递归回溯与剪枝
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递归、回溯与剪枝
递归与回溯
我们有时会碰到一些题目，它们既不能通
过建立数学模型解决，又没有现成算法可 以套用，或者必须遍历所有状况才可以得 出正确结果。 这时，我们就必须采用搜索 算法来解决问题。
搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是 深度优先搜索，一类是广度优先搜索。而 对于深度优先搜索来说，我们需要使用到
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
7629
数字7629需要插入2个加号
这是一棵完整的搜索树。 结点内表示当前处理的状态，每向后处理一个空位即
深入一层。
我们可以看到，在最后的所有叶子结点中，有三个黄
色的结点是满足条件的。
迷宫问题
给出一个迷宫的地图，有一些格子中有障
4、开门见山 我主张将我们全党的学习方法和学习制度改造一下。 （改造 我们的学习） 5、悬念开头法 刚才，我会见了一个欧洲代表团，他们问我对一部分先富起来 的政策持什么看法。我对特们说，这个问题我已经不感兴趣了！ 因为，这已经成为现实了！他们接着问我，那你对什么感兴趣？ 我对他们说，我对一部分县富起来感兴趣，我希望古陵县更快地 在全国富起来，最好富成全国第一。
总结
深度优先搜索的程序简洁易懂，空间需求
也比较低，但是这种方法的时间复杂度往 往是指数级的，倘若不加优化，其时间效 率简直无法忍受；所以，如何用正确的方 法对程序进行优化，就成为搜索算法编程 中最关键的一环。那么，剪枝就是搜索优 化中最基本的方法之一。
总结
两种常用的剪枝方法：
最优性剪枝
否可能得到最优解呢？如果可以的话 ，搜索效率岂不是能够提高了吗 答案就是： 剪枝！
关于剪枝
剪枝的概念，其实就跟走迷宫避开死胡同差不 多.。若我们把搜索的过程看成是对一棵树的遍 历，那么剪枝顾名思义,就是将树中的一些“死 胡同”，不能到达我们需要的解的枝条“剪” 掉，以减少搜索的时间。
搜索算法，绝大部分需要用到剪枝。 然而，不 是所有的枝条都可以剪掉，这就需要通过设计 出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。 在设计判断剪枝条件的时候，就需要有一定的 方法。
素质和充分准备。必须克服羞怯、拘谨、冷谈、 自卑，做到勇敢、轻松、亲切、自信。任何演讲 都必须有满腔热情和必胜的信心。 2、 在演讲前对听众的人数、年纪、性别、教育 程度、有关话题的、关注焦点和愿望、固定的态 度和信仰等要进行调查，做到有的放矢，才可能 收到理想的效果。 3、在演说过程中，必须目视听众，必须察言观 色，注意听众情绪反应做适当的点整。
七 、 练 习 篇 章
六 、 练 习 词 语
五 、 编 制 提 纲
四 、 收 集 材 料
三 、 满 足 听 众 的 本 能 欲 求
二 、 分 析 听 众 和 场 合
一 、 决 定 话 题 和 目 的
七 个 阶 段 的 准 备
演 讲 稿 的 写 法
一、演说者和听众分析 1、 演说的成败，首先决定于演说者的良好心理
递归回溯法算法框架[一] procedure Search(k:integer); begin for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 if 到目的地 then 输出解 else Search(k+1); 恢复：保存结果之前的状态{回溯一步} end; end;
最优性剪枝
又称为上下界剪枝 一种重要的搜索剪枝策略 记录当前得到的最优值 如果当前结点已经无法产生比当前
最优解更优的解时，可以提前回溯
回到加号题
儿子结点的数一定比父亲大 即搜索树深度越深得到的解越大 满足最优性剪枝的条件 我们可以记录当前得到的解的最小值 如果当前得到的和值已经超过保存的 最小解，即不必再继续深入搜索，回 溯。
再看搜索树
7 7+6 7+6+2 7+62 76+2 762+9 76 762
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
7629
