s或7.2s.2. 【答案】(1) (12−2t)cm2(2) 存在．①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB=4cm，∴PC=4cm，∴BP=6−4=2(cm)，即t=2，又∵CQ=BP=2m，∴v×2=2，解得v=1；②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，∵PB=PC，BC=3cm，即t=3，∴BP=PC=12又∵CQ=BA=4cm，．∴v×3=4，解得v=43综上所述，当v=1或43时，△ABP与△PQC全等．【解析】(1) 点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t s时，BP=t cm，则PC=(6−t)cm，∴S△DCP=12PC⋅CD=12(6−t)×4=(12−2t)cm2．故答案为(12−2t)cm2．3. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠C=180∘，∠B=∠D，AB=AD．∵∠PAQ=∠B，∴∠PAQ+∠C=180∘，∴∠APC+∠AQC=180∘．∵AP⊥BC，∴∠APC=90∘，∴∠AQC=90∘．在△APB和△AQD中，{∠APB=∠AQD=90∘,∠B=∠D,AB=AD,∴△APB≌△AQD(AAS)，∴AP=AQ．(2) 若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立．证明如下：如图（1），作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F．由（1）可得∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，∴∠EAP=∠FAQ．在△AEP和△AFQ中，{∠AEP=∠AFQ=90∘, AE=AF,∠EAP=∠FAQ,∴△AEP≌△AFQ(ASA)，∴AP=AQ．(3) 四边形APCQ的面积为4√3．【解析】(3) 理由：如图（2），连接AC，BD交于点O，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．∵∠ABC=60∘，BA=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AE⊥BC，∴BE=EC，同理，CF=FD，∴四边形AECF的面积=12×四边形ABCD的面积，由（2）得四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积．∵AB=4，∠B=60∘，AB=2，OB=√AB2−OA2=2√3，∴OA=12×2√3×4×2=8√3，∴四边形ABCD的面积为12∴四边形APCQ的面积为4√3．或24. 【答案】4√55【解析】如图，过C作CG⊥DE于G．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90∘，∵DE⊥AF，∴∠AED=90∘，∴AD>DE，∴CD>DE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，只能有CD=CE，∵CG⊥DE，DE，∴EG=DG=12∵∠ADE+∠CDG=∠ADE+∠DAE=90∘，∴∠CDG=∠DAE，∵∠AED=∠CGD=90∘，∴△AED≌△DGC(AAS)，DE，∴AE=DG=12设AE=x，则DE=2x，在Rt△AED中，由勾股定理得AE2+DE2=AD2，∵AD=2，∴x2+(2x)2=22，解得x=±2√5，5∵x>0，，∴x=2√55，∴DE=2x=4√55当F与B重合，则E与A重合，△CDE是以CD为腰的等腰直角三角形，此时DE=AD= 2．故答案为4√55或2．5. 【答案】2或8−4√3【解析】如图（1），当BN=DM时，连接CCʹ交BM于J，∵BN=DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM∥DN，∵CJ=JCʹ，∴CM=DM=12CD=2．如图（2），当BN=DM时，连接CCʹ，过点Cʹ作CʹT⊥CD于T，∵CB=CD，BN=DM，∴CN=CM=MCʹ．在△BCM和△DCN中，{CB=CD,∠BCM=∠DCN, CM=CN,∴△BCM≌△DCN(SAS)，∴∠CDN=∠CBM．∵∠CBM+∠BCCʹ=90∘，∠BCCʹ+∠CʹCD=90∘，∴∠CBM=∠CʹCD，∴∠CʹCD=∠CDN，∴CʹD=CʹC．∵CʹT⊥CD，∴DT=TC=2．∵CʹT∥CN，∴DCʹ=CʹN，∴CʹT=12CN．设CʹT=x，则CN=CM=MCʹ=2x，TM=√3x，∴2x+√3x=2，∴x=4−2√3，∴CM=8−4√3．综上所述，CM的值为2或8−4√3．6. 【答案】(1) 根据题意得AP=BQ=CR=DS．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，∴BP=CQ=DR=AS，∴易得△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS(SAS)，∴SP=PQ=QR=RS，∠APS=∠BQP，∴四边形PQRS为菱形，∴∠APS+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90∘，∴∠SPQ=90∘，∴四边形PQRS为正方形．=(2) 根据题意得当P，Q，R，S在即将出发或到达终点时面积最大，此时S正方形PQRS S．正方形ABCD(3) 当P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA的中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半，理由如下：设正方形ABCD的边长为a，a2．则根据题意知PS2=12在Rt△APS中，AS=a−SD=a−AP．由勾股定理，得AP2+AS2=PS2，a2，即AP2+(a−AP)2=12a．解得AP=12a．同理可得BQ=CR=SD=12∴当P，Q，R，S四个小球分别在正方形ABCD各边的中点时，四边形PQRS的面积为正方形ABCD面积的一半．7. 【答案】(1) ① ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDB=45∘，DA=DC，在△DAH和△DCH中，{DA=DC,∠ADH=∠CDH, DH=DH,∴△DAH≌△DCH(SAS)，∴∠DAH=∠DCH，∵∠ECG=∠DAH，∴∠ECG=∠DCH，∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90∘，∴∠DCH+∠FCG=∠HCG=90∘，∴CH⊥CG．② ∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF=90∘，由①得∠DCH+∠FCG=90∘，∠DAH=∠DCH，∴∠DFA=∠FCG，又∵∠DFA=∠CFG，∴∠CFG=∠FCG，∴GF=GC，∴△GFC是等腰三角形．(2) 4+2√5【解析】(2) ①如图（1），当点F在线段CD上时，连接DE，∵∠GFC=∠GCF，∠GEC+∠GFC=90∘，∠GCF+∠GCE=90∘，∴∠GCE=∠GEC，∴EG=GC=FG，∵FG=GE，FM=MD，∴DE=2MG=6，在Rt△DCE中，CE=√DE2−DC2=√62−42=2√5，∴BE=BC+CE=4+2√5．②如图（2），当点F在线段DC的延长线上时，连接DE，同法可知GM是△DEF的中位线，∴DE=2GM=6，在Rt△DCE中，CE=√DE2−DC2=√62−42=2√5，∴BE=BC−CE=4−2√5<0，不存在，舍去．综上所述，BE的长为4+2√5．。

