工程力学第三章-力系的平衡
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
工程力学力系平衡
D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
工程力学-平面任意力系平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第3章 力系的平衡
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第3章 力系的平衡3－1 试求图示两外伸梁的约束反力FRA 、FRB ，其中（a ）M = 60kN ·m ，FP = 20 kN ；（b ）FP = 10 kN ，FP1 = 20 kN ，q = 20kN/m ，d = 0.8m 。
知识点：固定铰支座、辊轴支座、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答：图（a-1） 0=∑x F ，FAx = 00=∑A M ，05.34R P =⨯+⨯--B F F M 05.342060R =⨯+⨯--B F FRB = 40 kN （↑）=∑y F ，0P R =-+F F F B Ay20-=Ay F kN （↓）图（b-1），M = FPd 0=∑A M ，03221P R P =⋅-⋅++⋅d F d F d F dqd B即 032211P R P =-++F F F qd B 02032108.02021R =⨯-++⨯⨯B FFRB = 21 kN （↑）=∑y F ，FRA = 15 kN （↑）3－2 直角折杆所受载荷，约束及尺寸均如图示。
试求A 处全部约束力。
A MB Ay F B R F CAx F PF(a) M A B B R F A R F P 1F C qdBD(b)（a ）（b ） 习题3－1图FMB习题3－3图sF W A F ABF BF AN F(a)知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答： 图（a ）： 0=∑x F ，0=Ax F=∑y F ，=Ay F （↑）0=∑A M ，0=-+Fd M M AM Fd M A -=3－3 图示拖车重W = 20kN ，汽车对它的牵引力FS = 10 kN 。
试求拖车匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力。
知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般解答： 图（a ）：0)(=∑F A M 08.214.1NB S =⨯+⨯-⨯-F F W6.13NB =F kN=∑y F ，4.6NA =F kN3－4 图示起重机ABC 具有铅垂转动轴AB ，起重机重W = 3.5kN ，重心在D 。
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程
∑ Fx = 0 B ∑ M A ( F ) = 0 A x ∑ M ( F ) = 0 B 其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
′ FR
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
∴N B =
60 =300N 0.2
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。 例 图示结构，已知Байду номын сангаас， 、 两点的约束反力。 两点的约束反力
M AC = R C ⋅ d = 0.255 R C ( N .m )
∑M
i
=0
M AC − M = 0
RC = 3137 N
3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
M =m1 +m2 +m3 +m4 =4×(−15)=−60N⋅m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力N 组成一力偶。 力NA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有
NB ×0.2 − m1 − m2 − m3 − m4 = 0
∴N A = N B =300 N
1,3,4；
有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5; 2,4,5 ；2,3,5; 3,4,5
第3章 力系的平衡条件与平衡方程 章
1 平面汇交力系的平衡条件与平衡方程 2 平面力偶系的平衡条件与平衡方程 3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 4 简单的刚体系统平衡问题 5 考虑摩擦时的平衡问题 6 结论与讨论
