【学案】矩形的判定-北京师范大学出版社九年级数学上册

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北师大版数学九年级上册1.2.2矩形的判定教案

矩形的性质与判定
（二）矩形的判定
教学目标：
掌握矩形的判定定理,并会综合运用矩形知识解决实际问题
教学重点：
掌握矩形的判定定理,并会综合运用矩形知识解决实际问题
教学难点：
掌握矩形的判定定理,并会综合运用矩形知识解决实际问题
教学过程
一、复习旧知
1、矩形的性质：
边：矩形的对边__________.
角：矩形的四个角都是_________
对角线：矩形的对角线_________
对称性：矩形既是_______对称图形，也是_______对称图形，对称轴共有___条。

2、直角三角形________________________等于斜边的一半
二、合作探究
1、矩形的判定定理（一）
一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化。

（1）随着的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化?（2）当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?
(3)证明上述（2）的猜想
已知：在□ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，AC=BD。

求证：□ABCD是矩形。

北师大版-数学-九年级上册- 矩形的性质与判定(1) 导学案1

AB CCDOO1.2 矩形的判定和性质（一）学习目标：1、掌握矩形的定义和性质；2、学会判定矩形；3、平行四边形和矩形的区别和联系；新知学习复习；菱形的性质和判定性质：判定：一、矩形的定义如图，如果一个平行四边形有一个角是直角，那么这个平行四边形会有怎样的变化？定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。

二、矩形的性质。

矩形具有平行四边形的所有性质。

请结合着平行四边形的性质请你探索矩形的性质，你可以写出几条，会证明吗？① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．矩形的性质： ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。

练习：(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）PMNABCDRA 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行 (2)矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则AB ＝___________cm ，BC ＝___________cm ．(3)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝___________． (4)矩形的对角线长为,132两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________． (5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若△AFD 的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为___________．(6)矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________．(7)如图，矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AED=90°．当AD=10cm 时，AB 等于( )(8)如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMRP 的面积S 1，与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是( )A. S 1> S 2B. S 1= S 2C. S 1< S 2D. 不能确定例题精讲【例1】、1、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ．（1）线段BE 与CF 相等吗？请说明理由；（2）当AB=2，∠AOB=60°时，求BE 的值．2.已知：如图，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．3.如图，点E 是矩形ABCD 中 BC 边上一点，AE=AD ，过点D 作DF ⊥AE 于F ，连接DE ，求证：DF=DC.4如图，四边形ABCD 为矩形，F 为BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG ，垂足为E ，DE ＝DC ．求证：AF=BC1、已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______2、矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.3、形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.4、一个矩形周长是12cm ，对角线长是5cm ，那么它的面积为_______________5、在△ABC 中，AM 是中线, BAC=090，AB=6cm ，AC=8cm ，那么AM 的长为____________.6、如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件______，使四边形ABCD 为矩形。

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教案

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教案一. 教材分析《矩形的判定》是北师大版数学九年级上册第二章“平面几何”的一个学习单元。

本节课的主要内容是让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

在教材中，矩形的判定被放在了一个重要的位置，因为它不仅是学习平面几何的基础，也是后面学习其他几何图形的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念，如点、线、面等，并对这些概念有了初步的理解。

同时，学生也学习了一些基本的几何运算，如加减、乘除等。

但是，学生对矩形的认识可能只停留在直观的层面，对其定义和性质可能不够清晰。

三. 教学目标1.让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

3.提高学生的几何运算能力。

四. 教学重难点1.矩形的判定方法的掌握。

2.如何将矩形的判定方法应用于实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索和发现来掌握矩形的判定方法。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来帮助学生直观地理解矩形的性质和判定方法。

3.采用分组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中提高自己的理解和应用能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.矩形的判定方法的动画和图形。

3.分组合作的学习材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些实际问题，如判断一个窗户是否为矩形，引导学生思考矩形的判定方法。

