二次函数的最大值与最小值
初三数学小专题(三) 二次函数的最值及函数值的范围
∴抛物线的表达式为 y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴抛物线顶点 G 的坐标为(1，4).
(2)点 M，N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧)，且到对称轴 的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M， N 之间(含点 M，N)的一个动点，求点 Q 的纵坐标 yQ 的取值范围.
2.已知点 P(x，y)在二次函数 y＝2(x＋1)2－3 的图象上.
(1)当 0＜x＜1 时，y 的取值范围是 －1＜y＜5 ；
(2)当－2＜x＜1 时，y 的取值范围是 －3≤y＜5 ；
(3)当－4≤x＜1 时，y 的取值范围是 －3≤y≤15
.
3.(2020·河南)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OA＝OB，点 G 为抛物线的顶点.
当 a>0，x1≤x≤x2 时，y 的取值围是 k≤y≤y1，y 的最大值为 y1， 最小值为 k.
当 a<0，x1≤x≤x2 时，y 的取值范围是 y2≤y≤k 最小值为 y2.
，y 的最大值为 k ，
类型 1 已知自变量的取值范围求函数值的取值范围 1.已知二次函数 y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3 的取值 范围内，下列说法正确的是( D ) A.有最大值－1，有最小值－2 B.有最大值 0，有最小值－1 C.有最大值 7，有最小值－1 D.有最大值 7，有最小值－2
当点 M 的坐标为(4，－5)时，点 N 的坐标为(6，－21)，∴－ 21≤yQ≤－5.
类型 2 已知自变量取值范围下函数的最值，求待定系数的值 4.若二次函数 y＝x2＋4x＋a 的最小值是 2，则 a 的值是 6 . 5.已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋a2. (1)若它的最小值为 4，则 a 的值为 2 ； (2)若它的最大值为 4，则 a 的值为－2 .
初中二次函数知识点
初中二次函数的一些基本知识点：
初中二次函数是一类二元函数，它的函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为实数，x为自变量，y为因变量。
当a>0时，二次函数的图像是一个开口朝上的抛物线，当a<0时，二次函数的图像是一个开口朝下的抛物线。
一、二次函数的标准形式
二次函数的标准形式是y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为实数，x为自变量，y为因变量。
其中a、b、c叫做函数的系数，它们决定着函数的性质，如果a>0，函数的图像开口朝上；如果a<0，函数的图像开口朝下。
二、二次函数的图象
二次函数的图象是一条抛物线，它的形状取决于a的大小，如果a>0，抛物线是开口朝上的，叫做凹抛物线；如果a<0，抛物线是开口朝下的，叫做凸抛物线。
三、二次函数的性质
（1）二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值取决于a的正负，如果a>0，二次函数的最大值是函数的上端点，最小值是函数的下端点；如果a<0，二次函数的最大值是函数的下端点，最小值是函数的上端点。
（2）二次函数的拐点
二次函数的拐点是指抛物线的顶点，在拐点处函数的导数为0，拐点的横坐标可以用公式x=-b/2a来求得。
（3）二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是指抛物线的准线，它的方程为x=-b/2a.。
二次函数在各种区间上的最值
二次函数在各区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
图1练习. 已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
当时，函数取得最小值。
图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。
二次函数的最值问题总结
二次函数的最值问题二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．二次函数求最值（一般范围类）例1．当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：二次函数求最值(经济类问题)例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000⨯=（元）；（2）依题意可设1800y k x =+，2200Z k x =+，∴有14008001200k +=，2200200160k +=，解得12115k k ==-，．所以800y x =+，12005Z x =-+． （3）1(800)2005W yZ x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭21(100)1620005x =--+，政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.解：（1）x y +=1001，x y 212=； （2）)21100()100(x x y -•+=y 11250)50(212+--=x ，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元. 