西南大学2009年高等代数

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西南大学2010考研《高等代数》试题

西南大学
2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：研究方向：
试题名称：高等代数试题编号：
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
2．（30分）设，，求。
3．（30分）设V是数域P上n维线性空间，T是V的线性变换。是T的互不相同的特征值，是T的特征子空间，且。W是V的T不变子空间。证明：W的每个向量可唯一表成，其中。
4．（20分）设V是数域P上n维线性空间，T是V的线性变换。证明：存在V的线性变换S使得TST=T。
5．（20分）设A为n阶实对称阵，B为n阶实矩阵，且的特征值全大于零，其中为B的转置。证明：A可逆。
6．（10分）设X，B0为n阶实矩阵，按归纳法定义矩阵序列
。
证明：如果，那么。
1．填空题（每小题8分，共40分）
（1）每一行和每一列只有一个元素为1其余元素全为零的n阶行列式共有个，所有这些行列解，则k=。
（3）设为复数域上两个最高次项系数为1的不同的3次多项式，若，则 =。
（4）n元实二次型的标准形（平方项的系数为1或）是。
（5）在Euclid空间Rn中定义变换A：
A ，
其中为单位向量，k为实数。若A为正交变换，则k=。

2009-2011高等代数(下)考试卷(A)

2009-2010学学年第二期数高等代(下)期末考试试卷(A 卷)选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性(A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义定()σξξα=+;(B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+;(C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++;(D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。

２．（）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的（A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）9。

3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =,()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 ４．（设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的，则哪说与下列一法σ为变换正交不等价（A ）对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=；（B ）对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ）对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=;( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩.５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且(A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT −= ； ( D) A 和B 有相同的迹。

二、填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分）1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=−−−则， =||A ________。

2009级西南大学论文题目

高中数学中的向量教学研究
微积分在中学数学中的应用
高中数学算法教学设计与算法相关高考试题分析
中学数学思想与方法
新课标背景下的算法理解
从高考题中看圆锥曲线的共性特征
组合数学中的抽屉原理
试论数学史的教育功能——以微积分发展史为例对高中数学算法单元的教学思考与建议
中学数学中函数概念的发展与比较
导数的常见应用误区
反证法探究
高中数学新课程中的视图教学
论数形结合在初等数学中的应用
人教版“立体几何”新旧教材对比分析。

西南大学2015年《高等代数》考研真题

10．若复数域上多项式有重根，则 =。
二、（20分）已知实二次型通过正交
线性替换化成标准形，求参数a的值及所用的正交线性替换。
三、（20分）设为n维欧氏空间V的一个基。证明：对于任意n个实数，恰有一个向量，使。
四、（20分）设A为n阶实对称矩阵，其特征值为。证明：存在n阶实矩阵P1，P2，…，Pn，使，且。其中表示矩阵A的秩。
五、（20分）设，a，b，c，d为四个不同的整数。证明：若
，
则无整数根。
六、（20分）设V是数域P上n维线性空间，A为V的线性变换。证明：如果A有n个互异的特征值，那么与A可交换的V的线性变换都是E，A，A2，…，An-1的线性组合。
4．设，B为3阶非零方阵，且AB= 0，则a=。
5．设为准对角阵，已知A1的特征多项式为，
A2的特征多项式为，则A的特征多项式为。
6．设A为P3的线性变换，，已知A ，
A ，则A 。
7．设是的子空间，则 =。
8．给定P3中的线性变换A如下：
A：，
则KerA=。
9．实n元二次型的正惯性指数为。
西南大学
2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题
试题名称：高等代数试题编号：819
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
一、填空题（每小题5分，共50分）
1．排列217986354的逆序数是。
2．设n阶方阵A的特征值为2，4，…，2n，则行列式 =，其中

西南大学2011年《高等代数》考研真题

。
5．（20分）设，证明无解，这里X为三阶未知复矩阵。
6．（10分）设V是数域P上n维线性空间，是V的一个线性变换，的特征多项式为。证明：在P上不可约的充分必要条件是V无关于的非平凡不变子空间（通常称V的子空间0和V为V的关于的平凡不变子空间）。
1．填空题（每小题6分，共60分）
（1）设，在由1，2，…，n构成的n!个n级排列中，反序数等于2的排列
西南大学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：研究方向：
试题名称：高等代数试题编号：819
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
（7）二元实二次型的秩=。
（8）设n元非齐次线性方程组AX=B无解，其系数矩阵的秩为4，则其增广矩阵的秩
为。
（9）设矩阵，其中线性无关，，向量
，则非齐次线性方程组AX=的通解为。
（10）设D为一个三阶行列式，D的元素为1或，则D的最大值为。
2．（20分）设，且，其中E为三阶单位矩阵，求。
3．（20分）设A为三阶实对称矩阵，其特征值为，与
分别是A的属于特征值与的特征向量。求矩阵A。
4．（20分）设P为数域，，，且。证明
共有个。
（2）设A，B为n阶方阵。若，，，则 =。（3）设 Nhomakorabea 。若，则
，。
（4）设A为三阶方阵，为三阶可逆阵，并且。
若，则 =。
（5）设是三阶正定矩阵，则的取值范围是。
（6）设为复数域上三阶方阵，则A的最小多项式为。