2.呈现（10分钟）使用多媒体展示矩形的判定方法的动画和图形，让学生直观地理解矩形的性质和判定方法。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，通过解决一些实际问题来运用矩形的判定方法。

4.巩固（10分钟）对学生的操练结果进行讲解和点评，帮助学生巩固矩形的判定方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将矩形的判定方法应用于实际问题，如设计一个矩形的房间。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，帮助学生梳理矩形的判定方法。

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教案1

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级上册《矩形的判定》是学生在学习了平行四边形、菱形、正方形的基础上，进一步对矩形进行研究的。

矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质，又有自己独特的性质。

本节课通过探究矩形的判定，让学生理解矩形的性质，并能运用性质判定一个图形是否为矩形。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行四边形、菱形、正方形的性质，具备了一定的几何知识基础。

但是，对于矩形的性质和判定，还需要通过实例和探究来进一步理解和掌握。

此外，学生对于图形的判定，还停留在直观的认识阶段，需要通过推理和证明来提高判断能力。

三. 教学目标1.理解矩形的性质，并能运用性质判定一个图形是否为矩形。

2.提高学生的推理和判断能力。

3.培养学生的合作意识和团队精神。

四. 教学重难点1.矩形的性质及其运用。

2.如何引导学生进行推理和证明。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和探究学习法，引导学生通过观察、操作、思考、推理、证明等活动，自主学习矩形的性质和判定。

六. 教学准备1.矩形的图片和实例。

2.几何画图工具。

3.教学PPT。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的矩形图片，如教室窗户、电视屏幕等，引导学生观察矩形的特征，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现矩形的性质，如矩形的对边平行且相等，矩形的对角相等，矩形的四个角都是直角等。

同时，引导学生思考如何用这些性质来判定一个图形是否为矩形。

3.操练（10分钟）学生分组进行操练，每组选取一个图形，运用矩形的性质进行判断。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师选取一些判断题，让学生独立完成，检验学生对矩形判定的掌握程度。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了矩形，还有哪些四边形也具有类似的性质？学生通过思考和讨论，得出平行四边形、菱形、正方形等也具有类似的性质。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调矩形性质和判定的重要性。

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教学设计1

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教学设计1一. 教材分析《矩形的判定》是北师大版数学九年级上册第18章“图形的性质”中的一个知识点。

本节课的主要内容是让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

在学习本节课之前，学生已经学习了矩形的性质，对于矩形的概念和性质有一定的了解。

本节课的内容与学生的生活实际密切相关，有助于提高学生学习数学的兴趣和积极性。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于图形的性质和判定方法有一定的了解。

但是，学生在学习过程中可能会对矩形的判定方法产生混淆，特别是在解决实际问题时，可能会出现判断错误的情况。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解矩形的判定方法，并通过大量的练习来提高学生的判断能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：矩形的判定方法。

2.教学难点：如何运用矩形的判定方法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.合作学习法：学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队合作意识。

3.启发式教学法：教师引导学生思考，激发学生的思维潜能，提高学生的判断能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示矩形的判定方法及相关实例。

2.练习题：准备一些关于矩形判定的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学道具：准备一些实物模型，帮助学生更好地理解矩形的判定。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引导学生思考矩形的判定方法。