说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.例3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式1y ＝36x 83+-，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（1）将点（3，25），（4，24）代入求b 、c 的值；（2）y ＝1y -2y ；（3）将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次函数的增减性，在满足“五·一”之前的前提下求最大值.解：（1）由题意：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩，解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）12y y y =-23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++； （3）21316822y x x =-++ 2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+. ∵108a =-<，∴抛物线开口向下．在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．最大利润211(46)111082=--+=（元）． 说明：本题在x ＝6，即6月份时取得最大值，但题目要求在“五·一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函数的增减性来求解.例4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．y 22 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元． 二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴PHBH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．例4.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10]=xx)-102+242.0.0(-=x)4.0102+3.2()1.0<x0(<当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．。
二次函数的最大值与最小值(初中)
二次函数的最大值与最小值y 0ax2bx c aa x b2a 24a c4 ab2一、判断的基本方法a 当当a 0时，二次函数有最小值0时，二次函数有最大值二、求最值的类型与方法㈠在顶点处直接取得例：求y x22x 3最大值或最小值2y x1 4解：x R当x1时，y的最大值为4.㈡不能在顶点处取得例：求下列函数的最大值或最小值：1. 3231y x2x x解：y239 xx 22 4 2321743 3,1 23 17 当x y -2 4 时， 的最小值为 当x1时，y 的最大值为212y xxx2.21, 3,15解：y12x 5 65 53,1根据图像看，在-31y x区间上随的增大而减小当x3时，y的最大值为26 5当x1时，y的最小值为-6 512y x x x3. 21,1,22解：y 12x2 3 21,22根据图像看，y随x的增大而增大当x1时，y的最小值为-5 2当x2时，y的最小值为5㈢带有参数的二次函数求最值1 5例1：当t x t1时，求函数y x2x的最小值（其中t为实数）22125解：函数y x x x1，见下图的对称轴为2 2①当对称轴在所给范围的左侧时，即t>1时，当x t时，y的最小值为1t2t2 5 2②当对称轴在所给范围的之间时，即t 1t 10t1时，当x1时，y的最小值为1251-1-2 2-3③当对称轴在所给范围的右侧时，即t 1＜1t＜0时，当x t1时，y的最小值为1t 2t 51t 231 122 2例2.求函数y 2x2ax1，当0x1时的最小值。
解：函数y 2x2ax1，对称轴为a x2 2a4a a 0x1y x xy ①当0，即0 时，在范围内，随的增大而增大，当=0 时，最4小，y 的最小值= 202a 01 1a a②当0＜＜1，即0＜a＜4时，当x时，有最小值，4 4y的最小值= 22a a a2a1 1 448a③当1，即时，在范围内，随的增大而减小，当=1时，最a40x1y x x y 4小，y的最小值=212a113a7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
二次函数求最值方法总结
若 ，二次函数在 时的函数图像是递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
2、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最大值： ； 的最小值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：
1)对称轴定、 取值范围定；
2)对称轴定、 取值范围动；
3)对称轴动、 取值范围定；
4)对称轴动、 取值范围动。
【例题解析】
例1．当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．
(1)当对称轴在所给范围左侧．即 时：当 时， ；
