牛顿第二定律的运用

牛顿第二定律的运用

定律内容：物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方

向跟合外力的方向相同。而以物理学的观点来看，牛顿运动第二定律亦可以表述为“物体随时间变化之动量变化率和所受外力之和成正比”。即动量对时间的一阶导数等于外力之和。

公式：F合=m a （单位：N（牛）或者千克米每二次方秒）

牛顿发表的原始公式：F=d(m v)/dt

动量为p的物体，在合外力为F的作用下，其动量随时间的变化率等于作用于物体的合外力。

用通俗一点的话来说，就是以t为自变量，p为因变量的函数的导数，就是该点所受的合外力。

即：F=d p/dt=d(m v)/dt

而当物体低速运动，速度远低于光速时，物体的质量为不依赖于速度的常量，所以有

F=m(d v/dt)=m a

这也叫动量定理。在相对论中F=m a是不成立的，因为质量随速度改变，而

F=d(m v)/dt依然使用。

由实验可得F∝m,F∝a

(只有当F以N,m以kg，a以m/s^2为单位时，F合=m a 成立）

几点说明：（1）牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。力和加速度同时产生、

同时变化、同时消失。

（2）F=ma是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。

（3）根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解[1]，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。

4.牛顿第二定律的六个性质：

（1）因果性：力是产生加速度的原因。若不存在力，则没有加速度。

（2）矢量性：力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。牛顿第二定律数学表达式∑F= m a中，等号不仅表示左右两边数值相等，也表示方向一致，即物体加速度方向与所受合外力方向相同。

根据他的矢量性可以用正交分解法讲力合成或分解。

（3）瞬时性：当物体（质量一定）所受外力发生突然变化时，作为由力决定的加速度的大小和方向也要同时发生突变；当合外力为零时，加速度同时为零，加速度与合外力保持一一对应关系。牛顿第二定律是一个瞬时对应的规律，表明了力的瞬间效应。

（4）相对性：自然界中存在着一种坐标系，在这种坐标系中，当物体不受力时将保持匀速直线运动或静止状态，这样的坐标系叫惯性参照系。地面和相对于地面静止或作匀速直线运动的物体可以看作是惯性参照系，牛顿定律只在惯性参照系中才成立。

（5）独立性：作用在物体上的各个力，都能各自独立产生一个加速度，各个力产生的加速度的矢量和等于合外力产生的加速度。

（6）同一性：a与F与同一物体某一状态相对应。

牛顿第二定律的适用范围：

1.当考察物体的运动线度可以和该物体的德布罗意波长相比拟时，由于测不准原理，物体的动量和位置已经是不能同时准确获知的量了，因而牛顿动力学方程缺少准确的初始条件无法求解。也就是说经典的描述方法由于测不准原理已经失效或者需要修改。量子力学用希尔伯特空间中的态矢概念代替位置和动量（或速度）的概念来描述物体的状态，用薛定谔方程代替牛顿动力学方程（即含有力场具体形式的牛顿第二定律）。

用态矢代替位置和动量的原因是由于测不准原理我们无法同时知道位置和动量的准确信息，但是我们可以知道位置和动量的概率分布，测不准原理对测量精度的限制就在于两者的概率分布上有一个确定的关系。

2.由于牛顿动力学方程不是洛伦兹协变的，因而不能和狭义相对论相容，因而当物体做高速移动时需要修改力，速度，等力学变量的定义，使动力学方程能够满足洛伦兹协变的要求，在物理预言上也会随速度接近光速而与经典力学有不同。

但我们仍可以引入“惯性”使牛顿第二定律的表示形式在非惯性系中使用。

例如：如果有一相对地面以加速度为a做直线运动的车厢,车厢地板上放有质量为m的小球,设小球所受的合外力为F,相对车厢的加速度为a',以车厢为参考系,显然牛顿运动定律不成立.即

F=ma'不成立

若以地面为参考系,可得

F=m a对地

式中,a对地是小球相对地面的加速度.由运动的相对性可知

a对地=a+a'

将此式带入上式,有

F=m(a+a')=ma+ma'

则有 F+(-ma)=ma'

故此时,引入Fo=-ma,称为惯性力,则F+Fo=ma'

此即为在非惯性系中使用的牛顿第二定律的表达形式.

由此,在非惯性系中应用牛顿第二定律时,除了真正的和外力外,还必须引入

惯性力Fo=-ma,它的方向与非惯性系相对惯性系(地面)的加速度a的方向相反,大小等于被研究物体的质量乘以a。

注意：

当物体的质量m一定时，物体所受合外力F与物体的加速度a是成正比的是错误的，因为是合力决定加速度。但当说是物体的质量m一定时，物体的加速度a与物体所受合外力F成正比时则是正确的。

解题技巧：

应用牛顿第二定律解题时，首先分析受力情况，运动图景，列出各个方向（一般为正交分解）的受力的方程与运动方程。

同时，寻找题目中的几何约束条件（如沿绳速度相等等）列出约束方程。联立各方程得到物体的运动学方程，然后依据题目要求积分求出位移、速度等。

牛顿第二定律的运用：

牛顿第二定律是经典力学的基础和核心，是分析、研究和解决力学问题的三大法宝之一，同时也是高考考查的重点和热点。因此，深刻理解和灵活应用牛顿第二定律是力学中非常重要的内容，下面阐述应用牛顿第二定律时的几类典型问题

一、连接体问题

两个或两个以上物体相互连接并参与运动的系统称为有相互作用力的系统，即为连接体问题，处理非平衡状态下的有相互作用力的系统问题常常用整体法和隔离法。

当需要求内力时，常把某个物体从系统中“隔离”出来进行研究，当系统中各物体加速度相同时，可以把系统中的所有物体看成一个整体进行研究。

例1：如图1所示的三个物体质量分别为m1、m2和m3。带有滑轮的物体放光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦以及绳子的质量均不计。为使三个物体无相对滑动，试求水平推力F的大小。