高一数学下学期开学考试试题(普通班)
湖北省十堰市丹江口市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
湖北省十堰市丹江口市第二中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ）A．小于100g B．等于100gC．大于100g D．与左右臂的长度有关四、解答题17．已知{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =，求A B Ç，()()U UA B Çðð.由函数()=-仅有一个零点，y f x m由图知：0m =.故答案为：017．{}5A B =I ，()(){}U U6A B Ç=ðð.【分析】根据集合的交集，补集运算可得解.【详解】由{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，{}1,3,5,7B =，{}5A B \Ç=，{}U 1,3,6,7A =ð，{}U 2,4,6B =ð，()(){}U U 6B A \Ç=ðð.18．(1){26}x x -<<∣(2)[)0,¥+【分析】（1）解不等式得到{06}M x x =<<∣，{24}N x x =-<<∣再计算并集即可.（2）根据集合的包含关系和集合N =Æ，N ¹Æ两种情况，得到不等式，即可解得答案.【详解】（1）由{}260,M x x x =->∣，解得：{06}M xx =<<∣，1a =-时，{24}N x x =-<<∣，所以{26}M N x x È=-<<∣.（2）当N =Æ时，23a a ³-，解得1a ³；当N ¹Æ时，232036a a a a <-ìï³íï-£î，解得01a £<.综上，a 的取值范围为[)0,¥+.。
黑龙江省高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，那么集合（ ）{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．B ． {}32x x -<<{}52x x -<<C ．D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合，，{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.{}|32B x x A -<=< 故选：A.2．设命题：，，则为（ ）p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉ZC ．，D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.3．设，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >9xy =x y +A ．18B ．9C ．6D ．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵0,0x y >>∴，（当且仅当，取“=”）6x y +≥=3x y ==故选：C.4．若为第一象限角，则是（ ） α2αA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 【答案】D【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k 的取值即可.α2α【详解】因为为第一象限角， α所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+∈所以，,24k k k Z απππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<<所以是第一或第三象限角2α故选：D5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =-()f x A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． BC ．D ．12-12【答案】B【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （ ） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3f a f ->所以， 1213021a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩解得， 1223a ≤<故选：C8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（ ）A ．B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<C ．D ．()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．函数的图象过（ ）()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BCD【分析】画出函数大致图象即可判断.【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x=-【答案】AD【分析】逐个分析各项可得结果.【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误； 对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x=-(0,)+∞故选：AD.11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èøy t =t A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø则可得当或时，与的交点个数为0；0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.12．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos2f x x x -A ．的一个周期为()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在有3个零点()y f x =[0,2π]【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可()f x【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212x =故选：ABC.三、双空题13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6四、填空题14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．1x y a =+0a >1a ≠【答案】()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】令，得，0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.()0,215．等于________．2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5【分析】设，由平方关系得到2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，2189S =⨯所以，44.5S =故答案为：44.516．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=【答案】##【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.αcos β【详解】设,,那么,从而.53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05β=>143180β︒︒<<所以cos β===所以. ()sin 37sin αγ︒+==故答案为：五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.【答案】 ，sin()αβ-=2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.sin()αβ-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得， cos 0.6β=4sin 5β=4tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5x x +=(1)求的值；sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5x x -=(2)tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13θθ+=-tan 2θ=-∴.tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)21．已知函数．2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可；（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围．a【详解】（1）21cos211()sin cos cos22cos22cos2222xf x x x x x x x x x-=+=++=++，1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，解得，则的单调递减区间为3222,262k x k kπππππ+≤+≤+∈Z2,63k x k kππππ+≤≤+∈Z()f x；2,,63k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()g x f x a=-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，0,6xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单增，当时，，2,662xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭,62xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,626xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单减，()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭又，，，要使在上有()10sin162fπ=+=13sin6222fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭71sin0262fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个解，则.31,2a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数.1()1xf xx-=+（1）证明函数在上为减函数；()f x(1,)-+∞（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；ln(tan)y f x=（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.(,42ππ(tan)tan0f x a x+≤【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.,,44k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭(,3-∞-【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1tan1xx<⎧⎨>-⎩奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tant x=11tatt-+<+()1,+∞a取值范围.【详解】（1），，，11x∀>-21x∀>-12x x<又，()()()122212121211()()11112x xx xf x f xx x x x----=-+-=+++因为，，，故，，，11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈令()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x xF x f -+--===--+，()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42ππ(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s-==+++++由基本不等式有2s s+≥s 所以时等号成立， ()131t t t -≤=-+1t 故的最大值为a 的取值范围为. ()11t y t t -=+3-(,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。
辽宁省本溪市2023-2024学年高一下学期开学考试 数学含答案
2026届高一年级寒假验收考试数学试题（答案在最后）命题人：宋德霞考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教B 版必修第一册，必修第二册，必修第三册7.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则{}02A x x =<<，{}0,1,2B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}02．角2024°的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()18f x x=B ．()12f x x-=C ．()72f x x =-D ．()2132f x x =4．在ABC △中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且3AE EC =，则ED = （）A ．1124AB AC-+B ．1223AB AC-C ．1223AB AC-+D ．1124AB AC-5．已知正实数a ，b ，设甲：11a a b b +<+>，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．去年4月，国内猪肉，鸡蛋，鲜果、禽肉、粮食，食用油、鲜菜价格同比（与前年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小粮食、食用油、鲜菜价格同比变化情况B ．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍C ．前年4月鲜菜价格要比去年4月低D ．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%7．已知函数()231x f x x =++，()2log 31g x x x =++，()331h x x x =++的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c>>8．函数()()2445f x x x x x =--）A ．4B ．2C ．4120D ．2110二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．()10,0e = ，()21,1e =B ．()11,2e = ，()22,1e =-C ．()13,4e =- ，234,55e ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()12,6e = ，()21,3e =--10．某射击运动员射击10次，中靶环数分别是7．8，9，7，6，5，10．9，5，7（单位：环），则（）A ．这组数据的中位数与众数相等B ．这组数据的30%分位数与极差相等C ．若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件D ．若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是对立事件11．已知()10y x x=>．则（）A x y 的最小值为2B ．28x y的最大值为34C ．229x y +的最小值为23D ．y y x -的最小值为14-12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()()11f x f x f x ++-=，()3g x -是偶函数，且()()32f x g x +-=，若()31g -=则（）A ．()112f =B ．()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()()6f x f x =+D ．()f x 为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形OAB 的圆心角为2rad ，其弧长是1cm ，则该扇形的面积是______2cm ．14．已知()2,1a =-，()1,2b =- ，()()22a b a b m +- ∥，则m =______．15．甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．16．已知函数()()13mx f x an a +=+-其中m ，n ∈R ，0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1，()1f =，则()2f m n +=⎡⎤⎣⎦______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}22150M x x x =--<，{}237N x m x m =-<<+．（1）当4m =-时，求()R M N ð；（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）设两个非零向量a 与b不共线．（1）若b A a B =+，28a b BC =+，()3b CD a =-，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b + 和a kb +反向共线．19．（本小题满分12分）已知函数()2221f x x x -=-+，函数()()1g x f x x=⋅．（1）求函数()g x 的解析式；（2）试判断函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()g x 的值域．20．（本小题满分12分）某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解学生们的劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：劳动时间（时）频数（人数）频率[)0,1120.12[)1,2300.3[)2,3x 0.4[]3,418y 合计m1（1）统计表中的x =______，y =______，补全频率分布直方图；（2）估计所有被调查学生劳动时间的平均数；（3）针对被调查的学生，用分层抽样的方法从劳动时间在[)0,1和[]3,4的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人．求这2人全部来自劳动时间在[]3,4的概率．21．（本小题满分12分）已知不等式()214k x k k +≤++，其中x ，k ∈R ，（1）若3x =，解上述关于k 的不等式；（2）若不等式对[)4,k ∀∈-+∞恒成立，求x 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()42log 6x f x x -=-，且()31f =-，()44221x x x xg x m m --=+-⋅-⋅+．（1）解不等式()1f x >；（2）设不等式()1f x >的解集为集合A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数m 的取值范围．2026届高一年级寒假验收考试·数学试题参考答案，提示及评分细则1．A 由()()2,00,2A =- ，{}0,1,2B =，则{}1A B = ，故选A ．2．C 20242245360︒=︒+⨯︒，因为224°的终边在第三象限，所以角2024°的终边在第三象限．故选C ．3．B 设幂函数()af x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入ay x =得142a=，所以12a =-．所以幂函数的解析式为()12f x x-=．故选B ．4．D 如图，因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，又3AE EC =，所以34AE AC = ，所以()13112424ED AD AE AB AC AC AB AC =-=+-=- ．故选D ．5．C 由0a >，0b >及()1011a a a bb b b b +--=<++，得0a b <<，所以11a b >，显然>>可知110a b>>，则0b a >>，所以()1011a a a b b b b b +--=<++，即11a ab b +<+，所以甲是乙的必要条件．综上可知，甲是乙的充要条件．故选C ．6．D 由图可知，猪肉，鸡蛋，鲜果，禽肉，粮食，食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A 错误；因为34.4%58.5%<⨯，所以B 错误；前年4月鲜菜价格要比去年4月高．所以C 错误；因为()121.2%7.6%3%8.5%9.6%10.4%34.4%7⨯-++++++()122%7%3%8%9%10%34%7>⨯-++++++⎡⎤⎣⎦149%7%7=⨯=，所以D 正确．故选D ．7．B 令()0f x =，()0g x =，()0h x =得231xx =--，2log 31x x =--，331x x =--，则a 为函数2xy =与31y x =--交点的横坐标，b 为函数2log y x =与31y x =--交点的横坐标，c 为函数3y x =与31y x =--交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出2xy =，2log y x =，3y x =和31y x =--的图象，如图所示，由图可知，b c a >>，故选B ．8．C 由解析式易知()f x 的定义域为[]0,4，令)0t t =+>，所以24t =+2122t =-，由y =04x ≤≤，可知0y ≤≤248t ≤≤，则2t ≤≤所以()()(222114225255f x g x t t t t ⎛⎫==--=-++≤≤ ⎪⎝⎭，则()()2154141522020f xg t t ⎛⎫==--+≤⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为4120．故选C ．9．ACD A ，C ，D 中向量1e 与2e x 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e不共线，所以可作为一组基底．故选ACD ．10．AC由题知，这组数从小到大排列为5，5，6，7，7，7，8，9，9，10，所以这组数据的众数为7，中位数是()7727+÷=，所以这组数据的中位数与众数相等，故A 正确；因为100.33⨯=，所以这组数据的30%分位数为()672 6.5+÷=，极差为1055-=，不相等，故B 错误；若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，故C 正确；若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，但不是对立事件，故D 错误．故选AC ．11．AD 对于A ，因为0x >，0y >2≥=，当且仅当1x y ==时，等号成立，A 正确；对于B ．因为0x >，0y >，由基本不等式得328222x xx y+=≥==当且仅当3,1,x y xy =⎧⎨=⎩即x =3y =时，等号成立，故28x y 的最小值为B 错误；对于C ，由基本不等式得22966x y xy +≥=，当且仅当x =3y =时，等号成立，故229x y +的最小值为6，C 错误；对于D ，因为()10,0y x y x=>>，所以22111244y y y y y x ⎛⎫-=-=--≥-⎪⎝⎭，当12y =时，等号成立，故y y x -的最小值为14-，D 正确．故选AD 12．ABC因为()3g x -是偶函数，所以()()()()()()3323f x g x f x g x f x g x -+--=-+-==+-，所以()()f x f x =-．当0x =时，()()032f g +-=，又()31g -=，所以()01f =，所以()()()1101f f f +-==，所以，()112f =，故A 正确；由()()()11f x f x f x ++-=，得()()()21f x f x f x +-=-，两式相加得()()12f x f x -+=-，所以()()3f x f x =-+，又()()f x f x =-，所以，()()3f x f x -=-+，即()()30f x f x -++=，所以()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；()()()36f x f x f x =-+=+，故C 正确；由()()f x f x =-可知()f x 为偶函数；D 不正确．故选ABC ．13．14设扇形的半径为R ，则12R =，所以12R =，所以扇形的面积为21111cm 224⨯⨯=．14．