我们可以看到红色结点的子节点不可能有
最优解
最优性剪枝结果
7
7+6
76
7+6+2
7+62
7+6+2+9
7+6+29
结点数大大减少。
或者填加号，或者什么都不填。根 据这个要求，我们可以从头开始扫 描整个数字串，逐个考察是否要填 加号，然后检查下一个数字间的位 置，直到最后一个数字。 下面是一个例子和它的状态树
7和6之间 添加一个 加号
7和6之间 不添加加 号 7
7+6 7+6+2 7+62 76+2
76 762 762+9
四、演讲稿的开头
1、提问开头法 有这样一个问题常在我的脑海里萦回：是 什么力量使爱因斯坦名扬天下之后仍在攀登科 学高峰呢？是什么力量使张海迪在死神缠绕之 时仍锐志奋进呢？，这大概是当代青年，特别 是我们大学生讨论最多的问题之一，也是我今 天演讲的题目。
2、套近乎开头 林肯的演说：听说在场的就有些人要下决心 和我作对，我实在不明白为什么要这样做，我 也和你们一样是一位爽直的平民，我为什么不 能和你们一样有发表意见的权力呢？好朋友， 我不是来干涉你们的，我是你们中间的一员。
适用范围：子结点的代价全部高于或 低于父结点 又之称为多米诺性质。 可行性剪枝
根据题意作出判断是否继续搜索还有 可能得到解
剪枝的原则
1.正确性：必须保证不丢失正确的结果。 2.准确性：能够尽可能多的减去不能通向正
解的枝条 3.高效性：在很多时候，为了加强优化的效 果，我们会增加一些判断，这样对程序效 率也带来了副作用，所以要考虑剪枝的高 效性，否则得不偿失。
递归回溯法算法框架[二] procedure Search(k:integer); begin if 到目的地 then 输出解 else for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 Search(k+1,参数表); end; end;
搜索策略
题目要求的就是在每个数字之间：
可行性剪枝
除最优性剪枝外，另一种重要的搜
索剪枝策略 判断继续搜索能否得出答案，如果 不能直接回溯
再看搜索树
7
这个节点的 加号不可能 有解,可以进 行可行性剪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ枝
7+6
7+6+2 7+62 76+2
76
762 762+9
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
碍，问从起点到终点的最短路径，并输出 所有的最短路径。 回溯法解题思路 1、 这个方向有路可走，我没走过， 往 这个方向前进 2、 是死胡同,往回走,回到上一个路口 3、 重复第一步，直到找着出口
但是
回溯法的缺点暴露无遗：
搜索耗时极巨，无法忍受。
那么
我们可否提前判断我们前进的方向是
二、确定目的和选择话题 1、目的 要么让人快乐；要么给人知识；要么让人行动；社交是联络感
情，鉴赏目的是让人快乐、让人感动。可概括三大主要目的:知行 目的，人际目的，语篇目的。 2、话题 要令人亲近、关注，因此要具有社会性，特别要关注社会的热 点。 要明确、集中、正确、易懂，要有一定得形象性。 要具有针对性，针对某种意见做辩答，或解决某个要解决问题 ，或针对某些人思想情绪。
关键词：递进，回归
常见的剪枝的方法
限界剪枝法 最优性剪枝 可行性剪枝 奇偶剪枝
“和最小”题目描述
设有一个长度为N的数字串，要求使用K个
加号将它分成K+1个部分，找出一种分法， 使得这K+1个部分的和能够为最小。 有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有 以下两种分法： 1) 3+12=15 2) 31+2=33 这时，符合题目要求的结果是：3+12=15
7629
对于图中蓝色结点。后面能够插入’+’的位置
已经少于未用完’+’的数量，肯定不可能有解。
对于这种结点，其子节点不可能有解，可以
回溯。
迷宫问题
最优性剪枝 我们可以将每一次搜索出的路径长度与上
界比较（初始上界＝∞），不断降低上界， 一旦出现路径长超出上界而仍未到达目标 点，则放弃该搜索进程。 因为就算继续搜 索下去，这一条路径也必然比其他路径长 ，不是最优解。
