工程力学-力偶系课程课件
合集下载
工程力学课件第3章：力偶系
一、力对轴之矩的定义
§3-2 力对轴之矩
M z (F ) M O (Fxy ) Fxyh
力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴 与平面交点之矩。
⑴ 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则 确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。
⑵ 力与轴相交或力与轴平行时，力对轴之矩为零。 (3) 合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数 和。
(F
2
)
M
z
(F
)2
力对点之矩矢的方向
cos( M O，i )
M x (F ) MO (F )
cos(MO，j)
M y (F ) MO (F )
cos( M O，k )
M z (F ) MO(F)
通过计算力对轴之矩实求：力P对点O的矩。
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x (F ) M x (Fy ) M x (Fz ) -zFy + yFz M y (F ) M y (Fz ) M y (Fx ) -xFz + zFx M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) -yFx + xFy
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
M x (P) M x (Px ) M x (Py ) M x (Pz ) 0 0 6Pz 6Psin 45 84.8(N m)
M y (P) M y (Px ) M y (Py ) M y (Pz ) 0 0 5Pz 5P sin 45 70.7(N m)
MO (P) 84.8i 70.7 j 38.2k
My MR
cos(MR，k)
Mz MR
平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
例： 三力偶如图示，已知 F1 F1' 100N, 力偶臂d1=200mm， F2 F2' 120N，力偶臂d2=300mm ， F3 F3' 80 N，
工程力学 04力偶系.ppt
Theoretical Mechanics
§3-1、力对点之矩矢
（3）力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应， 可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别 对该点之矩矢的矢量和。
即 MO =MO (F1 )+MO (F2 )
推广：力系（F1，F2，- - -，Fn）对刚体产生的绕一点的
（2）力F与z轴相交
2019年11月10日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩
5.力对任意l 轴（方向l°）之矩
Ml (F) MA(F)l
A为l 轴上任意一点
z
F
M A(F)
r l轴
y
对任意l 轴之矩的几何意义
A
l x
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力
§3-1、力对点之矩矢
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一.平面力系中力对点之矩（代数量）
简称力矩
1.现象
2.定义 M0 F F d
F
o 力矩中心
d 力臂
力矩作用面
两个要素：
大小：力F与力臂的乘积 方向：转动方向
2019年11月10日星期日
同理：
Mx（F）= Fz y Fy z
My（F ) = Fx z Fz x
2019年11月10日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩 空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）:
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
§3-1、力对点之矩矢
（3）力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应， 可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别 对该点之矩矢的矢量和。
即 MO =MO (F1 )+MO (F2 )
推广：力系（F1，F2，- - -，Fn）对刚体产生的绕一点的
（2）力F与z轴相交
2019年11月10日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩
5.力对任意l 轴（方向l°）之矩
Ml (F) MA(F)l
