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《等比数列性质》课件

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等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时,数列呈现递增趋势;当 公比小于1但大于0时,数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时,数列趋于正无穷;当公 比小于1但大于0时,数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少,等比数列都不会出现单 调性。
无论公比是多少,等比数列都不会收敛于 一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加,即求和。 如果公比的绝对值小于1,那么等比数列的无穷级数将收敛,其和可以通过以下公式计算: S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形,如分形。分形是一种具有自相似性质的图形,无论放大或缩 小,形状都保持一致。
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什么是等比数列
等比数列是一种数列,其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下 的通项公式来表示: an = a1 × r(n-1) 其中,a1表示等比数列的首项,r表示公比,而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项 的和。 通项公式:an = a1 × r(n-1) 前n项和公式:Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念,在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有 特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算 填空题 选择题 解析题

《等比数列的概念》课件

《等比数列的概念》课件

03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型, 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如,在求解一些复杂数学问题时 ,可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石,能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值,通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值,即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中,任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如,第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示, 其中 a_1 是首项,q 是公比,n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
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目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词:简洁明了
详细描述:等比数列是一种特殊的数列,其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词:专业严谨
详细描述:等比数列通常表示为 a_n,其中 a 是首项,r 是公比,n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1),其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词:对比分析

等比数列课件ppt

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02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列,其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$,公比为$r$,则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列,其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中,任意两个相邻项的 商是常数,这个常数被称为公比 。在等比数列中,每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用,如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列,但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列,因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列,因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二:等比数列的通项公式
01
题目:已知等比数列的首项为 a,公比为q,求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

等比数列前n项和公式课件PPT

等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列,当公比q=1时,前n项和公式为Sn=na1;当q=-1时,Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加, 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法,可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和,可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词:综合运用
详细描述:等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用,以解决更复杂的数学问题。例如,可以与等差数列、函数、 极限等知识结合,用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列,其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an),其中 a1为首项,an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述:通过简单的等比数列求和问题,让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路:利用等比数列前n项和公式,将数列中的 每一项表示为2的幂,然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程

等比数列公开课课件PPT

等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具,可以用来描述和解决各 种数学问题,如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛, 如复利计算、贷款还款等,通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中,等比数列常被用来描 述和预测数据分布,如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程,提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列,还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1,4,16,64,...可以发现相邻两项的比值分别
为4,4,4,...,所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2:已知等比数列的公比为2,前四项和为1,设第一项为a, 则第二项为2a,第三项为4a,第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1),代入n=4, q=2, S_4=1,解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列,其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。

等比数列的概念PPT优秀课件

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(3) (4) (5) (6)
公比 q=2 递增数列 公比 q=3 递增数列
1 , x , x , x , x , ( x 0 )
234
公比 d= x
1 公比 q= 递减数列 2
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
5,5,5,5,5,5,… 1,-1,1,-1,1,…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
为0.
等比数列、等差数列定义比较
等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的比等于同一个常数(指与n无关的数), 这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数 列的公比,公比通常用字母q表示。 等差数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通 常用字母d来表示.
讨论
已知等比数列 (1) 首项
a n
a1
: 能不能是零?
Why? 不能!!!
(2)公比q能不能是零?
Why? 不能!!!
等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3 , 9 (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。
G ab G ab
2
等比中项与等差中项比较
G ab G ab
2
ab A 2
现给出等差中项的性质 1、在等差数列中,从第二项起,每 一项是相邻两项的等差中项。 2、在等差数列中,数列中的某一项 是与它“等距离”的两项的等差中 项。 你能类比中项的性质吗?可以用数学 式子表示吗?

人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件

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的 公比 ,通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比, 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考:用数学符号语言(递推公式)项怎都样不表为示0等,比即
在等比数列{an}中 (1)an=akqn-k; (2)若m+n=k+l,则am·an =ak·al 在等比数列{an}中,若m+n=k+l,则am·an =ak·al
特别地,若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中,an 0,且a1a9 64, a3 a7 20,求a11。
成等差数列的三个正数之和为15,若这三个数分别 加上1,3,9后又成等比数列,求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义: 或
2、等比数列的通项公式: an=a1qn-1 3、等比数列的性质: ①an=a1qn-1=akqn-k;
a1q2 12 ①
a1,公比是
q,那么

a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边,得
q
3

把③代入①,得
a1
6 3
2

程列
思 想
因此,a2
a1q
16 3
3 2
8

二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式: an=a1qn-1
练习2:在等比数列{an}中,
(1)a1=3,an=192,q=2,求n;n=7
a3 a7 20,求a11。
解:依题意可得