西南大学高等代数第一次作业参考答案

1 高等代数第一次作业参考答案
叙述下列概念
1．数域P 上多项式p (x )在P 上不可约。

答：p (x )为数域P 上多项式，(())1p x ∂≥，如果()p x 不能表成数域P 上两个次数比()p x 的次数低的多项式的积，则称()p x 为数域P 上不可约多项式。

2．数域P 上n 维向量组12,,
,m ααα线性相关。

答：若存在不全为零的数12,,
,m k k k P ∈，使得11220m m k k k ααα+++=，则称向量组12,,,m ααα线性相关。

3．数域P 上n 维向量组12,,,m ααα的秩。

答：向量组12,,
,m ααα的极大无关组所含向量的个数称为12,,
,m ααα的秩。

4．矩阵A 可逆。

答：设A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使得
AB BA E ==，
则称A 是可逆的，也称A 为可逆矩阵。

5．线性空间V 的维数
答：设V 为P 上线性空间，若在V 中有n 个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量，则称V 为n 维的，也说V 的维数为n 。

6．线性空间V 的线性变换。

答：设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足
（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；
（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= k A (α)。

则称A 为V 的线性变换。

西南大学数学与统计学院《819高等代数》历年考研真题汇编

\ 10）设＜4 =（叫/队…，】,）,其中耳为实教” R不全为零，B-A A ,
是
4的转的“则8的全部特征值为， L〔2。分}设况为一复数，且是。[刈中某个非零多顼式的报，令
J = V（X）€ Q[x] |，愆）=0} a
证明；＜D在/中存在唯一的最高轶项系数是1的多项式尸⑴，使p（x）整除J中每一多项
°
Fl 0 ］1
~
A⑵分）设』=0 2 0 ,且施+ E* 4田其中E为三阶单位矩阵,求研 101
3.⑵如设 X为三阶实对祢矩阵，其特征值为；I,=必
=o, %」与
L一
■2_
2
%=］分别是＞1的属于精征值人与石的特征向量。求矩阵元
-2
虫门0胪设尸为教域，/（玖g⑴顷刈，以,弓如尸，且血-加#0,证明
2008年西南大学819高等代数考研真题
西南大学
澎磅年攻读用七学位研究生入学考试试题
硕
学科，专业:摒湖"也
研究方向：&诗帮网佑为向
试题名称：曷驾心妲
试题编号：811
（答题-律做在答题纸上，并注明题忸番号，否则答题无效）
泠意：报汶学衍i n’MlWI.完我I，餐3. 4. 5. 6-境1°暨报引向的与1「尼成！，2. 3. 4, 5. 6- 7> 8题，监试时问为3小旧’-满分为顷'■
[Q 0 0 1 . (6)给定尸'中的线性变换4如下：
A -. (x)ix1,x3)h>(2xi -xz,x2 +x^2xt +Xj)
则 KeM ="
（7）令4为V的正交变换.。=（2,0厂1厂2）为4的一个特征向街则
（Aav Aa）=.

西南大学2012年《高等代数》考研真题

对，有。
（9）三元实二次型的正惯性指数为。
（10）设，其中为实数，且不全为零，，这里是A的转置。则B的全部特征值为。
2．（20分）设为一复数，且是中某个非零多项式的根，令
。
证明：（1）在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式，使整除J中每一多项式；
（2）在Q上不可约。
3．（20分）设V为n维欧几里得空间，为V的一个正交变换，令
。
（1）证明：是V的子空间；
（2）证明Leabharlann 。4．（20分）设A，B为n阶实矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA。证明存在非零实系数多项式，使。
5．（10分）设A，B，C为n阶方阵，满足条件BC= 0，。证明：存在非零的n维列向量X，使AX=BX。其中表示矩阵A的秩。
1．填空题（每小题8分，共80分）
西南大学
2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业：数学各专业研究方向：所有方向
试题名称：高等代数试题编号：819
（答题一律做在答题纸上，并注明题目番号，否则答题无效）
（7）设，则A的Jordan（若尔当）标准形为。
（8）设V为n维欧几里得空间（欧氏空间），为V中非零向量，是关于的反射变换，
（1）方程组在复数域内的解是。
（2）行列式的第一列元的代数余子式的和是。
（3）。
（4）。
（5）设A为3阶方阵，X为3维列向量，满足，若向量组X，AX，A2X线性无关，则。
（6）设P为数域，f为线性空间P3的线性变换，使
。
则f的象空间Imf的维数是。