－6因为()2,1a =-，()1,2b =- ，所以()425,a b +=- ，()323,6a b m m m -=--，由()()23a b a b m +-∥，得()()564230m m -+-=，解得6m =-．15．1116由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛，则再进行两场比赛甲队获胜的概率为111224⨯=；再进行三场比赛甲队获胜的概率为11111112222224⨯⨯+⨯⨯=；再进行四场比赛甲队获胜的概率为111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以最终甲队获胜的概率为11311441616++=．16．22由题意，函数()()13mx f x an a +=+-恒过定点()2,1，可得210,30,m n +=⎧⎨-=⎩解得12m =-，3n =，所以15322m n +=-+=，()()1123x mx f x a n a a -++=+-=，()121f a ==2a =．则511445222f -+-⎛⎫==⎪⎝⎭，()221245222f m n f -⎛⎫⎡⎤⎛⎫+===⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭．17．解：{}{}2215035M x x x x x =--<=-<<．（1）当4m =-时，{}113N x x x =-<<，则{}R 113N x x x =≤-≥或ð，所以(){}R 35M N x x =≤< ð．（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，则M N Ü，所以233,75,m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不同时取得），解得20m -≤≤，故实数m 的取值范围为[]2,0-．18．（1）证明：∵b A a B =+ ，28a b BC =+，()3b C a D =- ，∴()()832833552a b a b a b BD B D a C b a b A C B ===++-=++-++=．∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．（2）解：∵ka b - 与a kb +向共线，∴存在实数()0λλ<，使即()bka b a k λ+=+即b ka b a k λλ+=+，∴()()1bk a k λλ=--∵a ，b是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ<，∴1k =-．19：解：（1）令2t x =-，则2x t =+，∴()()()22221f t t t =+-++，∴()221f t t t =++，即()221f x x x =++，∴()()12f x g x x xx==++．（2）函数g （x ）在区间()1,+∞上单调递增．证明：任取121x x >>，则()()()()12121212121211122x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又120x x ->，1210x x ->，120x x >，∴()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，∴函数()g x 在区间()1,+∞上是增函数．（3）当0x >时，()1224g x x x =++≥=，当且仅当1x =时．等号成立．当0x <时，()()112220g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=--+-+≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x =-时，等号成立．∴()g x 的值域为(][),04,-∞+∞ ．20．解：（1）由题意120.12100m m =⇒=，故0.440x m ==，180.18y m==，频率分布直方图如图所示：（2）平均劳动时间120.530 1.540 2.518 3.5214 2.14100100t ⨯+⨯+⨯+⨯===（时）．（3）由题意，劳动时间在[)0,1应抽取的人数为0.12520.120.18⨯=+（人），分别记为A ，B ；劳动时间在[]3,4应抽取的人数为0.18530.120.18⨯=+（人），分别记为a ，b ，c ．则该试验的样本空间()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=．设事件M =“抽取的2人均来自[]3,4”，则()()(){},,,,,M a b a c b c =，()3n M =，所以()310P M =，故所求概率为310．21．解：（1）若3x =，则不等式()214k x k k +≤++变形为2210k k -+≥，即()210k -≥，解得k ∈R ，故不等式的解集为R ．（2）不等式()214k x k k +≤++对[)4,k ∀∈-+∞恒成立．当1k =-时，()()20114≤-+-+，即04≤，x ∈R ；当1k >-时，241k k x k++≤+恒成立．∵24441113111k k k k k k k ++=+=++-≥=+++（当且仅当41,11,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪>-⎩即1k =时，等号成立）∴3x ≤；当41k -≤<-时，241k k x k++≥+时恒成立．∵()()244411115111k k k k k k k ⎡⎤++=++-=--++-≤-⎢⎥++-+⎣⎦（当且仅当41,141,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪-≤<-⎩即3k =-时，等号成立），∴5x ≥-．综上，x 的取值范围为[]5,3-．22，解：（1）由条件()2log 6ax f x x -=-可知，206x x ->-，解得26x <<，故函数()f x 的定义域为()2,6，由()31f =-，可知1log 13a=-，得到3a =，即()32log 6x f x x -=-，解不等式()1f x >，即236x x ->-，解得56x <<，所以不等式()1f x >的解集为{}56x x <<．（2）由（1）可知{}56A x x =<<．设22x x t -=+，则当[]0,1x ∈时，[]21,2x∈，对于函数1y x x =+，[]1,2x ∈时为增函数，故5222,2x x t -⎡⎤=+∈⎢⎣⎦，则()()()22222211xx x x g x m t mt --=+-+-=--，设()21h t t mt =--，由题意知()5,6A =为52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()h t 的值域的子集，当22m ≤，即4m ≤时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()2325,5215 6.242h m h m =-≤⎧⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即得3110m -≤≤-；当5222m <<，即45m <<时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2h ，52h ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的较大者，令()2326h m =-≥，∴32m ≤-；令52156242h m ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，则316m ≤-，不合题意；当522m ≤，即5m ≥时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()2326,52155,242h m h m =-≥⎧⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得m ∈∅．综合上述，实数m 的取值范围为31,10⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
2023-2024学年浙江省杭州市高一下册开学考试数学试题(附解析)
- 1 -2023-2024学年浙江省杭州市高一下学期开学考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本答题卡一并交回.4．测试范围：人教A 版2019必修第一册全册＋必修第二册6.1－6.3.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论正确的是（ ）A ．BC ．D ．若，则{}2,3∅=Q ⊆N Z A B A ⋃=A B⊆2．在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB =A ．B ．C ．D ．32m n-23m n-+32m n+ 23m n+ 3．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为220ax bx ++>{2xx <-∣1}x >-220x bx a ++<（ ）A ．B ．C ．D ．或112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭}{211x x x <->∣或112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭{2xx <-∣1}x >4．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）()y f x =()2,4A ．的定义域是B ．在其定义域内为减函数()y f x =[)0,∞+()y f x =C ．是奇函数D ．是偶函数()y f x =()y f x =5．“实数”是“函数在上具有单调性”的（ ）1a =-()223f x x ax =+-()1,+∞A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知，则的值为（ ）π1sin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．CD ．79-797．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩R a A ．B ．C ．D ．()0,1⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭()1,+¥8．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的0ω>()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,40,13⎛⎤ ⎥⎝⎦52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A ．命题“”的否定是“”,sin 1x x ∀∈≥-R ,sin 1x x ∃∈<-R B ．设向量的夹角的余弦值为，且，则,a b 13-1,3a b == (2)11a b b +⋅= C ．函数（且）的图象过定点()log (1)1a f x x =-+0a >1a ≠()2,1D ．若某扇形的周长为6cm ，面积为，圆心角为，则22cm (0π)αα<<1α=10．若正实数a ，b 满足，则下列选项中正确的是（ ）1a b +=A ．有最大值Bab 14C ．的最小值是10D ．14a b +122a b ->11．函数在其定义域上的图像是如图所示折线段，其中点的坐标分别为()f x ABC ,,A B C ，， ，以下说法中正确的是（ ）()1,2()1,0-()3,2-- 3 -A ．((2))2f f -=B ．为偶函数()1f x +C ．的解集为()10f x -≥[3,2][0,1]-- D ．若在上单调递减，则的取值范围为()f x []3,m -m (3,1]--第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．定义函数，则 .())5,07,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()0f f ⎡⎤=⎣⎦13．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点32330x x +-=()0,1.3x =14．已知，，则．2sin cos 20ββ-+=()sin 2sin ααβ=+()tan αβ+=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知.()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)已知，求的值.()2f α=-sin cos sin cos αααα+-16．已知，，且为偶函数.()()12e 2xm xf x m -=⋅-()e e 1xaxx g x =-()g x (1)求实数的值；a(2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.()()f xg x =m17．已知函数.()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)求函数在区间的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.()()65g x f x =-π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1212,x x x x <()12sin x x -18．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k （）元，若商店保持这两种家电的售价0100k <<不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．19．已知()e (2)e x xf x k -=+-(1)当是奇函数时，解决以下两个问题：()f x ①求k 的值；②若关于x 的不等式对任意恒成立，求实数m 的取值2()(2)2e 100xmf x f x ----<(1,)x ∈+∞范围；(2)当是偶函数时，设，那么当n 为何值时，函数()f x 2()log ()g x f x =有零点．2()[()1][21()]h x g x n n g x n n =-+⋅+-+-- 1 -1．C【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.【详解】对于A ，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A 错误；∅∅{}2,3∅⊆对于B ，，故B 错误；Q Q 对于C ，表示自然数集，表示整数集，则，故C 正确；N Z ⊆N Z 对于D ，，则，故D 错误.A B A ⋃=B A ⊆故选：C 2．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，，所以，即，2BD DA =2BD DA = ()2CD CB CA CD-=-所以．CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ 故选：B ．3．C【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.,a b 【详解】由不等式的解集为或，220ax bx ++>{2x x <-∣1}x >-得是方程的两个根，且，2,1--220ax bx ++=0a >因此，且，解得，2(1)b a -+-=-22(1)a -⨯-=1,3a b ==不等式化为：，解得，220x bx a ++<22310x x ++<112x -<<-所以不等式为.220x bx a ++<1{|1}2x x -<<-故选：C 4．D【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性的定义即可得解.【详解】由题意设幂函数为，则，所以，，()f x x α=()22224f α===2α=()2f x x =其定义域为全体实数，且它在内单调递增，[)0,∞+又，所以是偶函数，故ABC 错误，D 正确.()()()22f x x x f x -=-==()y f x =故选：D.5．A【分析】根据二次函数的单调性求出，再根据充分不必要条件的判定即可.1a ≥-【详解】当时，，则在上单调递增，1a =-()()222314f x x x x =--=--()f x ()1,∞+即其在上具有单调性，则正向可以推出；()1,∞+若函数在上具有单调性，()223f x x ax =+-()1,∞+则对称轴，解得，则反向无法推出；1x a =-≤1a ≥-故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件.1a =-()223f x x ax =+-()1,∞+故选：A.6．D 【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.π6α+【详解】∵，225πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 126626639αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.7．C【分析】要使函数是减函数，须满足求不等式组的解即可.10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩【详解】若函数在上单调递减，则(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩R 10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩，1a ≤<故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.8．D【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.- 3 -【详解】由解得，πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为，()f x 3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 因为在区间上单调递增，所以，所以.()f x π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3πππ2422T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭04ω<≤当时，由在区间上单调递增可知，得；0k =()f x π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103ω<≤当时，由解得；1k =5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩332ω≤≤当时，无实数解.2k =13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩易知，当或时不满足题意.1k ≤-2k ≥综上，ω的取值范围为.15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故选：D 9．ACD【分析】利用全称命题的否定可判定A ，利用平面向量的数量积公式及运算律可判定B ，利用对数函数的性质可判定C ，利用扇形的周长、面积公式可判定D.【详解】对于A ，命题“”的否定是“”正确，故A 正确；,sin 1x x ∀∈≥-R ,sin 1x x ∃∈<-R 对于B ，22(2)22cos ,a b b a b b a b a b b+⋅=⋅+=⋅+ ，故B 错误；2121337113⎛⎫=⨯⨯⨯-+=≠ ⎪⎝⎭对于C ，，故C 正确；()2log 111a x x =⇒-+=对于D ，设扇形半径，则或，r 22611422r r r r ααα+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩21r α=⎧⎨=⎩又，所以成立，故D 正确.0πα<<1α=故选：ACD 10．AD【分析】利用A ；利用可判断1a b=+≥212a b a b =++≤++=B ；展开后再利用基本不等式可判断C ，由再利用指数函数1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭211a b a -=->-的单调性可判断D ．【详解】对于A ，∵，且，∴，当且仅当时取到等0,0a b >>1a b +=1a b =+≥12a b ==号，∴，∴有最大值，∴选项A 正确；14ab ≤ab14对于B ，，∴2112a b a b =++=+≤++=0<+≤当且仅当时取到等号，∴B 错误；12a b ==对于C ，，14144()1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当即时取到等号，所以C 不正确；4b aa b +21,33b a ==对于D ，∵，∴，∴D 正确．211a b a -=->-122a b ->故选：AD.11．ACD【分析】利用函数图像逐一判断各选项即可.【详解】由图像可得，所以，A 正确；(2)1f -=((2))(1)2f f f -==由图像可得关于对称，所以关于对称，B 错误；()f x =1x -(1)f x +2x =-由图像可得即的解集为，C 正确；()10fx -≥()1f x ≥[3,2][0,1]-- 由图像可得在上单调递减，所以的取值范围为，D 正确；()f x [3,1]--m (3,1]--故选：ACD 12．49【分析】根据分段函数，结合指对数运算求解即可。
2023-2024学年四川省绵阳高一下学期开学考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年四川省绵阳高一下册开学考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}3,1,0,1A =--，集合{}22,B x x x =-<<∈Z ，则A B = （）A.{}1- B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}1,0-【正确答案】B【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}3,1,0,1A =--，{}{}22,1,0,1B x x x =-<<∈=-Z ，因此，{}1,0,1A B =- .故选：B.2.下列说法正确的是：（）A.终边在y 轴上的角的集合为ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣B.第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C.第二象限角大于第一象限角D.60︒角与600︒角是终边相同角【正确答案】A【分析】根据终边相同角的表示可判断A ，D ；根据象限角的概念与表示可判断B ，C ．【详解】对于A ，终边在y 轴上的角的集合为π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣，即ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣，即ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣，故A 正确；对于B ，第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣，故B 错误；对于C ，120︒是第二象限角，420︒是第一象限角，120420︒<︒，故C 错误；对于D ，600360240︒=︒+︒，与60︒终边不同，故D 错误．故选：A ．3.函数()211f x x =+-的定义域为（）A.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()2,11,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C.()2[,1)1,3⋃+∞ D.2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由已知得32010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得23x >且1x ≠，所以函数()211f x x =+-的定义域为()2,11,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B4.若角α的终边过点()3,4P -，则2sin cos αα+的值为（）A.25-B.25C.1D.1-【正确答案】D【分析】先由三角函数的定义得到sin ,cos αα，再代入2sin cos αα+计算即可.【详解】由三角函数的性质可得43sin ,cos55αα=-=，432sin cos 2155αα⎛⎫∴+=⨯-+=- ⎪⎝⎭故选：D.5.下列各组中两个值大小关系正确的是（）A .()()tan 50tan 48-<-B.912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()sin 506sin 145>D.cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.【详解】对于选项A 、B ：由正切函数的单调性可得()()tan 50tan 48-<-，912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A 正确，B 错误；对于选项C ：()()()sin 506sin 360146sin 146=+=，则根据正弦函数的单调性可得()()sin 146sin 145< ，则C 错误；对于选项D ：根据余弦函数的单调性可得cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 错误；故选：A.6.