三 巧添运算符号

三巧添运算符号

根据题目给定的一些数字和一定的要求，添上各种运算符号或括号，使等式成立，这种练习不仅能加深对四则运算意义的理解，提高计算能力，而且能够培养同学们思维的灵活性和敏捷性．

问题3．1在下面五个5之间，添上适当的运算符号+、-、×、÷和（），使下面的等式成立．

5 5 5 5 5=10 ①

分析上述问题我们可以用硬凑的方法来做，不过这样做一般来说比较困难，而且难以找到解题的规律．下面我们一起来想办法解决这一问题．

我们从①式的左边倒推分析，最后一个5的前面如果要添运算符号的话，只可能是+、-、×、÷四种之一．

如果添的是“+”号，那么①式变成下面的②式：

5 5 5 5+5=10 ②

这样就要求②式中加号前面的四个5添上适当的运算符号或括号后得到5．即

5 5 5 5=5③

再重复上面的想法，如果③式左边最后一个5的前面又添上“+”号，那么③式就变成下面的④式：

5 5 5+5=5④

要④式成立，必须要加号前面的三个5添上适当运算符号或括号后变成0．即

5 5 5=0⑤

因为任何一个数与0的乘积结果都是0，因此不难得到⑤有如下三种填法：

（5-5）×5=0；（5-5）÷5=0；5×（5-5）=0．

这样我们已找到了三种添法．

如果③式左边最后一个5前南添的是“-”号，即

5 5 5-5=5

这就要求上式的前面三个5之间添上适当运算符号或括号，使它们的运算结果是10，即

5 5 5=10

经过试算可以发现，无论添上什么运算符号或括号，这个等式都不可能成立．也就是说，这个等式没有解．

同样地，如果③式左边最后一个5的前面添的是“×”或“÷”，也都没有解．

以上我们分析的是①式左边最后一个5的前面添的是“+”的一些情况，有下面三种添法：

（5-5）×5+5+5=10；

（5-5）÷5+5+5=10；

5×（5-5）+5-5=10．

下面我们来分析①式左边最后一个5的前面添的是“-”的情况，即

5 5 5 5-5=10．

因为15-5=10，这就要求上式“-”号前面的四个5组成15，即

5 5 5 5=15．⑥

如果这个式子的左边最后一个5的前面添上“+”号，即

5 5 5+5=15．

因为10+5=15，这就要求上式“+”号前面三个5组成10，根据前面的分析不可能实现．同样可以分析⑥式左边最后一个5的前面如果添上“×”或“÷”号，无法使该等式成

立，因此⑥式左边最后一个5的前面只能添上“-”号，即

5 5 5-5=15．

因为20-5=15，这就要求上面式子中左边“-”号前三个5组成20，即

5 5 5=20．

不难看出：

5×5-5=20．

这样我们又找到了一种添法．

如果①式左边最后一个5前面添上“×”号或“÷”号，同学们采用前面的倒推分析法，完全可以找到正确的添法．

解（5-5）×5+5+5=10；

（5-5）÷5+5+5=10；5×（5-5）+5+5=10；

5×5-5-5-5=10；（5÷5+5÷5）×5=10；

（5×5+5×5）÷5=10；55÷5-5÷5=10．

从上面的最后一个答案中我们可以看到，添运算符号不仅可以在两个数字之间添，也可以在相邻几个数字之间添，如最后一个等式．

我们在问题3．1中采用的分析方法，是从算式的最后一个数字开始逐步向前推想的，这种方法叫做倒推法．当题目给定的数字不多时，用这种方法是很容易奏效的．不过使用倒推法时，一定要考虑全面、周到．

同学们想一想，本题还有没有其它的解法？

问题3．2 在下面的式子里，加上括号，使等式成立．

（1）7×9+12÷3-2=47；

（2）7×9+12÷3-2=75；

（3）7×9+12÷3-2=23；

（4）7×9+12÷3-2=35．

分析从问题3．1的解答我们看到倒推分析法是一种很重要的思维方法，这种方法同样适用于本题．

例如，在（1）中，如果等号能够成立，因为49-2=47，所以只须

7×9+12÷3=49．

由于49=7×7，因此只须9+12÷3=7，而21÷7=3，所以只须把9+12用括号括起来就行了．即（1）式的正确答案是：

7×[（9+12）÷3]-2=47．

在（2）中，如果等式成立，因为77-2=75，所以只须7×9+12÷3=77．又因为7×11=77，所以只须9+12÷3=11．经试算，不论怎样加括号都不能成立，由此可见此路不通，得另想办法．

在（2）中，如果等式成立，因为7×9=63，而63+12=75，因此只须12÷3-2=12，又因为12÷1=12，所以只须将3- 2用括号括起来就行了．即（2）式的正确答案是：7×9+12÷（3-2）=75．

同学们根据倒推分析法不难得到（3）、（4）两式的正确答案．

解（1）7×[（9+12）÷3]-2=47；

（2）7×9+12÷（3-2）=75；

（3）（7×9+12）÷3-2=23；

（4）7×[（9+12）÷3-2]=35．

问题3．3在下面等式的合适的地方，添上适当的运算符号+、-、×、÷和（），使得等式成立．

1 2 3 4 5 6 7 8 9=1①

分析要①式成立，可以先考虑在9的前面添“-”或“÷”号．

如果添减号，则①式可变为：

1 2 3 4 5 6 7 8-9=1．

因为10-9=1，所以只须

1 2 3 4 5 6 7 8=10．

容易得到：

1+2+3+4+5-6-7+8=10．

于是我们找到了一个答案．

如果添“÷”号，则①式为

1 2 3 4 5 6 7 8÷9=1．

因为9÷9=1，这样只须

1 2 3 4 5 6 7 8=9．

也容易得到：

1×2+3+4+5-6-7+8=9．

这样我们又找到了一个答案．

另外，我们还可以先试着找出一个比较接近于1的数，然后再去凑结果，如：23-4×5=3．现在只要6，7，8，9凑成2即可，而9-8+7-6=2，这样就有1×23-4×5+6-7+8-9=1．又找到了一个答案．

同学们动一动脑筋，还可以得到一些答案．

解符合题目要求的一些答案有：

1+2+3+4+5-6-7+8-9=1；

（1×2+3+4+5-6-7+8）÷9=1；

1×23-4×5+6-7+8-9=1；

1+23-（4+5+6+7）+8-9=1；

（1+2）÷3×45÷（6+7-8）×9=1；

（1×2+3+4-5+6+7）÷（8+9）=1．

在下面15个8之间添上+、-、×、÷，

使下面的等式成立．

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1988．

分析本题由于所给的数字较多，采用倒推分析法会相当麻烦，一时难以找到正确的答案，为了使问题便到尽快的解决，我们可以先找出一个比较接近1988的数，如：8888÷8+888=1999．

这样我们用八个8凑成了1999，而1999-1988=11，那么问题就转化为能否用7个8凑出11来，而88÷8=11，这样问题又转化为能否用4个8凑出0来．而8÷8-8÷8=0或8+8-8-8=0，8×8-8×8=0，于是问题很快得到解决．正确答案是：

8888÷8+888-88÷8+8÷8-8÷8=1988

或8888÷8+888-88÷8+8+8-8-8=1988

或8888÷8+888-88÷8+8×8-8×8=1988．

同学们想一想还有其它的填法吗？

练习3

1．在5个3之间，填上适当的运算符号，使等式成立．

3 3 3 3 3=0；3 3 3 3 3=1；

3 3 3 3 3=2；3 3 3 3 3=3；