例如，展示一个教室的平面图，让学生判断教室是不是矩形。

2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现矩形的判定方法，并结合实例进行讲解。

数学北师大版九年级上册矩形的判定教案

矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．矩形的判定及性质的综合应用．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一角是直角的平行四边形是矩形已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．解析：首先利用等边对等角性质得出∠B＝∠ACB；再根据外角和外角平分线性质得出∠FAE＝∠ACB，进而得到AE∥CD，即可推出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质推出四边形ADCE是平行四边形，即可推出四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且相等BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形ADCE是平行四边形是解题的关键．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC、OB＝OD；若ON＝OB，那么ON＝OD；而CM＝AN ，即ON ＝OM ，由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB ，∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴四边形NDMB 为平行四边形，MN ＝BD ，∴平行四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E ，求证：四边形ADCE 为矩形．解析：本题的垂直关系较多，所以利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明比较简便．证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，即∠DAC ＝12∠BAC .又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴∠MAE ＝∠CAE ＝12∠CAM .∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12(∠BAC ＋∠CAM )＝180°×12＝90°.又AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°.∴四边形ADCE 为矩形．方法总结：题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．针对练习1：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 交于点O ，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD 是矩形．证明：∵∠1＝∠2，∴BO ＝CO ，即2BO ＝2CO.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，BO ＝OD.∴AC ＝2CO ，BD ＝2BO.∴AC ＝BD.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合应用【类型一】利用矩形的判定和性质证明和计算如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．解析：(1)首先证明四边形EFGH 是平行四边形，然后再证明HF ＝EG ；(2)根据题干求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求解．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴四边形EFGH 是矩形；(2)解：∵G 是OC 的中点，∴GO ＝GC ，∵DG ⊥AC ，∴CD ＝OD ，∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ，∴BO ＝4cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB ＝DB 2－DC2＝43(cm)，∴矩形ABCD 的面积＝4×43＝163(cm 2)．方法总结：要证明四边形是矩形，首先可判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．【类型二】矩形判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？解析：(1)四边形PQCD 是平行四边形，可根据DP ＝CQ ，列出方程后求解即可；(2)四边形PQBA 是矩形，可根据AP ＝BQ ，列出相应方程求解即可．解：(1)设经过x s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－x ＝3x ，解得x ＝6，即经过6秒，四边形PQCD 是平行四边形；(2)设经过y s ，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以y ＝26－3y ，解得y ＝132，即经过6.5秒，四边形PQBA 是矩形．方法总结：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等；②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．。

北师大版九年级上册数学 1.2 第2课时矩形的判定学案

第2课时矩形的判定学习目标：1.会证明矩形的判定定理。

2.能运用矩形的判定定理进行计算与证明。

3.能运用矩形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明。

【预习案】学习准备：1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________．3.矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请同学们说出最基本的方法：（用定义）【探究案】1.知识点一：探究“对角线相等的平行四边形是矩形。

”如图在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，如果AC=BD求证：□ABCD是矩形。

证明：□ABCD是平行四边形∴AB=CD ， AB∥ CD（）∴∠ABC+∠DCB=180在△ABC和△DCB中===∴△ABC≌△DCB （）∴∠ABC=∠DCB∴∠ABC=∴□ABCD是矩形（）2.知识点二：探究“三个角都是直角的四边形是矩形。

”已知：在四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=90︒求证：四边形ABCD矩形证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D= 度而∠A=∠B=∠C=90度∴∠D= ︒∴ = = =∴四边形ABCD是平行四边形（）∴四边形ABCD矩形（）OD B C A【训练案】1. 如图，□ABCD 中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，求证 : □ABCD 是矩形。

2.如上图已知：□ABCD 的AC 、BD 对角线相交于O ，△AOB 是等边三角形，AB=4cm, 求这个平行四边形的面积。

能力提升：△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过O 点作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，（1）试说明EO=OF 的理由。

（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论。

ODB CA 321R PQ S E F AB C O N M D。

北师大版九年级上册数学 1.2 第2课时矩形的判定优秀教案

第2课时矩形的判定1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)一、情景导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作探究探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．证明：∵GE∥HF，∴∠GAB＋∠ABH＝180°.∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，∴∠1＝12∠GAB，∠4＝12∠ABH，∴∠1＋∠4＝12(∠GAB＋∠ABH)＝12×180°＝90°，∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.同理可得∠ACB＝90°.又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，∠4＝12∠ABH，∠2＝12∠FBA，∴∠2＋∠4＝12(∠ABH＋∠FBA)＝12×180°＝90°，即∠DBC＝90°.∴四边形ADBC是矩形．方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“AAS ”证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得BD ＝CD ；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC 满足的条件必须是AB ＝AC .解：(1)BD ＝CD .理由如下： ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE . 在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ；(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴∠ADB ＝90°.∴四边形AFBD 是矩形．方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．三、板书设计矩形的判定错误!通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.。