函数()21x f x x-=的图像为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x -=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.7.《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以直接完成的无字证明为（）A.222(00)a b ab a b +≥>>，B.00)2a ba b +≥>>，C.00)2a b a b +≤>>， D.200)aba b a b≤>>+，【正确答案】C【分析】由图形可知用a 、b 表示出OF 、OC ，在Rt OCF 中由勾股定理可求CF ，根据OF CF ≤即可得出结论．【详解】由图形可知：122a b OF AB +==，2a bOC -=．在Rt OCF 中，由勾股定理可得：CF ==．CF OF ≥ ，2a b +∴≤．(0)a b >，．故选：C ．8.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(),0∞-单调递增，设0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（）A.()()()f c f a f b >>B.()()()f a f c f b >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f a f b f c >>【正确答案】A【分析】先将,a b 化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较a 、b 、||c 三个数的大小关系，再由函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性并结合偶函数的性质可得出()f a 、()f b 、()f c 的大小关系.【详解】()444110log 0.3log log 0,1,0.33c ==-=∈ ，0.30.40.331,331a b =>=>>，即1||0b a c >>>>，由于函数()y f x =是偶函数，在区间(),0∞-上单调递增，所以在()0,+∞上单调递减，由于函数()y f x =为偶函数，则()()()|c|f f a f b >>，即()()()c f f a f b >>，故选：A.本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为()0,+∞上的单调性再比较.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列判断正确的有（）A.3π=- B.78a =（其中0a >）C.341627818-⎛⎫=⎪⎝⎭D.8312384m n m n --⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0m >，0n >）【正确答案】BCD【分析】根据根式的性质判断A ，根据分数指数幂的运算性质判断B ，C ，D.【详解】对于选项A3ππ3=-=-，A 错误；对于选项B ，因为0a >78a===，B 正确；对于选项C ，33433441622327813328---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，C 正确；对于选项D ，因为0m >，0n >，所以8312384m n m n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 正确；故选：BCD.10.关于函数π()sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.直线π3x =为其一条对称轴B.点π(,0)6-为其一个对称中心C.在区间22π,π33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减D.在区间π2,π23⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减【正确答案】ABD【分析】四个选项都采用代入的方法，结合函数的性质和图象，即可判断选项.【详解】A.当π3x =时，ππππsin sin 13362f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π3x =为其一条对称轴，故A 正确；B.当π6x =-时，πππsin sin 00666f ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π(,0)6-为其一个对称中心，故B 正确；C.当22π,π33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,626x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当πππ,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时函数单调递增，当ππ5π,626x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，故C 错误；D.当π2,π23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π5π,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数单调递减，故D 正确.故选：ABD11.若直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 可以是（）A.2B.13C.14D.18【正确答案】CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，当01a <<时，|1|x y a =-的图象如图（1）所示，由已知得031a <<，103a ∴<<；当1a >时，|1|x y a =-的图象如图（2）所示，由已知可得031a <<，103a ∴<<，结合1a >可得a 无解．综上可知a 的取值范围为1(0,3．故选：CD ．12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当[]()20,1,x f x x x ∈=+，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x 关于直线1x =对称B.4是函数()f x 的周期C.()()202220230f f +=D.方程()ln f x x =恰有4不同的根【正确答案】ABD【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A 的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B 的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C 的正误；分别作出()y f x =和ln y x =的图象，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为()()1g x f x =+是偶函数，所以()()g x g x -=，即()()11f x f x -=+所以()f x 关于1x =对称，故A 正确.对于B ：因为()()11f x f x -=+，所以()()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，即周期4T =，故B 正确对于C ：()()()()()()()2022200,20233112,f f f f f f f ==-===-=-=-所以()()2022202320f f +=-≠，故C 错误；对于D ：因为[]()20,1,x f x x x ∈=+，且()f x 关于直线1x =对称，根据对称性可以作出[]1,2x ∈上的图象，又()()2f x f x +=-，根据对称性，可作出[]2,4x ∈上的图象，又()f x 的周期4T =，作出()y f x =图象与ln y x =图象，如下图所示：所以()f x 与ln y x =有4个交点，故D 正确.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.函数22log (2)y x =-的零点是_________．【正确答案】1和3【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令()221x -=即可求解【详解】依题意，令()221x -=，解得：1x =或3x =，故1和3.14.若()0,x ∞∈+幂函数()211a y a a x-=--为减函数，则实数a 的值为______.【正确答案】1-【分析】先根据函数是幂函数求出a 的值，再代入验证即可.【详解】因为函数()211a y a a x-=--是幂函数，所以211a a --=，解得1a =-或2a =，当1a =-时，2y x -=，满足在区间()0,∞+上是减函数，当2a =时，y x =，不满足在区间()0,∞+上是减函数，故1-15.若正实数a 、b 满足3a b +=，则14a b+的最小值为______.【正确答案】3【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为正实数a 、b 满足3a b +=，所以()14114141553333a a b a b a b a b b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b =，则23b a a b =⎧⎨+=⎩，即1a =，2b =时取等号，即14a b +的最小值为3.故316.已知函数22,1()2ln(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a取值范围为__________.【正确答案】57,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【分析】画出()f x 的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】12221,1,1()2ln(1),1ln(1),1x x x x f x x x x x -⎧+⎧+≤≤⎪⎪==⎨⎨->⎪⎩⎪->⎩()12f =，由()ln 12x -=解得2e 1x =+.画出()f x 的图象如下图所示，令()f x t =，由图象可知()y f x =与y t =有两个公共点时，01t <≤或2t >；()y f x =与y t =有一个公共点时，0=t ；()y f x =与y t =有三个公共点时，12t <≤.依题意，22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，对于函数()223h t t at =-+，由于()2003h =≠，()h t 的两个零点12,t t ，全都在区间(]0,1或区间()2,+∞，或一个在区间(]0,1一个在区间()2,+∞，所以()()2228Δ4033012200321103a a a h h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=-+≥⎩或()2228Δ403322224203a a a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪=-+>⎪⎩或()()()2228Δ4033200321103224203a a h h a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪=>⎪⎨⎪=-+≤⎪⎪⎪=-+<⎩，解得26533a <≤或∅或73a >，所以a 的取值范围是2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数()f x 的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）)106362338(31)42(3)+--（2）23lg42lg5log 3log 8lg1++⨯+．【正确答案】（1）4（2）5【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；（2）根据对数的运算性质求解即可．【小问1详解】102331)2+-+312233322122⎛⎫=+-⨯+ ⎪⎝⎭42213+-+==．【小问2详解】23lg42lg5log 3log 8lg1++⨯+222log 8=lg4lg25log 30log 3++⨯+()2lg 425log 8⨯+=232lg10log 2235+=+==．18.已知()()()πsin 3sin 3π23π2cos cos π2f ααααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（1）化简()f α.（2）已知tan 2α=，求()f α的值.【正确答案】（1）3sin cos 2sin cos αααα-+；（2）1.【分析】（1）根据诱导公式直接计算化简即可；（2）根据齐次式求解即可.【小问1详解】解：根据诱导公式得：()()()πsin 3sin 3πcos 3sin 3sin cos 23π2sin cos 2sin cos 2cos cos π2f ααααααααααααα⎛⎫+-- ⎪--⎝⎭===--+⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【小问2详解】解：由（1）知()3sin cos 2sin cos f ααααα-=+，因为tan 2α=，所以()3sin cos 3tan 132112sin cos 2tan 1221f ααααααα--⨯-====++⨯+19.已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．（1）若3a =，求R ()P Q ⋂ð；（2）若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）R ()[2,4)P Q =- ð（2）[0,2]【分析】（1）由交集，补集的概念求解，（2）转化为集合间关系后列式求解，【小问1详解】当3a =时，[4,7]P =，{|25}Q x x =-≤≤，则R (,4)(7,)P =-∞+∞ ð,R ()[2,4)P Q =- ð，【小问2详解】由题意得P 是Q 的真子集，而P 是非空集合，则12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩且12a +=-与215a +=不同时成立，解得02a ≤≤，故a 的取值范围是[0,2]20.对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x 吨需另外投入可变成本()C x 万元，已知()249,0501440051870,5010021ax x x C x x x x ⎧+<⎪=⎨+-<⎪+⎩，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润=销售额-成本）为()L x 万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. 1.41)≈（1）年利润()L x （单位：万元）关于年产量x （单位：吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？【正确答案】（1）21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩（2）当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；（2）当(0x ∈，50]时，求得max y 万元；当(50x ∈，100]时，结合基本不等式，即可求.【小问1详解】当基底产出该中药材40吨时，年成本为16004940250a +⨯+万元，利润为5040(16004940250)190a ⨯-+⨯+=，解得14a =-，则21250,0504()14400620,5010021x x x L x x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪--+<⎪+⎩.【小问2详解】当(0x ∈，50]，()212504L x x x =+-，对称轴为20x =-<，则函数在(0，50]上单调递增，故当50x =时，max 425y =，当(50x ∈，100]时，()14400144002114400620620620.5620.5451.32121221x L x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=--+=-++=-+-≈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭当且仅当2114400221x x +=+，即184.12x =-≈时取等号，因为425451.3<，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.21.已知函数()231x f x x -=+．（1）判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：()f x 在（-1，＋∞）上是增函数；（3）求函数()f x 在区间［1，4］上的值域．【正确答案】（1）函数()f x 不具有奇偶性；理由见解析；（2）证明见解析；（3）［-12，1］.【分析】（1）通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；（2）任取x 1，x 2∈（-1，＋∞），且x 1＜x 2，通过计算f （x 1）-f （x 2）的正负来判断单调性；（3）通过函数()f x 在区间［1，4］上的单调性求得最值即可.【小问1详解】由已知10x +≠，故1x ≠-函数()f x 定义域为()(),11,-∞--+∞ ，因为定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不具有奇偶性；【小问2详解】证明：()231x f x x -=+=2(1)51x x +-+=521x -+，任取x 1，x 2∈（-1，＋∞），且x 1＜x 2f （x 1）-f （x 2）＝（2-151x +）-（2-251x +）＝251x +-151x +=12125(1)5(1)(1)(1)x x x x +-+++＝12125()(1)(1)x x x x -++，又由-1＜x 1＜x 2，则x 1-x 2＜0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，故f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f (x )在（-1，＋∞）是增函数；【小问3详解】由（2）知，f (x )在［1，4］上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝-12，f (x )max ＝f （4）＝1，故f (x )在［1，4］上的值域是［-12，1］．22.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=.（1）求a ，b 的值（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）1,0a b ==；（2）1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）(0,)+∞．【分析】（1）判断函数在[2,3]上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得,a b ；（2）设2log [1,2]t x =∈，利用分离参数法，题中问题为22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭在[1,2]t ∈上有解，求出2121t t+-的最大值即可得．（3）把方程化简，并设21x t =-，方程化为2(32)(21)0t k t k -+++=，结合21x t =-图象，方程2(32)(21)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，则有101t <<，21t >，或101t <<，21t =，利用二次方程根的分布知识求得k 的范围．【详解】（1）由题意2()(1)1g x a x b a =-++-，又0a >，∴()g x 在[2,3]上单调递增，∴(2)4411(3)9614g a a b g a a b =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．（2）由（1）2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x==+-，[2,4]x ∈时，2log [1,2]x ∈，令2log t x =，则()20f t kt -≥在[1,2]上有解，1()2220f t kt t kt t -=+--≥，∵[1,2]t ∈，∴22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭，[1,2]t ∈，则11,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为14，∴124k ≤，即18k ≤．∴k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）原方程化为221(32)21(31)0x x k k --+-++=，令21x t =-，则(0,)t ∈+∞，2(32)(31)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，作出函数21x t =-的图象，如图原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记2()(32)(31)0h t t k t k =-+++=，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩，解得0k >，或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解．综上k 的取值范围是(0,)+∞．本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．。
高一数学下学期开学考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校HY二零二零—二零二壹高一下学期开学考试数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是()A.奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B.奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C.偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D.偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由以下列图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A.15 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3,那么g〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下列图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比较根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假设存在，试求出的值；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下列图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用.解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.。
黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
D．既不充分也不必要条件
4．若函数 f (x) ax ax (a 0 且 a 1) 在 R 上是增函数，那么 g(x) loga (x 1) 的大致 图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若正数 x 、 y 满足 x 2y 2xy ，若不等式 x 2y m 的恒成立，则 m 的最大值等于
B．若 ac2 bc2 ，则 a b D．若 a b ， c d ，则 ac bd
11．已知 f x 是定义在 R 上的函数，且满足 f x f x 1 1，当 x 10, 时，f x x2 ，
则下列命题正确的是（ ）
A． f x 是周期为 2 的函数
B．当 x 1, 2 时， f x 2x x2
2
2．已知集合 A x 0 x 3 ， B x x 2, x Z ，则 AI B （ ）
A． 2, 3
B． 0, 3
C．0,1, 2
D．0,1, 2,3
3．“ a 0 ”是“关于 x 的函数 y ax b （ a 0 ）的图像过一、三象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件
(1)求 f x 的解析式；
(2)若方程
af
x
sin
2x
a
1
0
在
π 4
,
π 2
上有实数解，求实数
a
的取值范围.