A为l 轴上任意一点
z
F
M A(F)
r l轴
y
对任意l 轴之矩的几何意义
A
l x
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力
§3-1、力对点之矩矢
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一.平面力系中力对点之矩（代数量）
简称力矩
1.现象
2.定义 M0 F F d
F
o 力矩中心
d 力臂
力矩作用面
两个要素：
大小：力F与力臂的乘积 方向：转动方向
2019年11月10日星期日
同理：
Mx（F）= Fz y Fy z
My（F ) = Fx z Fz x
2019年11月10日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩 空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）:
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第3章 力偶系
6
力偶的等效条件
作用于刚体上的两个力偶等效的条件是力偶矩矢相等， 即两个力偶矩矢相等的力偶等效。
力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效,也不能与一个力平衡。 性质二 力偶可在其作用面或平行平面内任意移动,而 不改变力偶对刚体的作用效应。
性质三 只要力偶矩矢的大小与方向不变,即使改变力 与力偶臂的大小，均不改变力偶对刚体的作用效应。
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 力偶矩矢与力偶的性质
力偶
力偶-等值、反向、作用线平行的力F与F’组成的力系, 并用（F,F’）表示。
力偶作用面-两力作用线所在平面
力偶臂-两力作用线间垂直距离d
力偶系-作用于刚体上的一组力偶
平面力偶系-各力偶作用面的方位 相同的力偶系
空间力偶系-各力偶作用面的方位
工程力学（静力学与材料力学）
7
§3 力偶系的合成与平衡条件
力偶系的合成
刚体上两个力偶,力偶矩矢 M1与M2，转换至A与B点,得
M1rF1 M2 rF2
F F1F2 形成M
M rF r(F1F2) rF1rF2
M M1M2 MR
n
MR Mi
i1
空间力偶系可合成为一合力偶，其力偶矩矢等于
系内各分力偶矩矢的矢量和 。
MO (F )Fd
MO (F ) 2ABO
平面力对点之矩是代数量，使刚体绕矩心沿逆时针
方向转动者为正，反之为负。
工程力学（静力学与材料力学）
2
力对点之矩矢
空间力系各力，使刚体绕同一点转动的转轴方位不 同, 力对点之矩应该用矢量表示，即力对点之矩矢。
MO (F ) r F
r-A点对于O点的矢径 rF Frsin Fd
【2024版】《工程力学》教学课件第二章平面力系和平面力偶系
合力矩 M FA d (P1 P2' )d P1d P2'd M1 M 2
其中 FA P1 P2'
FB P1' P
由此可以推出
n
M M1 M 2 M n M i i 1
即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶 矩的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。
（4）解平衡方程，得
FAC
FBC
P 2 sin 450
15 2
2
kN
第三节 力矩、平面力偶系的合成与平衡
一、力对点的矩
1.力矩的概念和性质 将力F对点O的矩定义为：力F的大 小与从O 点到力F的作用线的垂直 距离的乘积，即
M O (F) Fh
方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示 为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂 直距离h称为力臂。
X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin F X 2 Y 2 Fx2 Fy2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数
和。
FRx X1 X2 X4 X
FRy Y1 Y2 Y3 Y4 Y
由 Y 0
RA RB P q4 0
得 RA 4.37kN 结果为正值，说明与假设方向一致。
第七节 静定与静不定问题及物系的平衡
一、静定与静不定问题
静定问题——未知力数目等于对应的独立平衡方程的 数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一 类问题我们称之为静定问题。
静不定问题——未知力数目多于对应的独立平衡方程的 数目。静不定问题的求解必须借助变形协调方程 。
其中 FA P1 P2'
FB P1' P
由此可以推出
n
M M1 M 2 M n M i i 1
