考研高数总复习函数的极限

x x0
0 x0 x
x x0
0 x x0
定义5：设函数y f (x)在点 x0 的某左邻域内有定义，A是常数，
若 0, 0, 使得当0 x0 x 时, 恒有 | f (x) A | 成立，
则称A为函数 f (x) 在点 x0 的左极限，
记作
lim f (x) A
1. 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量x趋于无穷大包括三种情况：
1). x 2). x 3). x
x沿x轴正向趋于无穷大. x沿x轴负向趋于无穷大. x沿x轴正向和负向都趋于无穷大.
（1）x 时,函数极限的定义：
当x 时，函数f (x)无限接近某个常数A， 称A为函数f (x)在x 时的极限.
(2) lim cos x 1. x0
(3) lim ex 1. x0
(4) lim x3 a3. xa
(5) lim x a (a 0). xa
定义4：lim x x0
f
(x)
A
0,
0,
使得当0
|
x
x0
|
时,
恒有 | f (x) A | 成立.
x x0
0 | x x0 |
(2) lim ex 0. x+
(3) lim arctan x .
x+
2
（2）x 时,函数极限的定义：
当x 时，函数f (x)无限接近某个常数A， 称A为函数f (x)在x 时的极限.
定义2. 设y f (x)是区间(, b]上的函数，A是一个常数.
若对于任意给定的 0, 存在一个正数X，使得当x X时，
3. 函数极限的性质
定理4（保号性）设 lim f (x) A,若A 0 (或A 0), x x0 则在x0的某去心邻域内，有f (x) 0 (或f (x) 0);
定理5（保序性）若在x0的某去心邻域内，有f (x) 0 (或f (x) 0); 且 lim f (x) A,则A 0 (或A 0).
x x0
lim (1) 1 x0
lim x lim x
x x 0
x x 0
lim 1 1 x0
左右极限存在但不相等,
y
1
o
x
1
所以，lim | x | 不存在. x0 x
例7.
已知f
(x)
x2
,
x 1 ,求lim f (x).
x, x 1
x1
解 lim f (x) lim x2 1
定义4 ( 定义)：设函数y f (x)
在点 x0 的某去心邻域内有定义，A 是常数，若 0, 0,
使得当0 | x x0 | 时, 恒有 | f (x) A | 成立，
则称A为函数f (x)当x 趋于 x0 的极限， 记作 lim f (x) A
xx0
或 f (x) A (x x0 ).
因为0 a 1, 有an+1 a x an
由于x + n +
且 lim an1 lim an 0
n
n
即 lim a[x]1 lim a[ x] 0
x
x
由夹逼定理，所以 lim ax 0. x
子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义1. 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中， 有数列xn ( a), 使得n 时xn a.则称数列
例5.
f
(x)
x,
x,
x 0，讨论x 0时，函数极限的存在性. x0
解. lim f (x) lim(x) 0,
x0
x0
lim f (x) lim x 0,
x0
x0
因此，lim f (x) 0, x0
例6. 讨论 lim x 的存在性. x0 x
解 lim x lim x
x x0
lim f (x) A 0,
x
X 0, 当x X时，恒有 | f (x) A| .
lim
x
f
(几x) 何A解的几 释何: 意义：
y
y f (x)
A
A
A
OX
x
当x X时, 函数 y f (x)图形完全落在以
直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
例1. 证明 lim 1 0. x x+
（1）x x0时,函数极限的定义：
当x x0时， 函数f (x)无限接近某个常数A，
称A为函数f
( x)在x
x0时的极限.
记作：lim xx0
f
(x)
A.
考察极限 lim x2 x1 2
x2 1 lim = x1 2 2
y
1 21
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
o
y x2 2
1- 1 1+ x
0 | x 1|
x x0
定理6（夹逼定理）若在x0的某去心邻域内，有:
g(x) f (x) h(x) 且 lim g(x) lim h(x) A,
x x0
x x0
则lim f (x) A. x x0
例8. 证明：当0 a 1时，lim ax 0. x 证明 设n [x] 则，n x n 1
定义4 ( 定义)：设函数y f (x)
在点 x0 的某去心邻域内有定义，A 是常数，若 0, 0,
使得当0 | x x0 | 时, 恒有 | f (x) A | 成立，
则称A为函数f (x)当x 趋于 x0 的极限， 记作 lim f (x) A
xx0
或 f (x) A (x x0 ).
定义1. 设y f (x)是区间[a, )上的函数，A是一个常数.
若对于任意给定的 0, 存在一个正数X，使得当x X时，
恒有：
| f (x) - A |
成立，则称常数A为函数y f (x)当x 时的极限.
记作 lim f (x) A, 或 f (x) A (x ) x
" X "定义:
记作 lim f (x) A x x0+ 或 f (x0+ ) A
或 f (x) A (x x0+ ) 或 f (x0 +0) A
例4. 用定义验证 lim ex 1. x0+
证明 因为当x 0时，| ex 1| ex 1, 由ex 1 x ln(1 ), 因此， 0，取 ln(1 ), 则当0 x 0 x 时， 总有 | ex 1| ex 1 . 所以，lim ex 1.
大家好
1.5 函数的极限
xn f (n) : n , xn f (n) A?