人教版初中数学讲义八年级下册第08讲专题3 平行四边形(特殊的平行四边形)中的动点问题(解析版)

第08讲专题3平行（特殊平行）四边形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题类型二：矩形中的动点问题类型三：菱形中的动点问题类型四：正方形中的动点问题类型一：平行四边形中的动点问题1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B 运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝2或6时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？【解答】解：由题意知，可分两种情况：①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴6﹣2t＝t，解得t＝2；②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴2t﹣6＝t，解得t＝6，综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．故答案为：2或6．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，∴10﹣t＝10﹣2.5t，1.5t＝0，∴t＝0（舍去）；当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，∴10﹣t＝2.5t﹣10，解得：t＝；当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，∴10﹣t＝30﹣2.5t，解得：t＝（舍去）；综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．故选：B．3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A 出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A．B．3C．3或D．或【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B 运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形A．1B．1.5C．1或3.5D．1.5或2【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝8，由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，∴3t﹣8＝6﹣t，解得：t＝3.5；②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，∴8﹣3t＝6﹣t，解得：t＝1，∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故选：C．6．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．（1）试说明：BF＝DE；（2）试说明：△ABE≌△CDF；（3）如果在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，在△OBF和△ODE中，，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE；（2）∵四边新ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，∵BF＝DE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），（3）解：∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，∵△ABE≌△CDF，∴DF＝BE，AE＝CF，∴△DFC的周长是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，△ABE的周长也是15，①当P在AB上，Q在CD上，∵AB∥CD，∴∠BPO＝∠DQO，∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，∴△BPO≌△DQO，∴BP＝DQ，∴m+n＝BP+DF+CF+CQ＝DF+CF+CQ+DQ＝DF+CF+CD＝15②当P在AE上，Q在CF上，∵AD∥BC，∴∠PEO＝∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE＝OF，∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，∴PE＝QF，∵AE＝CF，∴CQ＝AP，m+n＝AB+AP+DF+PQ＝CD+CQ+DF+FQ＝DF+CF+CD＝15；③当P在BE上，Q在DF上，∵AD＝BC，AE＝CF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠PEO＝∠FQO，∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，∴△PEO≌△FQO，∴PE＝FQ，∴m+n＝AB+AE+PE+DQ＝CD+CF+QF+DQ＝DF+CF+CD＝15．类型二：矩形中的动点问题7．如图，在长方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C方向运动，速度2cm/s；点Q从点B出发沿线段BC方向向点C运动，速度4cm/s；点P、Q同时出发，当一方到达终点时，另一方同时停止运动，设运动时间是t（s）．下列说法错误的是（）A．点P运动路程为2tcmB．CQ＝（16﹣4t）cmC．当时，PB＝BQD．运动中，点P可以追上点Q【解答】解：A．由点P的速度为2cm/s，时间为t（s），得点P运动路程为2tcm，正确，故本选项不符合题意；B．