试卷第 4 页，共 4 页
（） A．4
B．
9 2
C． 4 2
D．8
6．若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，在 , 0 上是增函数，且 f (1) 0 ，则
f (x) f (x) 0 的解集为（ ） x
上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题(含答案和详细解析)
第1页共16页2023-2024学年上海市七宝中学高一年级下学期开学考数学试卷2024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,230,A B x x x N =--=-<∈，则A B = ______.的弦所对的劣弧长是______.3.函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为______.4.已知:31p x - ，:(q x a a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是______.5.设,,a b c 都是非零常数，且满足49a b c b ==，则11a c +=______.（结果用b 表示）6.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则cos2α=______.7.已知关于x 的不等式20ax x a -+<的解集非空，则实数a 的取值范围是______.8.若实数x 满足cos2sin 1x x +=，且()0,x π∈，则x =______.9.对任意[),0,x y ∈+∞，且x y ≠，不等式x y -恒成立，则实数c 的取值范围为______.10.在ABC ∆中，tan 4tan B A =，则当B A -取最大值时，sin C =______.11.已知函数122|2|log (1),1()()22,x x x n f x n m n x m ----⎧⎪=<⎨⎪-<⎩ 的值域是[]1,2-，当30,4n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，实数m 的取值范围是______.12.定义：关于x 的两个不等式()0f x <，()0g x <的解集分别为(,)a b 和1(a ，1b，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式2cos 20x θ-+<与不等式224sin 10x x θ++<为对偶不等式，则θ=______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设,a b R ∈，若110a b <<，则（）.A.a b < B.a b < C.a b ab+> D.22a b <。
安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案解析)
安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．12⎛- ⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．1203．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（）A ．21B ．25C ．29D ．334．已知函数()()2lg 215f x x a x ⎡⎤=--+⎣⎦在区间()1,+∞上有最小值，则a 的取值范围是（）A ．()1B ．)1,2C ．(D ．312⎛⎫⎪⎝⎭5．函数sin 4xx xy e +=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．设函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π12x =-对称B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．已知函数()4f x x x =+，()2xg x a =+，若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)3,∞-+D ．[)1,+∞8．设函数11lg(2),2(),10,2x x x f x x -+->⎧⎪=⎨≤⎪⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的范围是A ．(1,10]B ．1(,10]10C ．(1,)+∞D ．(0,10]二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23πcm 210．已知幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b R ∈且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（）A ．0a b +>且0ab <B ．0a b +<且0ab <C ．0a b +<且0ab >D ．以上都可能11．下列说法中正确的是（）A ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则a 的取值范围是()1,2B ．在同一直角坐标系中，函数2log y x =与12log y x =的图象关于y 轴对称C ．在同一直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称D ．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为202112．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（）A ．11x y+的最小值是4B ．11y x -+最小值为-1C ．22xy +的最小值是2D ．(1)x y +的最大值是94三、填空题13．已知函数()()3,01,1a a x x f x x x ⎧-<<=⎨≥⎩是定义在()0,∞+上的增函数，则a 的取值范围是______.14．函数tan 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标为___________.15．若函数()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值范围是________.16．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中正确的是_______.（填序号）①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =的图象关于直线6x π=对称；③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-.四、解答题17．已知集合()()}0{1|A x x a x a =--+≤，{}2|20B x x x =+-<．(1)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)设命题()22:,218p x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围．18．已知α是第四象限角．(1)若cos α=()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．19．已知函数()12sin .26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1求()f x 的最小正周期及其单调递增区间；()2若[],x ππ∈-，求()f x 的值域．20．已知函数()3131-=+x x f x ．(1)证明函数()f x 为奇函数；(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈）22．已知函数22()log log 24x xf x =⋅．(1)求函数f （x ）的值域；(2)若12()()f x f x m ==，且2140x x >>，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合诱导公式求出答案.【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=，所以π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中25coscos cos 6611π6πππ⎛⎫=-=- ⎭=-⎪⎝，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，即Q 点的坐标为：221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．2．A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步，3081202S ⨯==（平方步），设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A 3．A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立，∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭，由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()11212122242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪+--+⎝⎭，当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21．故选：A 4．A【分析】令()2()215t x x a x =--+，根据对数函数的性质可得11(1)0a t a ->⎧⎨->⎩，从而得解.【详解】令()2()215t x x a x =--+，为开口向上的抛物线，对称轴为1x a =-函数()()2lg 215f x x a x ⎡⎤=--+⎣⎦在区间()1,+∞上有最小值，则()2215t x a x =--+在()1,+∞上先减后增，所以22211(1)(1)2(1)5(1)50a t a a a a ->⎧⎨-=---+=--+>⎩，解得21a <<.故选：A.5．A【分析】根据函数的奇偶性，可排除C 、D ，利用()1f 和x →+∞时，()0f x →，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 4xx xf x e +=的定义域为R ，且()()sin()4()sin 4x xx x x xf x f x e e --+-+-==-=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D ；当1x =时，可得()sin141(1,2)f e+=∈，且x →+∞时，()0f x →，结合选项，可得A 选项符合题意.故选：A.6．C【分析】对于A ，求出函数的对称轴，可知不存在Z k ∉使得对称轴为直线π12x =-，A 错误；对于B ，求出函数的对称中心，可知不存在Z k ∉使其一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，B 错误；对于C ，由()f x 求出6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得C 正确；对于D ，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出整体π23u x =-的范围，验证cos y u =不是单调递增，D 错误.【详解】由π2=π,Z 3x k k -∈解得ππ,Z 62k x k =+∈，所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为ππ,Z 62k x k =+∈，由πππ6212k +=-解得1Z 2k =-∉，故A 错误；由ππ2=π+,Z 32x k k -∈解得5ππ,Z 122k x k =+∈，所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5ππ,0,Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由5πππ1226k +=解得1Z 2k =-∉，故B 错误；πcos 2cos2663y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而()()cos 2cos 2cos 2x x x ⎡⎤-=-=⎣⎦，所以6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，C 正确；令π23u x =-，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，此时cos y u =在ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不是单调递增函数，故D 错误.故选：C.7．C【分析】根据题意得到()()min max f x g x ≤，根据函数单调性得到()min 5f x =，()max 8g x a =+，得到不等式，求出实数a 的取值范围是[)3,∞-+.【详解】若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，故只需()()min max f x g x ≤，其中()4f x x x =+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()min 5114f x f ==+=，()2x g x a =+在[]2,3x ∈上单调递增，故()()max 38g x g a ==+，所以58a ≤+，解得：3a ≥-，实数a 的取值范围是[)3,∞-+.故选：C 8．A【分析】把f （x ）﹣b=0有三个不等实数根转化为函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案．【详解】作出函数f （x ）=()1122102x Ig x x x -⎧+-⎪⎨≤⎪⎩，＞，的图象如图，f （x ）﹣b=0有三个不等实数根，即函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点，由图可知，b 的取值范围是（1，10]．故选A ．【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．9．BC【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误；B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确；C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，C 正确；D 选项，扇形面积为22211π3π3cm 2264S R α==⨯⨯=，故D 错误．故选：BC ．10．BC【分析】先求出幂函数的解析式，3()f x x =，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到0a b +<.【详解】因为223()(1)mm f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b R ∈且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC 11．CD【分析】分别由复合函数的单调性、底数互为倒数的对数函数的图象、互为反函数的两个函数的图象及奇函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，令log a y u =，()0,u ∈+∞，2u ax =-，∵函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，∴2u ax =-在()0,1单调递减，由复合函数的单调性知，log a y u =在()0,u ∈+∞单调递增，且当1x =时，210u a =-⨯≥，∴201a a -≥⎧⎨>⎩解得12a <≤，∴a 的取值范围是(]1,2，故选项A 错误；对于B ，∵函数2log y x =与12log y x =的底数2与12互为倒数，∴在同一直角坐标系中，函数2log y x =与12log y x =的图象关于x 轴对称，故选项B 错误；对于C ，∵指数函数2x y =与对数2log y x =的底数相同，∴函数2x y =与2log y x =互为反函数，∴在同一直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，故选项C 正确；对于D ，∵奇函数()f x 定义域为R ，∴()()00f f -=-，即()00f =，0是函数()f x 的一个零点；又∵奇函数的图象关于原点对称，()f x 在(),0∞-内有1010个零点，∴()f x 在()0,∞+有1010个零点，∴()f x 的零点个数为1010110102021++=，故选项D 正确.故选：CD 12．CD【分析】A 利用“1”代换求最值，B 因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，代入11y x -+中化简构造基本不等式验证即可，C 先把式子变形，再运用基本不等式，D 先构造()+13x y +=，再运用基本不等式.【详解】A.因为正数,x y 满足2x y +=，即12x y+=所以11121x y x x y y ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122222y x x y =+++≥+=，当且仅当22y x x y=，即1x y ==时等号成立，故选项A 不正确.B.因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，所以111(2)2111y x x x x x -=--=+-+++()113311x x =++-≥=-+，当且仅当111x x =+⇒+0x =或2x =-，不满足故取不到最小值1-，故B 选项不正确.C.()2222x y x y xy +=+-()()2222222x y x y x y ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，故选项C 正确.D.因为2x y +=，所以()+13x y +=，则()219124x y x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当312x y =+=时等号成立，故选项D 正确.故选：CD.13．[)2,3【分析】由已知，要想保证函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，需满足分段函数两部分在各自区间上单调递增，然后再满足连续单增，即比较当1x =时，左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值，列式即可完成求解.【详解】由已知，函数()()3,01,1a a x x f x x x ⎧-<<=⎨≥⎩是定义为在()0,∞+上的增函数，则(3)y a x =-在()0,1上为单调递增函数，a y x =在[)1,+∞上为单调递增函数，且(3)11a a -⨯≤，所以30031a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得23a ≤<，所以a 的取值范围是[)2,3.故答案为：[)2,314．,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】利用正切函数的对称中心求解即可.【详解】令26x π-＝2k π(Z k ∈)，得412k x ππ=+(Z k ∈)，∴对称中心的坐标为(,1)()412k k Z π+∈π．故答案为：,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(Z k ∈)15．24(0,](1,)33⋃【分析】令2()2t x x ax =-，分1a >和01a <<两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：令2()2t x x ax =-，则()0t x >，当1a >时，log a y x =是增函数，由()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则2()2t x x ax =-在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，故113021a t a ⎧≤⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即1193041a a a ⎧≤⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得413a <<；当01a <<时，log a y x =是减函数，由()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则2()2t x x ax =-在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，故()1321001a t a ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<<⎪⎩，即1322001a a a ⎧≥⎪⎪-≥⎨⎪<<⎪⎩，解得203a <≤，综上，a 的取值范围是.24(0,](1,33⋃.故答案为：24(0,](1,)33⋃16．③④【解析】根据周期公式可得①不正确.【详解】()y f x =是以π为最小正周期的周期函数,故①不正确；因为2()4sin(2)4sin 26633f ππππ=⨯+=4≠±,所以②不正确；因为()4sin[2()4sin 00663f πππ-=⨯-+==,所以③正确；因为()4sin 24sin[(2)]326f x x x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭4cos(2)6x π=-,所以④正确.故答案为:③④【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的对称中心，考查了诱导公式，属于基础题.17．(1)()1,1-(2)[]1,2-【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简A 、B ，再由已知可得集合A 真包含于集合B 即可得到不等式组，解得即可；（2）写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于m 的不等式组求解．【详解】（1）解：（1）由()()10x a x a --+≤，即1a x a -≤≤，所以()()}10|}1{{|A x x a x a x a x a =--+≤≤≤=-，由220x x +-<，即()()120x x -+<，解得2<<1x -所以{}{}2|20|21B x x x x x =+-<=-<<，∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B ，∴121a a ->-⎧⎨<⎩，解得11a -<<，即()1,1a ∈-；（2）解：因为命题()22:,218p x B x m x m m ∃∈+++->为假命题，所以()22:,218p x B x m x m m ⌝∀∈+++-≤为真命题，设()()22218g x x m x m m =+++--，则()()2010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即()()()()2222221280121180m m m m m m ⎧-++⨯-+--≤⎪⎨++⨯+--≤⎪⎩，解得1632m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，所以12m -≤≤，即[]1,2m Î-．18．(1)15-(2)12-或13-【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，求出tan α的值.【详解】（1）∵α是第四象限角，cos α=sin α=∴sin tan 2cos ααα==-，∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．（2）∵21sin sin cos 5ααα+=-，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，∴1tan 2α=-或1tan 3α=-．19．（1）4T π=，424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）⎡⎤⎣⎦【分析】()1由三角函数的周期公式求周期，再利用正弦型函数的单调性，即可求得函数的单调区间；()2由x的范围求得相位的范围，进而得到1πsin x 1226⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即可求解函数的值域．【详解】（1）由题意，知()1πf x 2sin x 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2πT 4π12==．又由π1ππ2kπx 2kπ2262-≤+≤+，得4π2π4kπx 4kπ33-≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为4π2π4kπ,4kπ33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）因为πx π-≤≤，所以π1πx 222-≤≤，则π1π2πx 3263-≤+≤，所以1πsin x 1226⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1π2sin x 226⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 2≤≤．所以()f x的值域为.⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质，准确计算是解答的此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．(1)证明见解析(2)12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()11311331311313xxx x xx f x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；（2）由()3131221313131x x x x x f x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以131x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数，而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，所以312t t -<-，解得21t <-，故不等式的解集为12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．21．(1)选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，112x ≤≤，*N x ∈；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，∴232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故该函数模型的解析式为323()32x y =⋅，112x ≤≤，*N x ∈；（2）当0x =时，323y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk 3，由32332()10323x ⋅>⨯，得3()102x >，∴32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，∵*N x ∈，∴6x ≥，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．22．(1)1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2)3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)利用对数运算将函数化简，再使用换元法即可求得函数值域;(2)用换元法得到两根的关系，再根据方程有两根0∆>，以及韦达定理，即可求得参数范围.【详解】（1）因为()f x 定义域为()0,x ∈+∞，则()22222()(log 1)(log 2)log 3log 2f x x x x x =--=-+设2log x t R =∈，令22311()32()244g t t t t =-+=--≥-，所以()f x 值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）设211log x t =，222log x t =因为2140x x >>所以2221log log 4x x >即2221log log 2x x >+，即212t t >+，所以212t t ->则2()32g t t t m =-+=的两根为12,t t 整理得2320t t m -+-=因为2(3)41(2)0m ∆=--⨯⨯->解得14m >-再由韦达定理可得:12123·2t t t t m+=⎧⎨=-⎩则21t t -=2=解得34m >综上，3,4m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭。
湖南省衡阳市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题含答案
