全等几何模型讲解

常见的几何模型

一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。

这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类

。

1•绕点型（手拉手模型）

"遇60°旋60°,造等边三角形

（1）自旋转：自旋转构造方法遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋

顶角，造旋转全等遇中点旋

1800，造中心对称

图(1-2)心图(l-1-a)

图(1-9

例题讲解:

1. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2 PB=

2... 3 , PC=4,求厶ABC的边长。

2. 如图，0是等边三角形ABC内一点，已知：/ A0B=115°, / BOC=125,则以线段0A、

OB、0C为边构成三角形的各角度数是多少？

3. 如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA PD PC=1: 2: 3，则/ APD=.

4•如图（2-1） : P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1 , PB=2 , PC=3。求此正方形ABCD面积。

图(2-1)

C

(2)共旋转(典型的手拉手模型)

模型变形:

共顶点等腰三角形

例题讲解：

1. 已知△ABC 为等边三角形，点 D 为直线BC 上的一动点（点 D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形 ADEF （按A,D,E,F 逆时针排列），使/ DAF=60，连接CF. （1） 如图1,当点 D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ?②AC=CF+CD. （2）

如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，

结论AC=CF+CD 是否成立？若

不成立，请写出 AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； （3）

如图3 ,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，

补全图形，并直接写出AC > CF 、

CD 之间存在的数量关系。

2•半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，

通过旋转将另外两个和为

二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

2.

（

13北京中考）

在厶ABC 中， AB=AC, / BAC=:

（O °va v60。）,将线段BC 绕点B 逆时针旋转60。得

到线段 BD 。

（第2斗题图1）

（第24题图2）

(1) 如图 直接写出/ ABD 的大小（用含:-的式子表示）；

(2) 如图

/ BCE=150，/ ABE=60°,判断△ ABE 的形状并加以证明;

在（2） 的条件下，连结 DE ,若/ DEC=45，求〉的值。

例题：

1•在等腰直角△ ABCD 勺斜边上取两点 M,N,使得/ MCN=45°记AM=m,MN=x,BN=, 求证以m, x , n 为边长的三角形为直角三角形。

2. 如图，正方形 ABCD 勺边长为1，AB,AD 上各存在一点 P 、0,若厶APQ 的周长为2， 求.PCQ 的度数。

3. E 、F 分别是正方形 ABCD 的边BC 、CD 上的点，且/ EAF =45 , AH _ EF , H 为

4. 已知，正方形 ABCD 中，/ MAN=45 ，/ MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB

、

DC

（或它们的延长线）于点

M 、

N , AH 丄MN 于点H . （1） 如图①，当/ MAN 点A 旋转到BM=DN 时，请你直接写出 AH 与AB 的数量关系：

AH=AB ;

垂足，求证：AH =AB .

M

N

（2）如图②，当/ MAN绕点A旋转到BM^DN时，（1 ）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知/ MAN=45 , AH丄MN于点H，且MH=2 , NH=3，求AH的长.（可利用（2）得到的结论）

5. 已知：正方形ABCD中，/ MAN=45 ，/ MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C B, DC（或它们的延长线）于点M , N .当/ MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN .

（1）当/ MAN绕点A旋转到BW DN时（如图2）,线段BM , DN和MN之间有怎样的数量关系？

写出猜想，并加以证明.

⑵当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM , DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接

写出你的猜想.

6. （14房山2模）.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG 上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M , BC边交DG于点N .

（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；

（3）如图3,设- MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC, BD为对角线，将/ BAC绕顶点A 逆时针旋转a °(0V aV 45),旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC, CD 于点E、点F,连接EF, EQ.

(1)在/ BAC的旋转过程中，/ AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改

变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果，不必证明)

(2)探究△ APQ与厶AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.

& 已知在△ ABC 中，ACB =90 , CA=CB =6、2 , CD _ AB于D，点E 在直线CD 1

上，DE CD，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.

2

(1)如图1,若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：,

________________ ;

(2)在(1)的条件下，当点F在线段AD 上,且AF =2FD时，求证：.CNE二45 ；

(3 )当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F ,使得

—CNE =45 .若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由.