由点Q的速度为4cm/s，时间为t（s），得点Q运动路程为4tcm，则CQ＝（16﹣4t）cm，正确，故本选项不符合题意；C．当t＝时，PB＝8﹣2t＝8﹣2×＝，BQ＝4t＝4×＝，则PB＝BQ正确，故本选项不符合题意；D．假设运动中点P可以追上点Q，则2t﹣4＝4t，解得：t＝﹣2，假设不成立，原表述错误，故本选项符合题意；故选：D．8．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【解答】解：如图，∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，设BC与y轴交于E，当DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．【解答】解：连接OP，如图所示：∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S矩形ABCD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴S△AOD∴PE+PF＝，故答案为：．10．如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ＝BC，连接AQ．设点P的运动时间为t s，则当t＝1或2或7s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ 全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【解答】解：当t＝1s时，AP＝1cm，则BP＝2cm，如图1，在△AQD和△CPB中，，∴△AQD≌△CPB（SAS）；当t＝2时，AP＝2cm，如图2，∴AP＝DQ，在△AQD和△DPA中，，∴△AQD≌△DPA（SAS）；当t＝7时，AB+BC+CP＝7cm，如图3，∴CP＝2cm，∴DQ＝CP，在△AQD和△BPC中，，∴△AQD≌△BPC（SAS）；故答案为：1或2或7．11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB 于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值为2．其中正确结论的有①②③④．（填序号）【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正确；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正确，延长DE，交FG于M，交FB于点H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正确；∵E为对角线AC上的一个动点，∴当DE⊥AC时，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，FG＝DE，∴FG的最小值为2，即④正确，综上，①②③④正确，故答案为：①②③④．12．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（2）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出t的值；否则，说明理由．【解答】解：（1）若△ABP与△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，当BP＝CE＝3时，则t＝3÷1＝3，当AP＝CE＝3时，则t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴当t为3或13时，△ABP和△DCE全等；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，综上所述：当t＝3或4或时，△PDE为等腰三角形．类型三：菱形中动点问题13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（）A．B．2C．D．4【解答】解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，连接AE，＝S△ABE+S△ADE，∴S△ABD∴，∴EF+EG＝2，故选：A．14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝3s时，四边形DEBF为正方形．【解答】解：由题意得OE＝OF＝t cm，∴EF＝2t cm，∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四边形DEBF是菱形，∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，故答案为：3．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t＝，故选：D．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（）A．8B．6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×16＝8，OB＝OD＝BD＝×12＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，，∵AB•OH＝OA•OB＝S△AOB∴×10OH＝×8×6，解得OH＝4.8，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D 向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．类型四：正方形中动点问题18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE 全等时，t的值为2或7．【解答】解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC为直角三角形，∴点P只能在AB上或者CD上，当点P在AB上时，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案为：2或7．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为90°；连接CP，线段CP的最小值为﹣1．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于G，连结AH．以下四个结论中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④△CEH的周长为12．