1 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
工程力学 第2版 第3章 平面力系的平衡方程及其应用
3.2 物系的平衡问题
物体系统:由若干个物体通过约束联系所组成的系统，简称为 物系。
系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每个物体也都 平衡。因此研究这类问题时，既可以取系统中的某一个物体为 分离体，也可以取几个物体的组合或者取整个系统为分离体。
1 静定和超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
注意：不能漏画固定端的约束反力偶MA，力偶只参与力矩方程，将力偶矩的大小直接代入方程， 而不参与投影方程。
在需同的样不求建要的平的一的立指矩衡，样结平定心方求，果矩位程解但是衡心置是过最一方，列不程终样程不出一也所，时，的在们的不正结这 要 选 同 确果个 意 择 ， 的就过 识 所 但 道是程 到 经 只 路正中 ， 历 要 ，确同 不 的 选 最的学 同 就 择 后。
Fx 0
Fy
0
➢ 平面平行力系的平衡方程
Fx 0( Fy 0)
M0(F) 方程组，皆可解与其平衡方程数对 应的未知数。应用力系平衡方程可以确定工程中构件在平衡时 的未知力。
2 平面力系平衡方程的应用
步骤
1）确定研究对象，画受力图 2）建立直角坐标系，确定各力与坐标轴的夹角 3）确定该平面力系的种类，列出相应的平衡方程求解未知力。
第3章 平面力系的平衡方程及其应用
平面力系的平衡方程及其应用
单个物体的平衡问题 物系的平衡问题
考虑摩擦时物体的 平衡问题
3.1 单个物体的平衡问题 1 平面力系的平衡条件
平面力系平衡的充要条件是：合力为零
➢ 平面一般力系的平衡方程 ➢ 平面汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
工程力学第3章空间力系的平衡
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
根据力的平衡条件，可以列出平衡方程。对于一个物体，在X轴和Y轴上的力可以表示为F1、F2、F3、F4等，根 据平衡条件，可以列出两个平衡方程：F1X+F2X+F3X+F4X=0和F1Y+F2Y+F3Y+F4Y=0。
平衡方程的分类
平面力系的平衡方程
对于平面力系，可以列出三个平衡方程，分别表示X轴、Y轴 和Z轴上的力的平衡。
• 总结词：平面力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0。
• 详细描述：平面力系的平衡方程是根据平衡条件建立的数学方程，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0，其中X和Y表示力在两个相互垂直的方向上的投影。通过解平衡 方程，可以求出未知力的值。
空间力系的平衡条件和平衡方程
• 总结词：空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，平衡条件是力系 中所有力在三个相互垂直的方向上的投影之和为零。
• 详细描述：在空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，即一个力可 以分解为三个相互垂直的分力。平衡条件是指力系中所有力在三个相互垂直的 方向上的投影之和为零，即合力矩为零。满足平衡条件的力系不会产生相对运 动或相对运动趋势。
• 总结词：空间力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0、∑Y=0和∑Z=0。
跨学科融合
力系的平衡条件和平衡方程将与其它学科进行更紧密的融合，如计算机科学、人工智能 等，为解决复杂问题提供更高效的方法。
实际应用
力系的平衡条件和平衡方程在实际应用中将更加注重与工程实践的结合，提高解决实际 问题的效率。
力系平衡条件和平衡方程的实际应用
工程设计
在工程设计中，力系的平衡条件和平衡方程被广泛应用于结构分析 和优化设计，以确保结构的稳定性和安全性。
《工程力学》项目3 力系的平衡
项目三 力系的平衡
• 【项目目标】 • 【知识目标】：
• 1．掌握平面力系的平衡方程及应用。 • 2．掌握空间力系的平衡平衡方程及应用。 • 3．理解摩擦的概念及应用。 • 4．了解摩擦角、自锁的概念。
• 【能力目标】：
• 1．能进行平面平衡力系分析计算。 • 2．能进行空间平衡力系的计算。 • 3．能正确区分摩擦的类型。
3.1 平面汇交力系的平衡方程及应用
平衡力系是工程实际中较为常见的一种力系。许多结构和构件都处于 平衡状态，例如，建筑物、桥梁、机器构架等处于静力平衡状态；以 一定速度运转的转轴则处于动平衡。本章只研究在力系作用下的平衡 方程及其应用。