即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶 矩的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。
（4）解平衡方程，得
FAC
FBC
P 2 sin 450
15 2
2
kN
第三节 力矩、平面力偶系的合成与平衡
一、力对点的矩
1.力矩的概念和性质 将力F对点O的矩定义为：力F的大 小与从O 点到力F的作用线的垂直 距离的乘积，即
M O (F) Fh
方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示 为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂 直距离h称为力臂。
X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin F X 2 Y 2 Fx2 Fy2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数
和。
FRx X1 X2 X4 X
FRy Y1 Y2 Y3 Y4 Y
由 Y 0
RA RB P q4 0
得 RA 4.37kN 结果为正值，说明与假设方向一致。
第七节 静定与静不定问题及物系的平衡
一、静定与静不定问题
静定问题——未知力数目等于对应的独立平衡方程的 数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一 类问题我们称之为静定问题。
静不定问题——未知力数目多于对应的独立平衡方程的 数目。静不定问题的求解必须借助变形协调方程 。
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与 之平衡。
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
力偶系教学课件PPT
M x (F ) Fzb Fb sin M y (F ) Fza Fa sin
M z (F ) Fy a Fxb
Fb cos sin Fa cos cos
MO(F) Mx(F) i M y(F) j Mz(F)k
Fbsin i Fa sin j (Fb cos sin Fa cos cos ) k
合成结果：
M Mi
平衡条件：
Mi = 0
例 题 2 已知：a, M
求：A、 C 处约束反力。
M
B
a
解：（1）取AB为研究对象
M 0, M FA 2a 0
FA
FB
2 2a
M
（2）取BC为研究对象
FC
FB
FB
2 2a
M
A
a
C
a
FB
M
FA
A
B B
FB
C
FC
若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在
例 题 3 已知： F 、 a、b、c
求： 力F 对OA轴之矩 解：（1）计算 MO(F)
i jk MO(F) r F 0 b 0
00F Fbi
（2）利用力矩关系
z
O
b x
MOA (F ) MO (F ) cos
Fab a2 b2 c2
AF
c ay
例题4
已知： OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 求：力 F 对OA 边的中点D之矩在AC方向的投影。
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
§3-1 平面力对点之矩的概念和计算
2.合力矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。
M z (F ) Fy a Fxb
Fb cos sin Fa cos cos
MO(F) Mx(F) i M y(F) j Mz(F)k
Fbsin i Fa sin j (Fb cos sin Fa cos cos ) k
合成结果：
M Mi
平衡条件：
Mi = 0
例 题 2 已知：a, M
求：A、 C 处约束反力。
M
B
a
解：（1）取AB为研究对象
M 0, M FA 2a 0
FA
FB
2 2a
M
（2）取BC为研究对象
FC
FB
FB
2 2a
M
A
a
C
a
FB
M
FA
A
B B
FB
C
FC
若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在
例 题 3 已知： F 、 a、b、c
求： 力F 对OA轴之矩 解：（1）计算 MO(F)
i jk MO(F) r F 0 b 0
00F Fbi
（2）利用力矩关系
z
O
b x
MOA (F ) MO (F ) cos
Fab a2 b2 c2
AF
c ay
例题4
已知： OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 求：力 F 对OA 边的中点D之矩在AC方向的投影。
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