函数极限的一般概念：定义在区间上的函数f (x),当自变量x 在区间上“连续地”变化时，函数f (x)是否无限接近某一常数?
函数极限讨论的两类问题：
1). 自变量趋于无穷大时函数的极限； 2). 自变量趋于有限值时函数的极限。
n
xn
0，且
xn
0；
取
xn
2n
1 1
，
2
lim
n
xn
0, 且
xn
0;
而 lim sin 1 lim sin n 0,
n
xn
n
二者不相等，
lim sin 1 lim sin(2n 1 ) 1
n
xn
n
2
故 lim sin 1 不存在.
f (xn ),即f (x1), f (x2 ), , f (xn ), 为函数f (x)
当x a时的子列.
定理7. 若lim xa
f
( x)
A, 数列f
(xn )是f
( x)当x
a
时的一个子列, 则有lim n
f
(xn )
A.
已知 limsin x 0, x0
取
xn
1 n
0，满足n
时，xn
x 1
x 1
x 1
证明： 0, 取 = , 则当0 | x 1| 时，
恒有：| x2 1 2 || x 1| ，
x 1
因此
x2 1
lim
2.
x1 x 1
例3. 用定义验证 lim x2 4. x2
0, 0, 使得当0 | x 2 | 时,恒有 | x2 4 | .
| x2 4 || (x 2) | | (x 2) | | (x, 2) | 5 . | x 2 | .
A是一常数. 若对于任意给定的 0, 存在一个正数X， 使得当| x | X时，恒有： | f (x) A | 成立，
则称常数A为函数y f (x)当x 时的极限.
记作 lim f (x) A, 或 f (x) A (x ) x
几lim何f (x解) 释A的 : 几何意义：
x
y y f (x)
x x0
或
f (x) A (x x0 ) 或
f (x0 ) A
或 f (x0 0) A
定义6：设函数y f (x)在点 x0 的某右邻域内有定义，A是常数，
若 0, 0,
使得当0 x x0 时,
恒有 | f (x) A | 成立，
则称A为函数 f (x) 在点 x0 的右极限，
5
限定| x 2 | 1, 1 x 3 | x 2 | 5. 取 =min{1, }.
证明： 0, 取 min{1, },
5
5
则当0 | x 2 | 时，
恒有：| x2 4 || x 2 | | x - 2 || x 2 | 5 ，
因此 lim x2 4. x2
(1) lim sin x 0. x0
x0+
定理1 lim f (x) A的充要条件是 lim f (x) A 且 lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
(1) 若f (x)在点x0处极限存在，等于A, 则f (x)在x0的左、右极限都存在且都等于A；
(2) 若f (x)在点x0处的左、右极限有一个不存在， 或者都存在，但不相等，则f (x)在x0处无极限.
0, X 0, 当x X时，恒有 | 1 0| .
x
要使 | 1 0| ，即 1 , 只要x 1 即可。
x
x
因此，取X 1 。
证明： 0, 取 X 1 ， 则当 x X时恒有
1 0 ,
x
故 lim 1 0. x x +
(1) lim sin x 0. x x +
A
A
A
X O X
x
当| x | >X时, 函数 y f (x)图形完全落在以
直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
lim f (x) A当且仅当 lim f (x) A且 lim f (x) A.
x
x
x
若lim f (x) A， 则y A是y f (x)的水平渐近线. x y
A
恒有：
| f (x) A |
成立，则称常数A为函数y f (x)当x 时的极限.
记作 lim f (x) A, 或 f (x) A (x ) x
x几l im何f (解x) 释A:的几何意义： y y f (x) A A
A
X
Ox
当x X时, 函数 y f (x)图形完全落在以
直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
0,
则数列{sin(xn )}就是函数sin x当x 0时的一个子列,
即，lim sin( 1 ) 0.
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在, 且相等.
例9.证明 lim sin 1 不存在.
x0
x
证明：取
xn
1
n
,
y sin 1 x
lim
(1) lim sin x 0. x x
(2) lim ex 0. x
(3) lim arctan x .
x
2
（3）x 时,函数极限的定义：
当x 时， 函数f (x)无限接近某个常数A， 称A为函数f (x)在x 时的极限.
定义3. 设y f (x)是区间(,b] [a, )上的函数，
y
A A
A
o
y f (x)
x0 x0 x0 + x
0 | x x0 |
例2. 用定义验证 lim x2 1 2. x1 x 1
0, 0, 使得当0 | x 1| 时,恒有 | x2 1 2 | .
x 1
| x2 1 2 || x2 1 2x 2 || x2 2x 1 || x 1| , 取 =.
x1
x 1
lim f (x) lim x 1
x1
x1
左右极限存在且相等,
所以，lim f (x) 1 x1
3. 函数极限的性质
定理2（极限的唯一性）若lim f (x)存在，则极限值唯一。
定理3（局部有界性） 若当x x0时，f (x)有极限， 则f (x)在点x0的某去心邻域内有界； 若当x 时，f (x)有极限， 则存在X 0, 当| x | X时，函数f (x)有界。
(1) lim 1 0. x x
sin x
(2) lim
0.
x x
(3) lim arctan x 不存在. x
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
自变量 x 趋于有限值 x0 包括三种情况：
1). x x0 2). x x0 3). x x0
x趋于x0正（或x0加）. x趋于x0负（或x0减）. x趋于x0 .