(2)当对称轴在所给范围之间．即 时：
当 时， ；
(3)当对称轴在所给范围右侧．即 时：
当 时， ．
综上所述：
【变式训练】
变式2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【变式训练】
变式1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
二次函数的极值与最值
二次函数的极值与最值二次函数是高中数学中重要的内容之一，研究二次函数的极值与最值是我们深入理解和应用二次函数的关键。
本文将从定义、求解方法和实际应用等方面探讨二次函数的极值与最值。
一、定义及性质回顾二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，且开口方向由a的正负决定。
二次函数的极值与最值是指函数在定义域上的最大值和最小值，分别称为最大值和最小值，有时也统称为极值。
二、求解二次函数的极值与最值方法要求解二次函数的极值与最值，可以使用多种方法。
下面将介绍两种常用的方法：一是通过二次函数的顶点求解，二是应用导数的知识求解。
1. 通过顶点求解方法二次函数的顶点公式如下：x = -b/2a, y = f(x) = f(-b/2a)其中x为二次函数的极值点，y为二次函数的最值。
具体步骤如下：1) 根据给定的二次函数，求出a、b、c的值；2) 根据公式计算出顶点的横坐标x；3) 将x代入二次函数中，求出对应的纵坐标y；4) 得到顶点坐标(x, y)，即为二次函数的极值点。
2. 应用导数求解方法导数是函数在某一点的变化率，可以用来研究函数的极值与最值。
对二次函数而言，其导数是一条直线，通过求导并解方程可以求出二次函数的极值点。
具体步骤如下：1) 求出二次函数f(x)的导函数f'(x)；2) 解方程f'(x) = 0，得到二次函数的极值点；3) 将极值点代入二次函数中，求出对应的最值。
三、实际应用案例二次函数的极值与最值在实际生活和工作中有广泛应用。
以下是两个常见的应用案例。
1. 最大面积问题假设有一块长方形的固定周长，我们需要求出该长方形面积的最大值。
设长为x，宽为y，则根据周长公式2x+2y=固定周长，可得y = (固定周长 - 2x) / 2。
将y代入长方形的面积公式S = x * y = x * [(固定周长 - 2x) / 2]，化简后可得S = x(固定周长/2 - x)。
二次函数的极值与最值计算
二次函数的极值与最值计算二次函数是数学中的一种常见函数形式，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，而二次函数的极值与最值计算是研究二次函数性质的重要内容之一。
一、极值与最值的定义在数学中，极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数而言，极值与最值的计算可以通过求解函数的导数来实现。
二、二次函数的导数对于二次函数y=ax²+bx+c来说，其导数可以通过对函数进行求导得到。
根据导数的定义，二次函数的导数为y' = 2ax + b。
通过求导可以得到二次函数的切线斜率，进而确定函数的极值与最值。
三、极值与最值的计算方法1. 定点法通过求导得到二次函数的导数，令导数为0，解方程可以得到二次函数的极值点。
通过将极值点带入二次函数的表达式中，可以得到极值的具体数值。
2. 完全平方法对于二次函数y=ax²+bx+c，可以通过将其转化为完全平方的形式来求极值。
首先，将二次函数进行配方，得到y=a(x+b/2a)²+c-(b²-4ac)/4a。
根据完全平方公式，可以得到二次函数的最值。
3. 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地观察到函数的极值与最值。
通过观察抛物线的开口方向以及顶点的位置，可以判断二次函数的极值与最值。
四、实例分析以二次函数y=x²-4x+3为例，来分析极值与最值的计算方法。
首先，求导得到y' = 2x - 4。
令导数为0，解方程得到x = 2，将x = 2带入二次函数的表达式中可以得到y = -1，因此，二次函数在点(2, -1)处取得极小值。
通过完全平方法，将二次函数y=x²-4x+3进行配方得到y=(x-2)²-1。
由此可见，二次函数的最小值为-1，当x=2时取得。
二次函数的最大值和最小值
二次函数: yax2 bxc ( a0 )
a(x
b 2a
)2
4ac 4a
b2
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
二次函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值的概念
设函数f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) f(x0 )
对于定义域内任意x都成立，那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最小值。 记作ymin=f(x0 )
当x1时 ymax132 2
二次函数的最大值和最小值
(2 ) y1x22x1x [ 3,1 ]
5
x5
解：y1(x5)2 6
y
5
5 [ 3 ,1 ]
1
-3 0
x
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数
26 当x3时 ymax 5
当x1时
6
ymin
5
二次函数的最大值和最小值
(3) y1x22x1x [ 1,2]
ymin=t2-2t+3
当x=t+1 时 ymaxt2 2
y
1
x
0 t t+1
二次函数的最大值和最小值