三、文字口语化，语言的节奏感 演讲的声音稍纵即逝，因而演讲稿必须要写得入耳。 1、多用群众创造的形象生动的语言 演讲要尽量把不易听懂的书面语言改为口语，如书面语“对垒
”、“角逐”改为“比赛”、“竞争”等口语。 2、避免同音相混的语言 如期中---期终；终年----中年；全部---全不等 3、多用象声语言 如，载重超负荷-----装多了，车压得吱吱的响； 不说“正、草、隶、篆他会写”应改为“什么正楷啦，草书啦 ，隶书啦，篆书啦他全部会写”
总结
在搜索算法中，几乎都需要采用程序优化,
以减少时间复杂度。 而这里所说的两种剪 枝方法，是最常见的优化方法之一。
然而，尽管可以采用众多优化算法使得程
序的效率有所提高，搜索算法本身的时间 复杂度不能从本质上减少是不可改变的事 实。
不妨在使用搜索算法之前先仔细想想，有
没有其他更好的算法。
前联合国秘书长瓦尔德海姆的演讲
为了悼念周恩来，联合国下半旗，这是我决定的。 原因有二：一是中国是一个文明古国，她的金银财宝 多得不计其数。她使用的人民币多得我们数步过来。 可是，她的总理周恩来没有一分钱存款！二是中国有 10亿人口，占世界人口的1 /4,可是她总理周恩来，没 有一个孩子。你们任何国家的元首，如果能做到其中 一条，在他逝世之日，总部照样为他下半期。完了。
3、引用入题法 同学们，有一首诗这样写道：“多少人爱 你青春欢畅的时候，爱慕你的美丽，也许假意 或真心。只要我爱你朝圣者的灵魂，爱你衰老 的脸上脸上的痛苦的皱纹。”诗中倾诉的是深 沉真挚的爱，正如别林基斯所说：“爱是理解 的别名。”知之愈深，才能爱之愈切，今天， 带着这种爱，我要讲一讲我的祖国，讲一讲生 我的这片土地。
的一个技术就是递归与回溯。
问题分析（代码架构） 回溯法 递归法
栈
回溯法（试探法），在问题的解空间中，将问题的所有候选解 按某种顺序逐一枚举和检验，从而找到符合要求的解的集合或 最优解。 关键词：向前试探，回溯 递归法 为求解规模为N的问题，设法将它分解成一些规模较小 的问题，然后从这些较小的问题方便地构造出大问题的解，并 且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解 成规模更小的问题，特别的，当N=1时，能够直接得到解 。
递归与回溯
我们有时会碰到一些题目，它们既不能通
过建立数学模型解决，又没有现成算法可 以套用，或者必须遍历所有状况才可以得 出正确结果。 这时，我们就必须采用搜索 算法来解决问题。
搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是 深度优先搜索，一类是广度优先搜索。而 对于深度优先搜索来说，我们需要使用到
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
7629
数字7629需要插入2个加号
这是一棵完整的搜索树。 结点内表示当前处理的状态，每向后处理一个空位即
深入一层。
我们可以看到，在最后的所有叶子结点中，有三个黄
色的结点是满足条件的。
迷宫问题
给出一个迷宫的地图，有一些格子中有障
4、开门见山 我主张将我们全党的学习方法和学习制度改造一下。 （改造 我们的学习） 5、悬念开头法 刚才，我会见了一个欧洲代表团，他们问我对一部分先富起来 的政策持什么看法。我对特们说，这个问题我已经不感兴趣了！ 因为，这已经成为现实了！他们接着问我，那你对什么感兴趣？ 我对他们说，我对一部分县富起来感兴趣，我希望古陵县更快地 在全国富起来，最好富成全国第一。
总结
深度优先搜索的程序简洁易懂，空间需求
也比较低，但是这种方法的时间复杂度往 往是指数级的，倘若不加优化，其时间效 率简直无法忍受；所以，如何用正确的方 法对程序进行优化，就成为搜索算法编程 中最关键的一环。那么，剪枝就是搜索优 化中最基本的方法之一。
总结
两种常用的剪枝方法：
最优性剪枝
否可能得到最优解呢？如果可以的话 ，搜索效率岂不是能够提高了吗 答案就是： 剪枝！
关于剪枝
剪枝的概念，其实就跟走迷宫避开死胡同差不 多.。若我们把搜索的过程看成是对一棵树的遍 历，那么剪枝顾名思义,就是将树中的一些“死 胡同”，不能到达我们需要的解的枝条“剪” 掉，以减少搜索的时间。