2023级高一年级第二学期开学考试数学试题（答案在最后）时量：120分钟分值：150分考试内容：必修一，必修二第六章1-3节命题人：一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，U 是全集，,M N 是U 的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（）A.M N ⋂B.()UM N⋃ð C.()U M N⋂ð D.()U N M N ⋂⋂ð【答案】D 【解析】【分析】根据给定的图形，利用集合的交并补运算即可求解.【详解】观察图形知，阴影部分在集合N 中，且不在集合M ，在()U M N ⋂ð中，ABC 不可选，也不在M N ⋂中，所以阴影部分可表示为()U N M N ⋂⋂ð.故选：D 2.函数3ln y x x=-的零点所在区间是（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】B 【解析】【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 2ln 022f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3.故选：B3.函数()3e 1x x f x =+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断．【详解】∵函数()3e 1x x f x =+为非奇非偶函数，∴其图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故选项C 错误；当0x <时，()30e 1x x f x =<+，故A ，D 错误，故选：B4.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B5.已知2169log 3,2,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b >>B.c b a >>C.a b c >>D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数换底公式，结合对数函数性质及媒介数比较大小即得.【详解】依题意，1633111log 3log log 31627a ==>=，922111log 2log 9log 38c ==<=，又291log 2log 24c b -=>===，所以,,a b c 的大小关系为a c b >>.故选：A 6.已知()()1241,2(0,1)2,2x a x a x f x a a ax -⎧-++≤=>≠⎨>⎩．若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,(1,2)2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,(1,2)4⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】通过对参数a 分类讨论，研究()f x 在(,2]-∞和(2,)+∞的单调性，再结合已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令()(2)41g x a x a =-++，(,2]x ∈-∞；1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，①当01a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递减，易知1()2x h x a -=在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，又因为()f x 存在最小值，只需(2)(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，又由01a <<，从而102a <≤；②当12a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，又因为()f x 存在最小值，故(2)(2)g h ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得，34a ≤，这与12a <<矛盾；③当2a =时，9,2()2,2x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，易知()f x 的值域为(4,)+∞，显然()f x 无最小值；④当2a >时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递增，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，从而()f x 无最小值.综上所述，实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：A.7.如图，在ABC 中，1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，BC ，AB 边上的两条中线AD ，CE 相交于点P ，则cos DPE ∠=（）A.14B.7C.17D.14【答案】D 【解析】【分析】由题得ABC 为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求AD 与CE夹角的余弦即可.【详解】因为1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，由余弦定理得，2222cos 41221cos603BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=，得到BC =，又222BC AC AB +=，所以ABC 为直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则有(1,0),3),(0,0)A B C ，又,D E 分别为,BC AB 中点，所以313(0,),(,)222D E ，故313(1,(,)222AD CE =-= ，所以13724cos cos ,143131444AD CEDPE AD CE AD CE-+⋅∠===⋅+⋅+，故选：D.8.已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0ω>且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（）A.6π B.4π C.3πD.23π【答案】C 【解析】【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ.【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件，综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+，∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=B.若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为()0,x ∃∈+∞，1ln x x-≤C.已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,1--D.已知()()2ln 21f x mx x =++.若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围(]0,1【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，不等式解集的端点即对应方程的根，可求出a ，c 判断正误；对于B ，使用含有一个量词的命题的否定的知识进行判断；对于C ，结合函数单调性的定义，结合分段函数单调性知识进行判断；对于D ，可使用复合函数的值域知识进行判断.【详解】对于A ，不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则1-和2是方程220ax x c ++=的两个根，故20440a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得2a =-，4c =所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称量词命题“x M ∀∈，()p x ”的否定为存在量词命题“x M ∃∈，()p x ⌝”因此命题():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->，则其否定为()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤，故B 正确；对于C ，因为()f x 是增函数，需满足当1x ≤时，25y x ax =---为增函数，当1x >时，ay x=为增函数，且当1x =时，25a x ax x ---≤，所以12015a a a a⎧-≥⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎩，解得32a --≤≤，故C 不正确；对于D ，令ln y t =，221t mx x =++，()f x 的值域为R ，则ln y t =的值域为R ，即(0,)+∞为221t mx x =++值域的子集，当0m =时，21t x =+，值域为R ，满足题意，当0m ≠时，需00m >⎧⎨∆≥⎩，即0440m m >⎧⎨-≥⎩，解得01m <≤，综上所述，实数m 的取值范围是01m ≤≤，故D 不正确.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.函数()228f x x x =+-的零点是()()4,0,2,0-B.方程e 3x x =+有两个解C.函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称D.用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内的近似解的过程中得到()()10, 1.50f f <>，()1.250f <，则方程的根落在区间()1,1.25上【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由零点的定义即可得解；对于BD ，由零点存在定理即可判断；对于C ，由互为反函数的两个函数图象的位置关系即可判断.【详解】对于A ，零点不是点，而是函数图象与x 轴交点的横坐标，故A 错误；对于B ，令()e 3xx f x =--，则()()232e10,3e 0f f ---=-<-=>，()()1010020,10e 1321310241310110f f =-<=->-=-=>，所以由零点存在定理可知()e 3xx f x =--（其图象连续不断）在()()3,2,0,10--内各有一个零点，故B正确；对于C ，若331log log 3xx y x y y -⇔-=⇔==，所以函数313,log xy y x-==互为反函数，所以函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称，故C 正确；由零点存在定理可知方程的根落在区间()1.25,1.5，故D 错误.故选：BC.11.给出下列命题，其中正确的选项有（）A.等边ABC 中，向量AC 与向量BC的夹角为60B.()2,1a =r ，()3,1b =- ，则向量a 在向量b 上的投影向量为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.非零向量,a b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为30D.若()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围为34m >-【答案】ABC 【解析】【分析】由向量夹角定义知A 正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B 正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C 正确；由cos BA BCABC BA BC⋅∠=⋅ ，根据ABC ∠为锐角可构造不等式组求得D 错误.【详解】对于A ，,AC BC C =∠ ，ABC 为等边三角形，,60AC BC ∴=，A 正确；对于B，cos ,2a b a a b b ⋅===- ，3,1,1010b b ⎛-==- ⎝⎭，a ∴r 在b 上的投影向量为31cos ,,22b a a b b ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，a b a b ==-，∴以,,a b a b - 构成如图所示的等边三角形ABC ，其中AB a =，AC b =，CB a b =- ，以,AB AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AD +=，四边形ABCD 为菱形，,a a b BAD ∴+=∠，又60CAB ∠= ，AD 平分CAB ∠，,30a a b BAD ∴+=∠=，C 正确；对于D ，()3,1BA OA OB =-=-- ，()1,BC OC OB m m =-=---，()()22cos 101BA BC ABC BA BC m m ⋅∴∠==⋅⋅--+- ABC ∠ 为锐角，cos 0cos 1ABC ABC ∠>⎧∴⎨∠≠⎩，解得：34m >-且12m ≠，D 错误.故选：ABC.12.已知函数()sin sin f x x x =⋅，则下列说法正确的是（）.A.()f x 是周期函数B.ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间C.若()()120f x f x +=，则()12πZ x x k k +=∈D.不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅的解集为15,88k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为()()()()2πsin 2πsin 2πsin sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅=，所以2π是()f x 的一个周期，正确；对于B ，因为()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，且函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 是奇函数，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21cos 2sin 2x f x x -==单调递增，又因为()f x 是奇函数且过原点，所以ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间，正确；对于C ，由AB 可画出函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上的图象，又因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于π2x =对称，可画出函数()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，即得到函数()f x 在π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，即一个周期的图象，如图：则π13π1,4242f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π3π044f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，但π3ππ442-+=，错误；对于D ，先求不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅在一个周期内的解集，取区间[]0,2π，因为sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅，所以()π2π2π2f x f x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，则π2π4π7π2π24x x ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，则在整个定义域上有π2π2π4π7π2π2π24x k x k ⎧>+⎪⎪⎨⎪+<+⎪⎩，解得15,Z 88k x k k +<<+∈，正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.51log 22661611742log 3log 4cos4953π-⎛⎫⎛⎫⨯++-+= ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】9【解析】【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.【详解】原式512266log 2414[()]log 9log 4cos(6)753-π=⨯++-+π-16414()log 36cos723-π=⨯+-+1172922=+-+=故答案为：914.若扇形的弧长为8，圆心角为4rad ，则扇形的面积为__________.【答案】8【解析】【分析】由弧长公式求出扇形的半径r ，再由扇形的面积公式求解即可.【详解】解：8,4,l α== 2,lr α∴==182S rl ∴==.故答案为：815.a b c >>，*N n ∈，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a c a b b c -=-+-，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．【详解】解：由于11n a b b c a c+≥---恒成立，且a c >即a c a cn a b b c --≤+--恒成立只要a c a cn a b b c--≤+--的最小值即可a c a c ab bc a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+----2b c a ba b b c--=++--a b c>> 0a b ∴->，0b c ->，故4a c a c a b b c ⎛⎫--+≥ ⎪--⎝⎭，因此4n ≤故答案为：4．16.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-四､解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.如图所示，已知在△AOB 中，BC =2AC ，OD =2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA a = ，OB b =．（1）用a和b 表示向量OC 、DC；（2）若OE OA λ=，求实数λ的值【答案】（1）2OC a b =- ；523DC a b=-（2）4=5λ【解析】【分析】（1）结合向量的加法、减法法则运算即可（2）根据向量的减法法则可得()2EC a b λ=-- 、523DC a b =-，结合平行向量的基本定理计算即可.【小问1详解】由题意知，A 是BC 的中点，且23OD OB =，由平行四边形法则，2OB OC OA +=，所以22OC OA OB a b =-=-，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-.【小问2详解】因为//EC DC ，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--，523DC a b =- ，所以22λ-＝153--，解得4=5λ．18.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中，点P 的坐标为(6,0)-，点Q 是()f x 图象上的最低点且坐标为(2,3)--，点R 是()f x 图象上的最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记RPO α∠=，QPO β∠=（α，β均为锐角），求()tan 2αβ+的值.【答案】（1）()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）7736【解析】【分析】（1）由图象可得A ，由函数()y f x =的最小正周期求得ω的值，利用正弦函数的对称中心结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）利用函数周期求得(6,3)R ，由两点式斜率公式及诱导公式求得1tan 4α=，3tan 4β=，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】由图象及(6,0)P -，(2,3)Q --可知，3A =，又函数()f x 的最小正周期()42616T ⎡⎤=---=⎣⎦，所以2ππ8T ω==，因为点(6,0)P -为函数()f x 的一个对称中心，所以()π6π,Z 8k k ϕ⨯-+=∈，即3ππ,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ≤，所以π0,4k ϕ==-，所以()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）函数周期及最值知(6,3)R ，因为RPO α∠=，QPO β∠=，(6,0)P -，(2,3)Q --，所以()301tan 664PR k α-===--，()()303tan πtan 264PQ k ββ---=-===----，即3tan 4β=，所以22122tan 84tan 21tan 15114ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()83tan 2tan 77154tan 2831tan 2tan 361154αβαβαβ+++===-⋅-⋅.19.为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为18x ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到0.01）.【答案】（1）0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）0.77【解析】【分析】（1）根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；（2）令0.25y =，即可得出结果.【小问1详解】由题知，药物释放过程中，设y kx =，将()0.1,1代入解析式可得，0.11k =，解得10k =，以及0.1118a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以从药物释放开始，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】由（1）知，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，令0.110.258x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则20.10.773x >+≈，所以从药物释放开始，至少需要经过约0.77小时后，学生才能回到教室.20.已知函数()211f x x x =---．（1）求函数()f x 的零点以及不等式()0f x ≤的解集M ；（2）设M 中的最大数是m ，正数a b ､满足3a b m +=，求225b aa b++的最小值．【答案】（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）132【解析】【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.（2）确定2a b +=，变换224659b a a b a b=+++-，再利用均值不等式计算得到最值.【小问1详解】,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，当1x ≥时，0x ≤，解得∅；当112x <<时，320x -≤，解得23x ≤，即12,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当12x ≤时，0x -≤，解得102x ≤≤，即10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：20,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，即20,3M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】23m =，2a b +=，()()22222222555949486a b b a b a a b a b a b a a b a a b a b --++=++=++=++=-()1941194113622222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当94b a a b=，即65a =，45b =时等号成立.21.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC的夹角；（2）若⊥AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．【答案】21.6π22.sin cos 4αα-=，33sin cos αα+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sin cos αα+，进而得解.【小问1详解】由OA OC += 得()224+cos sin 21αα+=，1cos 2α=，又0πα<<，3πα∴=，1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC的夹角为β,()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅=23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC的夹角β为6π.【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅=，即()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，1sin cos 4αα∴+=，152sin cos 016αα-∴=<，故ππ2α<<,()21531sin cos 11616αα-∴-=-=，sin cos 4αα∴-=.又33sin cos αα+()()22sin cos sin sin cos cos αααααα=+-+1151432⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭47128=.22.已知函数()()12log 2sin 1 3.f x x =+-（1）求f (x )的定义域；（2）若0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求f (x )的值域;（3）设R a ∈，函数()2232g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01 g x f x =成立，求a 的取值范围.【答案】（1）7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈；（2）[4,3]--；（3）53(,][1,]32-∞- .【解析】【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数2sin 1y x =+在[0,]6π上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【小问1详解】函数12()log (2sin 1)3=+-f x x 有意义，有2sin 10x +>，即1sin 2x >-，解得722,Z 66k x k k ππππ-<<+∈，所以函数f (x )的定义域为7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈.【小问2详解】当06x π≤≤时，10sin 2x ≤≤，则12sin 12x ≤+≤，121log (2sin 1)0x -≤+≤，4()3f x -≤≤-，所以f (x )的值域是[4,3]--.【小问3详解】由（2）知，1[0,]6x π∈，14()3f x -≤≤-，函数()2232g x x a x a =--图象对称轴232a x =，而[0,1]x ∈，当2312a ≤，即33a -≤≤时，显然(0)233g a =-≥->-，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则必有2(1)1324g a a =--≤-，解得53a ≤-或1a ≥，显然无解，当2312a >，即3a <-或3a >时，函数()2232g x x a x a =--在[0,1]上单调递减，()()()10g g x g ≤≤，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则(0)3(1)4g g ≥-⎧⎨≤-⎩，于是得2231324a a a -≥-⎧⎨--≤-⎩，解得53a ≤-或312a ≤≤，满足3a <-或3a >，因此53a ≤-或312a ≤≤，所以a 的取值范围是53(,[1,]32-∞- .【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
河北省高一数学下学期开学考试试题(含解析)
故可得 ，
那么
.
故答案为： .
【点睛】此题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前 项和，属中档题.
14.三棱锥 中， ， ， ， ， ，那么三棱锥 的体积是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用勾股定理，可证明 平面 ，结合棱锥体积公式即可求解.
【详解】因为 ，
20.不等式 的解集为 或 .
〔1〕求 ；〔2〕解关于 的不等式
【答案】〔1〕a＝1，b＝2；〔2〕①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．
【解析】
【分析】
〔1〕根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；
四､解答题
17.直线 经过点 〔－2，5〕，且斜率为
〔1〕求直线 的方程；
〔2〕假设直线 与 平行，且点 到直线 的距离为3，求直线 的方程.
【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
【解析】
【分析】
〔1〕代入点斜式方程求直线 的方程；〔2〕根据〔1〕设 的方程为 ，将点到直线的距离转化为平行线的距离求 .
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.
【详解】圆 可化为 ,
所以圆心为 ,半径 为2,
圆心 到直线 的距离为: ,
所以 ,
所以圆 上到直线 的距离为 的点共有3个.
应选:C
【点睛】此题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于根底题.