小结
1、定义域为R的二次函数的最大值和最小值 2、定义域为某一闭区间上的最大值和最小值 3、关于带有字母参数的二次函数最值的讨论
二次函数的最大值和最小值
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好！
解： y2(x1)22
xR
当 x=1时，ym i n2
二次函数最大值与最小值公式
二次函数最大值与最小值公式
二次函数最大值与最小值
二次函数，也称二次多项式，是一类在近几十年十分热门的函数，它的定义域是实数集，其表达式通常如下形式：
y=ax2+bx+c (a≠0)
又可以把这个函数写成如下形式：
y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1,x2是二次函数的两个极值点，是它最大值或最小值取得条件。
那么对这个函数，最大值和最小值的求法有如下数学表达式：
若a>0，函数在x1处取最小值ymin=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在
x2处取最大值ymax=ax22-bx2-c。
若a<0，函数在x1处取最大值ymax=a(x1-x2)(x2-x1)=ax12-bx1-c；函数在
x2处取最小值ymin=ax22-bx2-c。
如果我们把上面的公式整理一下，就可以得到最大值与最小值的公式：
当a>0时，ymax=ax22-bx2-c ,ymin=ax12-bx1-c；
当a<0时，ymax=ax12-bx1-c ,ymin=ax22-bx2-c。
以上就是关于二次函数最大值与最小值的公式，它们可以通过这个公式计算出最大值或最小值的坐标点，也可以计算出函数的最大值或最小值的大小。
在学习数学的过程中，计算这类函数最大最小值对于我们来说一定很有必要，常熟记此类公式，以便在需要的时候使用。
二次函数的最大值和最小值
那么f(x0 )叫做函数y=f(x0 )的最大值。记作ymax=f(x0 )
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时，ymax 4
y x=1 4
01
x
(2) y 2x 2 4x
y
01
t t+1 x
y x2 2x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
当x t 时 ymax t 2 2t 3
当x=t+1时 ymin=t2+2
(2)当t 1 即0 t 1时 t 1 1
1[t , t 1]
当x 1时 ymin 2
当t 1 1即t 1 时
2
(2)当 1 a 2
1
即
2a2
当 x a 时 2
a2 ymin 3 4
0
a 2
1
即
2
a
0时
当 x 1时 ymax 4 a
1 a 0 即0 a 2时
2
当 x 1时 ymax 4 a
(3)当 a 1 即a 2时 2 y x2 ax 3在[1,1]上单调递减
例3：求函数y x2 ax 3 (a R) 在区间[1,1]
上的最大值与最小值
解： y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
2
4
对称轴为x a
2
xa 2
y
(1) 当 a 1即a 2时
2
1
y x2 ax 3在[1，1]上单调递增 -1 0
x
当x 1时 ymin 4 a 当x 1时 ymax 4 a
二次函数的最值点与最值问题
二次函数的最值点与最值问题二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学建模、物理问题以及经济学中的应用广泛。
在研究二次函数的性质时，我们常常关注它的最值点和最值问题。
本文将重点讨论二次函数的最值点与最值问题，并探究如何求解。
一、二次函数的最值点二次函数的最值点是指在函数曲线上局部最高或局部最低的点。
这些点被称为顶点或拐点。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，顶点坐标可以通过以下公式求得：Vertex_x = -b / 2aVertex_y = f(Vertex_x)在求解最值点时，我们首先需要判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
知道开口方向后，我们可以通过计算顶点坐标来确定最值点的位置。
举个例子，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。
首先，根据a的值为1，我们得知此函数开口向上。
然后，根据公式求解顶点坐标：Vertex_x = -2 / (2*1) = -1Vertex_y = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 0因此，二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最值点为(-1, 0)，即顶点位于坐标系中点(-1, 0)的位置。
二、二次函数的最值问题除了求解最值点的坐标，我们还经常遇到二次函数的最值问题。
最值问题包括求解二次函数的最大值和最小值。
在数学建模和实际问题中，这些最值点往往代表了问题的极端点，具有重要的意义。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值问题可以通过以下步骤求解：1. 判断二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
2. 找到最值点的横坐标。
根据二次函数的最值点公式，我们可以计算顶点的横坐标，即Vertex_x = -b / 2a。