3.1.1平面汇交力系平衡的几何条件
由项目2的讨论可知，平面汇交力系的简化结果是一个合力。当这一 合力等于零时，刚体处于平衡状态，所以平面汇交力系平衡的充分必 要条件是：该力系的合力等于零。即
• 【解】（1）此题要求解的未知量共有六个，最少需要选择两个研究 对象。
• 【提示】【例 3-6】中的均布荷载作用在梁的两跨上，当梁拆开时， 荷载也被分成两部分，当取其中的一部分为研究对象时，就只考虑作 用在其上的均布荷载，而不能考虑整个均布荷载。
• 【提示】通过前面的学习，可总结出应用平衡方程求解问题的步骤： • （1）确定研究对象，且画出其隔离体。 • （2）对研究对象受力分析并画受力图。 • （3）根据力系的类型及特点确定坐标系及矩心位置。坐标轴最好与
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 -力系的平衡
工程力学（静力学与材料力学）习题第3章力系的平衡3－1 试求图示两外伸梁的约束反力F R A、F R B，其中（a）M = 60kN·m，F P = 20 kN；（b）F P = 10 kN，F P1 = 20 kN，q = 20kN/m，d = 0.8m。
（a）（b）习题3－1图3－2 直角折杆所受载荷，约束及尺寸均如图示。
试求A处全部约束力。
习题3－2图3－3 图示拖车重W = 20kN，汽车对它的牵引力F S = 10 kN。
试求拖车匀速直线行驶时，车轮A、B 对地面的正压力。
习题3－3图3－4 图示起重机ABC具有铅垂转动轴AB，起重机重W = 3.5kN，重心在D。
在C处吊有重W1 = 10kN 的物体。
试求滑动轴承A和止推轴承B的约束力。
习题3－4图习题3－5图 习题3－6图习题3－8图 习题3－7图 3－5 图示钥匙的截面为直角三角形，其直角边AB = d 1，BC = d 2。
设在钥匙上作用一个力偶矩为M 的力偶。
试求其顶点A 、B 、C 对锁孔边上的压力。
不计摩擦，且钥匙与锁孔之间的隙缝很小。
3－6 图示一便桥自由放置在支座C 和D 上，支座间的距离CD = 2d = 6m 。
桥面重321kN/m 。
试求当汽车从桥上面驶过而不致使桥面翻转时桥的悬臂部分的最大长度l 。
设汽车的前后轮的负重分别为20kN 和40kN ，两轮间的距离为3m 。
3－7 直解三角形平板OBC 的载荷，约束及尺寸（OB = d 1，OC = d 2）如图所示。
试求A 、O 处约束力。
3－8 起重机装有轮子，可沿轨道A 、B 移动。
起重机桁架下弦DE 的中点C 上挂有滑轮（图未画出），用来提起挂在索链CG 上的重物。
从材料架上提起的物料重W = 50 kN ，当此重物离开材料架时，索链与铅垂线成 = 20°角。
为了避免重物摆动，又用水平绳索GH 拉住重物。
设索链张力的水平分力仅由右轨道B 承受，试求当重物离开材料架时轨道A 、B 的受力。
工程力学教程篇(第二版)习题第3章答案
第3章 力系的平衡（一）（平面汇交力系的平衡）3-1 各种支架如题3-1图（a ）、（b ）、（c ）和（d ）所示，由杆AB 与AC 组成，A 、B 与C 均为铰链，在销钉A 上悬挂重量为W 的重物。
试求图示4种情况下，杆AB 与AC 所受的力。
题3-1解：情况如题3-1图（a ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（a1）所示.由平衡方程 0X=∑，cos 600AB AC S S -+=0Y=∑，sin 600A C S W --=得 1.155sin 30A C WS W==(压力)cos 60 1.155cos 600.577AB AC S S W W===（拉力）情况（b ）如题3-1图（b ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（b 1）所示.由平衡方程 0X =∑，cos 700AC AB S S -=0Y=∑，sin 700AB S W -=得 1.064sin 30A B WS W==(拉力)cos 70 1.064cos 700.364AC AB S S W W===（压力）情况（c ）如题3-1图（c ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（c 1）所示.由平衡方程 0X=∑，cos 300AC S W -=0Y=∑，sin 300AB S W -=得 cos 300.866AC S W W == (拉力)sin 300.5AB S W W==（压力）情况（d ）如题3-1图（d ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（d 1）所示.由平衡方程 0X =∑，sin 30sin 300AC AB S S -+=0Y=∑，cos 30cos 300AC AB S S W +-=得 0.5772cos 30A C AB W S S W===(拉力)3-2 题3-2图（a ）所示的电动机重5W kN =，放在水平梁AC 的中间，A 和B 为固定铰链，C 为中间铰链。