§3-1 平面力对点之矩的概念和计算
2.合力矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。
工程力学 力偶系
F k i x j y Fx
Fx
Fy Fxy
力对轴之矩计算公式
z x
Fxy
M x ( F ) = yFz − zFy Fy y M y ( F ) = zFx − xFz M z ( F ) = xFy − yFx
7
谢传锋:工程力学(静力学)
问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？
静力学
力对轴之矩
性质三 只要力偶矩矢量的方向和 大小不变（F，d 可变），则力偶 对刚体的作用效应就不变。
谢传锋:工程力学(静力学) 13
静力学
一、力偶系的合成
§4 力偶系的合成与平衡条件
M1 = {F1 , F1' } M 2 = {F2 , F2' } F ' = F1' + F2' ∴ M R = {F , F ' }
M x ( F ) = M Ox M y ( F ) = M Oy M z ( F ) = M Oz
结论：力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影
谢传锋:工程力学(静力学) 8
静力学
§2 力对轴之矩
例：在棱长为 b 的正方体上作用有一力F，求该力对 x、y、z 轴之矩以及对OA轴之矩。
M x ( F ) = yFz − zFy M y ( F ) = zFx − xFz M z ( F ) = xFy − yFx
§2 力对轴之矩
MO
O x r z F y
力对点之矩在各坐标轴上的投影
M Ox = yFz − zFy M Oy = zFx − xFz M Oz = xFy − yFx
BD M 2 sin β M1 = AD
工程力学第三章力偶系
一、平面中力对点之矩
刚体在平面内受力F作用而绕平面上某一点O 转动的效应取决于力的大小力臂和转动方向。
力臂——力的作用线至O点的垂直距离h。
转动方向——规定逆钟向为正，顺钟向为负。 MO(F) = h×F = ± Fh
还可表示为：
MO(F) = ±2△OAB
返回首页
Theoretical Mechanics
O O
( (
F F
)x )y
M M
x y
(F) (F)
yFz zFx
zFy xFz
M
O
(F
)z
M
z
(F
)
xFy
yFx
返回首页
Theoretical Mechanics
§3–3 力偶矩矢
M = rBA×F = rAB×F 力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M，
M = ±Fd
返回首页
Theoretical Mechanics
A
B
l
m 0: FAl M1 M 2 M 3 0 M 2 M 1
解之得：
A
FA
M3 B
FB
FA
M1
M2 l
M3
FB
返回首页
Theoretical Mechanics
例2：如图杆AB上有一导槽，套在杆 CD上的销子E上，在两杆上各有一力
A M1
D B
偶作用。已知mM1 1000 N m ，若
§3–5 力偶系的合成
设刚体上作用力偶矩矢M1、M2、…、Mn ，根据力 偶的等效性，将各力偶矩矢平移至图(b)中的任一 点A，力偶系合成结果为一合力偶。
返回首页
Theoretical Mechanics
工程力学力矩与平面力偶系课件
总结词
吊桥的受力分析
详细描述
吊桥在风力和车辆负载的作用下保持平衡。通过分析吊 桥的受力，可以了解平面力系中力的平衡条件。
平面力系的实例三
总结词
旋转门的工作原理
详细描述
旋转门在开启和关闭过程中受到推力和拉力作用。这 些力产生力矩，使门旋转。这个例子展示了力矩在平 面力系中的作用。
谢谢聆听
04
验证解的合理性
通过代入原始数据或进行实物实 验验证解的合理性。
05 平面力系的实例分析
平面力系的实例一
要点一
总结词
平衡状态下的斜面
要点二
详细描述
一个斜面上的物体在重力作用下处于平衡状态，重力可分 解为两个力，一个沿斜面向下，另一个垂直于斜面。这个 例子展示了平面力系中力的合成与分解。
平面力系的实例二
VS
详细描述
力偶是工程力学中一个基本概念，它由两 个力组成，这两个力大小相等、方向相反 ，且作用线相互平行但不在同一直线上。 力偶在平面或空间中都可以存在，但在平 面问题中更为常见。
力偶的性质
总结词
力偶具有方向性、大小不变性和作用点无关性。
详细描述
力偶具有三个重要的性质。首先，力偶具有方向性，它只能沿其所在的平面转动，不能在平面内移动 。其次，力偶的大小是恒定的，不会因为改变作用点而改变。最后，力偶的作用点无关性意味着力偶 可以在其作用线上任意移动，只要保持两个力的大小和方向不变，其效果就不会改变。
平面力的合成
总结词
平面力的合成是指将两个或多个在同一平面内的力合成为一 个力的过程。
详细描述
平面力的合成可以通过平行四边形法则或三角形法则进行。 具体来说，两个在同一平面内的力可以合成一个力，这个力 的方向和大小可以通过平行四边形法则或三角形法则确定。
