概率论与数理统计点估计

( ) (1)因为X ~ N (m,s 2 ), E( X ) = m, D( X ) = s 2 = E X 2 - m 2
Ù
Ù 2 ____
故有 m = X , s = X 2 - X 2 = Sn2
(2)因为X ~ Z (a ), E( X ) = 1 a
故1
=
Ù
X ,即a
=
1
a
X
(3)因为 X ~ U (a, b), E ( X ) = a + b , D ( X ) = (b - a ) 2
例1.6设X1, X 2 ,..., X n来自泊松总体p (l),其概率分布为
P{X = x; l}= lxe-l
x!
x = 0,1,2,...
试求未知参数l的极大似然估计量.
n
n
Õ { } Õ i)L( x1 , x2 ,..., xn ; l ) = P xi ; l Õ i =1
= n l xi e -l i=1 xi !
故有
ïì np ïîí np
=X (1 - p )
=
S
2 n
(5)因为X ~ p (l), E( X ) = l
即
ì ï ï í ï ïî
Ù
p
Ù
n
= =
1-
X
Ù
p
S
2 n
X= XX源自-S2 n
Ù
故l = X
例5 设总体X的概率密度为
f
( x;q
)
=
ì(q
í
+ 1)xq
î0
0 < x < 1 (q > -1)
Ù
分别取
qi
作为
q
的估计量
i
, 这种求估计量的方法称
矩估计法 ,
由此得到的估计量称为 矩估计量。
若有一样本值 x1, x2 ,..., xn ,
Ù
Ù
则称 q i = q i ( x1, x2 ,..., xn )
(1 £ k £ r )
为 矩估计值 .
由上述矩估计的定义知道,矩估计的 核心思想是:用样本矩来估计相应的总 体矩.
2
12
故有
ìa ïï
+ 2
b
=
í ï
(b
-
a
)
2
ïî 12
X =
S
2 n
即
ïì a í
+
b
=
2
X
ïîb - a = 2 3S n
Ù
Ù
解出得 : a = X - 3S n , b = X + 3S n
(4 )因为 X ~ B (n, p ), E ( X ) = np , D ( X ) = np (1 - p )
达到最大值
Ù
L(
x1
,
x2
,...,
xn
;q
)
=
max
qÎQ
L(
x1,
x2
,...,
xn
;q
)
ÙÙ
ÙÙ
则称q = q (x1, x2,..., xn )为q 的极大似然估计值,q = q (X1, X 2,..., X n )
为q 的极大似然估计量,统称为q 的极大似然估计.
.
注1: 若总体分布中含有两个 以上的未知参数 q1,q2 ,...,qr时,
例1.5 设总体 X的概率密度为
f
(x)
=
ì(q
í
+ 1) xq
î0
0 < x < 1 q > -1
其它
0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7为某一个样本值 ,
试求 q的极大似然估计值与极 大似然估计量。
n
n
Õ Õ 解 : i)L(x1, x2 ,..., xn ;q ) = f (xi ;q ) = (q + 1)xiq
å xi
= l e i=1
- nl
n
xi!
Õ n
n
i =1
ii) ln L( x1 , x2 ,..., xn ; l ) = å xi ln l - nl - ln xi !
i =1
i =1
n
iii
)令
:
¶
¶l
[ln
L(
x1
,
x2
,...,
xn
;
l
)]
=
å xi
i =1
l
-n
=
0
iv )解之得
Ù
:l
§ 7.1 点估计
一 点估计概念 二 矩估计法 三 极大似然估计法
一 点估计的概念
定义
设X
1,
X
2
,...,
X
是来自总体
n
X的样本， ))
q为总体分布
F
(
x;q
)中
的未知参数，构造一个 ))
统计量 q
= q ( X1, X 2 ,...,
X n )作为q的估计，
则称q = q ( X1, X 2 ,..., X n )为q的点估计量 ;
Ù
单值反函数 ,则g(q )是g(q )的极大似然估计 .
2 求极大似然估计的步骤
(1) 利用求导法求极大然估计步骤
n
Õ i)建立似然函数 : L(x1, x2 ,..., xn ;q1,q 2 ,...,q r ) = f (xi ;q1,q 2 ,...,q r ) i =1 n
Õ ii)两边取对数 ln L(x1, x2 ,..., xn ;q1,q 2 ,...,q r ) = ln f (xi ;q1,q 2 ,...,q r ) i =1
n
f (xi ;¶) =
n
ae -ax
n
a = e , x n
-a å xi
i =1
i
>0
i =1
i =1
n
ii) ln L(x1, x2 ,..., xn ;a ) = n lna - a å xi i =1
iii)令 : ¶ ¶a
[ln
L(
x1
,
x2
,...,
x
n
;a
)]
=
n a
n
- å xi i =1
ïî0
q1 £ x £ q2 其它
g k (q1 ,q 2 ,..., q r ) = E ( X k ) (1 £ k £ r )
å 令它等于 k阶样本原点矩
:Xk
=
1 n
n i =1
X
k i
即
å E ( X
k) =
1 n
n i =1
X
k i
(1 £ k £ r )
从中解出 r个值
Ù
Ù
q i = q i ( X 1, X 2 ,..., X n ) (1 £ k £ r )
=1 s2
n
å (xi
i =1
2
ln L(x1, x2 ,..., xn ; m ,s 2 )
=-n 1 2s2
- m) = +1
2s 4
0
n
å (xi
i =1
- m)2
=
0
iv)由上述两式解出
Ù
m=x
Ù
s2
=
1n
n
å(
i =1
xi
-
x)2
=
s
2 n
Ù
s=
Ù
s 2 = sn =
1 n
n
å (xi
i =1
例1 若总体X的数学期望E( X ) = m 与方差D( X ) = s 2都 是有限的, 求m与s 2的矩估计。
解：
= å m
=
E(X )
D
1 n
n i =1
Xi
=
X
( ) = å s 2
= m2 +E
X2
而E(X 2 )
D
1 n
n i =1
X
2 i
=
X2
D
所以有s 2 = X 2 - ( X )2
-
x)2 为m ,s
2 ,s的极大似然估计值.而
Ù
Ù
Ù
m = X,
s
2
=
S
2 n
s = Sn为m ,s 2 ,s的极大似然估量.
(2)利用极大似然估计定义 求估计
i)建立似然函数
n
Õ L(x1, x2 ,..., xn ;q1,q2 ,...,qr ) = f (xi ;q1,q2 ,...,qr ) i =1
若样本
X )
1,
X )
2
,...,
X
的一个观察值为
n
x1 ,
x2
,...,
xn
,
则称
q = q (x1, x2 ,..., xn )
为q 的点估计值。
Ù
点估计量和点估计值统 称为参数 q的点估计 , 记作q .
二 矩估计法
定义 : 设总体 X的分布函数 F ( x;q1,q 2 ,..., q r )中有 r个未知 参数 q1,q 2 ,..., q r , 假定总体 X的 k阶原点矩 E ( X k )(1 £ k £ r ) 存在 , 记作
n+ +1
n i =1
xi
=
0
Ù
iv)解之得 :q = -
n
n
-1
å ln xi
i =1
为q 的极大似然估计值 .