1.2矩形的性质与判定教学设计-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

3.引入更多的实际案例。通过分析生活中的矩形实例，帮助学生更好地理解矩形的性质和判定方法在实际中的应用，提高他们的学习兴趣。
4.鼓励学生提问和表达。在课堂上，我会更加积极地鼓励学生提问，尤其是在他们感到困惑的地方。同时，我会给予学生更多的机会来表达自己的思路和疑问，这样可以帮助他们更好地理解和吸收知识。
1.知识掌握方面：学生能够准确描述矩形的定义和性质，包括对边平行且相等、对角线相等且互相平分等。他们能够理解并运用矩形的判定定理，如一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相平分的四边形是矩形等。通过对教材内容的学习，学生在理论层面掌握了矩形的基本知识。
2.解题能力方面：学生在课堂上通过案例分析和小组讨论，学会了如何将矩形的性质应用于解决实际问题。他们在练习中能够灵活运用所学知识，解决与矩形相关的几何证明题和计算题，提高了自己的逻辑推理能力和解题技巧。
3.空间想象力方面：通过观察和分析生活中的矩形实例，学生的空间想象力得到了提升。他们能够更好地理解几何图形在空间中的位置关系，以及在二维图形中如何体现三维空间的特点。
4.合作与交流能力方面：在小组讨论中，学生学会了如何与他人合作，共同探讨问题，并在交流中表达自己的观点。这种合作学习的过程，不仅提高了他们的交流能力，也培养了团队协作精神。
例题2：在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥BD于点F，且EF=5cm，BD=10cm。求矩形ABCD的面积。
解答：因为EF⊥BD，所以三角形BEF是直角三角形。由勾股定理，BE=√(EF^2 + BF^2)。因为E是AD的中点，所以AD=2BE。又因为BD=10cm，所以BF=BD/2=5cm。代入勾股定理，得到BE=√(5^2 + 5^2)=5√2 cm。因此，AD=2BE=10√2 cm。矩形ABCD的面积S=AD×AB=10√2×10=100√2 cm^2。

1.2 矩形的性质和判定教案：2022-2023学年北师大版九年级上册数学

1.2 矩形的性质和判定教学目标•理解矩形的定义和性质，包括四边相等，四个角都是直角等。

•学会根据给定的条件判定一个四边形是否是矩形。

•能够应用矩形的性质解决相关的问题。

教学重点•理解矩形的定义和性质。

•学会根据给定的条件判定一个四边形是否是矩形。

教学难点•应用矩形的性质解决相关的问题。

教学准备•教材：2022-2023学年北师大版九年级上册数学教材•教具：黑板、粉笔教学过程导入（5分钟）•老师可以用一个问题导入本节课的内容：如果一个四边形的四条边相等，四个角都是直角，那么这个四边形是什么形状？•引导学生思考，可能有的学生会说是矩形。

