高等数学概率数学期望
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第三章第一节 数学期望
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其 分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那 么X的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要 知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的 某些数字特征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些 数字特征是重要的 . 其中最常用的是
0.05792
E 100.32768 50.4096 00.2048
20.05792 5.20896
一周内期望利润为5.20896万元。
例3、设某射手每次击中目标的概率为 p ， 他手中有10发子弹准备对一目标连续射击 （每次打一发），一旦击中目标或子弹打 完了就立刻转移到别的地方去，问他在转 移前平均射击几次？
解：设一周内所获利润为 ，首先求出 的分布。
的所有可能取值为10，5，0，－2，（单 位：万元）
P 10 C50 0.20 1 0.25 0.32768, P 5 C51 0.21 1 0.24 0.4096, P 0 C52 0.22 1 0.23 0.2048, P 2 1 0.32768 0.4096 0.2048
解：E 1 1 0 1 2 3 3 1 11
E
Eg
g
x
f
x
dx
定义3和定义4表明，求随机变量函数 的数学期望，并不需要先求出该函数 的分布，而是可直接利用原始的分布 求得。这将大大地简化计算。
例6、设r.v. 的分布列如下，求 E ，E 2，
E2 1 。
-1 0 2 3
pk
1/8 1/4 3/8 1/4
E xf x dx
例4、计算在区间[a,b]上服从均匀分布的r.v. 的数学期望。
解：由题知 的概率密度为
f
x
来自百度文库
b
1
a
,
a xb
0,
其它
故
E
xf
x dx
b
x
1
dx
a ba
ab 2
例5、某种电子元件的使用寿命 是一个r.v. 其概率密度为
9
E k 1 p k1 p 10 1 p9 k 1
1 p
1 1
p
10
2、连续型r.v的数学期望
定义2 设连续型随机变量 有概率密度 f x ，
若积分
xf
x dx
绝对收敛，则称此积分的值
为r.v 的数学期望，记为
指数 分布
f
x
ex ,
0,
x0 其它
其中>0 ，求这种元件的平均使用寿命。
解：
E
xf x dx
x exdx
0
xd
ex
xex
exdx
0
0
0
0 1 ex 1
解：射手在转移前的射击次数是随机变量 首先求出 的分布。
的所有可能取值为1，2 … 10。
P k 1 p k1 p, k 1, 2, 9 P 10 1 p9 p 1 p 10 1 p9
P k 1 p k1 p, k 1, 2, 9 P 10 1 p9 p 1 p 10
在这里，我们用了平均每枪环数这样一个 指标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是 环数的以概率为权的加权平均，是“每枪 环数”这个随机变量的重要特征，称为期 望。
二、随机变量的数学期望
1、离散型r.v的数学期望 定义1 设离散型随机变量 的概率分布为:
P xk pk , k 1, 2,
若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和为 k 1
r.v 的数学期望，简称期望或均值。记为 E
即 E xk pk k 1
例1、设r.v. 服从0－1分布，求 E 。 解：由题知 的分布列为
01
pk
1－p p
E 01 p 1 p p
例2、假设一部机器在一天内发生故障的概 率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万 元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生 两次故障所获利润为零；发生三次或三次 以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利 润是多少？
定义3 设离散型随机变量 的概率分布为:
P xk pk , k 1, 2, 则 g 的期望为
E Eg g xk pk k 1
2、连续型r.v的函数的数学期望
定义4 设连续型随机变量 的概率密度为 f x
则它的函数 g 的期望为
0
随机变量的数学期望是随机变量按其 取值概率的加权平均，表征其概率分 布的中心位置，是概率论发展早期就 已产生的一个重要概念。
三、随机变量函数的数学期望 如果已知r.v. 的分布，需要计算的不是 的期
望，而是它的某个函数 f 的期望， 那么又应
该如何计算呢？
1、离散型r.v的函数的数学期望
总环数 甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N 乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N
平均每枪环数
相当于8×0.4＋9×0.1＋10×0.5＝9.1
甲：9.1N / N＝9.1
相当于8×0.3＋9×0.4＋10×0.3＝9.0
乙：9.0N / N＝9.0
甲射手的水平较高。
期望和方差
一、问题的引入
下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个 射手的本领高？
击中环数 概率
甲射手 8 9 10 0.4 0.1 0.5
乙射手 8 9 10 0.3 0.4 0.3
设想：每人都打了N枪。则 总环数
甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N 乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其 分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那 么X的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要 知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的 某些数字特征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些 数字特征是重要的 . 其中最常用的是
0.05792
E 100.32768 50.4096 00.2048
20.05792 5.20896
一周内期望利润为5.20896万元。
例3、设某射手每次击中目标的概率为 p ， 他手中有10发子弹准备对一目标连续射击 （每次打一发），一旦击中目标或子弹打 完了就立刻转移到别的地方去，问他在转 移前平均射击几次？
解：设一周内所获利润为 ，首先求出 的分布。
的所有可能取值为10，5，0，－2，（单 位：万元）
P 10 C50 0.20 1 0.25 0.32768, P 5 C51 0.21 1 0.24 0.4096, P 0 C52 0.22 1 0.23 0.2048, P 2 1 0.32768 0.4096 0.2048
解：E 1 1 0 1 2 3 3 1 11
E
Eg
g
x
f
x
dx
定义3和定义4表明，求随机变量函数 的数学期望，并不需要先求出该函数 的分布，而是可直接利用原始的分布 求得。这将大大地简化计算。
例6、设r.v. 的分布列如下，求 E ，E 2，
E2 1 。
-1 0 2 3
pk
1/8 1/4 3/8 1/4
E xf x dx
例4、计算在区间[a,b]上服从均匀分布的r.v. 的数学期望。
解：由题知 的概率密度为
f
x
来自百度文库
b
1
a
,
a xb
0,
其它
故
E
xf
x dx
b
x
1
dx
a ba
ab 2
例5、某种电子元件的使用寿命 是一个r.v. 其概率密度为
9
E k 1 p k1 p 10 1 p9 k 1
1 p
1 1
p
10
2、连续型r.v的数学期望
定义2 设连续型随机变量 有概率密度 f x ，
若积分
xf
x dx
绝对收敛，则称此积分的值
为r.v 的数学期望，记为
指数 分布
f
x
ex ,
0,
x0 其它
其中>0 ，求这种元件的平均使用寿命。
解：
E
xf x dx
x exdx
0
xd
ex
xex
exdx
0
0
0
0 1 ex 1
解：射手在转移前的射击次数是随机变量 首先求出 的分布。
的所有可能取值为1，2 … 10。
P k 1 p k1 p, k 1, 2, 9 P 10 1 p9 p 1 p 10 1 p9
P k 1 p k1 p, k 1, 2, 9 P 10 1 p9 p 1 p 10
在这里，我们用了平均每枪环数这样一个 指标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是 环数的以概率为权的加权平均，是“每枪 环数”这个随机变量的重要特征，称为期 望。
二、随机变量的数学期望
1、离散型r.v的数学期望 定义1 设离散型随机变量 的概率分布为:
P xk pk , k 1, 2,
若级数 xk pk 绝对收敛，则称此级数的和为 k 1
r.v 的数学期望，简称期望或均值。记为 E
即 E xk pk k 1
例1、设r.v. 服从0－1分布，求 E 。 解：由题知 的分布列为
01
pk
1－p p
E 01 p 1 p p
例2、假设一部机器在一天内发生故障的概 率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万 元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生 两次故障所获利润为零；发生三次或三次 以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利 润是多少？
定义3 设离散型随机变量 的概率分布为:
P xk pk , k 1, 2, 则 g 的期望为
E Eg g xk pk k 1
2、连续型r.v的函数的数学期望
定义4 设连续型随机变量 的概率密度为 f x
则它的函数 g 的期望为
0
随机变量的数学期望是随机变量按其 取值概率的加权平均，表征其概率分 布的中心位置，是概率论发展早期就 已产生的一个重要概念。
三、随机变量函数的数学期望 如果已知r.v. 的分布，需要计算的不是 的期
望，而是它的某个函数 f 的期望， 那么又应
该如何计算呢？
1、离散型r.v的函数的数学期望
总环数 甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N 乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N
平均每枪环数
相当于8×0.4＋9×0.1＋10×0.5＝9.1
甲：9.1N / N＝9.1
相当于8×0.3＋9×0.4＋10×0.3＝9.0
乙：9.0N / N＝9.0
甲射手的水平较高。
期望和方差
一、问题的引入
下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个 射手的本领高？
击中环数 概率
甲射手 8 9 10 0.4 0.1 0.5
乙射手 8 9 10 0.3 0.4 0.3
设想：每人都打了N枪。则 总环数
甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N 乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N