6-波函数薛定谔方程一维无限深势阱
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
量子力学的五大公设
处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于 2态…,部分的处于n,...
求解定态问题的具体步骤如下：
（1）、列出定态Schrödinger方程
2
[ 2 V (r )] (r ) E (r )
2m
（2）、求解S—方程,写出通解
Ylm* (lˆx2 lˆy2 )Ylmd l(l 1) 2 m2 2
lx2 ly2 l(l 1) 2 m2 2
lx2
l
2 y
lx2
l
2 y
1 [l(l 2
1)
m2 ]
2
则测不准关系：
(lx )2
lx2
2
lx
l y2
(ly )2
l
2 y
2
ly
l
2 y
(lx )2 (ly )2 lx2 ly2
Lz Cn 2 Lz 0
n
2 dx2 2
2
2 2
2
E' E e2 2 2 2
2 d 2 1 2 x'2 E' 2 dx2 2
E'n
(n
1 ) ,
2
n 0,1,2,
n (x')
1 2x'2
NnHn (x')e 2
所求的解为：
En
(n
1 )
2
e2 2 2 2
,
n 0,1,2,
n[ (x
m ( )
1 eim
2
m 0,1,
Acos2
A
2
2
0
A
2
一维无限深势阱
n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
薛定谔方程的应用
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程
1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则 称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势 能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一 无限深的阱，故称无限深势阱，本问 题为求解该一维无限深势阱内粒子的 波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数 满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定 态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程 势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得： 定态波函数：
23.7薛定谔方程、一维势阱
r 的函数, r 的函数,而左边只
r r 1 f ( t ) 1 h2 2 r ih = r [ ( r ) + U ( r ) ( r )] = E f ( t ) t ( r ) 2m
p E= + U ( x, t ) 2m
此时的薛定谔方程为: 此时的薛定谔方程为:
2
h 2 2 Ψ( x , t ) Ψ ( x , t ) ih = + U ( x , t )Ψ ( x , t ) ⑤ 2 2m t x
6
若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动,则其薛定谔方程为: 中运动,则其薛定谔方程为:
薛定谔方程
1
薛定谔是奥地利物理学家, 薛定谔是奥地利物理学家,著名的 是奥地利物理学家 理论物理学家, 理论物理学家,量子力学的重要奠基人 之一,同时在固体的比热,统计热力学, 之一,同时在固体的比热,统计热力学, 原子光谱及镭的放射性等方面的研究都 有很大成就. 有很大成就. 薛定谔的波动力学, 薛定谔的波动力学,是在德布罗意 提出的物质波的基础上建立起来的. 提出的物质波的基础上建立起来的. 他把物质波表示成数学形式, 他把物质波表示成数学形式,建立了称为薛定谔方程的量 子力学波动方程. 子力学波动方程.薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地 它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似. 位,它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似.薛定谔方程 是量子力学中描述微观粒子(如电子等 运动状态的基本定律, 如电子等)运动状态的基本定律 是量子力学中描述微观粒子 如电子等 运动状态的基本定律, 在粒子运动速率远小于光速的条件下适用. 在粒子运动速率远小于光速的条件下适用. 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作.由于他的影响, 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作.由于他的影响, 不少物理学家参与了生物学的研究工作, 不少物理学家参与了生物学的研究工作,使物理学和生物学相 结合,形成了现代分子生物学的最显著的特点之一. 结合,形成了现代分子生物学的最显著的特点之一. 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著,因而于1933年同英国 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著,因而于 年同英国 物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖. 物理学家狄拉克共获诺贝尔物理学奖. 2