高一数学下学期开学考试试题含解析试题1
智才艺州攀枝花市创界学校官渡区第一二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.假设集合{}2|60M x x x =--<，{}2|log 2N x x =<，那么M N ⋃=〔〕A.(]2,4- B.()0,3C.()2,4-D.[)2,4-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合,M N ，再由并集定义计算． 【详解】由{}2|60{|23}M x x x x x =--<=-<<，{}2|log 2{|04}N x x x x =<=<<，∴{|24}MN x x =-<<．应选：C ．【点睛】此题考察集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质． 2.假设a ，b 是任意实数，且a >b ，那么以下不等式成立的是() A.a 2>b 2B.1b a< C.lg(a －b )>0D.11()()33a b < 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 中1,2ab ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的 3.()()()1,2,2,3,3,4a b c ===.假设ka b +与c 一共线，那么实数k 的值是〔〕A.12-B.1710-C.1811-D.1-【答案】A 【解析】 【分析】 先由()()1,2,2,3,ab ==求出ka b +的坐标表示,再由ka b +与c 一共线,即可求出结果.【详解】因为()()1,2,2,3,a b ==所以()=2,23ka b k k +++,又()3,4c =,ka b +与c 一共线,所以()()242330k k +⨯-+⨯=,解得12k =-. 应选:A .【点睛】此题主要考察向量的坐标运算,熟记一共线向量定理即可,属于根底题型,难度较易. 4.假设11tan ,tan()32ααβ=+=,那么tan =β〔〕 A.17B.16C.57D.56【答案】A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，应选A. 考点：两角和与差的正切公式．5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.〞其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了〔〕A.96里B.48里C.192里D.24里【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可. 【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q =的等比数列,设该数列为{}n a ,其前n 项和为n S那么有6161(1())2378112a S -==-,解得1192a =, 故2196a a q ==,应选:A.【点睛】此题考察了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6.cos 410πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么sin 2α=〔〕A.45B.25C.45±D.25±【答案】A 【解析】 【分析】由cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求得cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,由于cos 2=sin 22παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭即可解得所求.【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-,所以4sin 25α=. 应选:A .【点睛】此题考察了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考察了学生的计算才能,难度较易. 7.一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座，海轮在A 处观察，其方向是南偏东70°，在B 处观察，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的间隔是()海里海里【答案】B 【解析】根据条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以120BC ⨯=应选B. 8.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(,2]-∞B.(,2)-∞-C.(2,2]-D.(2,2)-【答案】C 【解析】 当20a -=即2a =时，()40f x =-<恒成立，所以2a =符合题意；当20a -≠即2a≠时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和x 轴没交点，所以2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩，解得22a -<<．综上所述，22a -<≤．所以选C ． 【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与x 轴的位置关系解决此题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9.函数()3()sin 42f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的选项是〔〕A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D.函数()f x 是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A 、C 、D 都正确．【详解】对于函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，它的周期等于242ππ=，故A 正确．令4x π=，那么()cos 14f ππ==-，那么4x π=是()f x 的对称轴，故C 正确．由于()cos(4)cos 4()f x x x f x -=-==，故函数()f x 是偶函数，故D 正确．利用排除法可得B 错误； 应选：B ．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题． 10.假设函数()|3sin 4cos |f x x x m =++的最大值是8，那么m =〔〕A.3B.13C.3或者3-D.3-或者13【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可. 【详解】()|3sin 4cos |f x x x m =++()|5sin()|f x x m ϕ∴=++， 55sin()5x ϕ-≤+≤,∴当0m >时，max ()|5|8f x m =+=,解得3m =， 当0m <时，max ()|5|8f x m =-+=，解得3m =-， 应选：C【点睛】此题主要考察了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11.函数()a f x x 的图象过点()4,2，令*1,(1)()n a n f n f n =∈++N .记数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么2021S =〔〕11【答案】D 【解析】 【分析】由条件推导出n a =*n N ∈．由此利用裂项求和法能求出2021S ．【详解】解：由()42f =，可得42a=，解得12a =，那么12()f x x =.∴1(1)()na f n f n ===-++，【点睛】此题考察了函数的性质、数列的“裂项求和〞，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，那么a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用别离变量法可得31a xx -≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦此题正确选项：A【点睛】此题考察利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是可以利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用别离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.向量(0,2a =-，()1,3b =，那么向量a 在b 方向上的投影为_______．【答案】-3 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为(0,2a =-，()1,3b =，所以23a =，(212b =+=，(1+06a b ⋅=⨯-=-，所以向量a 在b 方向上的投影为632a b b⋅-==-， 故答案为：-3.【点睛】此题考察向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于根底题. 14.等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，那么使n S 获得最大值的n 为_______.【答案】6 【解析】 【分析】 由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 到达最大值时对应的项数n 的值是6． 故答案为：6【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题．15.0,0,lg 2lg8lg 2,x y xy >>+=那么113x y+的最小值是. 【答案】4 【解析】lg2x＋lg8y＝x lg2＋3y lg2＝lg2，∴x ＋3y ＝1，∴113x y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 16.设4()42xxf x =+，那么1231920202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】192【解析】 【分析】 根据()(1)f x f x +-为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】1144()(1)4242x xx xf x f x --+-=+++ 444214242442x x x x x +=+==++⋅+， 1231919202020202f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：192【点睛】此题主要考察了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分． 17.{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b=，39b =，11a b =，144a b =．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设nn n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】〔1〕21n a n =-；〔2〕2312n n -+【解析】 【分析】 〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式； 〔2〕由〔1〕求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．〔2〕由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，那么数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-． 【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 18.设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.()06f π=.〔Ⅰ〕求ω；〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】(Ⅰ)2ω=. (Ⅱ)32-. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=- 由题设知()06f π=及03ω<<可得.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=-- 由题设知()06f π=， 所以63k ωπππ-=，k Z ∈. 故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=- 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-， 当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 获得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答此题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是无视设定角的范围.难度不大，能较好的考察考生的根本运算求解才能及复杂式子的变形才能等.19.向量a ，b 不一共线，且满足2a =，1b =，32c a b =-，2d a kb =+. 〔1〕假设c d ，务实数k 的值； 〔2〕假设2a b -=. ①求向量a 和b 夹角的余弦值；②当c d ⊥时，务实数k 的值．【答案】〔1〕43k=-；〔2〕①14，②44 【解析】【分析】 〔1〕两向量平行即一共线，利用一共线向量定理可求.〔2〕①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】〔1〕c d ∥，且0c ≠. 令d c λ=，即2(32)a kba b λ+=-， 又a ，b 不一共线，所以232k λλ=⎧⎨=-⎩， 所以43k =-. 〔2〕①设a 与b 夹角为θ， 又，1b = ②c d ⊥，0c d ∴⋅=，又，1b =，12a b ∴⋅=. 44k ∴=.【点睛】考察向量的一共线，垂直和夹角公式.一共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b ，存在实数λ使λa b ．夹角公式：cos =||||a b a b θ. 向量垂直：0ab a b ⊥⇔=. 20.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，且1cos 2a cb C =+． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC S =b =，求a c +的值．【答案】〔1〕3π；〔2〕5． 【解析】【分析】 〔1〕由结合正弦定理可得，1sin sin sin cos 2A CBC =+，而()A B C π=-+，代入后利用两角和的正弦公式展开可求cos B ，进而可求B〔2〕由结合三角形的面积公式可求ac ，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：〔1〕由正弦定理，得1sinsin sin cos 2A C B C =+， 又因为()A B C π=-+，所以()sin sin A B C =+，可得1sin cos cos sin sin sin cos 2B C B CC B C +=+， 即1cos 2B=， 又()0,B π∈，所以3B π=．〔2〕因为ABC S =所以1sin 23ac π= 所以4ac =，由余弦定理可知222b a c ac =+-， 所以22()3131225a c b ac +=+=+=，即5a c +=．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是纯熟掌握根本公式，属于根底题.21.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式；(2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .【答案】〔1〕21nb n =-；〔2〕(45)25n n T n =-+ 【解析】试题分析：〔1〕求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；〔2〕整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和试题解析：〔1〕∵2*2,nS n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈. 又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈.〔2〕∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯① 12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯② 由①-②得：1213424242(41)2n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ∴(45)25n n T n =-⨯+，*n N ∈.【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或者等比数列，这一思想方法往往通过通项分解〔即分组求和〕或者错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，此题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和22.函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数()2y f x =-是偶函数. 〔1〕求()g x 的解析式；〔2〕假设函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.【答案】〔1〕()64gx x x =-+；〔2〕6k =，零点为2,0,2-. 【解析】【分析】〔1〕由函数()2y f x =-是偶函数,得出()y f x =关于直线2x =-对称，求出m ，即可求出()g x 的解析式；〔2〕()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+为偶函数，恰好有三个零点，可得0x =为其零点，代入求出k 的值，令()22log 4,2tx t =+≥进而求出该函数的零点. 【详解】〔1〕函数()2y f x =-是偶函数，所以()(2)2f x f x --=-()y f x ∴=关于关于直线2x =-对称，222,6()462m m f x x x -∴-=-∴=∴=+-， ()64g x x x ∴=-+； 〔2〕设()()()22222()log 49log 4y h x g x k x ==++⋅-+ ()(),()h x h x h x -=∴为偶函数，()()()22222()log 49log 4h x g x k x =++⋅-+恰好有三个零点， 故必有一个零点为0，(0)(2)960h g k k ∴=+-=-=，6k =，令()22log 4,2t x t =+≥126()950y g t t t t=+-=+-=整理得， 2560t t -+=，解得2t =或者3t =，2t =得，0x =；3t =，即()222log 43,48,2x x x +=+=∴=±，∴所求函数的零点为2,0,2-.【点睛】此题考察函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考察计算才能，是一道较为综合的题.。
陕西省西安市高一下学期开学考试数学试题(解析版)
高一数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合或，，则集合（ ）{1M x x =≤}3x ≥{}2log 1N x x =≤M N ⋂=A. B.C.D.(],1-∞(]0,1[]1,2(],0-∞【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数性质化简集合，再结合交集的运算求解即可. N 【详解】由题知，， {}{}2log 102N x x x x =≤=<≤又或，{1M x x =≤}3x ≥则，即. {}01M N x x ⋂=<≤(]0,1x ∈故选：B2. 把化为弧度为（ ） 50 A. B.C.D.50518π185π9000π【答案】B 【解析】【分析】根据角度与弧度的转化公式求解. 【详解】， 5505018018ππ=⨯=故选：B3. 若，且，则是 sin 0α<tan 0α>αA. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C 【解析】【详解】，则的终边在三、四象限； 则的终边在三、一象限，sin 0α<αtan 0α>α，，同时满足，则的终边在三象限．sin 0α<tan 0α>α4. 已知幂函数的图象经过点，则（）()f x x α=()2,4()3f -=A.B. 3C.D. 93-9-【答案】D 【解析】【分析】根据已知点求出的解析式，将代入即可 ()f x 3-【详解】将代入解析式得：，所以，，所以()2,424α=2α=()2f x x =()39f -=故选：D5. “”是“为锐角”的（ ）cos 0A >A A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必要条A 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0A >cos 0A >A 件；反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条件. 3,22A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭cos 0A >A cos 0A >A 故“”是“为锐角”必要不充分条件. cos 0A >A 故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题. 6. 下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（ ） A .B. 13y x =5x y =C. D.2log y x =1y x -=【答案】A 【解析】【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.【详解】对于A ：为奇函数且在上单调递增，满足题意； 13y x =R 对于B ：为非奇非偶函数，不合题意； 5x y =对于C ：为非奇非偶函数，不合题意；2log y x =对于D ：在整个定义域内不具有单调性，不合题意. 1y x -=故选：A.7. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像2sin(2)3y x π=-2sin 2y x =A. 向右平移个单位长度 6πB. 向右平移个单位长度 3πC. 向左平移个单位长度 6πD. 向左平移个单位长度3π【答案】A 【解析】【详解】试题分析：根据题意，令，解得，由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.考点：函数图像平移法则的应用.8. 设，，，则（ ） 0.1log 0.2a = 1.1log b =0.21.2c =A. B.C.D.b ac >>c b a >>c a b >>a c b >>【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】因为，0.10.10.10log 1log 0.2log 0.11a =<=<=，1.1 1.1log 0.2log 10b ==<，0.201.2 1.21c =>=所以. c a b >>故选：C.9. 已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为（ ）A. B.3π-23πC. D. 23π-43π-【答案】D 【解析】【分析】结合特殊角的三角函数值，求出点P 的坐标，进而根据三角函数的定义即可求出结果. 【详解】因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ，所以θ是第二象限角，且1(2-，又θ∈[－2π，0)，所以. tan θ==43πθ=-故选：D.10. 若，则等于（ ）2cos sin 0αα-=tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭A.B.C. D.13-133-3【答案】B 【解析】【分析】求出的值，利用两角差的正切公式可求得结果. tan α【详解】因为，则，故，2cos sin 0αα-=sin 2cos αα=tan 2α=因此，. tan tan2114tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+故选：B.11. 已知函数，则下列判断错误的是（ ） ()2cos 41f x x =+A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称()f x ()f x 4x π=C. 的值域为D. 的图象关于点对称()f x []1,3-()f x ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分别研究三角函数的奇偶性、对称性、值域即可.【详解】对于A 项，因为定义域为R ，，所以为偶()f x ()2cos(4)12cos 41()f x x x f x -=-+=+=()f x 函数，故A 项正确；对于B 项，令，，解得：，，当时，，所以图象关于直线4πx k =Z k ∈π4k x =Z k ∈1k =π4x =()f x 对称，故B 项正确； π4x =对于C 项，因为，所以，即：值域为，故C 项正确； 1cos 41x -≤≤12cos 413x -≤+≤()f x [1,3]-对于D 项，令，，解得：，，当时，，所以π4π2x k =-+Z k ∈ππ84k x =-+Z k ∈0k =π8x =-，所以图象关于点对称，故D 项错误.π()18f -=()f x π(,1)8-故选：D.12. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可 01,12b a <<<<【详解】由函数（其中）的图象可得，()()()f x x a x b =--a b >01,12b a <<<<所以，所以排除BC ，()00210g a b b =+-=-<因为，所以为增函数，所以排除A ，12a <<()2xg x a b =+-故选：D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 函数的定义域为___________________ tan 2y x =【答案】. 2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域．tan y x =()22x k k Z ππ≠+∈【详解】由于正切函数为， tan y x =,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭解不等式，得， ()22x k k Z ππ≠+∈()24k x k Z ππ+≠∈因此，函数的定义域为， tan 2y x =2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩⎭故答案为． 2,4k x x k Z ππ⎧⎫+≠∈⎨⎬⎩【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题．14. 已知函数f (x )＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为___________． 【答案】(3，3) 【解析】【分析】利用指数函数的性质a 0＝1，令 x －3＝0，即得解 【详解】由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f （3）＝3， 即图像必过定点(3，3)． 故答案为：(3，3) 15. 