吊桥的受力分析
详细描述
吊桥在风力和车辆负载的作用下保持平衡。通过分析吊 桥的受力，可以了解平面力系中力的平衡条件。
平面力系的实例三
总结词
旋转门的工作原理
详细描述
旋转门在开启和关闭过程中受到推力和拉力作用。这 些力产生力矩，使门旋转。这个例子展示了力矩在平 面力系中的作用。
谢谢聆听
04
验证解的合理性
通过代入原始数据或进行实物实 验验证解的合理性。
05 平面力系的实例分析
平面力系的实例一
要点一
总结词
平衡状态下的斜面
要点二
详细描述
一个斜面上的物体在重力作用下处于平衡状态，重力可分 解为两个力，一个沿斜面向下，另一个垂直于斜面。这个 例子展示了平面力系中力的合成与分解。
平面力系的实例二
VS
详细描述
力偶是工程力学中一个基本概念，它由两 个力组成，这两个力大小相等、方向相反 ，且作用线相互平行但不在同一直线上。 力偶在平面或空间中都可以存在，但在平 面问题中更为常见。
力偶的性质
总结词
力偶具有方向性、大小不变性和作用点无关性。
详细描述
力偶具有三个重要的性质。首先，力偶具有方向性，它只能沿其所在的平面转动，不能在平面内移动 。其次，力偶的大小是恒定的，不会因为改变作用点而改变。最后，力偶的作用点无关性意味着力偶 可以在其作用线上任意移动，只要保持两个力的大小和方向不变，其效果就不会改变。
平面力的合成
总结词
平面力的合成是指将两个或多个在同一平面内的力合成为一 个力的过程。
详细描述
平面力的合成可以通过平行四边形法则或三角形法则进行。 具体来说，两个在同一平面内的力可以合成一个力，这个力 的方向和大小可以通过平行四边形法则或三角形法则确定。
工程力学ppt 2平面汇交力系和平面力偶系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
工程力学——平面力偶系PPT课件
F
F/
a bc d
F
ab
完整编辑ppt
21
性质2
力偶对其所在平面内任一点
的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的
位置无关，因此力偶对刚体的效
应用力偶 矩度量。
F
B Ad
x
O
F'
m O (F ) m O (F ') F (x d ) F 'xFd
完整编辑ppt
22
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相
dA
A
dC
F
F=100N, 30 求 F对A、B、C三点之矩。
C D 解：由定义
B
m A (F ) F A d F As D i 3n 0 25 N 2 m
m C (F ) F C d F CsD i 3n 0 7 5 N m
由合力矩定理 m B (F ) F xA F B yA D F c3 o 0 A s F B s3 i n 0 A D 4.4 8 N 8 m
解：
图（a）： 图（b）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
MA = - 4×2×1 = -8 kN · m 完整编M辑Bppt= 4×2×1 = 8 kN ·m 8
[例3] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和abb端水平反力端水平反力
§2–3 平面力偶系
工程力学课件第2章 汇交力系 力偶系
FR Fx2 Fy2 + Fz2
2. 平衡条件： FR 0
3. 平衡方程： Fx 0 Fy 0 Fz 0
14
2.2 汇交力系的平衡
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
例2 己知：CE EB ED，物重 P 10kN。起重杆
重量不计，与z轴夹角为30, OEB 60, 求起重杆和
F4
FRz Fz1 Fz2 Fzn Fz
汇交力系的合力在某轴上的投影 各分力在同一轴上投影的代数和。
FR
x
F3
10
2.1 汇交力系的简化
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
(2)由合力投影定理求合力。 y
FR FRxi FRy j FRzk
2.空间力偶系的简化 实例
z
F1 F2
FAx
o
FAz
x
F1
FBx
y
FBz F2
18
2.3 力偶系的简化
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
2、空间力偶系的合成
空间力偶系合成的结果为一合力偶，其力偶 矩矢 M 等于各力偶矩矢的矢量和。
z
n
M M1 M 2 M n Mi
一、平面汇交力系的平衡条件及平衡方程
1. 简化 ： FR Fi
FRx Fx FRy Fy FR Fx2 Fy2
2. 平衡条件： FR 0
3. 平衡方程： Fx 0 Fy 0
12
2.2 汇交力系的平衡
© 2020. WeiYuan, JLU. All rights reserved.