搜索算法，绝大部分需要用到剪枝。 然而，不 是所有的枝条都可以剪掉，这就需要通过设计 出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。 在设计判断剪枝条件的时候，就需要有一定的 方法。
素质和充分准备。必须克服羞怯、拘谨、冷谈、 自卑，做到勇敢、轻松、亲切、自信。任何演讲 都必须有满腔热情和必胜的信心。 2、 在演讲前对听众的人数、年纪、性别、教育 程度、有关话题的、关注焦点和愿望、固定的态 度和信仰等要进行调查，做到有的放矢，才可能 收到理想的效果。 3、在演说过程中，必须目视听众，必须察言观 色，注意听众情绪反应做适当的点整。
七 、 练 习 篇 章
六 、 练 习 词 语
五 、 编 制 提 纲
四 、 收 集 材 料
三 、 满 足 听 众 的 本 能 欲 求
二 、 分 析 听 众 和 场 合
一 、 决 定 话 题 和 目 的
七 个 阶 段 的 准 备
演 讲 稿 的 写 法
一、演说者和听众分析 1、 演说的成败，首先决定于演说者的良好心理
递归回溯法算法框架[一] procedure Search(k:integer); begin for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 if 到目的地 then 输出解 else Search(k+1); 恢复：保存结果之前的状态{回溯一步} end; end;
最优性剪枝
又称为上下界剪枝 一种重要的搜索剪枝策略 记录当前得到的最优值 如果当前结点已经无法产生比当前
最优解更优的解时，可以提前回溯
回到加号题
儿子结点的数一定比父亲大 即搜索树深度越深得到的解越大 满足最优性剪枝的条件 我们可以记录当前得到的解的最小值 如果当前得到的和值已经超过保存的 最小解，即不必再继续深入搜索，回 溯。
再看搜索树
7 7+6 7+6+2 7+62 76+2 762+9 76 762
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
7629
我们可以看到红色结点的子节点不可能有
最优解
最优性剪枝结果
7
7+6
76
7+6+2
7+62
7+6+2+9
7+6+29
结点数大大减少。
或者填加号，或者什么都不填。根 据这个要求，我们可以从头开始扫 描整个数字串，逐个考察是否要填 加号，然后检查下一个数字间的位 置，直到最后一个数字。 下面是一个例子和它的状态树
7和6之间 添加一个 加号
7和6之间 不添加加 号 7
7+6 7+6+2 7+62 76+2
76 762 762+9
四、演讲稿的开头
1、提问开头法 有这样一个问题常在我的脑海里萦回：是 什么力量使爱因斯坦名扬天下之后仍在攀登科 学高峰呢？是什么力量使张海迪在死神缠绕之 时仍锐志奋进呢？，这大概是当代青年，特别 是我们大学生讨论最多的问题之一，也是我今 天演讲的题目。
2、套近乎开头 林肯的演说：听说在场的就有些人要下决心 和我作对，我实在不明白为什么要这样做，我 也和你们一样是一位爽直的平民，我为什么不 能和你们一样有发表意见的权力呢？好朋友， 我不是来干涉你们的，我是你们中间的一员。
适用范围：子结点的代价全部高于或 低于父结点 又之称为多米诺性质。 可行性剪枝
根据题意作出判断是否继续搜索还有 可能得到解
剪枝的原则
1.正确性：必须保证不丢失正确的结果。 2.准确性：能够尽可能多的减去不能通向正
解的枝条 3.高效性：在很多时候，为了加强优化的效 果，我们会增加一些判断，这样对程序效 率也带来了副作用，所以要考虑剪枝的高 效性，否则得不偿失。
递归回溯法算法框架[二] procedure Search(k:integer); begin if 到目的地 then 输出解 else for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 Search(k+1,参数表); end; end;
搜索策略
题目要求的就是在每个数字之间：
可行性剪枝
除最优性剪枝外，另一种重要的搜
索剪枝策略 判断继续搜索能否得出答案，如果 不能直接回溯
再看搜索树
7
这个节点的 加号不可能 有解,可以进 行可行性剪ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ枝