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数
一粒子在一维无限深势阱中运动,求粒子的能级和波函数一维无限深势阱是量子力学中常用的模型之一，它能够帮助我们理解粒子在一维空间中的运动以及对应的能级和波函数。
首先，我们来看一下什么是一维无限深势阱。
这是一个理想化的模型，由两堵非常高的无限高势垒所夹，其中粒子的运动只能在这一段距离内进行，并且在势垒外是无法找到粒子的。
这种模型可以用来描述电子在原子中的运动，或者光子在光导纤维中的传播。
在量子力学中，波函数是描述粒子性质的数学函数。
对于一维无限深势阱模型，波函数可以通过解薛定谔方程获得。
薛定谔方程可以用来描述波函数随时间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以简化为亥姆霍兹方程的形式。
亥姆霍兹方程是一个常微分方程，它的解由定态波函数给出。
定态波函数允许我们计算粒子在一维无限深势阱中的能量和波函数。
解一维无限深势阱的亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能量的解，这些能量称为能级，用n来表示。
每个能级都对应着一个定态波函数，这些波函数描述了粒子在势阱内的运动方式。
对于一维无限深势阱，能级的表达式为En = (n^2 *h^2)/(8*m*L^2)，其中n为能级的序数，h为普朗克常数，m为粒子的质量，L为势阱的宽度。
对应于每个能级，还有一个对应的波函数。
波函数用Ψ(x)来表示，描述了在不同位置概率密度的分布。
在一维无限深势阱中，波函数能够取到零点以外的任意位置。
波函数的形式为Ψn(x) = sqrt(2/L) * sin(n * π * x / L)，其中x为位置，L为势阱的宽度，n为能级的序数。
通过求解亥姆霍兹方程，我们可以得到多个能级和对应的波函数，它们描述了粒子在一维无限深势阱中的运动和性质。
这些能级和波函数不仅在理论计算中起到了重要作用，而且在实验中也得到了验证。
总之，一维无限深势阱模型是量子力学中研究粒子运动和性质的重要工具。
通过解亥姆霍兹方程，我们可以得到一系列能级和对应的波函数，这些能级和波函数描述了粒子在势阱中的行为。
一维无限深势阱薛定谔方程求解
一维无限深势阱薛定谔方程求解一维无限深势阱是量子力学中最经典的问题之一，其求解对于理解基本的量子力学原理以及波函数的性质具有重要的意义。
薛定谔方程是描述量子力学体系中粒子的行为的基本方程，通过求解薛定谔方程，我们可以获得系统的波函数及其相应的能级。
让我们来考虑一个无限深势阱，这个系统可以简单地用一个势能函数来描述。
在这个系统中，粒子只能在一个有限的空间区域内运动，而且势能在这个区域内是常数为零的。
首先，我们需要写出薛定谔方程。
对于一维情况，薛定谔方程可以写成：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，ψ(x)是系统的波函数，V(x)是势能函数，E是波函数对应的能量。
对于无限深势阱，势能函数在阱内为零，在阱外为无穷大。
因此，V(x)在阱外的值可以视为一个很大的正数。
接下来，我们需要考虑边界条件。
在无限深势阱中，粒子是被约束在一个有限空间内的。
因此，在边界处，粒子的波函数必须为零。
对于一个无限深势阱，边界条件可以写为ψ(0)=ψ(a)=0，其中，a是阱的宽度。
现在，让我们尝试求解薛定谔方程。
由于系统的势能在阱内为零，薛定谔方程可以简化为：-d²ψ(x)/dx² = k²ψ(x)，其中，k=√(2mE/ħ²)。
这是一个常微分方程，我们可以通过分离变量和积分来求解。
假设ψ(x)可以分解为两个函数的乘积：ψ(x) = X(x)Y(y)。
将这个假设代入方程中，并整理得：1/X(x) * d²X(x)/dx² = -1/Y(y) * dY(y)/dy = -k²。
我们可以分别对X(x)和Y(y)进行求解，然后将两个解再组合起来得到系统的波函数。
针对常微分方程1/X(x) * d²X(x)/dx² = -k²，我们可以得到其解为X(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)，其中，A和B是常数。
量子物理第3讲——薛定谔方程 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 一维有限高势垒【VIP专享】
C2 l / 2, l 为整数，但奇偶性与n相反 . 11
所以
(x)
C1
cos(n
a
x
l ).
2
归一化：
a/2 | (x) |2
a/ 2
dx
1 2
aC12
1
C1 2 / a .