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∵FH⊥AE，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①错误；∵FH⊥AE，FH＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正确；∵F是动点，∴FG的长度不是定值，不可能，故③错误；④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，如图2，则四边形LHCI为平行四边形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∴CE＝IM，∵E，F，H共圆，∠HFE＝90°，∴HE为直径，∵∠HCF＝90°，∴点C在以HE为直径的圆上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周长为12，④正确．综上所述，②④正确．故选：B．21．如图，正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，连接PA、PE，当点P移动到使∠BPA＝∠DPE时，AP+PE的值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点F．∵正方形ABCD的边长为2cm，E是边AD的中点，∴∠ADB＝∠CDB，DE＝DF＝1cm，∵DP＝DP，∴△DPE≌△DPF，∴∠DPF＝∠DPE，PE＝PF，∴AP+PE＝AP+PF．∵∠BPA＝∠DPE，∴∠DPF＝∠BPA．∵∠BPA+∠APE+∠DPE＝180°，∴∠DPE+∠APE+∠DPE＝180°，∴A，P，F共线，∴AP+PE＝AP+PF＝AF．∵，∴．故选：B．22．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD，∴AC＝BD＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°，∴OB＝OC＝OD＝OA＝，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，∵OF⊥OE，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（SAS），＝S△COF，∴S△BOE＝S△COF+S△DOF＝S△DOC，∴S四边形EBFO∵AB＝2，＝4，∴S正方形ABCD＝1，∴S S正方形ABCD∴四边形EBFO的面积为1．故选：A．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为ts．（1）连接PD、PQ、DQ，求当t为何值时，△PQD的面积为11cm2；（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当点P在BC上时，即0≤t≤2，如图1，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t，＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△CPD，∵S△PDQ∴16﹣•4•t﹣•（4﹣t）•2t﹣•4•（4﹣2t）＝11，整理得t2﹣2t﹣3＝0，解得t1＝﹣1，t2＝3，都不合题意舍去；当点P在CD上时，即2＜t≤4，AQ＝t，DP＝8﹣2t，＝BC•DP，∵S△PDQ∴•4（8﹣2t）＝11，解得t＝（不合题意舍去），∴不存在t的值，使△PQD的面积为11cm2；（2）存在．如图2，AQ＝t，BQ＝4﹣t，BP＝2t，PC＝4﹣2t（0≤t≤2），当DP＝DQ时，∵DC＝DA∴Rt△DPC≌Rt△DAQ，∴PC＝AQ，即4﹣2t＝t，解得t＝；当PD＝PQ时，在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2+BQ2＝（2t）2+（4﹣t）2，在Rt△PBCD中，PD2＝PC2+CD2＝（4﹣2t）2+42，∴（2t）2+（4﹣t）2＝（4﹣2t）2+42，整理得t2+8t﹣16＝0，解得t1＝﹣4﹣4（舍去），t2＝4﹣4，∴t＝或4﹣4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．。

八年级数学下册(华师版)课件：专题训练(八)特殊四边形与动点问题

2．如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴正半轴上，∠COA＝ 60°，OA＝10 cm，OC＝4 cm，点 P 从点 C 出发沿 CB 方向，以 1 cm/s 的速度向点 B 运动；点 Q 从点 A 同时出发沿 AO 方向，以 3 cm/s 的速度向原点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
证明：(1)连结AC.∵菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD， ∠BCD＝180°－∠B＝120°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°， ∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°， ∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF. (2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC ＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60° ，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．
(3)OC ＝ AC ＋ AD. 证明： ∵ 四边形 ADFE 是菱形， ∴∠AEO ＝ ∠FEO.∵∠AOE ＝ ∠FOE，∴∠EFO＝∠EAO＝90°，∴EF⊥OC，∴∠EFO＝90°.∵∠AEO＝∠FEO ， OA⊥EA ， OF⊥EF ， ∴OA ＝ OF.∵∠MON ＝ 45° ， ∴∠ACO ＝ ∠AOC ＝ 45° ， ∴OA＝AC，∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF，∴CF＝AE，∴OC＝OF＋FC＝OA＋AE ＝AC＋AD.
(2)存在，过点D作DM⊥AE交AB于点M，则此时点M使得四边形DMEP是平行四边形．证明如下：∵DM⊥AE，∴∠ADM＝90°－∠DAE.∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB ＝ AD ， ∠B ＝ ∠BAD ＝ 90° ， ∴∠BAE ＝ 90° － ∠DAE，∴∠BAE＝∠ADM，∴△BAE≌△ADM，∴AE＝DM.由(1)知AE ＝EP，∴DM＝EP.∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥EP，∴四边形DMEP是平行四边形．