人教版高中数学必修三 1.3算法案例(第1课时)

第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法

1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．3．进一步体会算法的基本思想．

1．辗转相除法与更相减损术

(1)辗转相除法．

①算法步骤：

第一步，给定两个正整数m，n.

第二步，计算m除以n所得的余数r.

第三步，m＝n，n＝r.

第四步，若r＝__，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第__步．

②程序框图如图所示．

③程序：

INPUT m，n

DO

r＝m MOD n

m＝n

n＝r

LOOP UNTIL____

PRINT__

END

(2)更相减损术．

算法分析：

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是____．若是，用__约简；若不是，执行第二步．

第二步，以较大的数__去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以__数减__数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．

【做一做1】用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________．

2．秦九韶算法

(1)概念：求多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：

改写多项式为：

f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0

＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0

＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…

＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.

设v1＝__________，

v2＝v1x＋a n－2，

v3＝v2x＋a n－3，

…，

v n＝____________.

(2)算法步骤：

第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数a n和x的值．

第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.

第三步，输入i次项的系数a i.

第四步，v＝v x＋a i，i＝____.

第五步，判断i是否大于或等于__．若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值__．(3)程序框图如图所示．

(4)程序：

INPUT“n＝”；n

INPUT“an＝”；a

INPUT“x＝”；x

v＝a

i＝n－1

WHILE______

PRINT“i＝”；i

INPUT“ai＝”；a

v＝________

i＝i－1

WEND

PRINT__

END

【做一做2】设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是() A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．以上都有

答案：1．(1)①0二③r＝0m(2)偶数2减大小

【做一做1】用2约简由于294和84都是偶数，先用2约简．

2．(1)一次 n

n a n x ＋a n －1 v n －1x ＋a 0 (2)i －1 0 v (4)i ＞＝0 v x ＋a v

【做一做2】 D

1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系

剖析：如表所示． 辗转相除法

更相减损术 区别

①以除法为主．

②两个整数差值较大时运算次数

较少．

③相除余数为零时得结果.

①以减法为主． ②两个整数的差值较大时，运算次数较多． ③相减，差与减数相等得结果． ④相减前要做是否都是偶数的判断.

联系 ①都是求最大公约数的方法．

②二者的实质都是递归的过程．

③二者都要用循环结构来实现.

2．秦九韶算法是比较先进的算法

剖析：计算机的最重要特点就是运算速度快.2003年2月26日，以色列科学家宣布研制出一台依靠DNA 运行、速度达每秒运算330万亿次的生物计算机．这种计算机的运算速度比现在普通计算机的运算速度要快10万倍，但是即便如此，计算机也不是万能的．同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．算法好坏的一个重要标志就是运算的次数越少越好．

求多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值时，通常是先计算a n x n ，进行n 次乘法运算；再计算a n －1x n －1，进行n －1次乘法运算；这样继续下去共进行n ＋n －1＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2(其计算方法以后学习)次乘法运算，还需要进行n 次加法运算，总共进行n (n ＋1)2＋n 次运算．

但是用秦九韶算法时，改写多项式为

f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0

＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0

＝((a n x n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0

…

＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0.

先计算v 1＝a n x ＋a n －1，需1次乘法运算，1次加法运算；

v 2＝v 1x ＋a n －2，需1次乘法运算，1次加法运算；

…

v n ＝v n －1x ＋a 0，需1次乘法运算，1次加法运算．

所以需进行n 次乘法运算，n 次加法运算，共进行2n 次运算．

由于⎣⎡⎦

⎤n (n ＋1)2＋n －2n ＝n (n －1)2≥0，则n (n ＋1)2＋n ≥2n . 因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少，秦九韶算法是比较先进的算法．

题型一 求最大公约数

【例题1】 (1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；

(2)用更相减损术求612与468的最大公约数．

分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．

反思：(1)利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数．因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后．

(2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积．

题型二 求多项式的值

【例题2】 用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．

分析：解决本题首先需要将原多项式化成f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x 的形式，其次再弄清v 0，v 1，v 2，…，v 7分别是多少，再针对这些式子进行计算．

反思：本题中比较容易出现的问题主要集中在计算上，多步计算必须保证每一步的正确性，否则最后不但将题目算错，而且浪费了宝贵的时间．

题型三 易错辨析

【例题3】 已知f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，利用秦九韶算法求f (－2)的值．

错解：f (x )＝((3x 2＋2)x ＋4)x ＋2，

v 1＝3×(－2)2＋2＝14；

v 2＝14×(－2)＋4＝－24；