探究（15分钟）1.引入矩形的定义和性质：–定义：四边相等，四个角都是直角的四边形称为矩形。

–性质：•四边相等：矩形的四条边都相等。

•四个角都是直角：矩形的四个内角都是直角（90度）。

2.展示一些例子，并让学生判断是否是矩形：–给出一个图形，如ABCD，让学生判断是否是矩形。

如果是，请说明理由；如果不是，请说明理由。

–引导学生找到判断矩形的关键条件，即四边相等和四个角都是直角。

3.学生练习：–让学生尝试判断一些图形是否是矩形，并说明理由。

巩固（15分钟）1.根据给定条件判定矩形：–给出一些具体条件，要求学生判定是否是矩形。

–引导学生思考，应根据矩形的性质来判断。

2.学生练习：–让学生尝试根据给定条件判断是否是矩形，并说明理由。

进一步应用（15分钟）1.应用矩形的性质解决问题：–给出一些具体问题，要求学生应用矩形的性质解决。

–引导学生思考，可以用已知条件判断出矩形的性质，从而解决问题。

总结（5分钟）•整理矩形的定义和性质，并强调根据给定条件判定矩形的方法。

•强调矩形的重要性和应用价值。

课堂作业•完成教材相关习题，巩固矩形的理解和判定。

小结本节课主要介绍了矩形的定义和性质，并以此为基础，教授了如何根据给定条件判定一个四边形是否是矩形。

通过学习，学生不仅能够理解矩形的概念，还能够应用矩形的性质解决相关的问题。

北师大版数学九年级上册1.2.3矩形的判定教学设计

通过复习已学的矩形性质，引导学生思考如何判断一个四边形是否为矩形，激发学生的学习兴趣。
（2）新课讲解：
呈现矩形判定定理，引导学生通过实际操作、讨论、思考，理解定理的内涵与外延。
（3）巩固练习：
设计不同层次的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识，查漏补缺。
（4）拓展提高：
通过解决实际问题，让学生感受数学在生活中的应用，提高学生的数学素养。
-类比定理一的教学方法，让学生掌握定理二；
-强调定理二与定理一的联系与区别；
-设计典型例题，巩固学生对定理二的理解。
3.矩形判定定理三：如果一个四边形的对角线互相平分且相等，则该四边形是矩形。
-指导学生通过观察、思考，发现定理三；
-详细讲解定理三的证明过程；
-让学生尝试运用定理三解决实际问题。
（三）学生小组讨论
3.能够运用矩形的知识解决实际问题，如计算矩形的面积、周长等。
（二）过程与方法
在学习矩形的判定过程中，培养学生以下过程与方法：
1.通过观察、实践、探索等途径，让学生发现矩形的性质，提高学生的观察能力和动手操作能力。
2.学会运用逻辑推理、证明方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.能够将矩形的知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将通过以下方式激发学生的兴趣和好奇心：
1.提问：请同学们回顾一下我们之前学习的矩形有哪些性质？这些性质如何帮助我们识别矩形？
2.演示：利用多媒体展示生活中常见的矩形物品，如桌面、门、窗户等，让学生观察并思考这些矩形的共同特点。
3.引导：通过以上两个环节，引导学生发现矩形的性质，为新课矩形的判定定理的学习做好铺垫。

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教学设计

北师大版数学九年级上册《矩形的判定》教学设计一. 教材分析《矩形的判定》是北师大版数学九年级上册的一章内容，本节课的主要内容是让学生掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质，并能运用矩形的性质解决实际问题。

本节课的内容是学生学习几何知识的重要部分，也是学生进一步学习其他数学知识的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和判定有一定的了解。

但是，学生对矩形的理解和运用还存在一定的困难，需要通过本节课的学习来进一步掌握矩形的性质和判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质，并能运用矩形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.重点：矩形的判定方法，矩形的性质。

2.难点：矩形的判定方法的运用，矩形的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何图形，引发学生的兴趣和思考，让学生在情境中学习和掌握矩形的性质和判定方法。

2.启发式教学法：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思维，引导学生主动探索和发现矩形的性质和判定方法。

3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作探究，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关的几何图形和实例，制作PPT和教学课件。

2.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、圆规等教学工具。

3.学习用品：准备学生的学习用品，如笔记本、尺子、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例和几何图形，引导学生思考和讨论，引发学生的兴趣和思考，引出矩形的性质和判定方法。

2.呈现（10分钟）利用PPT和教学课件，呈现矩形的性质和判定方法，让学生直观地感受和理解矩形的性质和判定方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作探究，通过实际操作和练习，让学生熟练掌握矩形的性质和判定方法。