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
工程力学力矩与平面力偶系PPT课件
r O1
(a)
F/2
r
O2
F
F/2
图3-20
(b)
第29页/共31页
思考题：P44 3-1 P46 3-2，3-3
课后作业（下周交）： 3-5，3-8，3-9，3-10
第30页/共31页
感谢您的观看！
第31页/共31页
即 MO(F) F d
O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F 作用线 的垂直距离d，称为力臂。
力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为 正，反之为负。
第3页/共31页
应注意：
在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩
的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是
一个代数量。 力矩的单位：
O
F
国际制 N·m，kN·m
第7页/共31页
谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能
撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的， 因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 能产生足够大的力来“搬动”地球。
动力臂越长，施力的一方经过的距离越 长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支 点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你 无法想象，比阻力臂要长1000万万亿倍，要 把地球撬起1厘米，如果按每秒移动1米计算， 要花3万亿年的时间，这比地球的历史还要长。 ——来自中国科普网
第13页/共31页
两个重要推论：
推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变 它对物体的转动效应
M
M
A
BA
C
B
(a)
(b)
图3-10
第14页/共31页
推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下， 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不 改变力偶对物体的转动效应，其中F1d=F2D
理论力学-力偶系PPT课件
力偶系在物理实验中的应用
扭摆实验
扭摆实验是一种用于研究力矩和角动量守恒的经典实验。在实验 中，通过测量不同质量的物体在相同力矩作用下的转动周期，可 以验证力矩与转动惯量的关系，从而进一步理解力偶系的概念。
扭摆实验中，力偶系的作用是提供稳定的力矩，使得物体能够进 行稳定的摆动。通过调整力矩的大小，可以观察到摆动周期的变 化，从而验证力矩对转动惯量的影响。
车辆动力学中的力偶系
总结词
影响车辆性能的关键因素
详细描述
在车辆动力学中，力偶系对车辆的性 能产生重要影响。例如，在汽车悬挂 系统和转向系统中，力偶系的设计直 接关系到车辆的操控性能、行驶稳定 性以及乘坐舒适性。
04
力偶系与刚体平衡
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件是合外力为零，即所有外力的矢量 和为零。
06
力偶系理论的发展与展望
力偶系理论的现代发展
计算机技术的引入
利用计算机进行数值模拟和计算，提高了力偶系理 论的计算效率和精度。
非线性力偶系的研究
随着对非线性现象的深入了解，非线性力偶系的研 究逐渐成为热点。
多物理场耦合的力偶系研究
考虑多个物理场之间的相互作用，研究多物理场耦 合下的力偶系特性。
03
力偶系在工程中的应用
机械系统中的力偶系
总结词
重要组成部分
详细描述
在机械系统中，力偶系是实现各种运 动和操作的关键因素。例如，在齿轮 传动、链传动等机械系统中，力偶系 的作用是实现扭矩的传递和转换。
建筑结构中的力偶系
总结词
稳定性与安全性的保障
详细描述
在建筑结构中，力偶系是维持结构稳定性和安全性的重要因 素。通过合理设计梁、柱等结构件的力偶系，可以确保建筑 在承受各种载荷时仍能保持稳定。
扭摆实验
扭摆实验是一种用于研究力矩和角动量守恒的经典实验。在实验 中，通过测量不同质量的物体在相同力矩作用下的转动周期，可 以验证力矩与转动惯量的关系，从而进一步理解力偶系的概念。
扭摆实验中，力偶系的作用是提供稳定的力矩，使得物体能够进 行稳定的摆动。通过调整力矩的大小，可以观察到摆动周期的变 化，从而验证力矩对转动惯量的影响。
车辆动力学中的力偶系
总结词
影响车辆性能的关键因素
详细描述
在车辆动力学中，力偶系对车辆的性 能产生重要影响。例如，在汽车悬挂 系统和转向系统中，力偶系的设计直 接关系到车辆的操控性能、行驶稳定 性以及乘坐舒适性。
04
力偶系与刚体平衡
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件是合外力为零，即所有外力的矢量 和为零。
06
力偶系理论的发展与展望
力偶系理论的现代发展
计算机技术的引入
利用计算机进行数值模拟和计算，提高了力偶系理 论的计算效率和精度。
非线性力偶系的研究
随着对非线性现象的深入了解，非线性力偶系的研 究逐渐成为热点。
多物理场耦合的力偶系研究
考虑多个物理场之间的相互作用，研究多物理场耦 合下的力偶系特性。
03
力偶系在工程中的应用
机械系统中的力偶系
总结词
重要组成部分
详细描述
在机械系统中，力偶系是实现各种运 动和操作的关键因素。例如，在齿轮 传动、链传动等机械系统中，力偶系 的作用是实现扭矩的传递和转换。
建筑结构中的力偶系
总结词
稳定性与安全性的保障
详细描述
在建筑结构中，力偶系是维持结构稳定性和安全性的重要因 素。通过合理设计梁、柱等结构件的力偶系，可以确保建筑 在承受各种载荷时仍能保持稳定。