3. 根据二次函数的开口方向，确定最大值或最小值。
二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值二次函数是数学中的重要类型之一，它的最大值和最小值对数学研究非常重要。
本文主要介绍二次函数的最大值与最小值，并且着重探讨了其最大和最小值计算原理及其应用。
什么是二次函数?二次函数是指可以用关于x的一次方程或二次多项式表示的函数。
二次函数的形式为：y=ax+bx+c，a不能等于零，其中a、b、c为常数。
这种函数的图形形状与其中的a、b、c有关，a可正可负，决定函数的开口方向。
二次函数的最大值与最小值二次函数的最大值与最小值是它的局部极值，即在某一段区间内，函数的值有最大值点或最小值点。
求取最大值和最小值，我们只需要求取二次函数的极值，极值点就是函数的最大值和最小值。
求取函数最大值和最小值的原理在求取函数最大值和最小值时，我们只要分析并计算函数上某点处的导数是否大于零或小于零，从而可以判断极值点到底在哪里，从而求出最大值和最小值。
计算最大值和最小值的步骤首先，要计算一个函数的最大值和最小值，需要先考虑该函数的图像是否是开口向上，或者开口向下。
如果函数的图像是开口向上，则说明函数有最大值，如果函数的图像是开口向下，则说明函数有最小值。
其次，计算极值点的时候，需要先计算函数的导数，并计算函数上某点处的导数是否大于零或小于零，从而可以判断极值点在哪里。
最后，我们要把函数带入极值点，然后求出最大值或最小值，即最大值和最小值的关系就可以得到了。
二次函数的最大值与最小值的应用二次函数的最大值与最小值在数学方面有着重要的应用。
比如说在最优化问题中，用二次函数可以求解凸优化问题，并可以求解出最大值和最小值。
另外，二次函数还可以用来描述物理运动规律，比如势能曲线、水力学力学问题中的压力曲线等，可以利用函数的最大值和最小值，研究物体的运动轨迹。
总结本文主要介绍了二次函数的最大值与最小值的内容，包括什么是二次函数、二次函数的最大值与最小值，求取函数最大值和最小值的原理，以及最大值与最小值的应用等。
九年级数学 二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值许多人都知道当把一个苹果抛向空中时，苹果会飞向空中，但它的速度会逐渐减小，并最终不向上运动（瞬间静止在空中），之后再加速落下。
这是因为物体受重力的缘故。
但其实，将苹果运行的时间与高度在坐标系中画出来，就是一个弧线，而且不是一般的弧线，是二次函数。
对于一个二次函数来说，它有正向的弧，也有倒的弧。
正弧的最高点是函数的最大值，而倒向的最低点则是最小值。
今天，我们就围绕着二次函数的最大与最小值来到论一下。
摘要：通过对二次函数的一些研究，来了解并掌握求二次函数的最大与最小值的方法。
一、出现的原因二次函数之所以会出现最大至于最小值，我们就要从它的根源说起。
二次函数的表达式可写为y=ax2+bx+c（abc均为常数，a≠0），其中的ax2+bx+c与我们所学一元二次方程有几分相像。
其实，二次函数与一元二次方程的就如同一次函数与二元一次方程的关系基本一致。
我们可以把原式写为ax2+bx+c+y=0，为了方便讨论且自变量与因变量的影响是互相的，所以我们就先假设y是改变x的自变量。
那么每一次在求值时我们都会先取一个y的值。
这时，y就可以看做一个常数那么我们就把它与常数项c写在一起，即ax2+bx+（c+y）=0，这下子整个式子中只有x是一个变量，这个式子也就是一个地地道道的一员二次方程了。
而这个方程中abc 是固定不变的，因而y的改变会改变式子的常数项，这样一来，在解方程的时候, (c+y)的值与前面的ab相配合组成的方程可能有两个不相等的实根或两个相等的实根或没有实根。
这也就说明了当y值固定时，可能有两个x满足，或只有一个，或没有。
再从x的角度来说，有两个x可以造成同一个y值，但这两个点关于一个点对称，这个点就是特殊点，即最大（小）值，而不论x如何变化，y总有一道不可逾越的鸿沟，到达固定点后就会折返。
因此二次函数的这一特性造就了它的最大（小）值。
二、判定最大还是最小既然二次函数有最大或最小值，那么那种会有最大值，那种会有最小值呢？我们就来讨论一下。
二次函数的最大值与最小值
当a>0时,二次函数有最小值 当a<0时,二次函数有最大值
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
(1) S=x(12-2x)即S=-2x² +12x (2) S=-2x² +12x A D
BP=12-2t，BQ=4t P △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36 B
Q丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面 积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm ∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9 ∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000
=-10[ （x-20）2 -900]
2
y
x=1
x R
1
ymin 当 x=1时，
2
0 -2
x
例2、求下列函数的最大值与最小值
( 1 ) y x 3 x 2 (3 x 1)
数学人教版九年级上册二次函数的最大值和最小值
抛物线y=2x2-5x+6有最____值;y=-3x2-5x+8有最____值;
教师提出问题，学生回答.
当a>0时,二次函数有最小值
当a<0时,二次函数有最大值
利用计算机展示问题的答案，以此达到复习旧知的目的.