等比数列的概念及基本运算ppt课件

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篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评:(1)解决等比数列问题,关键是抓住首项 a1 和 公比 q,求解时,要注意方程思想的运用.
(2)运用等比数列求和公式时,要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时,直接利用前 n 项和的意义展开,不仅可避 开公比 q 的讨论,还可使求解过程简捷.
q3=-2, 所以a1=1,
或q3=-12, a1=-8.
所以 a1+a10=a1(1+q9)=-7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111--qq10=10, (2)(方法一)设公比为 q,则a111--qq20=30, 得 1+q10=3,所以 q10=2. 所以 S30=a111--qq30=a111--qq10(1+q10+q20) =10(1+2+22)=70. (方法二)因为 S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又 S10=10,S20=30, 所以 S30-30=30-10102=40,所以 S30=70. 答案:(1)D (2)70
A.8
B.9
C.10
D.11
解:因为 a5a7=a62,a7a9=a82, 所以 a5a7+2a6a8+a7a9=a62+2a6a8+a28=(a6+a8)2=100.又 an> 0,所以 a6+a8=10.
答案:C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2.(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3

2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt

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高考一轮总复习•数学
第13页
题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷,理)已知正项等比数列{an}中,a1=1,Sn 为{an}的前 n 项和,
S5=5S3-4,则 S4=( )
A.7
B.9
C.15
D.30
(2)(2023·全国甲卷,文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 8S6=7S3,则{an}的公 转化为基本量 a1,q 的方程.高考试题的设计也常以基本量的计算为主.
第26页
对点练 2(1)在等比数列{an}中,a1,a17 是方程 x2-14x+9=0 的两根,则a2aa916的值为 ()
A. 14
B.3
C.± 14
D.±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中,已知 0<a1<1,其前 n 项之积为 Tn,且 T12=T6, 则 Tn 取得最小值时,n 的值是____9____.
率之比相等,且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍.设第二个音的频率为 f1,第八个
音的频率为 f2,则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D.412 2
答案
高考一轮总复习•数学
第18页
(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列,记插 入的 11 个数之和为 M,插入 11 个数后这 13 个数之和为 N,则依此规则,下列说法错误的 是( )
高考一轮总复习•数学
第24页
解析:(1)a11+a12+…+a18=a1a+1aa8 8+aa2+2a7a7+a3a+3aa6 6+a4a+4aa5 5. 巧妙应用积的对称性,把两个条件代入求值,此法只适用于偶数项的情形.若奇数项呢?
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(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,

an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从 第2项 起,每一项与它
的前一项 的比等于 同一 常数,那么这个数列叫做等
比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ,公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为:
an+1 an
= q(q为常数)或
an = q a n-1
(q为常数)(n≥2),常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,

a1q2=2,

a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )

1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时,
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,
∴an=
5
2
1
n
1
(n∈N*).
3 3 2
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证明数列{an}是等比数列一般有两种方法: ①定义法:an+1=qan(n∈N*,q是常数); ②等比中项法:an+12=an·an+2(n∈N*). 做题时应根据题目中的已知条件来确定用哪一种方法.
故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)知 2an=2n,由等比数列前n项和公式,得
Sn=2+22+23+…+2n=
2(1 - 2n ) =2n+1-2.
1 2
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数列的通项公式和前n项和公式是数列中应用最 广泛,最重要的公式,应熟记公式掌握应用.
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[2010年高考四川卷]已知等差数列{an}的前3项和为6, 前8项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
{an}成等比数列,则Sm,S2m-Sm,S3m-
S2m 成等比数列 ,公比为
qm
.
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考点1 等比数列基本量的计算
[和2,80a120+年a5高=0考,则浙江SS52 卷=]设Sn为等比数列{an}的( 前n项)
A.11
B.5
C.-8
D.-11
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【分析】建立关于a1,q的方程求解.
【解析】设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由已知q≠1, 又∵8a2+a5=0,
等比数列
考纲解读
1.理解等比数列的概念.
等比数列
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公 式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比 数列,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
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考向预测
在高考客观题中,对等比数列的考查主要是涉及 到通项公式和前n项和公式,以中低档题为主,在主观 题特别是解答题中,对等比数列的考查,近几年题目难 度大大降低,与三角、函数、方程及不等式联系的综 合题难度较大但考的较少,2012年复习主要放在通项 公式、求和公式的应用上.
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【分析】由题意,第n个圆的圆心横坐标与半径之间存在关 系,第n个圆与第n+1个圆的圆心之间因外切也存在联系,由 此建立rn,rn+1的关系并求解.
【解析】 (1)证明:将直线y= 3 x的倾斜角记为θ,则有
tanθ= rnλn=
12,3得3,sλinn=θ=2rn.同.12设理Cλnn的+1=圆32心rn+为1.从(λn而,0),则由题意知
比数列.
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2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项
公式an= a1·qn-1 .
通项公式的变形为an=amqn-m,也可写为qn-m=
用此求通项公式中的公比q.当公比q≠1时an=
a1 ·qn q
可aamn以常
看成函数y=c·qx,是一个不为零的常数与指数函数的乘
λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1.将λn=2rn代入,解得rn+1=3rn.
a a a =
14·q166=
4 1
·q6·q160=(
4 1
·q6)·(q16)10
=1·210=1 024.
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解法二:由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为p,
设T1=a1·a2·a3·a4=1,
T4=a13·a14·a15·a16=8,
∴T4=T1·p3=1·p3=8
p=2.
∴T11=a41·a42·a43·a44=T1·p10=210=1 024.
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(2)解法一:a1a2a3a4=a1·a1q·q1q2·a1q3=a14q6=1, ①
a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15
= a14 ·q54=8,

②÷①:
a14q54 a14q6
=q48=8
q16=2,
∴a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43
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【解析】 (1)证明:b1=a2a-na11= 1an,
当n≥2时,bn=an+1-an=
2
an
1 2
(an
an1
)
1 2
bn1
∴({2b)n}是由以(11为)首知项bn,=a-n+112为-a公n=比的 等12 比n,1数列. 当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
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【解析】 (1)设数列{an}的公差为d,由已知,得
3a1+3d=6
解得 a1=3
8a1+28d=-4,
d=-1.
故an=3-(n-1)=4-n.
(2)由(1)可得bn=n·qn-1,于是
Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1.
若q≠1,将上式两边同乘q,得
qSn=1·q1+2·q2+…+(n-1)·qn-1+n·qn. 两式相减,得
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【解析】利用等比数列的性质. 由已知a1+a2+…+an=2, an+1+an+2+…+a2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n=12. 注意到 (a1+a2+…+an),(an+1+an+2+…+a2n),(a2n+1+a2n+2+…+a3n),( a3n+1+a3n+2+…+a4n),…,也成等比数列,其公比为qn,于是, 问题转化为已知: A1=2,A1qn+A1q2n=12, 要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值.
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(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1
qn 1 nq n1 (n 1)qn 1
=nqn-
.
q1
q1
于是,Sn=
nq n1 (n 1)qn
q 12
若q=1,则Sn=1+2+3+…+n=
1. n(n
1)
.
2
n(n 1)
(q=1)
所以,Sn=
2
nq n1 (n 1)qn 1
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数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).
(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列;
(2)设cn=
an 3n 1
,求证:{cn}是等比数列.
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【证明】an+2=Sn+2-Sn+1
=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.
(1) bn1 an2 - 2an1 bn an1 - 2an
an 2n2
3
.
∴数列

an 2n-2
(
an.
2 (n -1) 3 3n. -1
∴an=(3n-1)·2n-2.∴cn=2n-2.

cn1 cn
2n-1 2n-2
=2.
∴数列{cn}为等比数列,公比为2.
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考点4 等比数列的性质
已知等比数列前n项和为2,其后2n项的和为12,求再往 后3n项的和. 【分析】由已知条件,根据前n项和公式列出关于首项a1和公 比q及n的两个方程,应能解出a1和q关于n的表达式,这样可能 较繁琐又不便于求出结果,若采用整体处理的思路,问题就会 变得简单,也可采用等比数列的性质使问题简化.
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