清华出版社工程力学答案-第3章 力系的平衡条件与平衡方程
ln
=
l n
3－11 厂房构架为三铰拱架，由两片拱架在 C 处铰接而成。桥式吊车沿着垂直于纸面
方向的轨道行驶，吊车梁的重量 W1＝20 kN，其重心在梁的中点。梁上的小车和起吊重物的
重量 W2＝60 kN。两个拱架的重量均为 W3＝60 kN，二者的重心分别在 D、E 二点，正好与
吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风的合力为 10 kN，方向水平。试求：当小车位于离左边轨
ΣFy = 0， FAy = FB′y = qd （↑）； （c） 题解：
图（c1）：
ΣFx = 0， FBx = 0
ΣMB
=
0，
−
qd
⋅
d 2
+ FRC
⋅ 2d
= 0 ， FRC
=
qd 4
（↑）
ΣFy = 0， FBy + FRC − qd = 0 ，
FBy
=
3 4
qd
（↑）
图（c2）：
ΣFx = 0，FAx = 0
ΣFy
=
0，
FAy
=
qd
+
FB′y
=
7 4
qd
（↑）
ΣMA
=
0， M A
−
FB′y
⋅ 2d
− qd
⋅
3d 2
=0
（d） 题解：
∴ MA = 3qd 2（逆时针）；
图（d1）：
ΣMB
=
0， FRC
=
M 2d
（↑）
ΣFy
=
0，
FBy
=
M 2d
（↓）
8
(c)
A
q
B
工程力学(李卓球) 第3章 力系的简化和平衡
∑X =0 ∑Y = 0 ∑M = 0
O
3.2
力系的平衡条件和平衡方程 ∑X =0
∑Y = 0 ∑F = 0
z
y
F1 F2
4 5 3
F3
∑M
x
=0
y
O
x
∑M ∑M
平面汇交力系
=0
=0
z
∑ ∑
X = 0
Y = 0
Y = 0
M
O
平面平行力系
∑ ∑
( Fi ) = 0
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
四、平面任意力系平衡方程的其他形式 (1)二力矩式 二力矩式
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
∑ ∑ ∑
Fx = 0
∑ M ∑ M
A B
(F i ) = 0 (Fi ) = 0
Fy = 0
M
O
(Fi ) = 0
∑
Fx = 0
A
B
∑Y ∑M
= 0
O
∑ M
(F i ) = 0
(Fi ) = 0
∑
M
(Fi ) = 0
AB连线与力不平行 连线与力不平行 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
h h
γy (1 × dy )
dy
= γy
1 2 γh 2
由合力矩定理， 由合力矩定理，有
1 Qd = ∫ yqdy = ∫ γy dy = γh 3 0 0 3
h h 2
d=
2 h 3
3.1
力系向一点简化
y A
2m
在长方形平板的O 例题 3-2 在长方形平板的 、A、 B、C 点上分别作用着有四个力： 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN ， ， 如图）， ），试求以上四个力构成 （如图），试求以上四个力构成 的力系对点O 的简化结果， 的力系对点 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。 该力系的最后的合成结果。 取坐标系Oxy。 解：取坐标系 。 1、求向 点简化结果： 点简化结果： 、求向O点简化结果 求主矢R′ ①求主矢 ′：
工程力学__第3章力系的平衡习题解
sin ( ) 3 cos )
即 3 sin cos sin cos cos sin
习题 3－4 图
即 2 tan tan
1
O
2
注：在学完本书第 3 章后，可用下法求解： Fx 0 ， FRAG sin 0
Fy 0 ， FRBG cos 0
M A (F ) 0
，G
l s3in(
)
FRB
l
解：（a），CD 为二力杆； 图（c）— 力偶系
ΣMi = 0
FRA FRC M 2 M
2
d
d
2
习题 3－11 图
— 11 —
（b）AB 为二力杆
图（d）：ΣMi = 0， FRC FD M ，
d
FRA FD M d
FD
D
A
45
D BM
M
FRA
FRC
C
FRC
FRA
A
FD' B
D
(d)
(e)
(c)
F
q
5 (6 2l) 340l 0
3
l = 1m 即 lmax = 1m
C 6 l (a)
D FR D
l
3－18 木支架结构的尺寸如图所示，各杆在 A、D、E、