新北师大版九年级数学上册矩形的判定导学案

新北师大版九年级数学上册矩形的判定导学案学习目标：掌握矩形的判定方法，并会利用这些知识进行简单的推理与计算.
学习过程：
一、自主学习
1、矩形的判定：
（1）、定义法：有一个角是
（2）、有三个角是
（3）、对角线
二、互助提升
1、如图，在平行四边形四边形ABCD 中，E 、F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE 求证：（1）△ABF ≌△DCE
（2）四边形ABCD 是矩形
2、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，使ON=OB ，再延长OC 到M ，使CM=AN ，求证：NDMB 为矩形
三、体验成功
1、如图，在四边形ABCD 中，已知AB//DC ，AB=DC ，
在不添加辅助线的前提下，要使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件
2、如图，BD 、BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE 于E ，AD ⊥BD 于D 求证：AEBD 是矩形
M
D
N
A B C O A B C
D
A E
B D
P C
五、快乐心得。

9年级数学北师大版上册教案第1章《矩形的性质与判定》

教学设计矩形的性质与判定教师提问：1.矩形的定义是什么?___________________________________________2.矩形的性质有哪些，从那些方面考虑的？对称性：___________________________________角：___________________________________对角线：___________________________如图所示，有一个需要安装的窗框，假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框成矩形？能不能由定义判定一个平行四边形是否为矩形？动手试验，发现问题：如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.教师课件出示平行四边形框架的变化过程。

师提问：∠α满足什么条件时，平行四边形会变成矩形？【思考】如果一个四边形是平行四边形，那么只要再添加一个什么条件，就可以判定它就是一个矩形？根据什么？教师出示矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形.动手试验，发现问题：师：随着∠α的变化，两条对角线将发生怎样的变化?师：当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？师：怎样证明呢？教师出示问题：已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD.求证：□ABCD是矩形.教师总结过程：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC.又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB ∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=90°∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.【总结归纳】由对角线的关系判定矩形矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。

师：用符号语言怎样表示？合作探究小明同学用四步画出了一个四边形，他的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，他说这就是一个矩形，他的判断对吗?师：想一想：矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？师：怎样证明呢？已知:在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD 是矩形.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形. 【总结归纳】矩形的判定定理3：ABCD有三个角是直角的四边形是矩形。

北师大版数学九年级上册1.2.2矩形的判定(教案)

2.矩形性质的运用：运用矩形的性质和判定方法，解决实际问题时，能准确判断图形是否为矩形，并运用矩形的性质进行计算。
本节课将通过实例分析、定理证明、练习巩固等环节，帮助学生深入理解矩形的概念和判定方法，培养他们的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过矩形判定方法的探究和证明过程，使学生能够理解逻辑推理的基本方法，提高他们的逻辑思维能力。
2.增强学生的空间观念：通过观察、分析矩形图形，使学生能够形成对矩形特征的空间观念，提高他们的空间想象力和直观感知能力。
3.提升学生的数据分析能力：在解决实际问题时，引导学生运用矩形性质进行分析，培养他们从数学角度观察、思考问题的习惯，提高数据处理和解决问题的能力。
4.培养学生的团队合作意识：通过小组讨论、合作探究，使学生学会倾听他人意见，增强团队协作能力，培养合作解决问题的意识。
2.提高小组讨论的针对性和有效性，确保讨论主题的紧扣。
3.丰富例题和练习题，提高同学们解决实际问题的能力。
4.营造更加轻松、自由的课堂氛围，让同学们更加自信地学习。
希望通过不断的反思和改进，能够帮助同学们更好地掌握矩形的相关知识，提高他们的数学素养。
-教师需要通过典型例题和练习题，引导学生学会分解复杂图形，运用矩形性质进行计算。
本节课的教学难点与重点紧密围绕矩形的判定和性质，通过丰富的教学资源和手段，帮助学生深入理解矩形的核心知识，突破学习难点，确保学生能够熟练掌握矩形的相关概念和应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个图形是否为矩形的情况？”（如判断黑板的形状）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形判定的奥秘。