工程力学 力偶系
第二十七页，共42页。
力对轴的矩的解析式
由合力矩定理：
mz (F ) mO (Fxy )
mO (Fx ) mO (Fy )
即
mz (F ) xFy yFx
同理可得其余两式，即有：
mx (F ) yFz zFy my (F ) zFx xFz mz (F ) xFy yFx
力对轴的矩的解析式
大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时
针转向时为正，反之为负.常用单位N·m或kN·m
第三页，共42页。
二、合力矩定理
⒈ 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各
分力对同一点的矩的代数和
即： ⒉ 证明
n
M O (FR ) M O (Fi ) i 1
由合力投影定理有：
od=ob+oc
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
第三十七页，共42页。
M x M x , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x
M
cos M y
M
cos M z
M
第二十八页，共42页。
3.力对点的矩与力对轴的矩的关系
MO (F )x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F )z xFy yFx M z (F )
即力对点的矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对
该轴之矩
第二十九页，共42页。
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
第十九页，共42页。
力对轴的矩的解析式
由合力矩定理：
mz (F ) mO (Fxy )
mO (Fx ) mO (Fy )
即
mz (F ) xFy yFx
同理可得其余两式，即有：
mx (F ) yFz zFy my (F ) zFx xFz mz (F ) xFy yFx
力对轴的矩的解析式
大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时
针转向时为正，反之为负.常用单位N·m或kN·m
第三页，共42页。
二、合力矩定理
⒈ 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各
分力对同一点的矩的代数和
即： ⒉ 证明
n
M O (FR ) M O (Fi ) i 1
由合力投影定理有：
od=ob+oc
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
第三十七页，共42页。
M x M x , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x
M
cos M y
M
cos M z
M
第二十八页，共42页。
3.力对点的矩与力对轴的矩的关系
MO (F )x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F )z xFy yFx M z (F )
即力对点的矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对
该轴之矩
第二十九页，共42页。
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
第十九页，共42页。
工程力学——平面力偶系共75页
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
工程力学——平面力偶系
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
工程力学——平面力偶系
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
B
xd xCx l
工程力学
A
q1 A 思考：这两个力系的合力及作 用线位置。
第三章 力偶系
q B l
q2 B
l
工程力学
§3-3 力偶及其性质
第三章 力偶系
1、力偶矩矢概念
平面有一对力偶 (F , F ) ,将它们对O 点取矩。
M
根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：
M MO (F ) MO (F)
工程力学
第三章 力偶系
（2）力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式
①力对点之矩矢的矢量积表示式
A hO
工程力学
第三章 力偶系
②力对点之矩矢的解析表示式
r xi yj zk
F Fxi Fy j Fzk
r
则:
MO(F) r F (xi yj zk 系
3、力偶的等效条件和性质 1）力偶的等效条件
两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。
（两个力偶矩矢相等的力偶等效。）
2）力偶的性质 （1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。
（2）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本 身又不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来 平衡）。是一个基本的力学量。
r M
r
d
r F
F
(a)
r Mr
F dr F
(b)
r
M
r
r
aF
aF
(c)
工程力学
第三章 力偶系
（5）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一 与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