通过利用PowerPoint清楚地展示练习题解题过程，练习题引出的内容具有承前启后的作用，既可以复习前面学习的知识，又可以引出后面的新问题。这样做，一方面教师可以检查学生原有知识的掌握情况，另一方面学生也会很快地进入到新问题环境中去。
3、情感、态度与价值观：使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性
教学重点
如何从已知条件入手，通过分析选择适当方法求最值
教学难点
二次函数自变量有范围时求最值
新课
二次函数的最大值和最小值
例2已知二次函数y=0.5x2+2x+m-1的最小值为2,则m的值是_____；
例3.已知二次函数y=x2-4x+3,配方成顶点式___________,有最小值为____；
例4.已知二次函数y=2(x-h)2+k,经过点(3,5)(7,5),则对称轴为____,最小值为____；
学生总结，师生完善.
使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数形结合求最值
所给2点纵坐标相等，可看出这2点是一对对称点，所以对称轴为x=5,即h=5,代回原函数求k即为最值
利用PowerPoint展示
y最大或最小
利用配方法配成顶点式:y最大或最小=k
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
x
当 x 1时
ymax 1 3 2 2
(2)
1 2 y x 2 x 1 x [3 , 1] 5
1 解：y ( x 5) 2 6 5
x 5
y
1
5 [3 , 1]
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数 26 当x 3时 ymax 5 6 当x 1时 ymin 5
当a>0时,二次函数有最小值 当a<0时,二次函数有最大值
例1、如图，一边靠学校院墙，其他三边用12 m长 的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边 AB=x m，面积为S㎡。 （1）写出S与x之间的函数关系式； （2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？
(1) S=x(12-2x)即S=-2x² +12x (2) S=-2x² +12x A D
2
y
x=1
x R
1
ymin 当 x=1时，
2
0 -2
x
例2、求下列函数的最大值与最小值
( 1 ) y x 3 x 2 (3 x 1)
2
3 2 9 解： y ( x ) 2 2 4 3 2 1 (x ) 4 2 4
x
3 2
y
1
-3
3 3 , 1 2 1 3 当 x 时 ymin 4 4 2
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
利用公式:y最大或最小=
• 4.已知二次函数y=2(x-h)2+k,经过 X=5 , • 点(3,5)(7,5),则对称轴为—— -3 • 最小值为——；
利用对称轴和对称点坐标
1.利用公式:y最大或最小= 2.利用配方配成顶点式:y最大或最小=k 3.利用对称轴和对称点坐标
BP=12-2t，BQ=4t P △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36 B
Q
C
练习1、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面 积为ycm2,问何时矩形的面积最大？ 解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm ∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6） ＝－(x－3) 2＋9 ∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值 当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm 答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000
=-10[ （x-20）2 -900]
二次函数: y ax bx c
2
( a 0 )
a( x
a>0
y
x b 2a
b 2 4ac b 2 ) 2a 4a
a<0
y
0
4ac b 2 4a
b 2a
x
0
x
• • •
小 2 1.抛物线y=2x -5x+6有最——值;
大 2 y=-3x -5x+8有最——值;
=- 10（x-20）2 +9000
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x 2 x 3
2
解：
x R 当 x=1时，ymax 4
y ( x 1) 4
2
y 4
0
x=1
1
x
(2) y 2 x 4 x 2 解： y 2 ( x 1) 2
=-2(x-3)² +18
B C
利用配方法配成顶点式:y最大或最小=k
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
-3
0
x
1 2 ( 3 ) y x 2 x 1 x [1 , 2] 2 1 解： y ( x 2) 2 3 2
x 2
-1
y
0
2ห้องสมุดไป่ตู้
x
2 [1 , 2]
函数 y = f(x)在[-1，2]上为增函数
当x 1时
ymin
5 2
当x 2时 ymax 5
在顶点处 直接取得
例2：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个 售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元， 销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最 大利润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且 为整数）
1、 配方，求二次函数的顶点坐标。 2、 判断取得最值时的自变量是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的函数值，并比较大小。
课时训练
1、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm， 动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动 点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、 Q分别从A、B同时出发。 （1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数 关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值 是多少？ A
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
A B
D
C
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a ＝36（平方米）
4≤x<6
next
当a>0时,二次函数有最小值
当a<0时,二次函数有最大值 1.利用公式:y最大或最小= 2.利用配方法配成顶点式:y最大或最小=k
在顶点处直接取得 不能在顶点处取得
3.利用对称轴和对称点坐标