F 处均以螺栓连接，C、D 处用铰链与地面连接，在水平杆 AB
的 B 端挂一重物，其重 W = 5kN。若不计各杆的重，试求 C、
G、A、E 各点的约束力。
3－10 试求图示结构中杆 1、2、3 所受的力。 解：杆 3 为二力杆 图（a）：
ΣMi = 0
F3 dM 0 M
F3 d
F = F3 （压） 图（b）：
河海大学工程力学,第三章—汇交力系的平衡
§3-3 y
汇交力系的平衡
F1 F2
O
x'
已知FP，可以求出F1、 F2 、 F3吗？
F3 FP
x
∑Fix =0 ∑ Fiy =0 ∑ Fix'=0
3个方程中总有一个不独立，是另两个方程的线性组合。 讨论：两坐标轴可任选（即可不正交），但不能共线。
FR
O
y x
∑Fix =0
FR⊥x轴
∑Fiy =0
例 图示结构中，ABC、DEG平面垂直与地面，而AB、 AC、DE、DG与铅垂线夹角均为450。试求各杆所受之力。
F1
B O1
F2
A D
E O2 C G 300 H
600
§3-3 解 1.以A铰为研究对象，受力如图
汇交力系的平衡
F1 FAB
B
O1
F2
A
F F
FAD
D
0 0 F cos 45 F cos 45 0 ix AB AC
汇交力系的简化
2. 解析法 FR=F1+F2+… Fi +… + Fn =FRxi+FRyj+FRzk Fn
F1
O
F2
FR
y
Fi
x
FR= (F1xi+F1yj+F1zk )+ (F2xi+F2yj+F2zk )+… +(Fnxi+Fnyj+Fnzk) =（∑Fix）i+ （∑ Fiy ） j+ （ ∑ Fiz ） k
iy
FAD F1 0 FAB sin450 FAC sin450 F2 0
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例题
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁 的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座 A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。
A C
a a
B
30º
(a)
例题
解：
1.取梁AB作为研究对象。
60º
2.画出受力图。
30º
(b)
3.作出相应的力多边形。
60º
30º
4.由力多边形解出：
l A C B
l
FP D A
l
B
l D
M=FP2 l
C
例题
例：
简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m, 求A ,B处的约束反力。
解：简支梁受力如图所示：
FAx
F
FAy A
q D
2m 4m B
FB
F F
x y
0 FAx 0 0
C
2m
FAy FB F q 4 0
⑤两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。
列平衡方程，求出全部未知力
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[例]已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。
mA XA YA 分析： 整体： 四个反力
NB
→不可直接解出 拆开： AC杆五个反力 →不可解
mA XA YA
XC YC
XC YC
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
NB
BC杆三个反力
→可解
故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。
解：1、取BC杆为研究对象源自 0 XC YC NB
mC
XC 0
0 N B 2a Pa 0
Pa P NB 2a 2 Y 0 YC N B 0
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
解得
Fix 0
FAx FT cos300 0
(1)
FT 17.33kN FAy 5.33kN
例题
可否列下面的方程：
Fix 0 FAx FT cos 30 0 FT sin 30 6 4 P2 3P 0 M A 0 1 M 0 6 FAy 3P 2 P2 0 B 1 又可否列下面的方程？
600 150 300
B B T E
300 150 0 BC 15 300
C D
x TBD=G
A
TBD
FAB
G
E
解二：
X = 0 - TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0 Y= 0
TBC = 9.65 kN - TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0