3、力偶的表示方法
工程力学
第三章 力偶系
§3.4力偶系的合成与平衡
1、力偶的合成
两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力 偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：
即：
对于平面力系，则有：
工程力学
第三章 力偶系
例题3-1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均 布载荷的合力及其作用线位置。
解：这是一个平面力系。 根据合力投影定理，则合力的大小为：
再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。
假设合力Q的作用线距离A点的距离为xC 。
Q
q
M A (Q) QxC
工程力学
第三章 力偶系
（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。
力偶矩 M rBA F
Mo (F, F) Mo (F) Mo (F) rA F rB F
因 F F
Mo (F, F) (rA rB ) F M
工程力学
第三章 力偶系
（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长 短，对刚体的作用效果不变。
工程力学
工程力学
第三章 力偶系
第三章 力偶系
工程力学
第三章 力偶系
第一章 力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例
§3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
工程力学
第三章 力偶系
§3-1 力偶系概念及工程实例
一、工程实例
工程力学
第三章 力偶系
日常生活中经常遇到力偶， 比如：用手拧钥匙、汽车司机双 手转动驾驶盘等。
即力臂等于零。
F
B
A
h
O
力矩的单位常用N·m或 kN·m。
工程力学
第三章 力偶系
2、力对点之矩矢 （1）力对点之矩矢的概念 在空间问题中，力对刚体产生的绕O点的转动效应 取决于三个要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积；
(2) 方向:转动方向；
(3) 作用面：力矩作用面。
——力对点之矩矢，是一个过矩心O的定位矢量， 是力对刚体转动效应的度量。
力偶系：作用于刚体上的一 群力偶。
d
F
F´
工程力学
第三章 力偶系
§3-2 力对点之矩·合力矩定理
1、平面中力对点之矩
力对点之矩（力矩）是为了描述 刚体运动中的转动效应。
力F对刚体产生的绕平面上O点 的转动效应取决于：
F
B
A
h
转动效应的强度：Fh；
O
转动的方向：顺时针或逆时针。
工程力学
第三章 力偶系
定义:
为力对点之矩。
其中：
O 为参考系中的某一点，称为矩心。
h 为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。
规 定 ： F h
F
B
A
h
F h
O
即：力使刚体绕矩心逆时针转动时为正，
顺时针转动时为负。
工程力学 平面中力对点之矩是一个代数量。
第三章 力偶系
力矩在下列两种情况下等于零： （1）力的大小等于零； （2）力的作用线通过矩心，
工程力学
第三章 力偶系
（3）力对点之矩矢的基本性质
作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动 效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于 二力分别对该点矩矢的矢量和，即：
也就是说：力对点之矩服从矢量的合成法则。即在 一般情况下：
对于平面力系，则有：
工程力学
第三章 力偶系
（4）合力矩定理
合力矩定理：合力对任一点之矩等于诸分力对 同一点之矩的矢量和。
F
rA F rB F
A rBA rA rBF
rA
B
rB
rA F rB (F ) (rA rB ) F
O
M rBA F
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
工程力学 2、力偶转动效应三要素
第三章 力偶系
力偶 转动 效应 三要素
力偶矩大小 转向
作用面方位
力偶矩矢长度
力偶的概念:作用于刚体上大小 相等、方向相反且不共线的两 个力组成的力系称为力偶。
工程力学
第三章 力偶系
力偶作用面：由一对力 F 所组成的平面；
力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，
用 d 表示；
无法再简化的简单力系之一。 作用效应: 使刚体的转动状态发生改变。
度量转动作用效应的物理量。
单位为N·m或kN·m。
力偶矩矢指向
力偶 矩矢 三要素
力偶矩矢法线
工程力学
第三章 力偶系
3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
M = Mxi +My j +Mzk M x，M y，M z 是力偶矩矢在三个坐标轴上的投影。
4、平面力偶
M = Fd
规定：力偶使刚体在作用面内逆时针转动时为正，顺 时针转动时为负。
i jk x y z
Fx Fy Fx
工程力学
第三章 力偶系
MO(F) r F (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
力对点O的矩 MO (F ) 在三个坐标轴上的投影为:
Mo (F )x yFz zFy M o (F ) y zFx xFz Mo (F )z xFy yFz
M 为合力偶矩矢。
工程力学
第三章 力偶系
推广： 力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力 偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：