对勾函数讲解与例题解析

对勾函数
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。

如图
一、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。

的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。

它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。

(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。

（接下来写作
f(x)=ax+b/x）。

当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。

这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。

故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。

如下图所示：
a>0 b>0 a<0 b<0
对勾函数的图像（ab同号）
当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。

但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。

（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。

）
对勾函数的图像（ab异号）
一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。

之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。

(二) 对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：
当x>0时，错误!未找到引用源。

当x<0时，错误!未找到引用源。

即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域
由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

(四) 对勾函数的单调性
(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)
对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。

我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。

把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。

那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

这些知识点也是非常重要的。

三、关于求函数()01>+=x x
x y 最小值的解法 1. 均值不等式 0>x ，∴21≥+
=x
x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。

∴当1=x 的时候，2min =y 2. ∆法 0112=+-⇒+=yx x x
x y 若y 的最小值存在，则042≥-=∆y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍）
y
X
O y=ax
找到使2=y 时，存在相应的x 即可。

通过观察当1=x 的时候，2min =y
3. 单调性定义
设210x x << ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2
121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增；
当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。

∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y
4. 复合函数的单调性
2112
+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=x x x x y x x t 1
-=在()+∞,0单调递增，22
+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈⇒t ∈x [)+∞,1[)+∞∈⇒,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y
四、例题解析：
例1、已知函数 ，
五、重点（窍门）
其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=ax+b/x(a>0)
定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）
当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a
当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：
设x1<x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=(x1-x2）（x1x2-a)/(x1x2）
下面分情况讨论
⑴当x1<x2<-根号a时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（-∞，-根号a）上是增函数
⑵当-根号a<x1<x2<0时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数
⑶当0<x1<x2<根号a时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当根号a<x1<x2时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）<f(x2），所以函数在（根号a，+∞）上是增函数
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。