已知一个扇形的面积为，半径为，则其圆心角为___________.3π2【答案】6π【解析】【分析】结合扇形的面积公式即可求出圆心角的大小.【详解】解：设圆心角为，半径为，则，由题意知，，解得， αr 2r =2114322r παα==⋅6πα=故答案为:6π16. 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 【答案】2或 12【解析】【分析】分a ＞1, 0＜a ＜1两种情况讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】①当a ＞1时，y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上为增函数， 所以有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在[2，4]上为减函数， 所以有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝, 12所以a ＝2或. 12故答案为：2或12【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 计算下列各式（式中分母均是正数）：（1）； 211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）.()352log 24⨯【答案】（1）；4a （2）. 13【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则计算化简得解； （2）直接利用对数的运算法则计算化简得解. 【小问1详解】原式.()()2111153262362634aba +-=⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦【小问2详解】原式. 3522222log 2log 435log 435log 235213=+=+=+=+⨯=18. 求解下列问题：（1）已知，且，求的值；4cos 5α=-tan 0α>()()()π2sin πsin 2cos 2πcos αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭-+-（2）求值：. sin10sin 50sin 70︒︒︒【答案】（1） 54（2）18【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据诱导公式，给合正弦的二倍角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，且，则为第三象限角， 4cos 5α=-tan 0α>α故， 3sin 5α===-因此，. sin 3tan cos 4ααα==原式； 2sin cos 2sin cos 1315tan cos cos 2cos 2424αααααααα++===+=+=+【小问2详解】1sin 80sin10cos10cos 20cos 4018sin10sin 50sin 70sin10cos 40cos 20.cos10cos108︒︒︒︒︒︒︒︒=︒︒︒===︒︒19. 已知，是第四象限角，求，，的值.3sin 5α=-αsin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由平方关系以及商数关系求出，，再由两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的正cos αtan α切公式求解即可.【详解】由，是第四象限角，得，3sin 5α=-α4cos 5α===所以. 3sin 35tan 4cos45ααα-===-于是有43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3tan tan1tan 144tan 7341tan 1tan tan 144παπααπαα----⎛⎫-====- ⎪+⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式，属于中档题. 20. 已知函数. ()()111sin 222f x x x x =∈R （1）求的最小正周期； ()f x （2）求的单调递增区间； ()f x （3）若，求的值域. []0,x π∈()f x 【答案】（1）4π（2），54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （3） 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数可得，进而利用正弦型函数周期的计()1sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭算公式求解即可；（2）由（1）知，利用正弦函数的单调性即可求解；()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（3）由，可得，从而整体思想可知当时，函数取得最[]0,x π∈15,2336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1232x ππ+=()f x 大值，最大值为；当时，函数取得最小值，最小值为，从而可得13f π⎛⎫=⎪⎝⎭15236x ππ+=()f x ()12f π=的值域.()f x 【小问1详解】由题意，函数， ()111111sin cos sin sin cos sin 222323223f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭πππ根据正弦型函数周期的计算公式，可得函数的最小正周期为.()f x 24T ππω==【小问2详解】 由函数，()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭令，，解得，， 1222232k x k πππππ-+≤+≤+k ∈Z 54433k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为，.()f x 54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问3详解】 由函数，()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当，可得， []0,x π∈15,2336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦结合正弦型函数的性质得： 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 1232x ππ+=3x π=()f x 13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，即时，函数取得最小值，最小值为.15236x ππ+=x π=()f x ()12f π=所以函数的值域为.()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦21. 已知函数（且），且函数的图象过点． ()log a f x x =0a >1a ≠(2,1)（1）求函数的解析式；()f x（2）若成立，求实数m 的取值范围．()21f m m -<【答案】（1）；（2）.()2log f x x =(1,0)(1,2)- 【解析】【分析】(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式；()3,1a ()f x (2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围．x 【详解】(1)，解得，故函数的解析式()21,log 21a f =∴= 2a =()f x ()2log f x x =(2) 即，解得或 ()21f m m -<()2222log 1log 202m m m m -<=⇔<-<10m -<<12m <<故实数m 的取值范围是(1,0)(1,2)- 22. 已知函数的部分图象如图所示： ()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><（1）求的解析式；()f x （2）将函数的图象作怎样的变换可得到函数的图象？sin y x =()f x 【答案】（1）； ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】(1)由图象可得，，从而可得，所以，再代入，2A =π22T =2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭结合，可得，即可得函数的解析式； π<ϕ23ϕπ=(2) 方法一：先作平移变化，再作伸缩变化；方法二：先作伸缩变化，再作平移变化.【小问1详解】 解：由图可知，，， 2A =π5πππ212122T ω⎛⎫==--= ⎪⎝⎭解得，2ω=此时，因为函数图象过点， ()()2sin 2f x x ϕ=+π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭所以， ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，‘ ππ2π,Z 62k k ϕ-+=+∈所以， 2π2π,Z 3k k ϕ=+∈因为，解得， π<ϕ23ϕπ=所以； ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【小问2详解】解：方法一：先把的图象向左平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍sin y x =2π312（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象； ()f x 方法二：先把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），然后把图象上所有点sin y x =12向左平移个单位，再把图象上所有点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象. π3()f x。
2022-2023学年上海市控江中学高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市控江中学高一下学期开学考试数学试题一、填空题1．已知全集，则_________.{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<A =【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：，则.{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<A ={}|710x x ≤≤故答案为：.[]7,102．函数的定义域是__________.()f x =【答案】()(],22,3-∞-- 【分析】根据题意列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义则：，303202x x x x -≥≤⎧⎧⇒⎨⎨+≠≠-⎩⎩所以函数的定义域为，()(],22,3-∞-- 故答案为：.()(],22,3-∞-- 3．已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.()()22325mm f x m m x --=+-⋅m =【答案】2【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值.【详解】由已知函数为幂函数，()()22325mm f x m m x --=+-⋅得，解得或，251m m +-=2m =3m =-当时，，定义域为，函数图像不经过原点，2m =()4f x x -=()(),00,∞-+∞ 当时，，定义域为，且，函数图像经过原点，3m =-()16f x x =R ()00f =综上所述：，2m =故答案为：.24．数列中，若，且，则__________.{}n a 13a =112n n a a +=+9a =【答案】7【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.【详解】由，知：数列是以为首项，为公差的等差数列，112n n a a +=+13a ={}n a 312.()9139172a ∴=+-⨯=故答案为：.75．函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.2()21f x x ax =--[]1,3【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数在区间为严格减函数，2()21f x x ax =--[]1,3所以二次函数对称轴，3x a =≥故答案为：3a ≥6．设函数f （x ），若f （α）＝9，则α＝_____．200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞【答案】﹣9或3【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，09αα≤⎧⎨-=⎩209αα⎧⎨=⎩＞∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.7．若数列满足，前5项和为，则__________.{}n a 113n n a a +=-61275a =【答案】127【分析】分和两种情况讨论，结合等比数列的求和公式以及通项公式运算求解.10a =10a ≠【详解】设数列的前项和为，{}n a n n S ∵，则有：113n na a +=-当时，则，故，不合题意；10a =0n a =0n S =当时，则数列是以公比的等比数列，10a ≠{}n a 13q =-故，解得，515111361611812713a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===⎛⎫-- ⎪⎝⎭13a =则；4451113327a a q ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭综上所述：.5127a =故答案为：.1278．定义在R 上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是____.()f x [)0,∞+()0x fx ⋅ 【答案】[]3,3-【分析】根据奇函数关于原点对称得函数简图，再分类讨论解不等式即可.【详解】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：不等式或或，()()000x x f x f x >⎧⋅⇒⎨≥⎩ ()00x f x <⎧⎨≤⎩0x =由图可得：或或，03x <≤-<3≤0x 0x =综上：解集为：[]3,3-故答案为：.[]3,3-9．已知为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第n a =n {}n a __________项.【答案】45【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.【详解】由解析式可知，n a ==时，1=*n N ∈当时，数列单调递减，且[]*1,44,N n n ∈∈{}n a 1n a <当时，数列单调递减，且，[]*45,100,N n n ∈∈{}n a 1n a >所以当时，数列取得最大值.45n ={}n a 故答案为：4510．已知函数在上严格增，则实数的取值范围是________.log ,01()(3),1ax x f x a x a x <≤⎧=⎨-->⎩()0,∞+a 【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数单调递增列不等关系求解即可【详解】因为函数在上严格增，log ,01()(3),1ax x f x a x a x <≤⎧=⎨-->⎩()0,∞+所以，解得，即实数的取值范围是，130log 1(3)1aa a a a >⎧⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩312a <≤a 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数，，与函数，，对任意()23f x a x a =⋅+1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()115xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.11,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,0x ∈-()()12f x g x =a 【答案】[]0,1【分析】根据恒能成立的思想可确定两函数值域的包含关系，结合指数函数和一次函数值域的求法，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】设的值域为，的值域为，()f x A ()g x B 由对任意，总存在，使得成立知：；11,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,0x ∈-()()12f x g x =A B ⊆在上单调递减，，即；()g x []1,0-()04g x ∴≤≤[]0,4B =当时，，即，满足；0a =()0f x =0A =A B ⊆当时，在上单调递增，，0a ≠()f x 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()221332a a f x a a ∴-+≤≤+即，由得：，解得：；2213,32A a a a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦A B ⊆22130234a a a a ⎧-+≥⎪⎨⎪+≤⎩01a <≤综上所述：实数的取值范围为.a []0,1故答案为：.[]0,112．已知函数，若实数满足，则()35lg25xf x x x+=++-a b ､()()22314f a f b +-=为__________.【分析】由题知满足任意，都有，进而得，再根据基本不等()f x x ∈R ()()4f x f x +-=2231a b +=式求解即可.【详解】解：令，因为，()35lg5x g x x x +=+-()()()35lg 5x g x x g x x --=-+=-+所以，函数是上的奇函数，()35lg5xg x x x +=+-R 所以函数关于中心对称，()()2g x f x =-(0,0)所以，关于中心对称，()35lg25xf x x x +=++-(0,2)所以，满足任意，都有. ()f x x ∈R ()()4f x f x +-=因为，()()22314f a f b +-=所以，即.22310a b +-=2231a b +=226122a b++=≤==，时取等号，=12a=12b=±所以二、单选题13．若、为实数，则成立的一个充要条件是（）a b()0ab a b-<A．B．C．D．11a b<<11b a<<11a b<11b a<【答案】D【分析】将命题进行等价变换，即可得其充要条件.()0ab a b-<【详解】()0ab a b-<220a b ab⇔-<22a b ab⇔<⇔222222a b aba b a b<11b a⇔<故选D．【点睛】本题考查用不等式的性质等价转化不等式,要注意不等式性质成立的条件,属于基础题. 14．若函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）的定义域为，则取值范围是R kA．B．C．D．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]3,0,4⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx2+4kx+3＞0恒成立即可．【详解】要使函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则kx2+4kx+3＞0恒成立．若k＝0，则不等式kx2+4kx+3＞0等价为3＞0，∴k＝0成立．若k≠0，要使kx2+4kx+3＞0恒成立，则，216430kk k>⎧⎨=-⨯<⎩即，解得．2430kk k>⎧⎨-<⎩34k<<综上：．304k ≤<故选B.【点睛】本题以对数函数的定义域为切入点，主要考查了不等式恒成立问题，其中要注意对二次项系数k 的讨论是解答本题的关键．15．等差数列中，首项为、公差不为零，前项和为，若是的3倍，则与的{}n a 1a d n n S 8S 4S 1a d 比为（ ）A ．B ．C ．D ．5:22:55:11:5【答案】A【分析】根据题意结合等差数列的前项和运算求解.n ()112n n n S na d -=+【详解】由题意可得：，则，即，843S S =11874383422a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭118281218a d a d +=+注意到，整理得.10,0a d ≠≠1:5:2a d =故选：A.16．已知非空集合满足：，已知函数，对于下列两A B ､,A B A B ⋃=⋂=∅R ()2,21,x x Af x x x B ⎧-∈=⎨-+∈⎩个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对(),A B ()2f x =-，使得为偶函数.下列判断正确的是（ ）(),A B ()f x A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误【答案】A【分析】根据分段函数的性质，可得答案.【详解】设，，，R a ∃∈[),A a =+∞(),B a =-∞易知当时，，当时，，x B ∈()21f x a >-+x A ∈()2f x a ≤-令，故①正确；22122a a -+≥-⎧⎨-<-⎩32a <≤当，时，显然函数为偶函数；{}0A x x =≠{}0B x x ==()f x 当，时，由，解得，故函数此时也为偶函数，故{}1A x x =≠{}1B x x ==221x x -=-+1x =()f x②错误.故选：A.三、解答题17．已知等差数列中，首项，公差，且是等比数列的前三项.{}n a 116a =0d ≠156,,a a a {}n b (1)求数列与的通项公式；{}n a {}n b (2)设数列的前项和为，且记，试比较与的大小.{}n a n n S 4log nn n T b =n S nT【答案】(1)*3319,4,N n n n a b n n -=-∈+=(2)当时，；当时，；当为正整数.29n >n n S T <29n =n n S T =029,,n n n S T n <<>【分析】（1）根据等差数列定义并利用等比数列性质可解得公差，再求出数列的前三项3d =-{}n b 可得其公比，即可写出数列与的通项公式；14q ={}n a {}n b （2）利用等差数列前项和公式和对数运算法则可得，，作差法即可n 23352n n n S -+=23n T n n =-+比较出与的大小.n S n T 【详解】（1）由题意可得，65114164,5165d d d d a a a a =+=+=+=+由等比数列性质可得，2516a a a =⋅即，解得或（舍）()()216416165d d +=⨯+3d =-0d =所以，19(1)163(1)31n n a n a d n +-=---=+=即，11253616,4,1b a b a b a ======所以数列是以为首项，公比的等比数列；{}n b 116b =14q =即，13111441164nn n n b b ---⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪⎪⎝⎭=⎝⎭所以数列与的通项公式分别为{}n a {}n b *3319,4,N n n n a b n n -=-∈+=（2）由等差数列前项和公式可得；n ()2133522n n S n a a n n+-+==由可得，4log nn n T b =3244log log 43n n n T n b n n n -===-+所以，()()22229335292223n n S n n n n T n n n n -+---+-==+-=-由于，所以当时，，即；*N n ∈029n <<0n n S T ->n n S T >当时，，，29n >0n n S T -<n n S T <当时，，29n =0n n S T -=n nS T =综上可得，当时，，当时，，当为正整数.29n >n n S T <29n =n n S T =029,,n n n S T n <<>18．已知函数.()|2|f x x a a =-+（1）当a=2时，求不等式的解集；()6f x ≤（2）设函数.当时，，求的取值范围.()|21|g x x =-x R ∈()()3f x g x +≥a 【答案】（1）；（2）．{|13}x x -≤≤[2,)+∞【详解】试题分析：（1）当时；（2）由2a =⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤等价于()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥，解之得.|1|3a a -+≥2a ≥试题解析： （1）当时，.2a =()|22|2f x x =-+解不等式，得.|22|26x -+≤13x -≤≤因此，的解集为.()6f x ≤（2）当时，，x R ∈()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+当时等号成立，12x =所以当时，等价于. ① x R ∈()()3f x g x +≥|1|3a a -+≥当时，①等价于，无解.1a ≤13a a -+≥当时，①等价于，解得.1a >13a a -+≥2a ≥所以的取值范围是.a [2,)+∞【解析】不等式选讲.19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，x ()p x；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，()21502p x x x =+()64001011860p x x x =+-通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？【答案】(1)2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y 关于产量x 的不同对应关系即可求解.x (2) 分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.【详解】（1）当时，；060x <<2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时，.60x ≥6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，；2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，060x <<()2211504005085022y x x x =-+-=--+当时，y 取得最大值，最大值为850万元；50x =当时，，60x≥6400146014601300y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当时，即时，y 取得最大值，最大值为1300万元.6400x x =80x =综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20．已知数列的前项和满足：为常数，且，；{}n a n n S (1)1n n aS a a =--(a 0a ≠1)a ≠（1）求的通项公式；{}n a （2）设，若数列为等比数列，求的值；21nn nS b a =+{}n b a （3）若数列是（2）中的等比数列，数列，求数列的前项和.{}n b (1)n n c n b =-{}n c n n T【答案】（1）；（2）；（3）nn a a =131239344n n n T +-=⋅+【分析】（1）由公式求得通项公式；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩ （2）简化数列，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出，解得参数；{}n b 2101a a +=-a （3）由（2）求出数列的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列的前项和．