A
24
P
P
A
C O B D
(a)
E
6
O
B
SB
J
P
I
ND
ND
K
D
(b)
SB
(c)
解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
例题
（4）由几何关系得：OE EA 24 P A
24
cm
P
A
tg
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说
明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如
果求出负值，说明物体受压力。
独立平衡方程数
单个物体
平面一般力系 平面平行力系 平面汇交力系 平面力偶系 3 2 2 1
n个物体组成的物 体系统
3n 2n 2n n
G 2L G1e G1(b e) G3 ab a
力系的平衡
3.4.1 单个物体平衡方程的应用
（1）根据物体平衡问题正确选定研究对象。 单个物体平衡问题的研究，可按以下步骤进行： (要画出研究对象的形状) （2）分析研究对象的受力情况，正确画出其受力图。 (研究对象本身对周围的作用力不要画出.) （3）选择恰当的平衡方程、投影轴和力矩中心， 求解未知力。
例题
均质杆AB和BC在B端固结成60°角，A端用绳悬挂，已知 BC=2AB,求当刚杆ABC平衡时，BC与水平面的倾角ɑ。
塔式起重机
已知: G1, G2, a,b,e,L 求：起重机满载时不向右和空 载时不向左翻倒时，平衡重的 重量G3所应满足的条件。 解：以起重机为研究对象
(1)满载时 不翻倒条件：FNA≥0 (1) 由 mB 0 得：
工程力学
第三章 力系的平衡
力系的平衡
• 汇交力系的平衡方程 • 1.空间汇交力系
平衡的充要条件
FR F 0
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
• 二力矩的形式
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
x A B
限制条件：力矩中心A、B 两点的连线不能与投影轴x轴垂 直 y
F2 Fi
o x F1 Fn B A o x
力系的平衡
• 三力矩的形式
M M M
(F ) 0 (F ) 0 B (F ) 0 C
力系的平衡
• 3.4.2 物体平衡方程的应用
（1）静定问题与静不定问题的概念 1.静定问题 未知量的个数≤独立平衡方程数 2.超静定问题（或静不定问题） 未知量的个数＞独立平衡方程数 • 超静定次数=未知量的个数-独立平衡方程数
力系的平衡
判断下面结构是否静定？
判断下面结构是否静定？
力系的平衡
M M
x y
(F ) 0 (F ) 0
O z
y
平面任意力系的平衡方程（一般形式）：
F 0 F 0 F 0 F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
x x y y z 0
可以求解3个未知量
力系的平衡
G3 a e
G 3a FNBb G1(b e) 0 G1(b e) G 3a FNB 5 b 由(4)、(5)式 得：
G1
G1(b e) G3 a
A FN A b
B FN B
6
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不致 翻倒时， 平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： X= 0 3、列平衡方程并求解： Y= 0
- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 - TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0 FAB = 45 kN TBC = 9.65 kN y
力系的平衡
• 平面平行力系 选y轴或者x轴与力系的作用线平行，则
有 X 0或者Y 0, 只有两个独立的平衡方程.
一般式，
二力矩式
M M
( F ) 0 或 B ( F ) 0
A
F 0 M (F ) 0
y O
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
z Fi F2
F 0 F 0 m (F ) 0
x y z
o x
Fn
F1
y
空间平行力系的平衡方程
F 0 M (F ) 0 M (F ) 0
z x y
可以求解3个未知量
力系的平衡
• 平面任意力系 如果取平面任意力系的作用平面为oxy平面， 则 Fz 0
1
FB 8 4 q 6 F 2 0
代入（1）式 FB 375N
M
A
0
FAy 325 N
例题
求图示伸出梁的支座反力。
F1 =5KN F2 =20KN 2m m o =8KN· m q =2KN/m q 1 =4KN/m
A 2m 3m 2m
B 2m
例题
求如图所示悬臂梁的支座反力.