波函数： (x) 2 cos( n x l ) ,
a a2
几率密度： (x) 2 2 cos2 (n x l ) ,
微粒在体积元 dV内出现的概率为：
dW | (x, y, z,t) |2 dV
2
波函数的归一化条件：
(x, y, z,t) 2 dV 1
波函数的标准条件：单值、有限、连续。 坐标和动量的不确定度关系
x Px / 2
能量和时间的不确定度关系
E t / 2
3
六、薛定谔方程
1、薛定谔方程
来源：基本假定之一，不可证明，只可检验。
地位：低速运动微观粒子的基本规律，地位同牛顿 定律。
成功解释氢原子能级和电（磁）场中氢原子光谱线 的分裂， 分享1933年Nobel物理奖。
6
2、定态薛定谔方程
定态：粒子于力场中运动时，势能与时间无关， 总能量不随时间变化的状态。
定态波函数：用于描述处于定态的粒子的波函数。
量子物理第3讲 ——薛定谔方程 定态薛定谔方程
一维无限深势阱 一维有限高势垒
主要内容
六、薛定谔方程
1
德布罗意公式
v E mc2 , h h .
hh
P m
自由粒子物质波的波函数
(r ,
t
)
0e
i(
Et
Pr)
在某处发现一个微粒的概率正比于描述该微粒的 波函数振幅的平方。
薛定谔方程及其应用
y ( x , t ) = A cos 2π (ν t −
x
λ
)
电磁波
E ( x , t ) = E 0 cos 2π (νt − )
x
λ
经典波为实 经典波为实函数
H ( x , t ) = H 0 cos 2π (ν t − )
7
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 作一维运动的粒子被束缚在 的范围内，已知其波函数为： 的范围内，已知其波函数为：
Ψ ( x ) = A sin
πx
a
求：(1)常数 ；(2)粒子在 到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 常数A； 粒子在0到 区域内出现的概率； 粒子在何 常数 粒子在 区域内出现的概率 处出现的概率最大？ 处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件 由归一化条件
求二阶偏导： 对 x 求二阶偏导：
i − ( Et − px ) ℏ
i = − EΨ ( x , t ) ① ℏ
Ψ ( x , t ) = Ae
i − ( Et − px ) ℏ
i ∂Ψ ( x , t ) i = pΨ0 e = pΨ( x , t ) ℏ ℏ ∂x i 2 2 − ( Et − px ) ∂ Ψ ( x , t ) ip 2 p ℏ = ( ) Ψ 0e = − 2 Ψ( x , t ) ② 2 ∂x ℏ ℏ
1 ∂f ( t ) 1 ℏ2 2 iℏ [− = ∇ ϕ ( r ) + U ( r )ϕ ( r )] = E ϕ ( r ) 2m f ( t ) ∂t
d 2π 2πx 2 sin Ψ = =0 dx a a 即当 2πx = kπ , k = 0,±1,±2, ⋯ a
一维无限深势阱中的能级公式(一)
一维无限深势阱中的能级公式(一)一维无限深势阱中的能级公式一维无限深势阱简介•一维无限深势阱是指在一维空间中的一个势能函数，其势能在有限范围内为无穷大，而在这个范围外为零。
•这个模型常用于量子力学研究中，用于描述束缚电子在限定区域内的能级结构。
能级公式的推导•根据经典力学的思想，势能为零区域内的粒子应该是运动不受限制的，因此在这个区域内的能量取任意值，可以看作连续的。
•而在势能无穷大的区域外，粒子无法存在，因此能量必须是有限的。
•具体推导过程如下：一维薛定谔方程•在量子力学中，波函数满足薛定谔方程。
•对于一维无限深势阱，薛定谔方程可以表示为:d2ψdx2+2mℏ2(E−V(x))ψ=0•其中，ψ为波函数，x为位置坐标，m为质量，E为能量，V(x)为势能函数。
薛定谔方程的解•由于势能函数V(x)为零，因此在势阱内，薛定谔方程可以简化为:d2ψdx2+2mEℏ2ψ=0•这是一个二阶常微分方程，其解可以表示为：ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)•其中，A和B为常数，k为波数，可以表示为：k=√2mE ℏ2波函数的边界条件•在势阱内，波函数必须满足边界条件，在势能函数为无穷大的区域外，波函数必须趋于零。
•因此，当x=0时，ψ(0)=0；当x=L时，ψ(L)=0。
边界条件的限制•根据边界条件，可以得到以下关系式：Asin(k⋅0)+Bcos(k⋅0)=0Asin(kL)+Bcos(kL)=0•上述两个方程同时成立时，波函数满足边界条件。
求解能级•根据上述边界条件，可以解得k n L=nπ，其中n为正整数。
•将k n代入波数的公式中，可得能量的公式：E n=ℏ2k n22m=n2π2ℏ22mL2能级公式的解释与例子•以上推导得到的能级公式表明，在一维无限深势阱中，粒子的能量只能取离散的值，且与n的平方成正比。
–n越大，能级越高。
•这也意味着在一维无限深势阱中，粒子存在着多个能级，且能级之间的能量差是固定的。
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