{}n c {}n c n 【详解】解：（1）当时，，1n =11(1)1a S a a =--，，1a a ∴=11(1)1n n a S a a --=--当时，且，2n (1)1n n a S a a =--11(1)1n n a S a a --=--两式做差化简得：1n n a a a -= 即：，1n n a a a -=数列是以为首项，为公比的等比数列，∴{}n a a a ．∴(),0,1n n a a a a a =≠≠为常数且（2），2221(1)1(1)n n n n S a a b a a a a =+=+---若数列为等比数列，{}n b 则，即．2101a a +=-13a =（3）由（2）知，3n n b =∴(1)3n n c n =- ①23031323(1)3n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋯ ②23413031323(2)3(1)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯⋯①②得：-234123333(1)3n n n T n +-=+++⋯+--⨯1329322n n +-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭．∴1239344n n n T +-=+ 【点睛】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前项和，利用错位相减求n 前前项和是关键，属于中档题．n 21．已知函数，记.()()2x f x x =∈R ()()()()()(),g x f x f x h x f x f x =--=+-(1)求不等式的解集：；()()228f x f x -≤(2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；t []01,2x ∈()()0021h x t g x =⋅-t (3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，()()()8222H x f x a f x b =⋅+⋅+a b ､[]0,1x ∈()1H x ≤求的值.a b ､【答案】(1)(],2-∞(2)9120⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)12,8.5a b =-=【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可；（3）根据二次函数的性质进行求解即可.【详解】（1）所以()()()()222822280242202402,x x x x x f x f x x -≤⇒-⋅-≤⇒-+≤⇒-≤⇒≤不等式的解集为；(],2-∞（2）设，，()()21h x t g x =⋅-[]1,2x ∈，()()()2222222122322x x x x x x x x t t ----+=--⇒-+=-令，因为函数在上单调递增，所以，22x x m -=-22x x m -=-[]1,2x ∈315,24m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦于是有，，当且仅当时取等号，即时取等号，因3t m m =+3t m m =+≥=3m m =m =为函数在单调递减，在上单调递增，3t m m =+32⎡⎢⎣154⎤⎥⎦当时，，当时，，因此，32m =72t =154m =9120t =9120t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在实数，使得成立，所以；[]01,2x ∈()()0021h x t g x =⋅-9120t ⎡⎤∈⎢⎣⎦（3），()()()822282222x x H x f x a f x b a b=⋅+⋅+=⋅+⋅+令，因为，所以，2x n =[]0,1x ∈[]1,2n ∈于是有，当时，，()282H n n an b =++[]1,2n ∈()1H n ≤所以有，()()22118221182212132421132421121211888H a b a b H a b a b a a a b b H ⎧⎧⎧⎪⎪≤⎪++≤-≤++≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⇒++≤⇒-≤++≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪-≤-+≤-+≤-≤ ⎪⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩⎩由，18221182211312132421132421a b a b a a b a b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⇒⇒-≤≤-⎨⎨-≤++≤-≤---≤⎩⎩由，22218221182212822124812112188a b a b a a a a a b b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⎪⎪⇒⇒-≤++≤⇒-≤≤-⎨⎨-≤-+≤-≤-≤⎪⎪⎩⎩所以，12a =-因此有，即.1824217.58.58.5118218.59.5b b b b b -≤-+≤≤≤⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-≤-≤≤≤⎩⎩12,8.5a b =-=【点睛】关键点睛：利用指数函数和对钩函数的单调性，结合二次函数的性质是解题的关键.。
海南省定安县定安中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
海南省定安县定安中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2A x x =∈≤N ，{|10|B x x =∈-≥R ，则A B =I （ ） A ．{0,1}B ．{21}x x -≤≤∣C ．{1,2}D ．{01}xx ≤≤∣ 2．命题“x ∀∈R ，30x x -≥”的否定是（ ） A ．“x ∀∈R ，30x x -≤” B ．“x ∀∈R ，30x x -<” C ．“x ∃∈R ，30x x -≤” D ．“x ∃∈R ，30x x -<”3．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边有一点()2,P y ，且sin α=y =（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．25．函数1()ln(1)2f x x x =+--的定义域为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(1,2)(2,)⋃+∞ C ．(,1)-∞D ．(0,2)(2,)⋃+∞6．若0.523,0.8,1a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>7．已知函数()(2)m f x m x =-为幂函数，若函数()lg g x x x m =+-，则()g x 的零点所在区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)8．函数261xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．下列各式正确的有（ ） A ．()ln lg100=B ．lg 2lg51+=C ．若10lg x =，则10x =D ．若251log 2x =，则5x = 10．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++≥的解集为{2x x ≤-或1x ≥}，则（ ）A ．0b >且0c <B ．420a b c ++=C ．不等式0bx c +>的解集为{}2x x >D ．不等式20cx bx a -+<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭11．已知函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的定义域为ππ,6x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ZC ．()f x 是增函数D ．ππ43f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．若正实数a ，b 满足22a b +=，则（ ）A ．12a b+有最小值9B ．ab 有最大值12C ．24a b +的最小值是4D ．22a b +的最小值是25三、填空题13． 17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 14．当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点15．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135o ，则该扇面画的面积约为()π3≈16．若不等式240x ax a -++≤在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题17．计算下列各式的值：41210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭； (2)ln225lg 2lg2log 4e 2+-+.18．已知α为第二象限角，且终边与单位圆O相交于点P y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (1)求tan α的值；(2)求7cos(2π)3cos π29πsin sin(π)2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的值．19．已知函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=-><<的最小正周期为4π，且图象经过点()0,1．(1)求()f x 的单调递减区间；(2)当[]0,2πx ∈时，求()f x 的最值以及取得最值时x 的值． 20．已知函数1()cos212f x x x =++． (1)求()f x 的最小正周期T ；(2)求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合． 21．设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠． (1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．22．已知函数()()221x f x a a =-∈+R 为奇函数． (1)求a ，判断()f x 的单调性，并用定义证明；(2)若不等式()23208f kx f kx ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．。
江苏省苏州市高一下学期开学数学试卷(普通班)
江苏省苏州市高一下学期开学数学试卷（普通班）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·吉林模拟) 已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（）A . {x|2≤x≤3}B . {x|2＜x≤3}C . {x|x≤﹣1，或2≤x≤3}D . {x|x＜﹣1，或2＜x≤3}2. （2分）已知函数,若f(x0)>1,则x0的取值范围为（）A . （－1，1）B . （－1，+∞）C .D .3. （2分）设f（x）=（x-）cosx(-x且x≠0)的图像可能为（）A .B .C .D .4. （2分）在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=lg(x+1)的图像与函数g(x)=lg(-x+1)的图像关于（）A . 原点对称B . x轴对称C . 直线y=x对称D . y轴对称5. （2分） (2018高一上·珠海期末) 函数的定义域为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·武汉模拟) 设z1 ， z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A . 若|z1﹣z2|=0，则 =B . 若z1= ，则 =z2C . 若|z1|=|z2|，则z1• =z2•D . 若|z1|=|z2|，则z12=z227. （2分） (2016高一上·右玉期中) 已知函数y= 使函数值为5的x的值是（）A . ﹣2B . 2或﹣C . 2或﹣2D . 2或﹣2或﹣8. （2分） (2017高一下·龙海期中) 函数的定义域是（）A . {x|x＜﹣4或x＞3}B . {x|﹣4＜x＜3}C . {x|x≤﹣4或x≥3}D . {x|﹣4≤x≤3}9. （2分）已知满足对任意x1≠x2都有成立，那么a的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）若函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间[0，]上有两个零点x1 ， x2（x1≠x2），则x1+x2﹣a的取值范围是（）A . （﹣1，+1）B . [，+1）C . （﹣1，+1）D . [，+1）11. （2分）(2017·吉林模拟) 已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2 ， O为坐标原点，若，且双曲线C1 ， C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（）A . 32B . 16C . 8D . 412. （2分） (2018高三上·三明期末) 定义运算设函数，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·番禺模拟) 已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于________．14. （1分） (2016高三上·连城期中) 函数f（x）= 的值域为________．15. （1分）(2016·上海模拟) 函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为________．16. （1分） (2016高二下·宁波期末) 已知a为实数，若函数f（x）=|x2+ax+2|﹣x2在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共66分)17. （6分）选择下列函数填空：A、y=2x﹣1；B、y=2x﹣1；C、y=﹣2x；D、y=﹣2﹣x；E、y=（）x；F、y=（）﹣x（1）把y=2x的图象向右平移1个单位就得到________的图象；向下平移一个单位就得到________的图象；（2）函数y=2x的图象与________的图象关于x轴对称，与________的图象关于y轴对称，与________的图象关于原点对称，与________的图象完全相同．18. （15分） (2016高一上·灌云期中) 已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），当x＞0时，f（x）＞0．（1）求证：f（0）=0，且f（x）是奇函数；（2）求证：y=f（x），x∈R是增函数；（3）设f（1）=2，求f（x）在x∈[﹣5，5]时的最大值与最小值．19. （10分） (2016高一上·蕲春期中) 计算（1）计算：；（2）已知a=lg2，10b=3，用a，b表示．20. （10分） (2016高二上·枣阳期中) 我国科研人员屠呦呦法相从青篙中提取物青篙素抗疟性超强，几乎达到100%，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间r（小时）之间近似满足如图所示的曲线（1）写出第一服药后y与t之间的函数关系式y=f（x）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间是多长？21. （10分） (2016高一上·嘉兴期末) 已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．22. （15分） (2016高一上·苏州期中) 已知函数f（x）= +a是奇函数（1）求常数a的值（2）判断f（x）的单调性并给出证明（3）求函数f（x）的值域．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15、答案：略16-1、三、解答题 (共6题；共66分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
高一数学下学期开学考试试题(普通班)(2021年整理)
陕西省延安市黄陵县2016-2017学年高一数学下学期开学考试试题（普通班）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省延安市黄陵县2016-2017学年高一数学下学期开学考试试题（普通班））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高一普通班下学期开学考试数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1,0,1}，B=｛x|1≤2x＜4｝,则A∩B 等于（ ) A ．{1｝B ．{﹣1，1}C ．｛1，0}D ．{﹣1，0，1｝2。
函数1y x x =-+的定义域为（ ) A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥ D ．}10|{≤≤x x3. 下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是 （ )4．下面说法正确的选项（ ） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 5。
函数01()()22f x x x =-++的定义域为A 。
1(2,)2-B 。
［—2，+∞）C 。
),21()21,2[+∞- D.1(,)2+∞6．下列四个命题:（1）函数f (x ）在x ＞0时是增函数，x ＜0也是增函数，所以f (x )是增函数;(2)若函数f (x ）＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a ＜0且a ＞0；(3）y ＝x 2－2|x ｜－3的递增区间为［1，＋∞)．其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．37。
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高一普通班下学期开学考试数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x ＜4}，则A∩B 等于（ ） A ．{1} B ．{﹣1，1} C ．{1，0} D ．{﹣1，0，1} 2. 函数1y x x =-+的定义域为( )A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥ D ．}10|{≤≤x x3. 下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是 （ ）4．下面说法正确的选项（ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5. 函数01()()22f x x x =-++的定义域为A.1(2,)2-B.[-2，+∞）C.),21()21,2[+∞- D.1(,)2+∞6．下列四个命题：(1)函数f (x )在x ＞0时是增函数，x ＜0也是增函数，所以f (x )是增函数；(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a ＜0且a ＞0；(3)y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为[1，＋∞)．其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 7.已知2)(5+-+=xcbx ax x f ，4)2(=f ，则=-)2(f A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知函数)1(+=x f y 的定义域是[-2,3]，则)(2x f y =的定义域是 A. [-1,4] B.[0,16] C.[-2,2] D.[1,4]9．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是A ．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D ．(0,1]xyOxyOxyOOyxA B CD)2(32)(),1(2)(≤+-=≥-=x x x g x x x f 10．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点)0,6(π对称B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称 11．已知双曲线c ：，以右焦点F 为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N （异于原点O ），若|MN|=，则双曲线C 的离心率 是（ ）A ．2B ． 3C ．2D ．31+12．已知函数2f x x bx c =++（），（b ，c ∈R ），集合()()()00{}{|}A x f x B x ff x ====丨，，若存在00x B x A ∈∉，则实数b 的取值范围是（ ）A ． 04b ≤≤B ． 0b ≤或4b ≥C ．04b ≤<D ．0b <或4b ≥ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 ． 14. 函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-)02(6)30(222x x x x x x 的值域是 ．15.已知函数3212++=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．16.对定义域分别为12,D D 的函数(),()y f x y g x ==，规定：函数则()h x 的单调减区间是____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知函数f (x )＝a x(x ≥0)的图象经过点(2，14)，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．121212()(),,()(),,(),.f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎪⎩且且且18.（本小题满分12分）已知函数()f x 的定义域为()0,,(2)1,()()()f f xy f x f y +∞==+ 且当1>x 时，0)(>x f .(1)判断函数()f x 在其定义域(0,)+∞上的单调性并证明； (2)解不等式()(2)3f x f x +-≤．19．（本小题满分12分）计算下列各式的值 （1）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+（2） 74log 2327log lg 25lg 47+++20．（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P f x =()的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a 、c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11. （1）求a 、c 的值；（2）若对任意的实数x ∈[12，32]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数),(1222)(R x a x f xx ∈+-+=若满足f(1) ＝31 （1）求实数a 的值； （2）证明：()x f 为奇函数。
（3）判断并证明函数f （x ）的单调性。
参考答案一、选择题1—12 C DCCC AACDA CD二、填空题 13、[)0,1 14.[]8,1- 15.30<≤k 16.)2,47()1,(和-∞ 也可为]2,47(]1,(和-∞三、解答题 17.解：(1)∵函数f (x )＝a x(x ≥0)的图象经过点(2，14)， ∴14＝a 2， .................3分 ∴a ＝12. .................5分(2)由(1)知f (x )＝(12)x， .................7分∵x ≥0，∴0＜(12)x ≤(12)0＝1， ................10分即0＜f (x )≤1， .∴函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0, 1]． .................12分18.(1) ()x f 在()+∞,0上是增函数 证明如下：设021>>x x ，)()()()(2212211x f x xf x x x f x f +=⋅= ∵021>>x x ∴121>x x ∴0)(21>x x f ∴)()(21x f x f > 则)(x f 为),0(+∞上的增函数.(2)()()()211224=+=+=f f f 3)2()4()8(=+=f f f 原式可化为)8()]2([f x x f ≤- 又因为()x f 在()+∞,0上是增函数所以()⎪⎩⎪⎨⎧≤->->82020x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>>42-20x x x所以{}42|≤<x x所以不等式的解集为{}42|≤<x x 19．解（1）原式＝23221)23()827(1)49(--+-- =2323212)23()23(1)23(-⨯-⨯+-- =22)23()23(123--+-- =21（2）原式＝2)425lg(33log 433+⨯+ ＝210lg 3log 2413++- ＝4152241=++-20．分析：本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。
解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则 x 01006051002550=+-=. 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． （2）当0100<≤x 时，P =60当100550<<x 时，P x x =--=-600021006250.() 当x ≥550时，P =51所以P f x x x x x N x ==<≤-<<∈≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()600100625010055051550 （3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L P x xx x x x x N =-=<≤-<≤∈⎧⎨⎪⎩⎪()()4020010022501005002当x =500时，L =6000；当x =1000时，L =11000因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元. 21.(1)由52)1(=++=c a f 得3=+c a)11,6(44)2(∈++=c a f可知3431<<-a ∵+∈N a ∴a=1 此时c=2 (2) ∵]23,21[∈x 原不等式可化为212++≥xx m 令21)(++=x x x g ]1,21[∈x )(x g 是减函数 ]23,1[∈x )(x g 是增函数 证明如下：设21x x <且]1,21[21∈x x)11)(()()(212121x x x x x g x g --=- ∵]1,21[21∈x x ∴)()(21x g x g >，则]1,21[∈x )(x g 是减函数 同理]23,1[∈x )(x g 是增函数 又∵29)21(=g 625)23(=g )23()21(g g > ∴21)(++=x x x g 在]23,21[上最大值为29 只需292≥m 49≥m 即可 22.解：（1）a ＝1 （2）证明略。
（3）1212)(+-=x x x f 在R 上为单调增函数。
证明略。