福建省福州第一中学2021届高三上学期期中考试 数学 (含答案)

福州一中2020—2021学年第一学期半期考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀-≥≥ ，则p ⌝为

A ．21,2log 1x x x ∀<-<

B ．21,2log 1x x x ∀-<≥

C ．21,2log 1x x x ∃<-<

D ．21,2log 1x x x ∃-<≥

2．设复数z 满足

1

13i 2

z z +=--，则||z = A ．5 B

C ．2 D

3．已知集合{}2log (3)1P x x =-≤，322x Q x x ⎧-⎫

=⎨⎬⎩⎭

≤，则()R P Q =

A ．()0,1

B ．(]0,1

C ．[]1,2

D ．(]1,2 4．已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =

A ．80

B ．85

C ．90

D ．95 5．设函数31

3

log , 0,

()log (), 0,x x f x x x >⎧⎪

=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是

A ．(1,0)(0,1)-

B ．(,1)

(1,)-∞-+∞

C ．(1,0)

(1,)-+∞ D ．(,1)

(0,1)-∞-

6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的

答案是

A ． 5立方丈

B ． 6立方丈

C ． 7立方丈

D ． 9立方丈

12

3

4

7．设ln x a x =，ln y b y =，ln y c x =，其中x y >，则下列说法正确的是

A ．a c b ≤≤

B ．b c a ≤≤

C ．2ab c ≤

D ．2c ab ≤ 8．已知函数()e e 2x x f x a -=++（a R ∈，e 为自然对数的底数），若()y f x =与))((x f f y =的值域相同，则a 的取值范围是

A ．0a <

B ．1a -≤

C ．04a <≤

D ．0a <或04a <≤ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．已知2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-，下列说法正确的有

A ．()f x 的最小正周期是2π

B ．()f x 最大值为2

C ．()f x 的图象关于3

x π

=

对称

D ．()f x 的图象关于2,03π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

对称

10．已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y R ∈），则x y +的可能取值为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．2

11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论

正确的有

A ．AC BE ⊥

B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值

C ．点A 到BEF 平面的距离为定值

D ．三棱锥A BEF -的体积是定值

12．在n n n A B C △（1,2,3,

n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C △的面积为n S ，

若5n a =，14b =，13c =，且222

1

24n n n a c b

++=

，222

124

n n n a b c ++=，则 A ．n n n A B C △一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，则m =______．

14．设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y --⎧⎪

+⎨⎪⎩

≥≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值为______．

15．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6

x π

=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()

f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．

16．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD 的面积为11，则此三棱锥外接球的表面积为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）

在①23ABC S =△，②1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7c =，

sin cos 6c A a C π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭， ？

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

18．（12分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．

（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：1CN AB M ∥平面； （2）若13

2

C M =，求二面角1A B M C --的大小．

19．（12分）

已知等比数列{}n a 的公比1q >，满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项．