7+6
7+6+2 7+62 76+2
76
762 762+9
7+6+2+9
7+6+29
7+62+9
7+629
76+2+9
76+29
碍，问从起点到终点的最短路径，并输出 所有的最短路径。 回溯法解题思路 1、 这个方向有路可走，我没走过， 往 这个方向前进 2、 是死胡同,往回走,回到上一个路口 3、 重复第一步，直到找着出口
但是
回溯法的缺点暴露无遗：
搜索耗时极巨，无法忍受。
那么
我们可否提前判断我们前进的方向是
二、确定目的和选择话题 1、目的 要么让人快乐；要么给人知识；要么让人行动；社交是联络感
情，鉴赏目的是让人快乐、让人感动。可概括三大主要目的:知行 目的，人际目的，语篇目的。 2、话题 要令人亲近、关注，因此要具有社会性，特别要关注社会的热 点。 要明确、集中、正确、易懂，要有一定得形象性。 要具有针对性，针对某种意见做辩答，或解决某个要解决问题 ，或针对某些人思想情绪。
关键词：递进，回归
常见的剪枝的方法
限界剪枝法 最优性剪枝 可行性剪枝 奇偶剪枝
“和最小”题目描述
设有一个长度为N的数字串，要求使用K个
加号将它分成K+1个部分，找出一种分法， 使得这K+1个部分的和能够为最小。 有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有 以下两种分法： 1) 3+12=15 2) 31+2=33 这时，符合题目要求的结果是：3+12=15
7629
对于图中蓝色结点。后面能够插入’+’的位置
已经少于未用完’+’的数量，肯定不可能有解。
对于这种结点，其子节点不可能有解，可以
回溯。
迷宫问题
最优性剪枝 我们可以将每一次搜索出的路径长度与上
界比较（初始上界＝∞），不断降低上界， 一旦出现路径长超出上界而仍未到达目标 点，则放弃该搜索进程。 因为就算继续搜 索下去，这一条路径也必然比其他路径长 ，不是最优解。
三、文字口语化，语言的节奏感 演讲的声音稍纵即逝，因而演讲稿必须要写得入耳。 1、多用群众创造的形象生动的语言 演讲要尽量把不易听懂的书面语言改为口语，如书面语“对垒
”、“角逐”改为“比赛”、“竞争”等口语。 2、避免同音相混的语言 如期中---期终；终年----中年；全部---全不等 3、多用象声语言 如，载重超负荷-----装多了，车压得吱吱的响； 不说“正、草、隶、篆他会写”应改为“什么正楷啦，草书啦 ，隶书啦，篆书啦他全部会写”
总结
在搜索算法中，几乎都需要采用程序优化,
以减少时间复杂度。 而这里所说的两种剪 枝方法，是最常见的优化方法之一。
然而，尽管可以采用众多优化算法使得程
序的效率有所提高，搜索算法本身的时间 复杂度不能从本质上减少是不可改变的事 实。
不妨在使用搜索算法之前先仔细想想，有
没有其他更好的算法。
前联合国秘书长瓦尔德海姆的演讲
为了悼念周恩来，联合国下半旗，这是我决定的。 原因有二：一是中国是一个文明古国，她的金银财宝 多得不计其数。她使用的人民币多得我们数步过来。 可是，她的总理周恩来没有一分钱存款！二是中国有 10亿人口，占世界人口的1 /4,可是她总理周恩来，没 有一个孩子。你们任何国家的元首，如果能做到其中 一条，在他逝世之日，总部照样为他下半期。完了。
3、引用入题法 同学们，有一首诗这样写道：“多少人爱 你青春欢畅的时候，爱慕你的美丽，也许假意 或真心。只要我爱你朝圣者的灵魂，爱你衰老 的脸上脸上的痛苦的皱纹。”诗中倾诉的是深 沉真挚的爱，正如别林基斯所说：“爱是理解 的别名。”知之愈深，才能爱之愈切，今天， 带着这种爱，我要讲一讲我的祖国，讲一讲生 我的这片土地。
的一个技术就是递归与回溯。
问题分析（代码架构） 回溯法 递归法
栈
回溯法（试探法），在问题的解空间中，将问题的所有候选解 按某种顺序逐一枚举和检验，从而找到符合要求的解的集合或 最优解。 关键词：向前试探，回溯 递归法 为求解规模为N的问题，设法将它分解成一些规模较小 的问题，然后从这些较小的问题方便地构造出大问题的解，并 且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解 成规模更小的问题，特别的，当N=1时，能够直接得到解 。