【学案】九年级数学上册(北师大版)：1.2第2课时矩形的判定

第2课时矩形的判定【学习目标】1 •会证明矩形的判定定理.2 •能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明.3 •能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明. 【学习重点】理解并掌握矩形的判定方法及证明，掌握判定的应用.【学习难点】定理的证明方法及运用.情景导入生成问题1 •矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.—2. 菱形的判定方法有哪些？答：定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理：⑴对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四边相等的四边形是菱形.自学互研生成能力知识模块一探索矩形的判定方法先阅读教材P14 “做一做”，完成下面的问题：1 .运用矩形的定义进行矩形的判定，应具备几个条件？答：2个条件：（1）该四边形是平行四边形；（2）该平行四边形有一个角是直角.2 •“做一做”中随着/ a的变化，两条对角线的长度会发生怎样的变化？答：随着/ a的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长.1 •动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点. 思考：（1）随着/ a的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗? 归纳结论：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：如图，在？ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC = DB.求证：？ABCD是矩形. 证明：•••四边形ABCD 是平行四边形，••• AB = DC , AB // DC.又T BC = CB , AC = ABC 也1△DCB. ABC = Z DCB. T AB // DC，•/ ABC +Z DCB = 180°.•/ ABC =Z DCB = ? X 180°= 90°• ?ABCD是矩形（矩形的定义）.2 •矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形.知识模块二矩形判定定理的应用1 •如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是A. AB = CDB. AD = BC2 .下列说法正确的是（D ）A •一组对边平行且相等的四边形是矩形B •一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C •对角线互相垂直的平行四边形是矩形C . AB = BC(D )D. AC = BD解答下列各题：1 •对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.2 .下列说法错误的是（C ）A •有一组对角互补的平行四边形一定是矩形B •两条对角线相等的平行四边形一定是矩形C •对角线互相平分的四边形一定是矩形D •有三个角是直角的四边形一定是矩形典例讲解：已知：如图，？ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E, F, G , H.求证：四边形EFGH是矩形.证明：•••四边形ABCD是平行四边形，••• AD // BC. •••上DAB +Z ABC = 180° .又AE平分/ DAB , BG1平分/ ABC，•/ EAB + Z ABG =㊁X 180 ° = 90° . AFB = 90 ° ,•/ EFG = Z AFB = 90° .同理可证/ AED =Z BGC =Z EFG = 90° .•四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.对应练习：如图，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,A ABO是等边三角形，AB = 4,求?ABCD的面积.1 1解：•••四边形ABCD是平行四边形，• AO = 2AC , BO = ?BD. 丁AO = B0 ,• ?ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.在Rt^ABC 中，AB = 4cm, AC = 2A0 = 8cm,「. BC = ■'82- 42= 4.3（cm）.「. S?ABCD = AB• BC = 4X 4^3= 16^3（cm2）.交流展示生成新知1 •将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上•并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”.E5W检测反馈达成目标2 •各小组由组长统一分配展示任务,知识模块一探索矩形的判定方法知D •一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形3. 在？ABCD 中，AB = 6, BC = 8, AC = 10,则它的面积是48I M IR——U_ r4 .如图，在△ ABC中，AB = AC , AD为/ BAC的平分线，AN ABC外角/ CAM 的平分线，CE 丄AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.1 1证明：T AD 平分/ BAC ,AN 平分/ CAM , /-Z CAD =-Z BAC , / CAN =-Z CAM. /-Z DAE =Z CAD2 21 1+ Z CAN = 2(Z BAC + Z CAM) = 2 X 180°= 90° .在厶ABC 中，AB = AC , AD 为Z BAC 的平分线，/• AD 丄BC,/.Z ADC = 90°•又T CE丄AN，/•/ CEA = 90°./.四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)课后反思查漏补缺1.收获： ________________________________________________________________________________2 .存在困惑：。

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