2 2 x x t 0 y( x , t ) A cos(t ) 0
也可用复数形式来表示：
Im
Ψ(x,y , z , t) A cos iA sin
Ψ(x,y , z , t) Ae
对于一维：
Ψ(x,y , z , t) dx 1
2
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准
条件）。
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。 设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
作者：杨茂田 OfficeXp 版 Chapter 15. 量子物理
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)
§15.8 波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：
( x , t) Ae
i( 2 πν t 2π x) λ
而
E h ,
p
h
i
,
2 h
上式可写成：
(E t px) i 2 h Et
一维势阱
12
势垒的势场分布写为： 势垒的势场分布写为：
I 在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为： 薛定谔方程分别为：
10
则
多次测量能量(可能测到的值) 多次测量能量(可能测到的值) 概率各1/2 概率各1/2 能量的平均值
11
势垒贯穿（隧道效应） 势垒贯穿（隧道效应）
在经典力学中,若 在经典力学中 若 ,粒子的 粒子的
V0
动能为正,它只能在 区中运动。 动能为正 它只能在 I 区中运动。 I 即粒子运动到势垒左边缘就被 反射回去，不能穿过势垒。 反射回去，不能穿过势垒。
h E1 = = 2 2 2m a 8m a
πh
2
2
2
称为基态能级 称为基态能级
∴En = n E1
2
n叫作量子数 叫作量子数
5
E
势 阱 能 中 级 粒 图 子
n = 4, E = E4 n = 3, E = E3 n = 2, E = E2
o
a
n = 1, E = E1 x
6
相对应的本征函数，即本问题的解为： 与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
2 2
令 k = 2m h E 代入薛定谔方程得： 代入薛定谔方程得： 此方程的通解为： 此方程的通解为：
d2ψ (x) 2 + k ψ (x) = 0 2 dx ψ (x) = Asinkx + Bcoskx
由于阱壁无限高， 由于阱壁无限高，所以 ψ (0) = 0 阱壁无限高
量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数
| n |2 dx 1
A2 a sin2 nπ xdx A2 a 1 (1 cos 2n x)dx A2 a 1
0
a
02
a
2
因此
可见：波函数的归一化常数与能级的级
A 2 / a 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
波函 数为
n (x)
2 sin nπ x aa
概率密 度为
|
n (x)
E
0(0
≤
x
≤
a)
设 k
2mE / h
方程可 简化为ຫໍສະໝຸດ d2dx2k 20
O
x a
其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。
由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 在一维势阱中运动，势函数为
量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。
在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维
无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞
∞
由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，
所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。
粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h2 2m
2.6一维无限深势阱
A sin a B cosa 0, A sin a B cosa 0,
由此得到
B cosa 0,
A sin a 0,
A,B不能同时为零，所以
（1）A=0， （2）B=0，
（2.6.7）
cosa 0,
sin a 0,
（2.6.8） （2.6.9）
n 所以 a , n 1,2,3 2
把在无限远处为零的波函数所描写 的状态称为束缚态。 一般来说，束缚态的能级是分立的。
能量最低的状态，称为基态。
§2.6一维无限深势阱
一．一维无限深势阱 考虑粒子在一维空间中运动，它的势能在一定 区域内（-a<x<a）为零，而在此区域以外，势 能为无限大，即
U x 0, x a, U x , x a.
