幂函数经典例题(问题详解)

幂函数的概念

例1、下列结论中，正确的是( )

A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

C．当幂指数α取1,3，1

2

时，幂函数y＝xα是增函数

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C

例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1

5

(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋

∞)上为增函数，数t的值．

分析关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p

q

(|p|、|q|互

质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p

q

是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝

x p

q

的奇偶性与p的值相对应．

解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，

∴t＝－1,1或0.

当t＝0时，f(x)＝x

7

5

是奇函数；

当t＝－1时，f(x)＝x

2

5

是偶函数；

当t＝1时，f(x)＝x

8

5

是偶函数，且

2

5

和

8

5

都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．

故t＝1且f(x)＝x

8

5

或t＝－1且f(x)＝x

2

5

.

点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限的图象，则( )

A ．-1

B ．n <－1,0

C ．－11

D ．n <－1，m >1 解析 在(0,1)取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

答案 B

点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．

例4、已知x 2

>x 1

3，求x 的取值围．

错解 由于x 2

≥0，x 1

3∈R ，则由x 2>x 1

3

，可得x ∈R .

错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．

正解

作出函数y=x2和y=3

1x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.

例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．

分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .

解 根据幂函数定义得

m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，

当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；

当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.

点评 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依

据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

变式 已知y ＝(m 2

＋2m －2)x 1m 2－1

＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．

解

由题意得⎩⎨⎧

m 2＋2m －2＝1

m 2

－1≠0

2n －3＝0

，

解得⎩⎨⎧

m ＝－3n ＝3

2

，

所以m ＝－3，n ＝3

2

.

例6、比较下列各组中两个数的大小：

（1）5

35.1，5

37.1；（2）0.71.5

，0.61.5

；（3）3

2)

2.1(－

－，3

2)

25.1(－

－．

解析：（1）考查幂函数y ＝5

3

x 的单调性，在第一象限函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜5

37.1，

（2）考查幂函数y ＝2

3x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵3

2)2.1(－

－＝3

22

.1－

，

3

2

)25.1(－

－＝3

225

.1－

，又3

2

2

.1－

＞3

225

.1－

， ∴3

2

)

2.1(－

－＞3

2

25

.1－．

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

例7、比较下列各组数的大小

(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫197

8

.

分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．

解 (1)函数y ＝x －5

2在(0，＋∞)上为减函数，

又3<3.1，所以3－52>3.1－5

2

.