（2.6.1）
这种势阱称为一维无限深势阱。 在阱内( x a, )体系所满足的定态薛定谔方程为
和有限性的要求，只有当 0 时。（2.6.3）式才 能成立，所以有
0
令
，
x a
1 2
（2.6.4）
2m E 2
（2.6.5）
则（2.6.2）式简化为
d 2 ( x) 2 ( x) 0 2 dx
，
x a,
其通解为 ( x) A sin x B cosx ， x a, （ 2.6.6 ） 因为 ( a) 0 ，代入（2.6.6），有
n ( x, t ) n x e
i
i En t
En t n x a e A sin 2a
e e 由 sin 2i
i
得，
n ( x, t ) C1e
【PPT】一维无限深势阱(讨论课).
2 ( x,t ) －i E( x, t ) 2 ( x,t ) p x ( x, t ) 2 2 t x 自由粒子非相对论情况下：
2 px m 2 E Ek vx 2 2m
自由粒子波函数满足的微分方程：
2 i ( x , t ) ( x , t ) 2 t 2m x 2
2 2 2 2 三维： i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
引入拉普拉斯算符： 2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
2 2 U (r , t )] (r , t ) 则有： i (r , t ) [ t 2m —薛定谔方程 它是非相对论量子力学的基本方程。
4
a 2
3
2a 3
2 a
o
a
1 2a
一维无限深势阱结论总结：
能级
En n
2
2 2
2ma 2
能量是量子化的， n =1, 2, 3, … （量子数） 存在最低能量（零点能)
E1 0 2 2ma
2 2
这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二 象性这种固有属性所决定的。
n 2,6,10,
L4处的概率密度极大.
三、有限宽势垒和隧道效应
有限宽势垒
势函数
0 U（x ) { U0 x0 x0
入射
U(x)
U0
透射?
E
反射
入射能量 E <U0
Ⅰ区
1
0 Ⅱ区
2
x
经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0)。 量子：电子可透入势垒。 电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。
一维无限深势阱
2008.5
25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
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26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
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8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
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9
⑥定态波函数
n
n
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16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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17
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）
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仙女座
作者：量杨子茂物田理Offic§eX波p函版数 薛定谔方程 一维无限深势阱
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背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立 了描述微观粒子运动规律的量子力学。
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若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv
x,
t)
Acos(2t x2xt
00
)
也可用复数形式来表示：
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
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例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(
x,
t)
Acos(2t x2xt
00
)
也可用复数形式来表示：
Im
y(x, t)
i( t 2
Ae
x0 )
( x)ei2
t
b A
) o
(x)
i( 2
Ae
x0 )
Ψ (x) : 该波动方程的定态波函
a Re
数，不含时间变量。
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如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t )
① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。
Im
b A
) o
y(x, t)
i( t 2
Ae
x0 )
( x)ei2
t
(x)
i( 2
Ae
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若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)2dv 1 （归一化条件） 对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
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若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
玻恩(M.Born，1882 - 1970)德 国物理学家，1926 年提出波函数 的统计意义，为此与博特(W.W.G Bothe，1891-1957)共享1954年诺贝 尔物理学奖。
仿此关系，物质波的强度∝|Ψ ( x, y, z, t ) |2，物质波
的强度称作粒子在空间某点 (x, y, z) 处出现的概率 密度，记作w( x, y, z, t ) :
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv
设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。
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例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动
的实物粒子。
设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：
y( x, t) Acos( t 2 x)
复数形式：
y( x,
t)
i( 2πν
Ae
t
2π λ
x)
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仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：
薛定谔
德布罗意
海森伯
狄拉克
波恩
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一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述
其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。
Hale Waihona Puke 波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
④ Ψ ( x, y, z, t ) 必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。
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例 构造一维自由粒子的物质波波函数Ψ ( x, t )。 一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动
的实物粒子。
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
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例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(
(
x,
t)
i(
Ae
2πν
t
2π λ
x)
而 E h , p h , 上式可写成：
i 2 (E t px)
i 2 E t
( x, t) Ae h
( x)e h
复数形式：
y( x,
t)
i( 2πν
Ae
t
2π λ
x)
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x0 )
Ψ (x) : 该波动方程的定态波函
a Re
数，不含时间变量。
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如何构造物质波波函数Ψ ( x, y, z, t )
① 用复数形式表示。则其振幅为|Ψ ( x, y, z, t ) |。 ② 机械波强度 ：I ∝A2 （A为其在该处的振幅）。